книги / Управление колебаниями

§2 ]	ПОСТРОЕНИЕ ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ		151
	91	д\
	дс^	д%
	Х(в) = дг\_	ду\
	дс^	ы

В записи (3.2.23) через Ри, обозначены и-векторы, соответствующие частному решению неоднородной систе­ мы. Здесь использованы вытекающие из граничных ус­

ловии	(3.2.19)		равенства
	dl\		_ * L I	_	г				= 0,
	яг..	L	— я* \.	~	1	»	д\ |е0
	дс1	1о(						дсг\вт
в которых 7 — единичная,							0 — нулевая		ЫX п)-матрпцы.
4.	Вычисление исходных переменных. Решение (& + D-
го прнблшкеипя системы (3.2.8) ищем в виде разложений
			h						h
	= Id) + 2				Рои-1 ) = "4(1 ) +				2 &грь (3.2.24)
			г= 1						i=l

где ^(1), 11(1) даны формулами (3.2.20). Неизвестные ко­ эффициенты a,i, pi в (3.2.24), зависящие периодически от ф, а также от 0 и постоянных cs, с„, определяются под­ становкой выражений (3.2.24) и (3.2.21) в (3.2.9) и при­ равниванием коэффициентов при одинаковых степенях е. При этом используются известные выражения (3.2.17) для коэффициентов <ц разложепия (3.2.12) функции с. В частности, имеем

Pi = % + ( ^ ) ( в - ^ п - Ч й ) ) -

(3.2.25) В результате для функций а{к+и, р(Л+ц получены

представления
a(/j-n) =		l(i) +	(ф, 0 , с6, с,,, е),
/Л/1+ D	=	4(1) +	еЛ /0 (^ i	се> с,„ в),	(3.2.26)
a (/i -K ) | l| ,^ 1|:0	=	C l + b A h ) 1 ^ 0 1
P ( k + 1) U'=i'T =		сч "Ь	|ч’=Чт'
Здесь Л(Ь)1 Р(к)	есть 2 л-периодпческие функции от ф.
Их зависимость от		параметров Go,		'Or и h по указана

152 УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ 1ГЛ. 3

в (3.2.26) для сокращения записи. Отметим, что для оп­ ределения функций Aw, P(h) с погрешностью 0(eh) тре­ буется знать только коэффициенты его» •••» Щ-ь Исполь­ зование же функции oft не приводит к увеличению точности, а дает так называемое улучшенное (к + 1 )-е при­ ближение [46, 631, используемое при обосновании бли­

зости решений. Таким	образом, построеппое решение
0с + 1)-го приближения	(3.2.26) представляет собой сум­

му медленно изменяющихся функций l (i„				т^п, завися­
щих согласно (3.2.20)		от медленной фазы 0 = еф, и быст­
рых колебаний (вибраций) малой амплитуды порядка е.
5.	Приближенное решение		модифицированной крае­
вой задачи. Постоянные интегрирования с5, с„ в решении
(& + 1)-го приближения (3.2.26) должны быть					выбраны
таким образом, чтобы функции а(Л+1}, p(h+i, удовлетворя­
ли заданным граничным условиям			(3.2.6).	Подставляя
(3.2.26)	в (3.2.6), получим
	сЕ + 64 /о | ^ ,о = а °,
	+ &P(h)	= Рт = (— li	0, .. . , 0).		(3.2.27)

Так как левые части выражений (3.2.27) являются до­ статочно гладкими функциями от параметров с5, с„, е, то С{, сч в (ft+ D -м приближении мояшо представить в виде разложений

	h	А
с%= а° +	2 егс6{,	= рт-1- 2 егсл{.	(3.2.28)
	i=i	i=i
Неизвестные коэффициенты Сц, сч< зависят от пара­
метров h, 0о, 0 Г,	а также	2 л-периодическим образом от
ф°, фг. Отметим, что величина 0о = еф° известна,			а пара­

метры h жВт—ефГ подлежат дальнейшему определению. В соотношения (3.2.27) подставим представления

(3.2.28) и	разлол^ения функций A(h), P(h)		по степеням
параметра	е, вытекающие из	(3.2.24)— (3.2.26). При этом
используем	также краевые	условия (3.2.22)	для |<,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем коэффициенты ci{, cni. В частности, получим

(а0) = а0(£(!),	т](1), ф, h),	(3.2.29)
Id, = 1(0, а0, рт),	rid, = '• Л	а°» Р т )•

§2]	П О С Т Р О Е Н И Е В Ы С Ш И Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й		153
При помощи липейпых операций, аналогичных
(3.2.29),	для сЕ, с„ получаются выражения (к + 1)-го при­
ближения
	с-5 =	а0+ гС11к)(а°, ф°, фт, 0о, 0r, h, е),
	=	рт+ еСШ){аР, ф°, фг, 0о, 'От, h, е).

