книги / Управление колебаниями
..pdf§21 |
ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ |
91 |
|||
|
Функцию / считаем линейной по и вида |
|
|||
|
/(т, |
х, х, н ) = / 0(т, я, x) + D{x)u, |2Хт)1 > D 0>0. |
|||
|
Рассмотрим следующие постановки задач оптималь |
||||
ного управления |
т |
|
|||
|
|
|
|
|
|
A . |
М |
< о о , |
/ « / * - 2 * 1 2 1 + 8 j * G ( T ) u * d f , |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
т |
|
Б. |
|н|<оо, |
а(Г) = в*, |
/= е | £ (т ) г Л « ; |
(2.2.53) |
|
B. Ы <М о, |
/ = ± V 2a2( n |
|
|
||
|
Здесь r ^ Q e - 1, /с > О, |
G0 > 0 , a * > 0 , 0 > |
0 — посто |
||
янные; |
G(T), |
D ( T ) — заданные функции. В вариантах А, |
Б ограничения на управление отсутствуют, а в вариан тах А, В отсутствуют краевые условия. Функция Га мильтона для задач А, Б имеет вид
II = qv + бл!-1(н + Du)w — sGu2,
и(т, a, ф) = /о — av' cos ф, |
(2.2.54) |
w(a, ф, p, q) = p cos ф — qar1 sin ф. |
|
Функция H из (2.2.54) максимальна по и при |
|
и* = i/2v~4x)D{x)wia, ф, р, q)G~l{х). |
(2.2.55) |
Исходная краевая задача принципа максимума вида (2.2.9), (2.2.10) для вариантов А, Б из (2.2.53) описы вается уравнениями и краевыми условиями
• |
EV |
, . |
eD*w |
|
, |
|
|
|||
и а = |
----СОвфН-------соэф, |
|
|
|
|
|||||
|
v |
т |
|
2V2G |
|
|
|
|
|
|
ib = |
v — — |
sin ф --------„— sin ф, |
|
|
||||||
1 |
w |
|
|
1 |
av*G |
|
4 |
|
|
|
• |
e |
/ |
dv |
, |
D2q |
|
. |
. \ |
zqv . . |
|
p = |
|
|
*r + |
^ |
sin,i,) “’ - |
^ |
sini1’’ |
|||
■ |
а |
d |
( |
|
. _D*iV \ |
|
|
|
||
* = — Т Щ \ иш+ - Я |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4vG ) |
|
|
|||
a (0) = |
a°, |
ф (0) = |
ф°, |
q(T)= 0, |
|
|||||
Л. p(T).= — ka(T), |
Б. |
|
a{T) = a*. |
□ (2.2.5G) |
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ 1ГЛ. 2
Переходим к построению решепия первого прибли жения, которое дает качественную картину процесса уп равления и обеспечивает ошибку порядка в на большом интервале времени. Соответствующая (2.2.56) усредиепная краевая задача первого приближения имеет вид (см. 2.2.22), (2.2.27))
£ |
- 4 |
|
л .<т. в - 4 |
- |
й |
+ |
- £ 5 -1ь ««>) = |
«•. |
||
|
<h) |
1 |
H I |
^/0c(T-S)l |
p - 0 , |
(2.2.57) |
||||
|
dx |
v L2 |
|
01 |
|
Jil, |
||||
|
A. |
41 (0) =* T|° — — At (0), |
Б. UQ) = a*. |
|
||||||
Здесь- I, |
т|, p — усредйеииые |
медленные переменные; |
||||||||
в обозначениях |
н.п. 2—4 |
имеем S0o = т0 = 0 , |
поэтому |
|||||||
т== 0. После |
решения краевой |
задачи |
(2.2.57) для пере |
|||||||
менных |
ц усредненная фаза ср находится квадратурой |
|||||||||
согласно (2.2.25)—(2.2.27) |
|
|
|
|
|
|
||||
ф = Ч>° -Г |
4 - 1 v <т') |
- |
J А» <*'■5 (*')) т 4 т ' |
(2.2.58) |
Оо
В(2.2.57), (2.2.58), обозначено
2Я |
|
|
f e } = ^ .f |
( т ’ 5 sin 1|’ ’ |
C0S ^ {sta ф} d ,l’ - <2 -2 -59) |
Отметим, что интегрирование уравнений (2.2.57) сво дится к квадратурам, если их правые частя не зависят от т. Решение краевой задачи (2.2.57) находится пол ностью также в случае, когда функция / 0с линейно за висит от Тогда уравнение для переменной т) линейно по rj и не содержит |. Его решение находится явно квад ратурой и подставляется в линейное уравнение для которое интегрируется в квадратурах.
