книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

График функции р (0) для эллиптического па­

раболоида,

аг =

5,

а2 = 3

при а =

0

имеет

каче­

ственно такой же симметричный относительно

0 =

= 7 2 я

вид, как и

график функции

р (0).

При

ко

0 =

72 я

функция р (0) в этом случае имеет

макси­

мум, а при 0 =

О и0 =

я — минимумы.

качественно

При а

0 графики

функции

р (0)

повторяют

графики

функции

р (0),

т.

е.

функция

0.5

р (0) при малых 2 суть убывающая функция 0. При

больших значениях 2

на поверхности параболоида и

Л

вблизи от нее функция

р (0) может

иметь

минимум

5.0

внутри [0, л]. Однако в этом случае, в отличие от по­

ведения р (0), функция р (0)

может иметь п р и 0 <

л

локальный максимум,

а при 0 =

л снова минимум.

/

Именно такой пример

показан

на

фиг.

17.14,

где

'б .0

приведены

графики

функций

р (0)

для

обтекания

0.5

кругового параболоида,

Мто =

4,

ос =

10°, ъ =

30.

3.

Изолинии

в

плоскостях

2 = сопз1.

Более

/

а

и

детальный

анализ

поля

течения можно

прове­

сти

по

изолиниям

различных

функций.

Ниже

\0

.8 .0

У

приведем наиболее характерные изолинии различных

8.5_ ^

функций в плоскостях 2 = сопз!.

для

слу­

чая

На фиг. 17.15 представлены изобары

обтекания

кругового

параболоида,

М«> =

4,

0.5

1.0

1.5

ос =

10°,

2 = 1 .

Они

имеют

кривизну

одного

зна­

Фиг.

17.15

ка

и выпуклы к ударной волне. Области

минималь­

ного давления расположены с подветренной стороны

поверхности

и ограничены изобарами, которые

замыкаются

на

параболоида. Области максимального

давления

расположены

с на­

ветренной стороны и ограничены изобарами и поверхностью ударной

волны. Вид

изобар, показанный на фиг. 17.15, типичен для всех

рассмотренных

случаев

те­

чений около параболоидов 0 ° < а ^

15° при малых значениях 2.

При увеличении 2 сначала вид изобар начинает изменяться с наветренной сто­ роны. А именно изобары около поверхности параболоида начинают принимать на­ правление, близкое к радиальному (при малых 2 направление изобар с наветренной стороны близко к направлению касательной к поверхности параболоида в плоскости г = соп81, см. фиг. 17.15). Затем сверху параболоида, с подветренной стороны, обра­ зуется область минимального давления, расположенная около поверхности. Эта область с увеличением значения ъ перемещается по направлению от плоскости сим­ метрии течения. Давление здесь с некоторого значения г может быть меньше давле­ ния в невозмущенном движением тела потоке, т. е. р<с 1. С наветренной стороны при большом значении 2 образуется область максимального давления. Она расположена в плоскости симметрии течения около поверхности параболоида. При малых углах а эта область может находиться и около ударной волны. Эти изменения наблюдаются при тем меньших 2, чем больше угол ос. На фиг. 17.16 приведены изобары около кру­ гового параболоида, М<х> = 4, ос = 10°, 2 = 40. Сравнив фиг. 17.16 и 17.15, можно увидеть большие изменения в картине изобар, в том числе и те, о которых сказано выше.

При дальнейшем увеличении 2 область минимального давления принимает все большие размеры, одновременно удаляясь от плоскости симметрии течения. Вели­ чина минимального давления в этой области с увеличением 2 уменьшается. Величина максимального давления с наветренной стороны, с некоторого значения 2, также бу­ дет уменьшаться. В [123] приведены изобары для случая обтекания кругового пара­ болоида, Моо = 4, ос = 5°, 2 = 50. Величина минимального давления в примере, представленном в [123], равна Ртш ~ 0.9. Такое давление достигается на поверхнос­

ти параболоида при значении 0 =

129°.

При

этом область максимального давления располо­

жена

около

ударной

волны,

а

ртах ~

1.6.

В этом же

примере, но

при

ъ =

100 давление

имеет

минимум

/7т1П ~ 0.84

при

0 ^

117°.

В плоскости симметрии

течения

с наветренной

стороны

имеются две области

максимального

давления, ртах ж

1.4.

Изохоры при малых значениях ъ качествен­

но имеют такой же вид, как и изобары (см.