Вставляя коэффициенты (3.2.30) в функции a(*+i), p(h+i) из (3.2.26) и отбрасывая члены порядка ей+1 и вы­ ше, находим выражения

a(ft+i) =	| ( 0 — 0о,	От—0о,. л°, &) + е.4(А)(ф,	ф°,	фт> a0, h, e),
^ICA+1) =	r i ( 0 -Oo,	0 T - 0 O , ap, h) + eP(h)(ф,	-ф ,	фГ, aP, h, e).
				(3.2.31)

Здесь сохрапепы обозначения функций (3.2.20), (3.2.26), однако перечислены все аргументы и парамет­ ры, от которых они зависят. В силу автономности усред­ ненной системы здесь фигурируют разности 0 — Оо, 0 — 0т. Формулы (3.2.31) дают искомое решение (к + 1)-го при­ ближения модифицированной краевой задачи (3 .2 .6 ), (3.2.8) при заданных значениях параметров h и 0Г = ефт, которые подлежат дальнейшему определению. Отметим, что зависимость функций А(к) и Р(к) от быстрой пере­

менной	ф н параметров ф°, фг — периодическая, причем
А(к)[-фо =	Р(к) |Фг = 0. Указанные выше построения могут

проводиться и другими способами, удобными для числен­ ной реализации, например, при помощи схемы после­ довательных приближений или методом касательных [100, 107].

Оценка точности построенного решения (3.2.31) крае­ вой задачи (3.2.6), (3.2.8) получается в результате оцен­ ки решения краевой задачи для разностей между пере­ менными а, р, и их (Zc+D-ми улучшенными приближе­ ниями (см. п. 4). Детали доказательства изложены в ра­ боте [13]. Таким образом, приходим к следующему вы­ воду. Пусть в некотором интервале значений h, 0Т ~ 1 и для сЕ, сч, принадлежащих некоторой малой окрест­ ности точки а0, рт= (— 1 , 0 , ..., 0 ), усредненная краевая задача первого приближения (3.2.19) допускает единст­ венное решение и существует матрица X- 1 из (3,2.23).

154	У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х	[Г Л . 3
Тогда справедливы оценки
в-	am i } = 0(eh+1), Р - //«*.1) = 0(в"+1).	(3.2.32)

Здесь а(Л+1), £<м-и определены согласно (3.2.31). От­ метим, что наложенные выше условия по существу эк­ вивалентны сформулированным в п. 4 § 1 главы 3 усло­ виям устойчивости решения краевой задачи первого при­

ближения п позволяют их конструктивно проверить.
6 .		Решение исходной краевой задачи.						Переходим к
определению фазы ф как функции времени t и парамет­
ра фг. Подставим в соотношения (3.2.7) известные функ­
ции	a(ft+D,	p(h+1)		из (3.2.31). Как‘ следует из				(3.2.7),		ве­
личины ф п фг определяются с точпостыо на единицу
меньшей, чем а, р, согласно (3.2.32), т. е. с погрешностью
0(eh) на интервале времени [to, Л ,							Г = 0 е-1,	а	величи­
ны 0 = еф п 0Г = ефт — с погрешностью 0 (е',+|).									(3.2.7),
Прежде вычислим параметр 0Т из соотношений
приведенных к виду
е (Г -	*0) =	0	-	т0 =
	- /	Ь +		• т « * > ( т -	Т ’ 0 - Й^ '		* • е) ]		( 3 -2 -33)
Т(„(Чр, 1>х, в. вт, К в) =					/1 -1	«’Т, (*, i|>r, в, О т , К ).
					2
					i=0
Здесь функция lF(ft) получается в результате подста­
новки известных функций а — а(к+и, р = Р(к+1) из									(3.2.31)
в (3.2.7) и отбрасывания членов порядка е\ В качестве
Id, в формуле (3.2.33) и далее фигурирует первый член
представления (3.2.31) для Яон-и*							2я-периодпчны по ф
Отметим, что				функции	W(ft), ^
и фг. Они также зависят от ф°, 0о, Д°» однако эта зави­
симость пока не указывается.						уравнения		(3.2.33)		в
Решение			трансцендентного

(& + 1 )-м приближении строится в виде отрезка асимпто­ тического разложения

к

0т (А , в) = 0? (ft) + ]2 в*0ач.