Приведем решение краевой задачи (2.2.57) для част ного случая
/о = - 2%х + цх3, |
v, %, |
ц = |
const, D = G = |
I . |
В соответствии с (2.2.54), (2.2.59) имеем |
|
|||
/ос = - Ш |
, |
/о, = |
(3/8)jx£3. |
(2.2.60) |
§21 |
ЗАДАЧИ |
С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ |
93 |
||||
Подставляя (2.2.60) в (2.2.57), интегрируя п удов |
|||||||
летворяя |
начальному условию |
(2.2.56) |
для а, |
получим |
|||
£(т) = ( а°------ К - с~уА |
е-к -[- - 4 |
- <?-*< |
|
||||
|
\ |
8v“x |
) |
|
8V7, |
(2 .2 .6 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц (т) = ц°е-х(0-т)} |
р = 0. |
|
|
|||
Здесь параметр т|° определяется пз условий на пра |
|||||||
вом конце (2.2.57). Для задачи Л имеем |
|
|
|||||
|
11° = - |
[l |
-1- -^ г- ( 1 |
- |
|
(2.2.62) |
|
Рассмотрим решение (2.2.61), (2.2.62) для задачи А. |
|||||||
Так как |
lim ц° = — Sv2xa°c-x0 ( 1 |
— е~0-™), |
(2.2.63) |
||||
|
|||||||
|
7t->со |
|
|
|
|
|
|
то пз краевого условия' (2.2.57) для т) получим |(0 -► 0
при к |
+ ОО. |
|
|
Для задачи Б параметр 1]° в решении (2.2.61) опре |
|||
деляется |
из условия. £(0) = а* |
(см. (2.2.57)). |
Получим |
|
= 8v2%(a* - а°е-*в)(1 - е-2*0)-1. |
(2.2.64) |
|
Отметим,-что значение г)°-пз |
(2.2.64) при а* = 0 рав- |
||
ио пределу (2.2.63) для задачи А. |
|
|
Усредненная фаза управляемых колебаний для задач
А, Б согласно (2.2.58), |
(2.2.60) |
представляется |
в виде |
i |
|
|
|
TJ,(t) = ,|,o -f- j'Q (ef')d f', |
Q (t) = |
v - ^ K -r (T ), |
(2.2.65) |
О |
|
|
|
где Q ( T ) имеет смысл возмущенной частоты. Оптимальное программное управлений в силу (2.2.29),
(2.2.61), (2.2.65) равно
ц * = с -х(е -т) cos (р (t). (2 .2 .66 )
Для определения управления (в форме синтеза сог ласно п. 3 в (2 .2 .6 6 ).. нужно подставить выражение (2.2.62) шш (2.2.64), в которых ‘нужно сделать замены 0 на 0 — т, д° на а, а также ф(*) иa i|>.
