книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

значениях 2. Отметим, что в этом случае поле давления не отличается качественно от представленного на фиг. 18.8.

Из фиг. 18.26 видно, что область минимального давления образуется над по­ верхностью конуса в плоскости симметрии течения (ртшп < 1.8). С увеличением зна­ чения 2 область минимального давления перемещается к поверхности конуса и рас­ полагается не в плоскости симметрии течения.

На фиг. 18.27 приведены изолинии числа М в плоскости 2 = 4, М« = 6, рк = = 15°, а = 15°. С подветренной стороны образовалась область с большими местными числами М (М >4.59). Сподветренной стороны, судя по характеру линий М = сопз!, энтропийный слой еще не образовался.

На фиг. 18.28 приведены изолинии М для этого же случая обтекания, но в плос­ кости 2 = 1 5 . Здесь, в отличие от 2 = 4, с наветренной стороны характер изолиний

2.5

5.0

7.5

Мпоказывает, что образовался энтропийный слой с большими градиентами числа

Моколо поверхности конуса. С подветренной стороны область больших чисел М воз­ росла, а значения чисел М увеличились до М ^ 5.4. Обратим внимание на то, что

числа М около поверхности тупого конуса в полуплоскостях 0 = 0 и 0 =			тспочти оди­
наковы.
На фиг. 18.29 приведены иэоэнтропы в	плоскости	2 = 6, М» =	6, рк = 10°,
ос = 15°. Характер изоэнтроп около тупого	конуса в	этом случае совершенно не

похож на характер изоэнтроп около острого конуса.

На фиг. 18.30 приведены изохоры в плоскости 2 = 5 , М» = 6, рк = 10°, а = 15°. С наветренной стороны плотность максимальна в некоторой точке полуплоскости 0 = 0. Минимальная плотность в сечении 2 = 5 наблюдается в этом случае тече­ ния в некоторой точке на поверхности тупого конуса, расположенной не'в полуплос­ кости 0 = я. Обратим внимание на область малой плотности. В течениях около ту­ пых конусов при а <: рк области с такой малой величиной плотности не возникают.

Фиг. 18.24

Фиг. 18.26

Фиг. 18.27

На фиг. 18.31 показаны изолинии М для того же случая обтекания, что и на фиг. 18.30, и в той же плоскости т,= 5. С подветренной стороны течения недалеко от удар­ ной волны образуется область с максимальными значениями чисел М. На поверхнос­ ти конуса в некоторой точке, расположенной не в плоскости симметрии течения, име­ ется местный максимум числа М, соответствующий точке с минимальной плотностью.

Таким образом, как видно из приведенных примеров, течение около тупых ко­ нусов при углах атаки, близких к углу полураствора конуса, имеет сложную струк­ туру, особенно с подветренной стороны. Вполне возможно, что при еще больших уг­ лах атаки (или при значениях я, больших тех, до которых нами проведены расчеты) с подветренной стороны течения образуются внутренние ударные волны. На возмож­ ность существования таких внутренних ударных волн около острых конусов при боль­ ших углах атаки обращено внимание в работе [196].

В заключение приведем изолинии в плоскостях ъ = 4 и ъ = 6 около цилиндра, имеющего сферическое затупление, Моо = 6, а = 10°.

На фиг. 18.32 приведены изобары в плоскости ъ = 4. В поле течения изобары образуют седловую точку. С наветренной стороны течения вид изобар подобен виду

			5.0	Е
			4.0 —
			3.0
			2.0
			1.0
			О
			1.0
			2.0
0.5	1.5	2.5	3.5	1.0	2.0	3.0

Фиг. 18.30

Фиг. 18.31

Фиг. 18.32

изобар около параболоидов. С подветренной стороны давление имеет малую величи­ ну. На фиг. 18.33 приведены изобары в плоскости 2 = 6. Из сравнения фиг. 18.33 и 18.32 следует, что седловая точка переместилась в направлении от цилиндра к удар­ ной волне. Абсолютный минимум давления в плоскости 2 = 6 расположен на поверх­ ности цилиндра (в предыдущем примере минимальная величина давления р =>0.9

находилась и в поле течения	и над поверхностью цилиндра). Изобары с наветренной
-стороны при переходе от 2 =	4 к 2 = 6'имеют один и тот же вид.

На фиг. 18.34 приведены изохоры в плоскости 2 = 6. Минимальная плотность в потоке около поверхности цилиндра наблюдается в той же точке, где минимально давление.

На фиг. 18.35 приведены изолинии числа М.