(3.2 .34)

П О С Т Р О Е П П Е В Ы С Ш И Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й

155

В первом приближении параметр 0Г = Оу(h) опреде­ ляется из уравиеиия (3.2.33) при е = О

« с - . , .

(3.2.35)

Пусть корень 0у уравнения (3.2.35) существует, един­ ствен и является простым, т. с. 01,1дВтФ О для вы­

численного значения корня 0г. Тогда коэффициент 0п в (3.2.34) определяется уравнением, вытекающим из (3.2.33)-(3.2.35)

^ 0 П + J <Ч'0> ( -^ + 0„, 0, Or,

= 0.

°0

(3.2.36)

Здесь проведено усреднение функции Ч'о нз (3.2.33) гго фазе i|). Операция усреднения вносит погрешность по­

рядка е в		интеграл		(3.2.36),
что лежит в пределах точности
определения величины 0 Ti.
Решение		уравнения (3.2.36)
заведомо	существует,			так	как
справа	стоит		ограниченная
2 я-периодпческая			функция		от
0ri. Уравнение может допускать
несколько		корней.		Типичная
ситуация		представлена			па	Ряс. 3.2.

рис 3 .2 , где изображены гра­						(3.2.36).		Если 0ri —
фики	обеих		частей	уравнения
простой		корень,		то все	последующие коэффи­
циенты 0Ti (i '>2) разложения					(3.2.34)		определяются по­
следовательно пз линейных уравнений вида
		ог	д <\>		Огг =	,	i =	2 ,
А	- +	Г		й)(5(1))
DO? П		J

(3.2.37)

156	У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х	З А Д А Ч А Х	1ГЛ . 3
от	Здесь в квадратных скобках стоит производная но			07-i
	левой части уравнения (3.2.36), а	"О*, — известные		па

каждом шаге величины, зависящие от предыдущих при­ ближений.

Итак, величину 0Г из (3.2.34) можно считать вычис­ ленной с погрешностью 0(e',+1). Как отмечалось, урав­ нение (3.2.36) (а, следовательно, и уравнение (3.2.33)) может допускать несколько корней, отличающихся на ве­ личины порядка е. Выделение нужного корпя обсужда­

ется ниже.		£ и i|) = 0е- 1
Переходим к установлению связи между
при помощи второго	соотношения (3.2.7),	приведенного
к виду, аналогичному	(3.2.33)
		(3.2.38)

Зависимость 0 от т строим при помощи уравнения (3.2.37) в виде отрезка асимптотического разложения,

аналогичного (3.2.34)

h

0 = 0 * ( т , h ) + 2 е *0 ,.	( 3 .2 .3 9 )
г=1

Подставляя представление (3.2.39) в (3.2.38) и при­ равнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, по­ лучим уравнения для коэффициентов 0*, 0,-. В первом приближении имеем

е

Г ______________ W_______________

°

I “ (? ( е ' - е0.

a° 'h) ) '

Корень этого уравнения 0* существует и единствен. Последующие коэффициенты 0,- определяются однознач­ но пз линейных уравнений, аналогичных (3.2.37). Отме­ тим одно качественное отличие уравнений (3.2.33) и (3.2.38) . Неизвестная величина 0 в уравнении (3.2.38) входит лишь в верхний предел интеграла, в то время как величина 0Т в уравнении (3.2.33) входит также в под­ интегральную функцию, причем там она фигурирует в виде аргументов 0Г и 0гв-1. Последнее обстоятельство

§2] ПОСТРОЕНИЕ ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 157

приводит к тому, что определение первых двух коэффи­

циентов 0г и Оп асимптотического разложения (3.2.34) требует решения нелинейных уравнений (3.2.35), (3.2.36). В случае уравпеиия (3.2.38) лишь первый коэффициент О* определяется из нелинейиого уравнения.

