книги / Управление колебаниями

Г Л А В А 4

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ С УПРАВЛЯЕМЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ

Б главе 4 исследуются задачи оптимального управле­ ния колебательными системами типа маятника с управ­ ляемым положением равновесия (точкой подвеса). Управ­ ляющее воздействие считается ма­

лым, и применяется методика глав

2, 3.

В§ 1 приведено асимптотиче­ ское решение задачи оптимального управления пелипейными колеба­ ниями и вращениями плоского ма­ ятника. В качестве управления бе­ рется ускорение точки подвеса.

В§ 2 приводится решение ряда задач оптимального по быстродейст­

вию управления движением механи­	Рпс. 4.1.
ческих систем, содержащих линей­

ные и нелинейные колебательные звенья. Управление осуществляется при помощи регулируемого по скорости положения равновесия.

Основные результаты главы 4 опубликованы в работах [16, 201.

§ 1. Управление движением маятника посредством изменения ускорения точки подвеса

1. Постановка задачи управления. Исследуем управ­ ляемое движение маятника, точка подвеса которого О пе­ ремещается вдоль прямой Os (рис. 4.1). Уравнение дви­ жения математического маятника постоянной длины I пмеет вид (см. (2.1.20))

<р + gl~l sin ср = — sl~l cos (ф — б),

(4.1.1)

ф(£о) = ф°, ф(^)=ф°.

УПРАВЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИИ

1ГЛ. 4

Здесь ср — угловое отклонение от вертикали, # — уско­

рение сил тяжести; s — ускорение точки подвеса вдоль направляющей, наклоненной под постоянным углом б

к горизонту; to, ф°, ф° — начальные данные. Предполага­ ется, что величина задаваемого ускорения удовлетворяет

условию				Введением	безразмерной			независи­
мой переменной			0 = g]/2l~W2(t —to)			уравнение			(4.1.1)
приводится к виду
		ф" + эшф = — енсовСф — б),							(4.1.2)
		ф(0) =		ф°, ф '(0) = lW2g~l/2ф°.
Здесь штрих означает производную						по 0,		п введено
обозначение		ей = sg~\ где е = wg~l < 1					— малый			пара­
метр, М	< 1.
Для применения развитой в главе 3 методики совер­
шим переход к переменным «энергия — фаза»								при помо­
щи замены:		Ф =	ф0 (Е, г|>), ф' =		ф^ (Е, \|>). Здесь фо,					—
общее	решение		порождающего		уравнения			(4.1.2)		при
е = 0;	Е — энергия			колебаний	пли		вращений,			г|) =
= ы{Е)0 + ф0 — фаза				движения,	со(£ )— частота.				Общее

решение, как известно (см. § 4 главы 3), выписывается при помощи эллиптических функций.

Уравнения взомущепного движения в перемеипых Е, ф можно получить на основе известных интегралов невозмущешюго движения (см. (3.1.8), (3.1.9))

■-^- = — еиф'со.ч(ф — 8),

Е{0) =		£« =	i -	i ‘	1 — COS ф°,
d0 = ©(£) —
- eu<p' cos (q> -	8)j	{ ^ 1	-	р т	4 4 0 )= 0 ,
' “ K	1 -

ф' = ± [2 (E + 1 + cos

Q (4,1.3)

§ И	М А Я Т Н И К		С	У С К О Р Я Е М О Й		Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А	183
	Здесь	(й'{Е) =	d<a/dEm, q>' = d(p/d0 есть функция				от Е,
Ф,	приведенная		в (4.1.3). Она знакопостоянна в				случае
вращении		(Е > 0)		и	меняет	знак в точках ф = ±ф 0,
Фо — arccos {—Е —1)				в	режиме	колебаний (— 2 < Е < 0).

