книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок
.pdf3.2. Расчет напряжений в диске в плоской оссесилшетричной постановке
3.2. Расчет напряжений в диске в плоской оссесимметричной постановке
Рассмотрим простейшую модель плоского осе симметричного напряженного состояния диска. В основе этой модели лежат следующие допуще ния:
-в каждой точке диска действуют только ради альные и окружные напряжения c Rи а^ осталь ные компоненты тензора напряжений малы по сравнению с ними (см. рис. 3.3), т.е. имеет место плоское напряженное состояние;
-реальный диск заменяется телом вращения
споперечным сечением, симметричным относи тельно плоскости вращения (см. рис. 3.4, а), его толщина - функция радиуса Ь(г)\
-наружная поверхность диска считается цилин дрической, проходящей по впадинам замковых па зов (ее радиус - Rf); действие отброшенных высту-
Рис. 3.3. Напряжения в диске
пов диска и лопаток заменяем равномерно распре деленной по наружной поверхности радиальной нагрузкой а ЛЛ;
-диск считается неравномерно нагретым и на груженным только центробежными силами лопа ток и масс самого диска;
-температура диска и искомые напряжения счи таются неизменными по окружности, равномерно распределенными по толщине и зависящими толь ко от радиуса г;
-считается, что напряжения в диске не превы шают предела пропорциональности материала; это допущение позволяет воспользоваться принципом суперпозиции, т.е. считать суммарные напряжения
вдиске от всех нагрузок суммой напряжений от каждой из них в отдельности.
Принятые допущения не позволяют описать де формацию изгиба диска и локальные особенности напряженного состояния вблизи пазов под лопат ки, фланцев, отверстий, галтелей, местных утол щений и т.д. Эти трехмерные эффекты, как и про явления пластичности и ползучести, рассмотрены ниже.
Рассмотрим произвольный объемный элемент диска ЛЯСО (см. рис. 3.4, б), ограниченный цилин дрическими поверхностями радиусов г и r+dr и ме ридиональными плоскостями с углом d<p между собой. К выделенному элементу приложена цент робежная сила его массы dPaи поверхностные силы dQ, dQ' и dT, заменяющие действие на элемент от брошенной части диска. Радиальные силы dQ и dQ', приложенные соответственно к внутренней и наружной цилиндрическим поверхностям элемен та - равнодействующие напряжений GR и Or+ doR. Окружные силы dT- равнодействующие окружных
напряжений они одинаковы на обеих боковых поверхностях элемента в силу принятого допуще-
Рис. 3.4. К выводу уравнений напряженного состояния диска
83
Глава 3. Статическая прочность и циклическая долговечность дисков
ния об окружной симметрии напряженно-дефор мированного состояния.
Элементарная центробежная сила, действующая на выделенный элемент, равна
dPu = СО2/* dm = рсо2&i2 dipdr, |
(3.1) |
где р - плотность материала диска; dm - масса выделенного элемента.
Для перечисленных выше сил, действующих на выделенный элемент, получим:
dQ = оRb г dip, |
(3.2) |
dQ' = (оR+ doQ(b + db)(r +dr)dtp ~
(3.3)
~(oRb r + oRrdb + brdoR+oRbdr)dip,
dT = ofidr. |
(3.4) |
Сумма проекций всех сил на окружное направ ление тождественно равна нулю, а сумма проек ций сил на радиальное направление дает:
dP4+ dQ’-dQ - 2dT sin ~ = 0 |
(3.5) |
Полагая dip/2 настолько малым, что
sin dip/2~ dip/2,
и подставляя выражения для элементарных сил (3.1...3.4) в (3.5), получим после сокращения на dip и деления на brdr искомое уравнение равнове сия в виде:
do |
„ 1 / |
\ |
|
—г |
+ —'(ст* - а г)+ |
|
|
dr |
г |
|
|
|
Id b |
2 Л |
(3.6) |
+о R------- ь рсо |
г = О |
|
Ь dr
Это уравнение содержит две неизвестные вели чины oRи ог для определения которых необходи мо еще одно уравнение.
Рассмотрим деформации выделенного элемен та (см. рис. 3.3, в). Перемещение произвольной точки диска в силу симметрии происходит в ра диальном направлении, а его величина зависит только от радиальной координаты этой точки. При деформации элемента ABCD его граница AD сме щается в радиальном направлении на величину и(г), а граница ВС на величину u+du/drdr. Угло вой размер dip не изменяется.