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2
Минимальные значения функционала / для постано вок А, Б в соответствии с (2.2.53), (2.2.66) равны
а -
|
|
|
(2.2.67) |
Б - |
” |
>• |
|
Как следует из (2.2.62) — (2.2.64), |
величины |
(2.2.67) |
|
для задачи А |
(при А->- «>) и для задачи Б (при |
а* = 0) |
|
совпадают. Таким образом, задача А |
при к ->• °° |
эквива |
|
лентна задаче Б для а* —0. |
|
|
|
Рассмотрим задачу В (2.2.53). Гамильтониан системы |
|||
(2.2.52) |
H =qv + ev_1 (i> + Du)w |
|
|
|
|
||
максимален по и, Ы < п 0, при |
|
|
|
|
и* = uQsign w. |
|
(2 .2 .6 8 ) |
Максимальное значение функции Гамильтона равно (функции v и w определены в (2.2.54))
Н* = qy + ev~4vw + DuQ\w\).
Начальные и граничные условия (2.2.10) соответст вующей краевой задачи принципа максимума имеют вид
а(0) = а°, |
*ф(0) = ф°, |
р(Т) = та(Т), |
q{T) = 0. (2.2.69) |
||
Выпишем усредненную краевую задачу (2.2.22), |
|||||
(2.2.27) для случая В. Используя формулы |
(2.2.69) и вы |
||||
полняя усреднение, получим |
|
|
|||
dx |
v |
|/ос С*, i) ~2 " ^ + "5Г ^ U° |
’ |
||
|
_ 1 |
Г v' |
dfQC(т, |) ] |
|
(2.2.70) |
dx |
v |
[ 2 |
Щ |
|
|
|
|
||||
|(0 ) = а ° > 0 , |
rj(0 )=-=F(g(0 )f |
р = |
0 . |
Здесь усредненная амплитуда неотрицательна, !|^0 (см. (2.2.51)). Оптимальное управление (2 .2 .6 8 ) с учетом равенств (2.2.54) и соотношений р = ц, 5 = 0, ф = ф» справедливых в первом приближении, равно
и * = п0sign [т|(х) cos (p it)]. |
(2.2.71) |
I Я ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 95
Как следует из вида уравнения (2.2.70) для rj, функ ция цСт) знакопостоянна при £(0 ) Ф 0 .
Для анализа краевой задачи (2.2.70) отметим следу ющее свойство функции /ос из (2.2.59), вытекающее из
требования гладкости функции / 0(т, х, х) н замены пе ременных (2.2.51). Это свойство заключается в том, что /ос ~ I при всех т и достаточно малых |. Отсюда следу ет, что знак правой части первого уравнения (2.2.70) при малых | определяется знаком тр
Опираясь на это свойство, исследуем решение крае вой задачи (2.2.70) для функционала В из (2.2.53). Сна чала рассмотрим случай знака «—» в функционале, от вечающий максимизации амплитуды колебаний, и по кажем, что при этом краевая задача (2.2.70) удовлетво
ряется при |
т)(в )> 0 . |
В этом случае 1](т) > 0 |
для т е |
|||
е [ 0 , 0 ], и |
правая |
часть |
первого |
уравнения |
(2.2.70) |
|
положительна по крайней мере для малых |
что |
обес |
||||
печивает положительность |
|(т) при всех т е [0, 0 ]. |
Так |
||||
как £(0) > |
0, то краевое |
условие |
(2.2.70) ц(0) = |
|(0) |
удовлетворяется за счет нормировки функции TJ( T ). Та ким образом, усредненная оптимальная траектория £(т)
определяется |
как |
решение задачи Коши для |
первого |
|
уравнения (2.2.70) |
при |
sign т] = 1. Оптимальное управле |
||
ние (2.2.71) |
имеет |
вид |
и * = щ sign cos <p(i) или |
в форме |
синтеза —и* = и0sign х. |
в функционале (2.2.53) |
отвечает |
||
Случай знака |
«+ » |
минимизации амплитуды колебаний. Предположим сна
чала, |
что |
в конце процесса |
£ (0)> О . Тогда |
из (2.2.70) |
|||
имеем |
т|(0 ) < 0 и, |
следовательно, |
т)(т) < 0 |
для |
всех |
||
т е [0 , |
0]. |
Краевая |
задача |
будет |
удовлетворена, |