Интеграл (4.1.3) для периода колебаний берется по зам­ кнутому коптуру в плоскости ф, ф7 для фиксированного

Е,	а для вращений — по промежутку 0 < ф < 2я. Как и
в	формуле (3.4.2), здесь Е = — 2 в нижнем положения
равновесия.
	Для стандартной системы (4.1.3) рассматриваются

следующие задачи оптимального управлеппя на интервале 0е£(), Т], где Т = 0е-1, 0 ~ 1.

А. Задача с закреплснпым временем Т (см.	(3.1.15))
± Ж Г )-»-min.	(4.1.4)

Б.Задача оптимального быстродействия по энергии,

Тне фиксировано (см. (3.1.14), (3.3.3))

Е {Т)=Е *, 0->m in.

(4.1.5)

Задачи А, Б являются двойственными и удовлетворя­ ют принципу максимума (см. §§ 1, 3 главы 3).

2. Построение решения первого приближения. Опти­ мальное управление и*, определяемое согласно (3.1.17), (3.1.18), в первом приближении имеет вид, аналогичный

(3.4.5) (см. и. 7, i§ 1 главы 3)
и* = — sign [рф' cos (ф — 6)J.	(4.1.6)

Здесь р — переменная, сопряженная Е. Переменная, сопряженная быстрой фазе ij), имеет порядок е для всех 0<= [0, Т]. Поэтому в предположении р^О она полагает­ ся равной нулю при построении управления первого при­

ближения.

Выпишем уравнение для усредненной переменной | и

граничное условие для задачи Б согласно	(3.1.31),
(4.1.3) —(4.1.6)
i L = /(5 ,6 )sig n 4. Щ = £ ”,	ш .7 )

т= £0<= [0, 0J,/(|, 6) = <|ф'соз(ф-б)1>,

Б.| (0 )= £ * .

Здесь £, г] — усредненные значения медленных перемелпых Е, р, а т — медлеппое время. Из (4.1.7) следует, что паилучший результат (минимальное значение функ-

184

У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я

[Г Л . 4

ццопала в первом приближении) достигается при условии, что переменная ti принимает значения постоянного знака (знака Е* — Е°). Второе (скалярное) уравнение для г\ из (3.1.31) показывает, что такое решение имеет место, если параметр р положить равным нулю. В этом случае урав­ нение для г] однородно, и его нетривиальное решение не обращается в нуль. Таким образом, используя еще факт близости г| и р, а также краевые условия при т = 0, по­ лучим из (4.1.6)

и* = —sign [ф' cos (ф — 6)] sign г|,

(4.1.8)

A.sign т] = =F 1, Б. sign т) = sign (Е* — Е°).

Построенное приближенное управление (4.1.8) облада­ ет свойством локальной оптимальности: оно в каждый момент обеспечивает максимальную скорость изменения Е, ом. п. 4, § 2 главы 1.

Вычислим правую часть уравнения (4.1.7). В режиме

вращений маятника	(£ > 0 , ф' > const > 0 ) находим
2Я
/ a(l,6) = 2i- j| 9 'c o s(9 -8 )| rft =
о	2Я
-	т	?	( 4ЛЛ)
*, = У г (1 +	2 Г 1/2< 1 ,	г 2 (?) =	2к к (*,).

Здесь /сг — модуль полного эллиптического интеграла первого рода К, Тг — период вращательного движения (см. (3.4.10)).

В случае колебаний маятника правая часть уравнения (4.1.7) равна

	ф0	ф0-в
/i(£ ,6 ) = T l i j	J Icos (Ф — б) |^ф =	j	|coss| Ac,
1	- ф0	1 -ф0- в
Ф 0 = arccos (— l — 1), 3\(&)в		4K (*i)i	(4.1.10)

fci=(i + 2)1/2//2.

Здесь T\ — период колебаний, к\ — модуль (см.

§ 1]

М А Я Т Н И К С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В Е С А

185

(3.4.9)). Разложением Icoszl в ряд Фурье [721 для функ­ ции 1\ получим выражение

+ 2 ; (4^ - i T ' sin12 ,' Ф о (l)1cos(2,6 )} ' ( 4 Л 1 1 )

При помощи выражений (4.1.9) — (4.1.11) можно по­ строить искомое решение, так как уравнение (4.1.7) инте­ грируется

С^

J 7 ~~(f* ,6)~ = -г sign г), 1<=[Я°, 1*], т е [0,0].