Радиальная деформация есть относительное уд линение элемента в радиальном направлении:
du
8Л |
dr |
(3.7) |
|
’ |
Абсолютное удлинение элемента в окружном направлении выражается через радиальное пере мещение и как 2к(г+и)-2кг = 27Ш, а окружная де формация элемента составляет:
_ 2п(г+и)-2пг _ и
2кг г
Выразив перемещение и из (3.8) и подставив его в (3.7), получим соотношение:
Оно выражает основное свойство сплошной среды: для того, чтобы объект, сплошной до дефор мации, оставался таковым и после деформации, компоненты деформации должны находиться в оп ределенной зависимости между собой, называемой условием совместности деформаций.
В рамках принятого выше допущения о линей ной упругости материала диска связь между напря жениями и деформациями выражается обобщенным законом Гука, который для плоского напряженного состояния имеет вид:
ег^^г-МвлЭ+а*’ (ЗЛ0)
где Е - модуль упругости материала; |1 - коэффициент Пуассона;
а - коэффициент линейного расширения;
/- температура.
В правой части уравнений (3.10) первое слагае мое выражает упругую деформацию под действи ем внешних сил, а второе - температурную состав ляющую деформаций.
Подставляя выражения (3.10) в уравнение со вместности деформаций (3.9), получим уравнение совместности деформаций, записанное в напряже ниях:
Л^•(стг -ц с т л)+ а?
dr |
1 - |
= ^ г(?* -Ц < Г г)+ а' |
|
откуда после преобразований для случая £=const:
84
3.2. Расчет напряжений в диске в плоской оссесимметуичной постановке
d a T
И Г - и dr
(3.11)
+ £ а — =0 dr
Уравнения (3.6) и (3.11) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных урав нений первого порядка с двумя неизвестными c R и а г
Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо знание граничных усло вий. В рассматриваемом случае они представля ют собой известные значения напряжений на на ружной и внутренней цилиндрических поверхно стях диска:
(ЗЛ2)
На рис. 3.5 показаны варианты граничных ус ловий. На наружном контуре диска напряжения aRb заменяют центробежные силы рабочих лопаток и замковых выступов диска и могут быть опреде лены по формуле:
которое вытекает из равенства нулю радиального перемещения в центре диска и симметрии нагру жения в центре диска.
Уравнения (3.6) и (3.11) вместе с граничными ус ловиями (3.12) или (3.14) представляют полную математическую формулировку задачи, решение которой дает напряженное состояние в любой точ ке диска.
Аналитическое решение сформулированной выше задачи удается получить лишь для диска по стоянной толщины, а также для случаев, когда тол щина диска изменяется по радиусу по линейному или гиперболическому закону. В практических расчетах приходится прибегать к численным ме тодам. Рассмотрим один из вариантов метода ко нечных разностей, широко используемого в рас четах дисков.
Меридиональное сечение диска разобьем на п участков кольцевыми сечениями. Для каждого /-го сечения известны радиус г., толщина диска Ь., тем пература г. Необходимо найти напряжения в этих сечениях, которые обозначим c Ri и с гг Производ ные в уравнениях (3.6) и (3.11) заменим конечны ми разностями:
* |
2nR„bb |
(3.13) |
’ |
где Pt i и Р вшдш- центробежные силы лопатки и вы
|
ступа диска соответственно; |
Z |
- число лопаток; |
Ьь |
- толщина обода диска на |
радиусе Rb.
В частном случае отсутствия рабочих лопаток или других внешних воздействий на наружном кон туре диска oRb= 0.
Граничные условия на внутренней поверхнос ти г =Raопределяются условиями его закрепления. Если диск свободно посажен на вал или его цент ральное отверстие свободно, то c Ra= 0. Если диск посажен на вал с натягом, и этот натяг не исчезает на рабочих режимах, на внутренней поверхности диска действует давление cRa= -#. Это давление и соответствующий ему натяг находят из условия совместности деформаций вала и диска. Отметим, что посадка диска с натягом приводит к увеличе нию напряжений на внутренней поверхности, ко торое и без того бывает значительным. Поэтому такой способ соединения вала с диском использу ется редко.