если |
решение задачи Коши для первого уравнения (2.2.70) при sign rj = — 1 обладает свойством £(т) > 0 для всех т<=[0, 0]. В этом случае оптимальное управление имеет
вид и* —— UQsign cos <p(i) или и* = — щ sign х при всех т <= [0, 0]. Если же при подстановке sign ц = — 1 в пер вое уравнение (2.2.70 ) получим, что ||(т*) = 0 в неко торый момент т* е (0 , 0 ), то имеем случай особого уп равления: здесь t)sO на части интервала движения, на которой оптимальное управление и* из (2.2.71) не опре делено. В этом случае достигается абсолютный (нуле вой) минимум функционала первого приближения
9fi УПРАВЛЕНИЕ КВЛЗШПШЕШШМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
h = % 12(0) = 0. В качестве функции sign i] в первом уравнении пз (2.2.70) можно взять произвольную кусоч
но постоянную |
функцию |
такую, |
чтобы решение £(т) |
|||
удовлетворяло |
условию |
|(0)= О , |
например, функцию |
|||
sign л (т) = |
Г— J, |
0 < т < т * , |
(2 .2 . / 2 ) |
|||
| |
Q- |
т* < х <^0- |
||||
Оптимальное |
управление, |
реализующее |
абсолютный |
минимум функционала, неедипствеппо и может быть взя то в виде (212.71), (2.2.72).
Отметим, что исследование других задач при полгогцп развитой в § 2 методики содержится в- § А главы 2 ,
атакже в главе А.
§3. Задачи типа оптимального быстродействия
1.Постановка задач оптимального управления с не фиксированным временем. Рассматривается, задача опти мального .управления системой в стандартной форме с вращающейся фазой типа (2.1.6). В отлично от поста новки задачи § 2 будем считать, что момент окончания процесса Т не задан, а выбирается из, условия достиже ния фазовой точкой многообразия, задаваемого . соотно шениями
Л/(т, о)|/=т = 0, М =Ш \У..., Л/,), |
(2.3.1) |
В качестве мпппмпзпруемого функцпопала возьмем скалярную функцию конечного значения медленных перемеппых
J = g(r, a) |(=rT-*-min. |
(2.3.2) |
|
иен |
|
|
Ограничения па* управление имеют |
тот же |
вид, что |
п в §§ 1, 2. Отметим, что расширением размерности век тора а к виду (2.3.2) приводится интегральный функцио нал типа (2.2.2). В частности, если многообразие (2.3.1) имеет вид а(Т)—а*, где а*— заданный вектор, a g = T, то получаем задачу максимального быстродействия в за данную точку по медленным переменным. Существенным предположением в рассмотренных постановке явлйется отсутствие зависимости функций М н g от быстрой пе ременной — фазы ф. Это допущение естественно п обыч но удовлетворяется в прикладных Задачах с малыми yrf-
§3] ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 97
равняющими воздействиями. При такой постановке вре мя быстродействия, как правило, имеет порядок = 0е-1 ~ е -1, что позволяет применить метод усреднения
аналогично § 2. Заметим, что так как для квазилиней ной системы (2.1.6) фаза ф определяется с той же сте пенью точности, что и медлеипыи вектор а, то принци пиально предлагаемая пшке методика позволяет рас сматривать случаи, когда функции M u g зависят от ф. Однако в этом случав может иметь место большое число (~ е-1) точек пересечения фазовой траектории а, ф с многообразном (2.3.1), что затрудняет решение. Сделан ное же выше предположение приводит к тому, что число этих точек не зависит от е при е 0.