(4.1.12)

Здесь sign Vi берется из формулы (4.1.8). Из двух ве­ личии 0, 1* = 1(0), связанных формулой (4.1.12), одна задана (0 в задаче А, 1* = Е* в задаче Б), а другая является приближенным оптимальным значением функ­ ционала. Приближенные решения поставленных задач построены.

3. Анализ решений. Исследуем зависимость решений от параметра б s [0, я/21 (см. рис. 4.1). В режиме враще­ ний (1 > 0 ) на основании (4.1.9) функция h не зависит

от б. Дифференцируя по б зависимость (4.1.10) для ре­ жима колебаний, получим

± [ I cos (ф0 + 8) I - 1cos (<р„ - 8) |]. (4.1.13)

Если амплитуда фо принимает значения 0, я/2 пли я, что соответствует 1 = — 2, — 1, 0, то производная (4.1.13) равна нулю тождественно по б. В остальных случаях про­

изводная	(4.1.13) обращается в			нуль лишь при 6 = 0 и
и б = я/2,	следовательно,		7i монотонно зависит		от б и
достигает	максимума иа		одном из копцов пптервала
6 s [0, я/21. При помощи (4.1.10) найдем
/ 1(5,0) =		4ГГ1з1пч>„,		- 2 < Е < - 1 ,
h (5, 0) =		47Т1 (2 — sin<р ),		— 1 < 5 < 0 ,	(4.1.14)
Л(|, п/2) =		4ГГ1 (1 — cos<р„),		— 2 < | < 0 .

18С	У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М				Р А В П О В Е С И Я		[Г Л . 4
Сопоставляя формулы (4.1.14), определим, что макси­
мум	Ji(£, б) по б		достигается	при 6 = 0,		если	£=5 — 1,
Фо <	я/2 и при б =		я /2, если —	1 <	| < 0 , фо 5= я/2.
В	режиме	вращений (| > 0),			а также	при	£ = — 2,
£ = — 1, | = 0		правая часть системы (4.1.7) не					зависит

от б. Таким образом, скорость изменения d\/di в опти­ мальных режимах зависит от угла наклона направляю­ щей б следующим образом. Для колебаний малой ампли­ туды (ф0< я /2 ) наивыгодпеншим с точки зрептш эффек­ тивности управления будет горизонтальное перемещение подвеса (б = 0), для колебаний большой амплитуды (фо > я/2) — вертикальное перемещение (б = я/2), а для

вращений все углы равноправны. Если оба граничных

значения	£(0)=2?°, = Ж 0) лежат в области	| < — 1
(или | >	—1), то с точки зрения быстродействия	наивы-
годнейшим будет 6 = 0 (б — я/2).
Зависимости £(т, б), полученные для режима колеба­
ний в результате численного расчета по формуле		(4.1.12),

представлены на рис. 4.2. Здесь принято Е° = —2, т. е. началу движения соответствует нижнее положение равно­

весия,	и	sign т\= 1 (задача максимизации энергии). Пара­
метр	б	принимает значения 6 = яг/12, причем i = 0 ,1 ,...
..., 6	указано цифрами на рис. 4.2. Кривая с г = 1 не

приведена, так как она практически совпадает с кривой для i = 0.