Для диска без центрального отверстия вместо второго из граничных условий (3.12) выступает условие:
_ Ьм -Ь,
dr |
rM ~ ri 5 |
|
1 |
daR ~ CA+t Q |
|
dr |
r,+l -r, ; |
dcsT |
°'n+1- ° n |
dr |
rM'~ ri |
Подставляя (3.15) в уравнения (3.6) и (3.11), вы разим напряжения в каждом последующем сече нии через их значения в предыдущем сечении:
CJRh |
0 Rh |
о,(0) = о /0 ). |
(3.14) |
85
Глава 3. Статическая прочность и циклическая долговечность дисков
° км =<* R,+(>',+\~П) - Ч * п - 0 -
1 ъм-ь, |
2 |
|
|
ь, |
гм -п |
_ PW Г |
(3.16) |
|
|||
|
|
1 + Ц / |
\ |
° 7 !+ 1 — |
'^ 0 ( 4 1 |
* / ) 1 — P e - 4 j ) + |
+° ь - Е аЬа—к
<;+i - п |
гм - п . |
Алгоритм расчета напряжений состоит из сле дующих этапов:
1) на внутреннем контуре диска задаемся вели чинами напряжений (а^)1и (а^)1, причем первым из них задаемся в соответствии с граничными усло виями на внутренней поверхности, а вторым - про извольно. Для сплошного диска задаем (а^)1= (стТаУ; для ускорения сходимости при назначении началь ного значения (с Та следует ориентироваться на результаты расчета аналогичных дисков;
2)переходя последовательно от внутреннего контура к следующим сечениям, определяем (Gr) ]
и(вгу из уравнений (3.16). В результате получаем на наружном контуре значения напряжений в пер вом приближении (oRh)]и (а^)1;
3)из граничных условий на наружном контуре известна истинная величина GRb. По разнице пер вого приближения (aRbY и заданного GRb определя ем поправку, которую надо внести в значение (аГо)' первого приближения, чтобы получить (оТ() 2вто рого приближения, далее повторяем пункты 2 и 3.
Процедура повторяется до тех пор, пока разни ца полученных в очередном приближении радиаль ных напряжений на наружной поверхности с гра ничными условиями не станет меньше заданной погрешности.
В конструкциях дисков часто встречаются зоны резкого изменения толщины: переход развитой сту пицы к полотну и переход полотна к ободу, в мес тах крепления дефлекторов и лабиринтов и т.д. (см. рис. 3.6). Резкое изменение толщины диска приво дит к скачкообразному изменению напряжений. Рассмотрим последовательность определения на пряжений в таких зонах.
Пусть напряжения G R] и а п на радиусе Л, в час ти диска с толщиной 6, известны и необходимо определить величины с Л|* и G t * на том же радиусе Rp но в части диска с толщиной Ь*. Из условия равновесия радиальных усилий в сечении 1-1 сле дует 6,*аЛ1Ф= оЛ1Ьх, откуда:
* _
VRi-ViH -j'— (3.17)
Окружное напряжение <тл * в сечении 1-1 определяется из условия равенства окружной деформа ции поверхности стыка ел = ел Фдля частей диска с толщинами Ьхи Ь*. Представляя деформации че рез напряжения из закона Гука (3.10), получим:
~ ( а п - рсгЯ1)+ at = |
- |
цст |
)нхг |
|
Отсюда с учетом sn* (3.17) находим: |
||||
стГ1= а П _ ЦстЛ1 |
1- |
и |
|
|
— |
* |
(3.18) |
||
1 |
|
h
Окружные напряжения так же, как и радиаль ные, при уменьшении толщины вырастают, при увеличении толщины уменьшаются.
На самом деле распределение напряжений в зо нах резкого изменения толщины диска носит суще ственно более сложный характер из-за концентра ции напряжений в местах перехода. Для уменьшения концентрации напряжений зоны перехода выполня ются в виде галтели, причем радиус галтели должен быть тем больше, чем выше уровень номинальных напряжений. Более подробно вопросы определения напряженного состояния в зонах конструктивных концентраторов напряжений будут рассмотрены ниже.