Таким образом, фаза чр = 0е—1 как функция t в к-м приближении (ниже опа обозначается через i|)(ft)) и посто­ янная фт = 0ге- 1 в том же приближении построены. Эти величины зависят также от неизвестного параметра h. Подстановка их в (3.2.31) дает выражения для перемен­

ных	я, р в (к + 1 )-м	приближении как функций време­
ни t параметров а0, -ф , е, Г, h.
7.	Выбор оптимального решения. Неопределенный по­
ка параметр 1ь должен удовлетворять условию трансвер­
сальности (3.2.25) для переменной q. Для рассматривае­
мой существенно нелинейной системы (со'(а) ~ 1 ) иско­
мое зпачение h в (/с +		1 )-м приближении определяется из
приближенного уравнеппя
	(?(fl(h+i)(T, ht е),	ht е), pTi К е) = 0. (3.2.40)

Отметим, что вследствие возможной неединственности определения 0ri из уравнения (3.2.36), зависимости a(k+i), ф(,0 в (3.2.40) могут быть неоднозначными функциями h. Такая же неединственность, в силу установленной бли­ зости решений, пмеет место и для точной краевой задачи (3.2.4) с аргументом t. Поэтому каждое уравнение (3.2.5), (3.2.40) распадается на несколько уравнений, отвечаю­ щих различным ветвям зависимости Qr\Ui). Для каждой ветви соответствующие уравнения (3.2.5), (3.2.40) рас­ сматриваются отдельно.

Заметим, что в § 1 предполагалась единственность решения точной краевой задачи (3.2.4) при фиксирован­ ном h. В данном же параграфе требуется единствен­ ность решения краевой задачи (3.2.6) с аргументом ф, связь которого с t может быть, как установлено, неод­ нозначной.

Рассуждая аналогично п. 5 § 1, получим, что левые части уравнений (3.2.5), (3.2.40) есть быстро осцилли­ рующие (функции h, причем dQ/dh ~ е-1. В силу оценок близости точного и приближенного решеппй для я, ф имеем, что отличие левых частей уравнений (3.2.5), (3.2.40) составляет (для каждой из указанных выше вет-

158	УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ		[Г Л . 3
вей)	величину 0(eh) при	фиксированном h.	Поэтому
в eft+1-окрестности каждого		из корней h* ^ (Ы	уравне­

ния (3.2.40) содержится корень точного уравнения (3.2.5). В результате приходим к следующему правилу выбора оптимального значения величины h. Требуется построить (с погрешностью 0(eh+l)) дискретное множество корней {.Ю всех ветвей уравнения (3.2.40), а затем минимизи­ ровать заданный функционал J= a\(h+\)(T, h, е) по мно­ жеству найденных корней {/&v). В качестве первого при­ ближения к искомому оптимальному коршо h* следу­ ет брать значение, найденное при помощи методики гш. 5 - 7 § 1.

В результате указанной процедуры определения Л* решение *(Л + 1 )-го приближения для переменных а, р, q оказывается построенным при помощи формул (3.2.31),

(3.2.34),	(3.2.39), (3.2.2). Оптимальное управление в
(к + 1 )-м	приближении определяется соотношением

(3.1.18), в которое подставляется найденное решение. Управление может быть представлено в виде синтеза или в других формах, см. пп. 6 , 7 § 1. Погрешность опреде­ ления минимального значения функционала для (/с + 1 )- го приближения составляет по построению величину по­ рядка е*+1.

§ 3. Асимптотическое решение нелинейных задач типа оптимального быстродействия

1. Постановка задачи управления с нефиксированным временем. Рассматриваем нелинейную управляемую си­ стему с вращающейся фазой (3.1.2), для которой поста­ вим задачу оптимального управления с пефиксировапным моментом окончания процесса Т = 0е-1. Здесь 0 — неизвестная величина порядка единицы. Краевые усло­ вия и минимизируемый функционал задаем по-прежпему формулами (3.1.14), (3.1.15), причем число I краевых ус­ ловий (3.1.14) лежит в пределах 0 < Z < w — 1.

Отметим, что к указанной постановке преобразуется (за счет введения дополнительной фазовой координаты) случай пптегрального фупкцпопала впда

г

J = g ( a ( T ) ) + E f G ( a , ф , u )d t,

( 3 . 3 . 1 )

‘о

§ Я]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

159

где g, G — заданные достаточно гладкие скалярпые функ­ ции. Вводя дополнительную медленную переменную ап+1 при помощи соотношений

an+i = eG{a1 ф, и),	fln+iUo)==0,	(3.3.2)
представим фупкцпопал (3.3.1)	в форме (3.1.15),	а именно
7 = йГи(Л) + ап+1 (Л .		(3.3.3)

Для задачи оптимального по быстродействию попада­ ния на заданное многообразие (3.1.14) достаточно поло­ жить g = О, G = 1 в (3.3.1).