Предположим, что решение задачи оптимального уп равления (2.1.6), (2.3.1), (2.3.2) существует п единствен но. Выпишем соответствующую краевую задачу принци па максимума, аналогичную (2.2.9), (2.2.10)
|
■ |
а = |
е/* (т, а, ф, р, д), |
|
|
||||
|
|
ф = |
v (т) -f BF* (т , а, ф, р, д), |
|
|
||||
|
Р |
|
dh* |
• |
|
dh* |
|
|
|
|
6 |
da * |
q |
|
6 0 ф » |
|
|
||
a{t0) — а°, |
\\)UQ) = ф°, |
Mix, а) Iг = 0, |
|
||||||
Р (т) = |
-к № 'М )-е )Ъ , |
|
9(Т) = 0. |
□ |
(2.3.3) |
||||
Здесь функция h* определяется соотношением |
|
||||||||
max II = |
max {gv |
|
е [(р, /) + |
gF]} = gv + |
eh*, |
(2.3.4) |
|||
иеи |
usи |
|
|
|
|
|
|
|
|
а максимальное значение II* в конце интервала удовлет |
|||||||||
воряет равепству |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я »[т = |
е А |
[ г _ ( х , а д т. |
|
(2.3.5) |
|||
Будем считать, что функция (2.2.4) |
|
|
|||||||
|
|
и* — и(т, |
а, ф, |
р, |
д), |
|
(2.3.6) |
||
определяемая |
соотношением |
(2.3.4) |
и периодическая по |
ф с периодом 2л, является достаточно гладкой, так что правые части стандартной системы (2.3.3) удовлетворяют
7 Ф. л . Черноусьно, Л. Д. Акуленко, Б. Н, Соколов
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ 1ГЛ. 2
условиям применимости |
метода усреднения. |
Равенство |
|||||||
(2.3.5) |
замыкает совокупность начальных |
и |
краевых ус |
||||||
ловий для определения неизвестных параметров задачи. |
|||||||||
Таковыми являются |
2(н + 1) постоянных |
интегрировав |
|||||||
ния системы (2.3.3), /-вектор X и оптимальное время Т |
|||||||||
окончания процесса управления. |
|
|
|
|
|
||||
2. |
Построение канонической усредненной системы. Со |
||||||||
гласно |
равенствам |
(2.2.7) |
система дифференциальных |
||||||
уравнений (2.3.3) имеет гамильтонову форму, |
и |
к |
ней |
||||||
дословно применима методика канонического усредне |
|||||||||
ния § 2. В результате се применения для коэффициен |
|||||||||
тов разложений производящей функции S = (а, т]) + “фр+ |
|||||||||
+ еа и |
соответствующего |
усредненного |
гамильтониана |
||||||
Я = ур + ей(т, 1, г), |
Pi е) |
получаются |
явные |
выражения |
|||||
(см. (2.2.13), (2.2.15), (2.2.17), (2.2.19)). |
Таким образом, ка |
||||||||
ноническое преобразование |
(2.2.11) от |
исходных |
а, |
+, р, |
q к новым (усредненным) переменным |, <р, т), р может быть построено с любой степенью точности по малому параметру, ограничиваемой лишь гладкостью правых ча стей системы (2.3.3).
Рассмотрим кратко процедуру построения решения краевой задачи (2.3.3), (2.3.5). Для этой целы выпишем усредненную систему (2.2.20) с краевыми условиями
■ Ж = 4ч к М . Ч . М . i(9o) = i°.
Tig = — -Д- * ("t. I. Ч. Р. е), 11(в) = Л°,
«Г = |
+ ~ g g k ( x , t , r \ , $ , |
6)i |
ф(0о) = |
Ф°. |
|
Р = const* 0 = |
zt. |
□ |
(2.3.7) |
Задавшись желаемой точностью, ограничимся в раз ложении функции к в (2.3.7) нужным числом членов (см. § 2). Степень точности j для сокращения записи не указывается.
Пусть решение краевой задачи (2.3.7) задано в виде
ё = I (0, 011°, 'П°| р, 8), Т] = Т) (0, 0,£•, Г)°, р, е),
0 |
(2.3.8) |
|
9 = 9° + J [ Ц 1 + -щ к (т', 1 , 11, р, е)] dff. |
||
|
0П
§ 31 ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
Преобразование от переменных (2.3.8) к исходным переменным a, i|), р, q с нужной степенью точности, по параметру е представим в виде (подобном (2.2.40), (2.2.44))
а = ! + еЖт, 1, ф, г\, р, б ),
р = “П +еР(т, |, ф, 11, р, е),
(2.3.9)
1|) = Ф + ехР(т, g, ф, т], Р, е),
q = р + е<?(т, %, ф, Т], р, е).