§ И	М А Я Т Н И К	С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А						487
Отметим, что в нижпем положении равновесия								(£ —
= — 2,	фо = 0) функция		1\	обращается		в	нуль	(см.
(4.1.10)), так что		точка | =		—2	является	точкой покоя
уравпеиия (4.1.7).		Однако	при		0 ^ 6 < я /2		существует

единственное решение, не равное константе и попадаю­ щее (или покидающее) эту точку за конечное время (ана­ логично (3.4.11), (3.4.17)). В случае

же б = л/2			асимптотика			при		|	8 ,
-+ — 2	будет		иной:		здесь		7i ~ фо*		#
а не ~ фо, как в общем случае (см.
(4.1.14)). Время движения в точку
%= —2		оказывается			бесконечным.
Поэтому на рис. 4.2 для кривой i =									м
—6 принято |(0) = — 1,999.
Как и в § 4 главы 3, с помощью
зависимостей			типа рис. 4.2				можно
получить		весь набор			оптимальных
траекторий задач А, Б для режима										J	j
колебаний. Для этого зададим б,									5
выберем		соответствующую					кривую
рис. 4.2 и найдем то,					для	которого
£(то) = Е°<0. В случае задачи А от
найденного			то	отложим			отрезок
Ат = 0	в сторону, противоположную
знаку в функционале (4.1.4). Если									д	1г	гг'о
|(TO=F0) < 0 ,			то	полученный				отре­		•	г
зок кривой и будет приближенной										Рис. 4.3.
оптимальной			траекторией. В				случае

задачи Б конец траектории определяется значением 1 = = Е* < 0, а время быстродействия определяется из ус­ ловия | (то + © sign (Е* — Е0)) — Е*.

На рис. 4.3 приводятся зависимости 0(6, 1?°, Е*) вре­ мен оптимального быстродействия из точки %=Е° в точ­ ку £ = £* как функции угла б. Кривая 1 соответствует переводу маятника из нижнего положения равновесия в верхнее, т. е. Е° = —2, Е* = 0. Кривая 2 соответствует Е° = — 2, E* = — i , а кривая 3 — Е° = — 1, Е* = 0. Зави­ симость 1 получается сложением зависимостей 2, 3.

нс	Для режима вращения правая часть уравнения (4.1.7)
	зависит от б. Усредненное уравнение (4.1.7), (4.1.9)
с	точностью до постоянного	коэффициента п несколько
юных обозначений совпадают		с уравнением (3.4.13), под-

188

У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я

[Г Л . 4

робно исследованным в § 4 главы 3. Соответствующая зависимость энергии от времени поэтому получится из рис. 3.4 путем изменения масштаба.

4. Обобщения задачи управления плоскими движения­ ми маятника. Рассмотрим задачу оптимального управле­

ния плоскими движениями фи­ зического маятника, точка под­ веса которого может переме­ щаться в вертикальной пло­ скости (см. рис. 4.4). Уравне­ ние движения имеет вид

( / + ml2)ср + mgl sin <p =

-= —тКх0cos ф + у0sin ф),

(4.1.15) где / — момент инерции маят­ ника относительно оси кача­

ний О, I — расстояние от точки О до центра инерции маятника С, а х0> уо — координаты точки О. Остальные обозначения в (4.1.15) — те же, что и в (4.1.1). Аналогич­ но п. 1, уравнение (4.1.15) приводится к виду

ф" + БШф = — e(n*cos ф +			sin ф),
G = (mglV'HJ + т12)-"Ч,				(4.1.16)
eu, = x0g~\	гиу=	y0g~x.
Здесь 0 — безразмерное время,		еу„	гщ — малые уп­
равляющие воздействия по осям х, у. соответственно.
Уравнение для возмущенной энергии Е = -т^ф'2 — 1 —
— cos ф имеет вид
Е '= — еф'(и,со8ф + Иувтф),	Е(0) = Е° > — 2.			(4.1.17)
В п.п. 1—3 построено решение задач оптимального
управления (4.1.4), (4.1.5) с ограничениями
UyUx1 = tg б =			const.	(4.1.18)

Рассмотрим теперь те же задачи А, Б для двух дру­ гих типов ограничений, когда область допустимых значе­ ний Ux, Щесть прямоугольник

I

икГ |UZ\ < иуу

ии —const > 0 (4.1.19)