В дальнейшем рассматриваем задачу (3.1.2), (3.1.14), (3.1.15) с нефиксированным Т. Как п в §§ 1, 2, сущест­ венным является предположение о независимости функ­ ций М, g от быстрой фазы ф. Далее используем те же обозначения, что и в § 1 .

2. Краевая задача принципа максимума. Так как время Т не фиксировано, то условия трансверсальности на правом конце должны быть дополнены равенством

# * l i - T = 0.	(3.3.4)
Здесь функция И* определена в (3.1.20).	случае не­
Построение асимптотического решения в

фиксированного Т проводится аналогично задаче с фик­

сированным	Т = 0е- 1 из § 1. Поэтому ниже отмечаются
главным образом лишь отличия от построений § 1 .
Из равенств (3.3.4) и		(3.1.20)		вытекает, что	h = 0
в (3.1.21).	Следовательно,	во	всех	соотношениях	§ 1,
в частности	(3.1.21)—(3.1.24),		следует положить		7г = 0.

С другой стороны, решение краевой задачи (3.1.24) со­ держит новый неизвестный параметр Т = ©е-1, п ее ре­

шение может быть записано в виде, аналогичном	(3.1.25)
a — a(t, 0, е), ф = ф(£, 0, е), p = p(t, 0 , е).	(3.3.5)

Предполагаем, что решение (3.3.5) существует и един­ ственно в некотором интервале t©i, ©г) изменения пара­ метра 0. Параметр 0 должен удовлетворять уравнению, аналогичному (3.1.26) и вытекающему из (3.1.21), (3.3.5) при h = 0

(р{Т, 0, е), /о* {а{Т, 0, е), ф(2\ 0, е), р{Т, 0, е))) = 0.

(3.3.6)

160	УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ	[ГЛ. 3
что	Как и при анализе уравнения (3.1.26), показывается,
	уравнение (3.3.6) допускает, как правило,	порядка

е- 1 корней {©„), причем расстояние между соседними корнями составляет величину порядка е. Для определе­ ния искомого оптимального зпачепия 0 * <= (0 V) требуется найти миппмум

/ * = min 7(0), J{Q) = g(a(Q&-\ 0, е)), (3.3.7) e e (© v)

аналогичный (3.1.27).

Усредненная краевая задача первого приближения имеет вид (3.1.28), в которой h = 0, а 0 является неиз­ вестным параметром. Предполагаем, что эта задача удов­ летворяет условиям устойчивости, аналогичным сформу­ лированным в и. 4 § 1, с заменой h па 0.

Краевую задачу (3.1.28) снова преобразуем к виду (3.1.31), воспользовавшись первым интегралом (3.1.30). Отметим, что в соотношениях (3.1.30), (3.1.32) имеем Л = 0 , н эти соотношения определяют связь между пара­ метрами р и 0. В самом деле, задавшись некоторыми (3 и 0 и решив краевую задачу (3.1.30) при h = 0, получим решение (3.1.33), зависящее от двух параметров (3, 0. Подставив это решение в первый интеграл (3.1.32), по­ лучим постоянную, которую следует приравнять ну­ лю. Это и даст искомую связь между р и 0. Поэтому в

дальнейшем считаем 0 = 0((3) и будем искать	пара­
метр (3.	(3.1.33),
Подставляя зависимость 0 = 0({3) в решение

а затем вставляя это решение в условие трансверсаль­ ности (3.3.6), получим трапсцендептное уравнение для определения параметра {3. Это уравнение аналогично (3.1.35), но теперь нужно считать 0 = 0((3). Предпола­ гаем выполненным условие быстрой осцилляции (3.1.36),

вкотором также 0 = 0([3). Тогда, повторяя рассуждения

пп.5, 6 § 1, приходим к выводу, что параметр (3 следует выбирать из условия минимума (3.1.38) на непрерывном интервале изменения (3. В качестве функции /о([3) в

(3.1.38) следует брать функцию (3.1.37), в которой

0 = 0(fl).

3. Определение оптпмальпого решения. Проведем вы­ числения JQ(Р), аналогичные (3.1.40), (3.1.41). Диффе-