книги / Управление колебаниями

§ 3J ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ Ю1

Покажем, что это трансцендентное относительно 0 урав­ нение допускает много корней. Их число при некоторых до­ полнительных предположениях стремится к бесконечности как в-1 при в —»-0, а расстояние между соседними корня­ ми порядка е.

Рассмотрим уравнение (2.3.15), в котором	отброше­
но слагаемое (9(e), и функция /* заменена на	</J> из

(2.3.12). Предполоягам, что такое уравнение допускает

простой	вещественный корень 0 О, и			перепишем уравне­
ние (2.3.15) без члена 0(e) в виде
О]”, </;>)e - ^		u? -	<я, м ) и = -	( < /* _	</0*>)е.
					(2.3.16)
Здесь аргументы для краткости не указаны (см.
(2.3.15)).	Правая	часть	уравнения	(2.3.16)	как функ­

ция 0 является вследствие зависимости от ф (см. (2.2.26), (2.2.27)) быстро осциллирую­ щей с частотой ~ в-1, с амп­ литудой порядка единицы и с малым средним ~ в. Так как функция аргумента 0, стоящая в левой части урав­ нения, по предположению обращается в нуль при 0 = = 0о, то отсюда следует спра­ ведливость сделанного вы­ ше утверждения о поведении корней уравнения (2.3.16).

Изменение правой (осцил­ лирующей) и левой частей

уравнения (2.3.16) как функций 0 представлено на рпс. 2.2.

Рассмотрим теперь исходное уравнение (2.3.15) с учетом члена 0(e). Так как по предположению корень 0о усредненного уравнения —■простои, то учет членов порядка в приведет к изменению корня во на величину также порядка в. Поэтому установленные свойства кор­ ней справедливы н для точного уравнения (2.3.15). От­ сюда следует неединственность решения краевой задачи принципа максимума.

102 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

Отметим, что искомые корпи 0 уравнения (2.3.15) определяются с достаточной для построения первого приближения погрешностью 0(e), если член 0(e) в этом уравнении опустить. Решение задачи оптимального уп­ равления может быть получено из условия минимума приближенного значения функционала (2.3.2) по множе­ ству корней уравнения (2.3.16)

	/J — min ^ (те, £(0, 0)),	т© = 0 4-тго.	(2.3.17)
Условие (2.3.17) служит для		определения	парамет­
ра 0 в решении первого приближения.
4.	Определение параметра	0. Не уменьшая точности
по медленным переменным и функционалу, величину 0,
как и другие величины, достаточно определить с погреш­
ностью порядка е. Тогда допустимое множество значений

{0} можно считать непрерывным, потому что в е-окрост- ности любого такого значения, как установлено в п. 3, находится корень точного уравнения.

Перепишем уравнение (2.3.16) в виде
(л". </о>)е — я и - №. Щ е + V (Те) и =		0. (2.3.18)
Здесь правая часть уравнения (2.3.16) заменена сла­
гаемым V (T 0) X . В уравнении (2.3.16) эта	правая часть
была быстро осциллирующей функцией 0	с	амплитудой

порядка единицы и малым ( ~ е) средним. Далее, учи­ тывая отмеченную возможность выбора 0 из непрерыв­ ного интервала, можно считать х не зависящим от 0 параметром, принимающим значения в интервале [xi, хг), включающем точку х = 0. Не нарушая точности, бу­ дем поэтому рассматривать уравнение (2.3.18) как связь между параметрами 0 и х и искать минимум функциона­

ла (2.3.17) при условии (2.3.18). Считая		0	функцией	х,
потребуем, чтобы	величина фунционала	/ 0	(2.3.17)	до­
стигала минимума по х е [хь у,2]
Jo (*) =	8 Ы (х), I (0 (х), 0 (х)))	min. (2.3.19)
	далее, что функция Jo		X
Предположим		из	(2.3.19)	яв­

ляется гладкой. Тогда необходимое условие минимума имеет вид

dJ0 (х) =	\де , ( дв	di(в,	в))]	ю_ = 0	(2.3.20)
dK	L0т ’M as’	dQ	/Je(x) At

§ 31

ЗАДАЧИ ТИПА

ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

ЮЗ

Пусть

соотношение

(2.3.19)

между

© п н

осущест­

вляет взаимно однозначное соответствие, т. е.