§ И	М А Я Т Н И К С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А
ПЛИ эллипс
	n2i4 + 62n J< 1,			a, 6 = const>0.	(4.1.20)
Для ограничений (4.1.19) приближенное оптимальное
управление определяется			подобно (4.1.8) и равно
	ц* =	—их sign (Г]ф' cos ф),			(4.1.21)
	*	о	.	, , . ч
	Hv =	— щ	sign (где' sm ф).
Здесь	sign г) указан		в	(4.1.8). Подставим	(4.1.21) в
(4.1.17)	и усредним аналогично (4.1.7). Полученное усред-

пеппое уравнение записывается при помощи функций (4.1.9)—(4.1.11).

	В режиме вращений (| > 0) найдем
I f	=	W + «•!) sign -л =	sign т].	(4.1.22)
	Для режима колебаний (£ < 0) имеем
	%	= [“S/i (I 0) +	(h -f-)] sign	(4.1.23)
	Из уравнений (4.1.22), (4.1.23) следует, что при				=
=	u® = 1	управление (4.1.21)	более эффективно,		чем

(4.1.8). Соответствующие правые части уравнений (4.1.22),

	(4.1.23)	по абсолютной величине больше, чем (4.1.9),
	(4.1.10).	Это естественно, так как ограничение (4.1.19)
	при Ux — Uy — 1 «шире», чем (4.1.8).
	Для	ограничений	(4.1.20)	усредненное уравнение
	(4.1.17)	можно представить в форме
		•g| =	£i.e(S) sign-n,		(4.1.24)
	L, (£) — < I ф' I (a3 c°s2Ф + Ъ%sin2 ф)-1/2>.
	Приближенное оптимальное управление в форме син­
	теза имеет впд
	и* =	— (a2 cos2 ф +	b2sin2 ф)	1/2 cos ф sign rj,	(4.1.25)
	и*у =	— (а2 cos2 Ф +	ъ2 sin2 ф)-1/3 sin ф sign тр

190	У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я			1Г Л . 4
	реяшме	вращений функция Ь2 в	(4.1.24)	равпа
			а С Ь ,	(4.1.26)
	Lt ©	= 2яа-1JT* (I),	a = b .

Для режима колебаний функция Ь2 в (4.1.24) выра­ жается через полные и неполные эллиптические интегра­ лы. Ограничимся выражением для случая, когда область (4.1.20) — круг единичного радиуса [20]

Li (I) = 4ф0 (I) JT1 (I), ф, = arccos (— £ — 1).

(4.1.27)

Уравнения (4.1.22)— (4.1.24) интегрируются в квадра­ турах. Отметим, что управление (4.1.25) с ограничением (4.1.20) в виде единичного круга, как и следовало ожи­ дать, более эффективно, чем управление (4.1.8) для огра­ ничений (4.1.18). Это следует из того, что Z a > /i, L2> I 2 (см. (4.1.9), (4.1.14) и (4.1.26), (4.1.27)).

§2. Колебательные системы

суправляемым по скорости положением равновесия

1.Постановка задачи. Исследуется нелинейная коле­ бательная система с единственной обобщенной координа­

той у. Система имеет изолированное положение равнове­

сия у = х,	которое может перемещаться со скоростью							v.
Потенциальная энергия системы ПЫ						зависит	только	от
относительного смещения z = у — х. Функцию							ПЫ счи­
таем достаточно		гладкой и имеющей				строгий	минимум
в точке	z = 0;	не	ограничивая		общности,		полагаем
П(0) = 0.	Движение		системы описывается уравнениями
у + F(y -		я) = 0,		y(0)=y°,		y(0) = y°,
			х = i?,	я(0) =	ж0,		(4.2.1)
	F = дЛ/ду,			Vi ^	v <	v2.

Здесь индексом 0 отмечены пачальпые данные, щ, v2— постоянные. Так как точка z = 0 (у = х) — точка изолированного минимума ПЫ, то F(0) = 0, a zF(z) > 0 в некоторой окрестности этой точки.