фиг. 17.15). Отличие состоит лишь

в том,

что

изохоры, приходящие на поверхность

парабо­

лоида,

подходят к поверхности

под меньшим

углом. Градиенты плотности по нормали к по­

верхности

параболоида

примерно

одинаковы

при всех 0. Они имеют один и тот

же

знак во

всей плоскости ъ =

сопзЪ.

изохор

При больших

значениях г картина

другая. С наветренной стороны имеется

разви­

тый энтропийный слой, хорошо видный по изо­

хорам. На фиг. 17.17 приведены изохоры около

кругового параболоида, М«, =

4, а =

5°, ъ = 20,

а на фиг. 17.18 — при а = 10°, 2 =

40. На обеих

картинах

изохор хорошо видно наличие энтро­

пийного слоя

с наветренной

стороны и отсут­

ствие

с подветренной.

В примере

фиг.

17.18

энтропийный слой

наиболее

сильный.

Кроме

того, на фиг. 17.18 видно образование

области

5

Ю

минимальной

плотности сбоку от поверхности

Фиг. 17.16

параболоида.

Интересно

также

сравнить

фиг. 17.18 и 17.16, так как они

относятся к од­

с подветренной

стороны

пара­

ному и тому же случаю обтекания. Картина изохор

болоида качественно повторяет картину изобар. С наветренной стороны они

суще­

ственно отличаются около поверхности параболоида, потому что на

поведении изо­

бар образование энтропийного слоя не отражается.

Рассмотрим линии постоянных значений энтропии.

При малых значениях ъ линии постоянных значений энтропии около поверхнос­ ти кругового параболоида почти эквидистантны контуру поверхности в плоскости

2, = С О П 5!.	значений энтропии	для слу­
На фиг. 17.19 приведены линии .постоянных
чая обтекания кругового параболоида, М» = 6, а =	15°, ъ = 1.5.	40 около
На фиг. 17.20 приведены линии постоянной энтропии в плоскости ъ =
кругового параболоида, М» = 4, а = 10°. Вид изоэнтроп определяет характер из­

менения энтропийного слоя в зависимости от значений	координат 5 и 0. Например,
с наветренной стороны для 0 = 0 при изменении ^ от 0	до 0.08 энтропия изменяется

от = 2.203 до 8 = 1.1, а при изменении %от 0.08 до 1 изменение энтропии про­ исходит от Я = 1.1 до Я ^ 1.01. Изменения энтропии в зависимости от 0 при ^ = = сопз! с подветренной стороны менее значительны. Обратим внимание на существо­ вание при больших значениях г с подветренной стороны области с относительна большими значениями энтропии. Интересен вид линий постоянных значений энтро­ пии, которые как бы «отстают» от поверхности параболоида.

Обратим еще внимание на то, что на фиг. 17.20 энтропия с подветренной стороны около ударной волны близка к энтропии в невозмущенном потоке. Получение здесь гладких (в четвертом знаке значений $) линий постоянной энтропии свидетельству­ ет о высокой точности расчета в этой области течения.

На фпг. 17.21 приведены линии постоянных значений числа М около кругового параболоида, Моо = 6, а = 15°, 2 = 4. Из фиг. 17.21 видно, что области с наиболь­ шими числами М образуются около ударной волны с подветренной стороны течения. Заметим, что в этом же примере, но при ъ = 1.5 вид линий постоянных значений чис­ ла М не отличается от вида линий постоянных значений энтропии при том же ъ (см. фиг. 17.19). При увеличении ъ с подветренной стороны значения чисел М увеличива­ ются. Области с максимальными числами М располагаются уже в потоке, а не около ударной волны и ограничиваются линиями М = сопз!. На фиг. 17.22 приведены ли­ нии постоянных значений числа М для того же примера обтекания, что и фиг. 17.21, но в плоскости 2 = 10. При дальнейшем увеличении 2 область с максимальными зна­ чениями числа М остается замкнутой в потоке линиями М = сопз1. Она перемещает­ ся при этом из плоскости симметрии в сторону меньших значений 0 и к поверхности параболоида. На фиг. 17.23 приведен пример линий постоянных значений М около

кругового параболоида, Моо = 4, а = 10°, 2 = 40.	Вид линий постоянных значе­
ний числа М в этом примере обтекания, но при 2 =	20 качественно не отличается от