£

- ( ж )-1 -+ {* [ (ч * * < й > ) -

й - + ( v £ ) ■-

-

v i

foi". <

/

»

*

»

-

£

+

(2.3.21)

G учетом (2.3.21)

условие (2.3.20) приводится к виду

^о(в)

i l l

, f d g I

d l ( Q , Q ) \

(2.3.22)

~ Ж ”

=

+

d0

j

’

f>'o(0) =

S(*e,S(®, ©)).

Так как согласно (2.3.11)

ж | в

=

4"

1^ ’

то для искомой производной (2.3.22) имеет место пред­ ставление

^ £ L - - g | e - ( n * . < / : » . + | е % ^ ) (2-3.23)

Подставим в правую часть (2.3.23) выражение для (т|°, </о>)е» определяемое уравнением (2.3.18)

		M o(©) = ^ (i:e ,| (0 , ©)).
Согласно		(2.3.11)	Жо(0) = О тождественно			по 0,
поэтому	dM[a/d® = 0.		В	результате	для производной
(2.3.22)	находим выражение
		£о (© ) =		V (T 0 ) и .		(2.3.24)
С учетом		(2.3.24)	необходимое		условие минимума
(2.3.20) имеет вид
		/ ^ (* ) =	© ' (W) V (T 0) X =		0.	(2.3.25)

Здесь функции ©(и) и т0 = 0 + то определяются из уравнения (2.3.18). Так как V > VQ> 0, то на основанпи

104	УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

предположения (2.3.21) из (2.3.25) следует, что х = 0 является точкой возможного экстремума для Jt. При условии

0'(О) > 0			(2.3.26)
значение у. = 0 — точка локального		минимума	функции
Л ) Ы .	(2.3.25),	запишем	условие
Пользуясь выражением
глобального минимума функции 7оЫ) в точке х = О
и
/ » (х) - /о(0) = JV (0 (*') +	Т.) - ^ 1	x'dx’ > 0.	(2.3.27)

О

Полученное неравенство может быть преобразовано при помощи соотношения (2.3.18), заннсаипого следую­ щим образом

- р(0(х)) + v(0(x) + то) = 0,	(2.3.28)
р (®) - [J? - (*• З г ) ~ (’1"- </!>)]..	- * (в)-
При помощи равенств (2.3.28) неравенство (2.3.27)
может быть записано в виде
еJ p (0 ')d 6 '> O .	(2.3.29)
6 ( 0)

Здесь функция р(0) известна, если построено решение краевой задачи (2.3.13) первого приближения для всех 0. Через 0(0) обозначен корень уравнения (2.3.18) для

х= 0.

5.Заключительные замечания. Если условие (2.3.29) выполнено, то 0(0) является оптимальным значением мо­ мента окончания процесса управлепия в первом прибли­ жении. Тем самым завершается процедура построения оптимального решения первого приближения для случая гладких систем. Алгоритм решения задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи (2.3.11) относительно 2п переменных £, ц на ограниченном ин­

тервале изменения независимой переменной 0 е [ 0 о> @(0)]. С погрешностью О(е) минимальное значение функциона­ ла (2.3.2) равно (2.3.19) при х = 0, а оптимальное управ­ ление получается подстановкой найденных выражений (2.3.13) для а = |, т|) = ф, р — т], q = 0 в функцию (2.3.6).

§ 3]	ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ			Ю5
от	Как отмечалось ранее, если функция		</0> не зависит
	т, то интегрирование	канонической	системы (2.3.11)
значительно упрощается,		так как она	консервативна и

имеет первый интеграл к0 = (ц, </®> (£, rj)) = const. Ре­ шение задач оптимального управления колебательными системами с одной степенью свободы в этом случае при­ водится к квадратурам. Если же фупкции g и М не зави­

сят	от т, то 0 — корень уравнения ко= 0 при 0 = 0(и).
При построении более высоких приближений допусти­
мые	значения 0 образуют, вообще говоря, дискретное

множество (0). В этом случае оптимальное значение 0 находится из условия минимума функционала (2.3.2), вы­ численного с соответствующей точностью, по дискретно­ му множеству (0).