Здесь Л, Чг, Р, () — известные достаточно гладкие функции, 2я-псриодические по ф.
Подставляя выражения (2.3.9) в начальные и краевые условия (2.3.3), (2.3.5) и учитывая уравнения (2.3.7), которым удовлетворяет решение (2.3.8), для определения неизвестных параметров |°, ф°, т]°, р получим систему
■ | ° + бЖ т 0, |
| °, |
ф°, г|(0о), р, б ) = |
а? |
( л ) , |
|
Ф ° + |
еЧ; (т°, |
|°, |
ф°, т|С0о), Р, б ) = |
ч|)0 |
(1), |
М(т 01 |(0 + |
еЖ те, £(0), |
ф(0), Ti°, Р, е)) = 0 |
(О, |
||
11° + бР (т0, 1 (0), |
ф (0), т]0, Р, е) = 4^ [(&• V) —ё]в |
(л), |
Р + е0(тв,5(0),ф(в), Л°, М ) “ 0 |
( 1 |
), |
|
jff* le = в |
Iff— (х, Л01в |
( 1 |
) , |
т = 0 + |
т0 <= [т°, те]. |
□ (2.3.10) |
Здесь у функции (2.3.8) указана зависимость лишь от первого аргумента. В скобках в формулах (2.3.10) указа но число соответствующих скалярных уравнений.
3. Краевая задача первого приближения. Как и в § 2, решение задачи произвольного прпблпжеппя строит ся сравнительно просто па основе решения первого при ближения. Поэтому пиже рассматривается, в основном, первое приближение.
7 *
100 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
Краевая задача первого приближения описывается соотношениями, аналогичными (2.2.24) — (2.2.27)
э | — |
< / ! > ( * . Ьл). |
!(9„) = < |
Л / ( Т е , 1 |
(0)) = |
0 , |
|||
U = |
— щ 0), </.*> (*, I, Л)). |
Л” = щ [(X, М) - |
gle, |
|||||
■ |
| |
= - ^ + |
< <> (т,5,Л ). |
<р(0о) = |
Г . |
Р = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.11) |
Здесь |
функция |
</J> равна |
</*>(т, |
£, |
ц, |
[5) при |
||
Р = 0, а именно |
|
2rt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
</.’ > = |
-Й |
J /* (*. I |
Ч>. Л, 0) *|>. |
|
(2.3.12) |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
Аналогично (2.3.12) определяется функция </^>. Пусть для заданного значения 0 решение краевой
задачи первого приближения (2.3.11) построено и един ственно
| = |(0, 0), т]= т](0, 0), |
р = 0, ср = |
Ф(0, |
0, е). |
(2.3.13) |
|
Здесь функция ф определяется квадратурой аналогич |
|||||
но (2.2.26), (2.2.27). |
задачи |
(2.3.11) |
определяются |
||
При решении краевой |
|||||
также параметры т|°(0), 7,(0), р = 0. |
с |
решением |
первого |
||
Исходные переменные |
связаны |
приближения (2.3.13) соотношениями (см. (2.2.15))
а = | + 0(e), р = “п + 0(e), ij) = ф + 0(e), q = 0(e).
I |
(2.3.14) |
Для определения неизвестного параметра 0 подста вим в последнее краевое условие (2.3.10) гамильтониан (2.3.4) и выражения (2.3.14)
(Л°(0), /*(*е, 1(0, 0), Ф(0, 0, е), 1]°(0), 0)) + 0 (e) =
= 7 ^ - U Ы , 1(0, в ) ) - ( Ц в ) , Л /(тв, 1(0, 0)))1. (2.3.15)
Рассмотрим сначала приближенное уравнение, полу чающееся из (2.3.15) после отбрасывания членов 0(e).