Сравнивая изолинии в поле течения около тупых цилиндров и тупых конусов (при а ^ рк), можно видеть, что с подветренной стороны течения они:подобны. При­ веденные в этом параграфе результаты расчетов показывают, что в некоторых слу­ чаях течение около тупого конуса даже на больших расстояниях от носка может очень сильно отличаться от течения около острого конуса. Более того, асимптотиче­ ский переход к последнему при 2 -> оо может не быть непрерывным. Это означает, что решение задачи об обтекании острого конуса путем расчета течения около тупого конуса до больших значений 2 очень трудоемко, а в некоторых случаях и вообще не­ возможно. Более эффективным и быстрым способом расчета течения около острого ко­ нуса является метод установления по 2 с использованием в качестве начальных дан­ ных рассчитанного ранее течения около острого конуса при близких значениях па­ раметров Моо и а.

§ 19. Расчет поля характеристик

Как уже было отмечено в § 16, практически невозможно хранить длительное время всю информацию, полученную при расчете трехмерного сверхзвукового течения около длинного тела. Это остается справедливым и для течений с двумя измерениями — плоских и осесимметричных. В то же время для изучения ряда эффектов нужен де­ тальный анализ всего поля течения. Это приводит к необходимости проводить в про­ цессе расчета, так сказать, динамическую обработку информации на каждом слое. Сюда относится вычисление различных контрольных величин — значений интеграла Бернулли, энтропии и других функций в заданных точках, а также нахождение то­ чек экстремума и координат линий уровня различных газодинамических функций. Обработка проводится на каждом слое непосредственно после его вычисления с по­ мощью специальной подпрограммы, не связанной с основным алгоритмом расчета течения. Аналогичным образом рассчитываются характеристики и другие линии в поле течения, определяемые дифференциальными уравнениями. При этом иногда оказывается необходимым несколько изменить управление основным процессом рас­

чета с тем, чтобы исключить возможность потери точности. Ниже	описывается ал­
горитм расчета координат характеристик одновременно с основным расчетом те­
чения.	системой уравне­
1. Дифференциальные уравнения характеристик. Исходной
ний в координатах Л является система

В - ^ - + ^	- | г + Г	= 0’	(19Л)
А = ЬЛ + ?г25,	В =	+	т|г35.

Матрицы 91 и 25 — функции Х\ %2У ц2, г\г — функции &, со, Р, Ои их производных.

.Можно считать, что все эти величины после выполнения расчета течения являются функциями ^ИТ).

По общему [правилу уравнение характеристики

в плоскости (^, л)

имеет вид;

<2|Д2Л =

Х-, где

Я — корень уравнения

или

Ве1 (4

- Я Я ) = 0,

(19.2)

ИеЬ {(Ьг -

Яц2) % + Яг -

ЯЛг) $} =

0.

(19.3)

Из (19.3) следует, что если

— Яцг ф 0» то

Бе1 { ^

— 33} = 0,

(19.4)

где V =

—( 1 г — ^Лг)/(&г — Ят|г).

Условие

ъг — Ят]г ф

0

означает,

что

мы пред­

полагаем

отсутствие

характеристик с Я =

^г/лг» т* е*

совпадающих

с ъ =

сопзЪ.

Если (19.4) выполнено,

то

V есть тангенс угла наклона характеристики в плоскости

г).

(19.4), получим

Раскрывая

Отсюда находим

[уи —у)2{(чи —V)2—с2(V2 +1)} = 0.

V -

( у 1 / М 2 —

1 +

в м ) / ( и У М 2 —

1 — 5у ),

(19.5)

где М2 =

(и2 +

гЯ)/с2; 5 =

0; —1; +

1, причем 5 = 0

соответствует линии тока, 5 =

= + 1

— характеристике

I семейства,

5 =

—1 — характеристике II

семейства.

Окончательно дифференциальные уравнения трех типов характеристик в плос­

кости

(I, Л) имеют вид

5

йЦйц =%(1, Т1)

=

(&л> +

+

Т]г),

(19.6)

определены формулой (19.5). В дальнейшем вместо индекса 5 над буквами мы

где V

0

-

+

0

-

+

5

будем писать: V , V ,

V ,

5» I» I и т. д. В частности, %(л) обозначает правую часть урав-

нения характеристики с индексом 5

| =

8

дифференциальное урав­

| (т|), а (19.6) есть

нение для этой функции.

2.

Формулы разностного интегрирования. Рассмотрим уравнение (19.6), в кото­

ром для простоты опустим индекс 5. Пусть уже известны значения функции | (г\)

при т] =

т]—1э Ло и нужно вычислить I (лх). Пусть т]0—

= Л1 — Л0 =

А. Обозна­

чим I

(%) = 6* и

| ^

^ = Я(|*, т]|) = Я*. Выпишем общую разностную формулу

Бх =

«-хБ-х +

<*о?о +

А

+

Р А

+

РА )

(19.7)

и подберем коэффициенты ал,

так,

чтобы при подстановке в правую часть

^'(л)

вместо Я разложения

^ по степеням

к

совпадало с точностью до А4 с разложением

I (ц) в ряд Тейлора в точке л =

Л-1* Вычислив ал и (3* и подставив их в (19.7), полу­

чим известную

формулу

Симпсона:

II =

и

+ (А/3) (А_х +

4Я0 +

Ях).