Как отмечалось выше, решение краевой задачи прин­ ципа максимума для высших приближений строится при фиксированном значении 0 аналогично § 2 на основе первого приближения. Постоянные интегрирования опре­ деляются в виде разложений (2.2.47) из краевых условий типа (2.2.46).

При построении оптимальных управлений в §§ 2,3 предполагалось, что функция и* из (2.2.4) или (2.3.6) оп« ределястся условиями (2.2.3) и ли (2.3.4) однозначно и является достаточно гладкой 2я-исрподической по “ф функцией. При этих предположениях возможно примене­ ние известных схем усрсдпопия по быстрой фазе *ф, что привело к упрощению краевой задачи принципа макси­

мума.

Задачи оптимального управления с ограничениями на управляющую функцию и впда и е U часто приводят к разрывным (в частности, релейным) функциям времени. В этих случаях значения и в моменты разрывов опреде­ ляются неоднозначно. Наличие разрывов у правых частей уравнений принципа максимума ограничивает примени­ мость метода усреднения. Усреднению систем с разрыв­ ными правыми частями посвящены работы [188, 244].

Изложенная в §§ 2, 3 методика формально может быть использована также и в задачах с разрывными уп­ равлениями (для построения первого приближения). Ос­ новная трудность при этом связана с возможностью осо­ бых или скользящих управлений, которые требуют спе­ циального рассмотрения. Один из таких примеров

106	УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2

рассмотрен вп.5 § 2. Ниже будут приведены асимптоти­ ческие решения ряда других задач с разрывными опти­ мальными управлениями.

6. Управляемая колебательная система с одной сте­ пенью свободы. Рассмотрим некоторые постановки задач оптимального управления колебаниями квазилинейной системы (2.2.50), приведенной к стандартной форме (2.2.52). Как и в п. 5 § 2, рассматривается случай линей­

ной по и функции / = /о(т, я, x) + D(x)u. Коночное мно­ гообразие (2.3.1) будем задавать в разрешенном относи­ тельно амплитуды колебаний а виде

Д/(т, а) = а—а(т), а(т) ^ ао > 0.

(2.3.30)

Здесь а(т) — заданная функция. Возьмем интеграль­ ный критерий качества управления

т

/	=	в J [у (т) +	G (т) и2] dty	(2 3 31)
т =	et,	у > у0>	0, G> G0>	0.

Первый член в функционале (2.3.31) учитывает поте­ ри времени, а второй характеризует расход ресурсов уп­ равления. Введением дополнительной медленной пере­ менной 6, изменяющейся согласно уравнению

Ъ= в['у(т) + G(T)U2],	6(0) =	0,	(2.3.32)
функционал (2.3.31) приводится	к виду	(2.3.2),	причем

g = b. Отметим, что 6 — циклическая переменная. Поэто­ му сопряжепная ей переменная р\ постоянна и, вслед­

ствие условия	трансверсальности	(2.3.3)	имеем р\^ — 1.
В результате	оптимальное управление		и*	определяется
прежним выражением (2.2.55),		а функция		Гамильтона

отличается от Н из (2.2.54) на величину — у(т). Рассмотрим усредненную краевую задачу первого

приближения согласно (2.3.11), (2.3.18). Уравнения для усредненных переменных |, г), отвечающих а, р, имеют вид (2.2.57). Начальные и краевые условия согласно

(2.3.11)	запишутся в виде
|(0) =	а°, |(в) = а(0), ф(0)=1|)°, 6(0) = 0 .	(2.3.33)

§ 31	ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ								Ю7
	Условие (2.3.18), связывающее параметр х и момент
окончания процесса 0, задается соотношением
	2' .	* V ! l		_	L	. 8v*C ]	e_Je		( Т +
	— т|0а ' (Te) +				v (т©) x = 0,		x© =	0. (2.3.34)
	Здесь первое слагаемое отвечает правой частп уравне­
ния (2.2.57) для		а	второе — усредненному					уравнению
(2.3.32) при р1 =		— 1.	(2.3.31),						1.
	Функционал	J из				подлежащий минимизации
но х (см. (2.3.19)), при помощи (2.3.32) приводится к
форме				0
		•М*) =		Д т +		-| ^ -)'Ю -		(2.3.35)
				О

Здесь подставлено выражение (2.2.55) для и*, а так­ же р = т|, q = 0 и проведено усреднение по я|).