представленного на фиг. 17.22 для другого примера. На фиг. 17.23 область с макси­ мальными значениями числа М уже переместилась к поверхности параболоида. Ин­ тересным эффектом является существование замкнутой области с числом М > М». Кроме того, интересен вид линии М = сопз1; с наветренной и подветренной сто­ рон. С наветренной стороны по линиям М = сопз! хорошо прослеживается граница энтропийного слоя с относительно небольшими числами М. С подветренной стороны

в полуплоскости 0 = л около поверхности параболоида образуется область течения

также с относительно небольшими числами М. В полуплоскости 0 =				л в потоке су­
ществует локальный максимум числа М.					скоро­
Рассмотрим линии постоянных значений окружной компоненты вектора
сти УЗ.
На фпг. 17.24 приведены линии постоянных значений уз в поле течения около
кругового	параболоида при Моо = 4, а = 10°,	2 = 1 . Линии уз =		сопзЪ образуют
седловую	точку, которая расположена около	полуплоскости	0 =	1/ая »	0-4.
В седловой точке величина т максимальна для всей плоскости 2 =			1 . Около плоско­

сти симметрии течения линии уз = сопз! почти совпадают с радиальными. При удалении от этой плоскости кривизна линий IV= сопз! увеличивается. Отрицательных зна­ чений ю в плоскости 2 = 1 нет. Картина линий постоянных значений окружной ком­ поненты вектора скорости, приведенная на фиг. 17.24, характерна и для других слу­ чаев течений при малых 2.

С увеличением значения 2 седловая точка перемещается к ударной волне и при некотором 2 исчезает. На фиг. 17.25 приведены линии уз = сопз! для того же примера обтекания, что и на фиг. 17.24, но при значительно большем значении ъ = 20. На фиг. 17.25 седловой точки уже нет. Обратим внимание на большие значения скорости поперечного перетекания газа (ю^>1.0) сбоку от поверхности параболоида. Как видно из фиг. 17.25, величина окружной компоненты вектора скорости максимальна при больших 2 около поверхности параболоида.

Отметим отличия линий постоянных значений функций около эллиптического параболоида от рассмотренных выше^иволиний около кругового параболоида.

3.0

	3.0		6.0
Фиг. 17.21	Фиг.	17.22
Картина изобар около эллиптических параболоидов, аг =		3, а2 = 5	и ах = 5,

02 = 3 качественно подобна картине изобар около кругового параболоида. Отличия наблюдаются лишь при а = 0. У кругового параболоида при а = 0 изобары суть кон­ центрические окружности. На фиг. 17.26 приведены изобары около эллиптического

параболоида,	=	5, ^ =	3, М» = 4, а =	0°, 2 = 1 . Течение около эллиптиче­
ского параболоида		при а =	0 не является	осесимметричным, поэтому изобары на

фиг. 17.26 не имеют вида концентрических окружностей. При больших г картина изо­ бар около эллиптического параболоида при а = 0 остается примерно такой же, как и на фиг. 17.26.

Изохоры в поле течения около эллиптических параболоидов при а ]> 0 имеют качественно такой жг вид, как и около круговых параболоидов. Сравнивая фиг. 17.27

и 17.18, можно	убедиться	в этом.		На фиг. 17.27 приведены изохоры около эллипти­
ческого параболоида, аг =		5,	=	3, Моо = 4, а = 10°, ъ = 15.	аг = 5 , а2 = 3,
Изохоры в поле течения около эллиптического параболоида,
Моо = 4, а =	0, 2 = 30 приведены на фиг. 17.28. Из рисунка видно,				что плотность
в этом случае	минимальна около поверхности параболоида в плоскости 0 = 0 -ь я.
Линии постоянных значений энтропии около поверхности эллиптических пара­
болоидов качественно имеют			такой же вид, как и около кругового параболоида.
В [123] приведен пример линий $ =				сопз! около эллиптического параболоида.
Следует отметить вид линий постоянных значений числа М около эллиптических
параболоидов при а — 0. На фиг.				17.29 приведены линии М = сопзЪ около эллип­
тического параболоида, ах =			5, а2 = 3, Моо = 4, а = 0, ъ = 1. Области максималь­

ных чисел М в плоскости 2 = 1 расположены около поверхности ударной волны. При больших г они располагаются уже между поверхностями параболоида и удар­ ной волны. На фиг. 17.30 приведены линии М = сопз! для того же случая течения,