(19.8)

Схему (19.8) четвертого порядка точности целесообразно применять только, если функ­ ции очень гладкие. В других случаях более целесообразны двуслойные схемы второго и первого порядка

Б х = Б 0 +	(А/2)(Я0 + Я1),	(19.9)
Б х = Б 0 +	АЯ0.	(19.10)

При расчетах по формуле (19.8) или (19.9) для нахождения ^ приходится пользовать­ ся итерационным методом, так как искомое значение входит и в Я1т стоящее в правой части.

Окончательно получаем следующий алгоритм вычисления Пусть уже рассчи­ таны шаги п — 1, /г, п + 1, так что при т] = ц71""1, г]Ли т)п+1 можно считать известной любую функцию ср (5, г]). Если аргумент 5 не совпадает со счетной точкой на слое, то по 5 выполняется интерполяция по двум или четырем точкам; степень интерполяции указывается дополнительно.

Пусть для некоторой характеристики известны ее координаты 5П-1, 5П и соот­ ветствующие Я71"1, Хп. Вычисления проводятся в следующем порядке:

		|(1) =	е» + пхп,		=	х (|(1), ч**),
		1(2) = 1П+ ^Щ ) ^ П + Щ 9
		5(3) =	+	к {Хп~' +		4А,П+	Х&},	(19.11)
		^(4) =	^п-1 +	{*п -1	+	4 А» +	Х(3>},
5П+1 =	5(1)или 5(2) или 5(4) — в зависимости от дополнительного указания. В формулах
(19.11)	обозначено №*> =	А, (5(к), цп+1), т.е. эти значения X вычисляются на						(;п + 1)-м
слое всегда, но при разных 5-
При интегрировании уравнения для характеристики может оказаться, что ка­
кое-нибудь из значений		выходит за пределы изменения координаты 5» 0						5 ^ 1 -

В этом случае необходимо найти точку, в которой характеристика пересекает линию

5 = 0 или | =	1. Порядок вычислений следующий. Если оказалось, что для какого-
нибудь к	1 или	0, то проводится дополнительный расчет (п + 1/2)“га

слоя с шагом к)2. Затем решается уравнение для обратной функции ц (|), начиная

с 571 и кончая | = 0 или 5 =	1, в зависимости от того, какой случай имеет место.
Уравнение для ц (5)	=	[X (5, ц)]”1 решается по схеме (19.9), т. е. вычис­
ляется только ц(2) для значений 5", | те> 6т+1, .... 1м или 5П, | т , 1т^			... , 50, где | т —
ближайшая целая точка по 5 к 5П (с соответствующей стороны).
Значения функций при	лп <	Л ;< Лп+1 вычисляются интерполяцией по трем зна­
чениям лп, Лп+,/а7 Лп+1* Таким образом, находим искомую точку л =			Л (^м).
Другим особым случаем является такой, когда начальная точка характеристики

задана	при 5=0 или при5 = 1 ,ноне обязательно при целом гс, т. е. между слоями п и
п + 1.	В этом случае также необходимо рассчитать слой п + х/2 и проинтегрировать,

уравнение по л от начального до лп+1- Предполагается, что начальное значение л заключено между г\п и т]п+1.

Оба особых случая возникают, когда нужно рассчитать «отражение)) характе­ ристики от поверхности тела или ударной волны. В этом случае нужно из точки пере­ сечения падающей характеристики выпустить характеристику другого семейства. Дело в том, что на поверхность тела (5 = 0) могут приходить только характеристики II семейства, а отходить — только I семейства. На ударной волне положение обрат­ ное.

§ 20. Структура осесимметричного течения в сверхзвуковой области

1. Методы изучения структуры течений. Общая качественная картина обтекания ту­ пого тела, включающая в себя головную волну и ограниченную ею область возмущен­ ного течения, хорошо известна из эксперимента и физических соображений. Исполь­ зуя законы сохранения, можно сделать и некоторые дальнейшие выводы относитель­ но характера течения внутри возмущенной области. Так, из переменности угла наклона ударной волны вытекает переменность энтропии в потоке и образование энтро­ пийного слоя вблизи поверхности тела. Подобные общие соображения не дают, одна­ ко, возможности получить полное представление о сложной и многообразной струк­ туре течения во всех ее деталях. Повышение уровня техники эксперимента в ряде слу­ чаев позволяет обнаружить новые качественные детали течения, а иногда получить, и надежные количественные данные [197, 199—204].