Таким образом, требуется проинтегрировать прп за­ данном значении 0 систему уравнений (2.2.57) для усло­ вий (2.3.33), а затем определить величину 0 из (2.3.34) при значении х, доставляющем минимум функции (2.3.35).

Рассмотрим частный случай, когда (см. п. 5 § 2)

/о *= — 2%х + цх3,	G — D = 1, v, ч, а, х» И- = const. (2.3.36)
Решение краевой задачи (2.2.57), (2.3.33) имеет вид
(2.2.61), где	8v2%(a - a°e“x0)(l - е"2*0)"1.	(2.3.37)
т]° «

Разрешим квадратное уравнение (2.3.34) относитель­ но т]° и подставим полученную зависимость т)°(х) в ра­ венство (2.3.37). После этого ■получим квадратное урав­ нение относительно величины z = е_х0, положительное решение которого имеет вид

*1.2<1,

(2.3.38)

	Cl.2 (*)	У — УН \ 1/2]
		4 - [ а * ( “ г + 2 V 2X 2	] f

Здесь в выражении для с1,2 знак плюс соответствует положительному значению г)° в (2.3.37), т. е. задаче уве­ личения амплитуды колебаний (при этом a = а(Т) > а0),

108	УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
а	минус — се	уменьшению (а < а0).	При	а = а0
имеем zi,2 = l,		что отвечает 0 j,2 =	O.	Формула

(2.3.38) определяет зависимость 0(х). Допустимые значе­ ния параметра х определяются условиями положитель­ ности подкоренных выражений в (2.3.37).

Докажем, что оптимальному решению отвечает значе­

ние х = 0. Для этого согласпо условию				(2.3.25) достаточ­
но доказать неравенство 0 '(х )> О			для	всех	допустимых
х, что эквивалентно неравенству dz,/c£x< 0,					i ~	1, 2 (см.
(2.3.38)	). Так как dc\/d%<0, a		dc2/d x > 0,		то	z j( x ) < 0
для i =	l, 2, если dz\/dc\>0 нли		dz2/dc2< 0. Производ-
пая dzjdci согласно (2.3.38) равна
	сТг [5 i -	- Ai (Ч,А\ +	1 -	Л*)1' 3]
		2('UA* + i - B i)1'*			’	(2.3.39)

Ai = a?cir> Z?i = acr\ £ =1,2 .

Рассмотрим сначала для определенности задачу уве­ личения амплитуды колебаний: а0< а. С учетом выбора

знака в	(2.3.38) имеем с\ > х/2а.	Параметры А\ч В\ в
(2.3.39)	при этом удовлетворяют	неравенствам:	0 < >1| <
< i? i< 2 .	Можно показать, что при этом условии		произ­

водная (2.3.39) положительна: dz\ldc\ > 0. Для задачи об уменьшении амплитуды колебаний рассмотрим частный

случай	полного гашения колебаний а = 0. Так		как	при
этом в	(2.3.38), (2.3.39) имеем	В2= 0, А2< 0,	с2<	0, то
из (2.3.39) получим dz2/dc2< 0.