5 Ю

0.5 1.0

Фиг. 17.25

Фиг. 17.26

8.0

2.0	Ч.С	6.0	5	10
Фиг.	17.27		Фиг. 17.28

5

10

Фиг, 17.29

Фиг. 17.30

что и на фиг. 17.29, но при г = 30. С дальнейшим увеличением ъ число М возраста­ ет, достигая максимальной величины в плоскости симметрии течения. При некотором значении ъ число М может стать больше М ». Таким образом, сверху и снизу эллип­ тического параболоида при а = 0 могут появиться области с М ^ М * . При а > 0 характер поведения линий М = сопз1 качественно не отличается от характера пове­ дения их около кругового параболоида. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить фиг. 17.23 с примером из работы [123].

Линии постоянных значений окружной компоненты вектора скорости качест­ венно имеют такой же вид, как и линии IV= сопзЬ около кругового параболоида. Отличие заключается в том, что седловая точка линий ш = сопз! при малых ъ у эл­ липтических параболоидов расположена ближе к полуплоскости 0 = 0, чем у кру­ говых (см. фиг. 17.24).

Рассмотренные выше графики и изолинии различных функций для случаев прост­ ранственного обтекания параболоидов показывают сложный характер картины те­ чения. В частности, выше было отмечено образование и развитие энтропийного слоя, областей минимального и максимального значений давления и плотности, областей с числами М > Моо, седловых точек. Из приведенных данных следует, что наиболее сложную структуру имеет течение с подветренной стороны параболоидов при а > 0

ибольших значениях 2.

§18. Пространственные течения около тупых конусов

В этом параграфе приведены результаты расчетов и анализ течений около тупых ко-» нусов. Конусы во всех рассмотренных ниже случаях обтекания имеют сферическое затупление. Радиус сферы равен единице.

Примеры течений, приведенные в этом параграфе, получены при различных зна­ чениях числа Моо, угла полураствора конуса рк и угла атаки а. Изменение этих па­

раметров	определяется следующими неравенствами: 2 Мго <110, 0° рк <: 30°,
0 ° < а <	17°30'

Результаты расчетов представлены в основном изолиниями различных функций. Они могут быть использованы не только для качественного, но и для количественно­ го анализа поля течения.

1. Форма ударной волны. Форма головной ударной волны около тупого конуса определяется сложным механизмом взаимодействия ударной волны с волнами сжатия и разрежения. Этот механизм «автоматически» учитывается при численном решении краевой задачи для основной системы уравнений газовой динамики.

На фиг. 18.1 приведено расстояние Р от оси тупого конуса до ударной волны в

плоскостях 2 = сопзЪ на различном удалении от	затупления, Моо = 2 , рк = 15°,
а = 10°. Крестиками нанесены значения Р при ъ =	100 для соответствующего остро­

го конуса, поверхность которого совпадает с поверхностью тупого конуса. Кружками показаны значения Р для острого конуса при 2 = 2. Как видно из фиг. 18.1, расстоя­ ние до ударной волны при всех значениях 2 изменяется по одному и тому же закону.

Аименно в полуплоскости 0 = 0 при всех ърасстояние до ударной волны минимально,

ав полуплоскости 0 = л — максимально. С увеличением 2 точка перегиба Р (0)

смещается от полуплоскости 0 = к полуплоскости 0 = я. При 2 = 100 значения Р для тупого конуса при 0 <С 160° совпадают со значениями Р для соответствующего острого конуса. При 2 = 2 эти значения отличаются довольно существенно.

Наклон ударной волны к оси 2 в каждой меридиональной плоскости определяет­ ся производной Рг = (дР/дг)о^сопаь» Значения этой производной в рассмотренном слу­ чае обтекания с увеличением 2 уменьшаются немонотонно. В полуплоскости 0 = 0 функция^ . Рг (ъ) имеет минимум при г ^ 4, а в полуплоскости 0 = 7 2я — при

2 10

На фиг. 18.2 приведены следы ударных волн и контура конуса в различных плос­ костях 2 = сопзЪ, Мм = 10, Рк = 10°, а = 5°. На ударных волнах отмечены точки,

г '

2=20

21

19

17

15

13

Фиг. 18.2

в которых наклон волны к оси ъ минимален и максимален. Из рисунка видно, что в; подветренной области течения расстояние между поверхностями конуса и ударной волны при увеличении ъ растет быстрее, чем в наветренной области. Отметим также, что точки с минимальным и максимальным наклонами ударной волны с увеличением ъ сближаются, одновременно смещаясь к полуплоскости 0 = я.