Тем самым в обоих случаях доказана оптимальность зпачения х = 0. Подставляя х = 0 в (2.3.38), имеем иско­ мое оптимальное значение 0 = 0(0) момента окончания процесса управления. Выражения (2.2.61), (2.2.66), (2.3.37) определяют оптимальное управление и траекто­ рию. Минимальное значение функционала в первом при­ ближении согласпо (2.3.35), (2.2.67) равно

n02

J0(0) = V0 (0) + - ^ 4 - [1 - lOv x

Сравним полученное решение задачи с функционалом (2.3.31) без ограничений на управление и с решением за­ дачи быстродействия для той же системы при ограниче­ ниях вида Ы < н0Для простоты рассмотрим случай X = 0 в (2.3.36). В этом случае искомые величины можно

§ 31 ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 1()9

получить предельным переходом при Однако про­ ще вновь построить решение на основе усредненной си­ стемы (2.2.57). Подставляя в систему (2.2.57) равенства

(2.2.60), у„ = 0, (2.3.36)	н интегрируя ее		при краевых ус­
ловиях (2.3.33), получим
I = V.,V-2II°T + я0,	1! -	п° = - 4v2(a° - а)©"1. (2.3.40)
Уравпсшго (2.3.34)	в	даппом случае	имеет вид ц02 =

= 8v2('y — V'/.). Подставляя в него т)° из (2.3.40) и полагая к = 0 , находим момент окончания оптимального процесса

0 = 0 (0 ) = via0 - al (2/ч)\

(2.3.41)

Онтнмалыюо управлепие в первом приближении опре­ деляется формулами (2.2.66) прп % = 0, (2.3.40), (2.3.41) и равно

и* — V2V V cos ф = (2,i(),/,[sign (a — a0)] cos ф. (2.3.42)

Решим теперь задачу быстродействия для рассмотрен­ ной выше системы. Вместо функционала (2.3.31) имеем функционал н ограничения

/ = 0 - * - т т , M < u o ,

(2.3.43)

а все остальные условия — те же, что и выше. Следуя хо­ ду решения задачи из п. 5 § 2, получим усредненную краевую задачу первого приближения (2.2.70) в виде

Ц - = - ^ signal, 4 = const,

(2.3.44)

£(0) = в*. |(0) = о.

Краевая задача (2.3.44) пмеет решение в том и толь­ ко в том случае, если sign ц = sign (a — a0):

J = 0 =■ т т |ос — a° |.	(2.3.45).
2u

Уравнепис (2.3.18) в даппом случае имеет вид

2и

| i!| - l + vx = 0

иудовлетворяется при произвольном rj за счет выбора х. Управление первого приближения согласно (2.2.71),

(2.3.45) равно

и* = «о sign [(a — a0) cos ф].

(2.3.46)

HO УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2

Пусть времена окончания процесса для обоих поста­

новок одинаковы. Приравнивая				выражения	0(0)	из
(2.3.41) и 0 из (2.3.45), находим
	в0 = (я/2)(ч/2)%.				(2.3.47)
Вычислим	квадратичный фупкцпонал, характеризую­
щий расход ресурсов, для			обеих	решенных задач.		Для
первой задачи	(2.3.31)	на	основе	с о о т н о ш е н и й	(2.3.41),
(2.3.42) получим
в(о)	u*2dr =	у© (0) = v (2у)1/а(а0— а).
J ,= J					(2.3.48)
о

Вычисление интеграла (2.3.48) проводится аналогично (2.3.35). Для второй задачи (2.3.43) па основании (2.3.46),

(2.3.47) получим	Jв и*Ы% = ^ (2у)1/21а0- а |.
/ 2 =		(2.3.49)
	о
Сравнивая интегралы (2.3.48), (2.3.49), находим, что
h/I\ = л2/ 8 > 1,	т. е. управление в первой задаче более

экономично расходует квадратичный ресурс управления.

..Интересно отметить, что	точно такой же результат
hlh = пУ8 получается и для функционалов вида
в
I = j	|и* |йт,
о

представляющих собой расход импульса управления. Та­ ким образом, управление, полученное при решении пер­ вой задачи, более экономично расходует интегральные ресурсы управления.

§4. Управляемые колебательные системы

смедленно изменяющимися параметрами1

1.Маятник переменной длины. Рассмотрим задачу оп­ тимального по быстродействию изменения амплитуды ма­ лых колебаний плоского маятника за счет перемещения точки подвеса вдоль горизонтальной направляющей (см. рис. 2.1). Исходные предположения и уравнения движе­

ния приведены в п. 3 § 1 главы 2. Полагая = 0 в урав-