На фиг. 18.3 для этого же случая течения приведены графики функции Рг (2) в трех полуплоскостях (0 = 0,72^» я). Характер взаимодействия волн сжатия и волн разрежения с головной ударной волной определяет немонотонную зависимость Рг от

	2. В полуплоскости 0 = 0 это вза­
	имодействие наиболее			сильно	из­
	меняет форму ударной волны. Сна­
	чала в области влияния сферы зна­
	чения Рг уменьшаются монотонно.
	При ъ ^	12 функция		Рг (я) имеет
	минимум Рг = 0.157. Затем на ви­
	де графика начинает			сказываться
	влияние конуса. На графике Рг (г)'
	видна «полочка», замеченная так­
	же в работе [15] при расчете обте­
	кания	тела другой	формы. При
	2 ^ 42 функция Рг (2)			имеет мак­
Фиг. 18.3	симум	Рг = 0.224,	а	при 2 ^	65-

-опять минимум Рг =

0.187. В полу­

\

плоскости

0 == 7 2 я

взаимодействие

менее сильное. Экстремальные значе­

У

ния функция Рг (2) принимает при

больших, по сравнению

с

полупло­

\

скостью 0 =

0, значениях

ъ.

Мини­ 0.7

!

мум Рг =

0.177 при

ъ ^

23,

макси­

мум Рг — 0.225

при

2 ^

54,

второй

/1=1.0

минимум

Рг =

0.212

при

ъ ^

74.

В полуплоскости 0 =

я

при

значе­ 0.6

ниях

г ^

100 функция

Рг (г) имеет

два минимума и один максимум. Сле­

дует подчеркнуть, что даже при срав­

нительно большом значении коорди- °-5

наты

г, как

видно

на

фиг. 18.3,

5.0 /

вначения Рг еще не близки

к

асимп­

тотическим.

0.4

На фиг.

18.4

приведен

график

/

^#7

функции

Рг (0)

в

трех

плоскостях

1— —X—

2 = сопз!

для случая обтекания

ту­

------20

пого

конуса,

Моо = 7 ,

Рк =

15°,

0.3

а =

10°. Крестиками нанесены значе­

ния Рг для соответствующего остро­

го конуса. Для

острого конуса при

30

60

90

120

150

а <

рк внутри

промежутка

[0,

я]

Рг (0) или	вообще не имеет экстре­				Фиг. 18.4
мальных значений или имеет один
максимум	— в зависимости параметров Моо, рк, а			[15]. В рассматриваемом случае
функция	Р2 (0) для острого конуса не принимает			экстремальных значений внутри
промежутка [0, я]. Из фиг. 18.4 видно,		что при небольших значениях						г	(2 =	1.0)
		график функции Рг (0) для тупого конуса
		имеет обычный вид, т. е.					в полуплоскости
		0 = 0 Р2(0) имеет минимум, а в полупло­
		скости 0 = я — максимум. Затем при уве­
		личении 2 внутри промежутка [0, я]								обра­
		зуется один минимум, а потом минимум и
		максимум, причем при меньших значениях
		0 функция Р2 (0) имеет					максимум, а			при
		больших — минимум. При						дальнейшем
		увеличении 2 экстремумы, становясь все бо­
		лее	ярковыраженными, приближаются
		друг к другу			(по координате 0),				одновре­
		менно смещаясь к полуплоскости 0 =								я.
		На фиг. 18.5 приведено еще несколько
		примеров только что				описанного			эффекта
		в поведении функции Рг (0). На фиг. 18.5, а
		Моо = 1 0 ,		рк = 10°,		а =	10°; на фиг. 18.5,6
		Моо =	6, Рк =		25°, а =		10°; на фиг. 18.5, с
		Моо =	Ю, рк =		Ю°, а =		5°. На фиг 18.5, й
		верхние		графики		относятся		к	случаю
		Моо =	6,	рк = 25°,		а =	17°30',		а	ниж­
		ние — к случаю Моо= 6 , Рк= 15°, а=15°. На
	Ф„г# 18.5	фиг. 18.5,		Ь пунктиром нанесена функция
		Рг (0)	для		соответствующего				острого