Рис. 3.6. К расчету напряжений в зонах с резким изменени
ем толщины диска
86
3.3. Общие закономерности напряженного состояния дисков
В рамках принятого допущения о линейно-уп ругом поведении материала суммарные напряжения в диске можно рассматривать как сумму напряже ний, определенных отдельно от каждой из нагру зок: центробежных сил масс диска, контурной на грузки и нагрева. Некоторые закономерности напряженного состояния дисков при действии центробежных сил и перепада температур меж ду ободом и ступицей видны непосредственно из системы уравнений (3.2), (3.11) и граничных ус ловий.
Центробежные силы лопаток и масс диска про порциональны квадрату частоты вращения, а нап ряжения, в силу линейности уравнений и гранич ных условий, пропорциональны нагрузкам. Отсюда следует, что, если частоту вращения диска увели чить в к раз, то напряжения от центробежных сил вырастут в к2раз.
Если модуль упругости материала одинаков во всех точках диска, его величина фигурирует в ма тематической модели только в качестве коэффици ента перед производной температуры по радиусу в (3.11). Следовательно, в равномерно нагретом дис ке напряжения не зависят от модуля упругости.
Температура в уравнениях напряженного состо яния диска представлена только в виде производ ной по радиусу. Отсюда следует, что в равномерно нагретом диске температурные напряжения отсут ствуют. При изменении температуры диска на одну и ту же величину по всем радиусам напряжения вдиске не изменятся. При возрастании температу ры диска по всем радиусам в к раз их градиент
итемпературные напряжения увеличиваются тоже
вА: раз.
Рассмотрим напряжения в диске постоянной толщины. Для этого случая уравнения напряжен ного состояния имеют аналитическое решение. Для диска с отверстием [3]:
CTr — |
|
|
i+ 4 |
|
|
||
r RbR l~ R a2 |
|
R2 |
|
|
|||
-СГ |
Rl |
1 + 4 |
|
|
|
|
|
Ra Rl-Rl |
R2 |
|
|
|
|
||
3+ p |
pco |
2 , |
n 2 . |
|
R^Rb |
l + З ц n 2 |
|
|
RI+RI + |
R2 |
3+ P |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
+ E |
|
|
1 |
Ra |
-Q{R)-at |
||
R l- R l |
1 + -T |
||||||
|
|
R2 |
|
|
J.3. Общие закономерности напряженного состояния дисков
а Р= о |
Rl |
i - 4 |
|
RhR l- R ] |
|||
|
R2 |
- а |
Rl |
i-4 |
|
|
|
RaRl-R-l |
|
R 1J |
|
3 + Ц poo R |
|
p2n2 |
^ |
|
l + |
R l - ^ - R |
1 |
||
+ E Ф )—~ |
( |
\ |
|
|
|
l - K -Q{R) |
|||
|
Rl-Rl |
R2 |
|
где Q(R) = ~1\RГa - t ( R ) d R
^Ra
Всоотношениях (3.19) первое слагаемое выра
жает напряжения от нагрузки на внешнем контуре от центробежных сил лопаток, второе - от нагруз ки на внутреннем контуре, третье - от центробеж ных сил собственно диска, четвертое - температур ные напряжения.
Если температура от ступицы к ободу изменяет ся по степенному закону с показателем степени п:
' ( * |
) 4 W - W ] 4 |
(3-20) |
тогда |
Кь |
|
|
|
|
Q(R) = - ^ - \ ( R b) - t ( R a)]* |
|
|
|
n—z |
|
J R ” |
R"aR 2 ) |
(3.21) |
R"b |
RbR2) |
|
Для сплошного диска [3]:
=+ 4 ^ P « > 2fe 2 - 4 ) +
+ £l0(Z»)-0(/?)] |
(3.22) |
1 R
где Q(R)= ±r\Ra-t(R)dR
R~ D
На рис. 3.7 показан характер изменения по ра диусу напряжений от центробежных сил oRifи а Г(/, температурных напряжений aRt и оТ1и суммарных c R1 и о ^ в диске постоянной толщины без цент рального отверстия и с отверстием. В качестве об-
87
Глава 3. Статическая прочность и циклическая долговечность дисков
щих закономерностей напряженного состояния дисков постоянной толщины можно выделить бо лее высокий уровень окружных напряжений по сравнению с радиальными и большая напряжен ность ступицы по сравнению с ободом.
Тангенциальные и окружные напряжения от центробежных сил всегда растягивающие. В отли чие от них, окружные температурные напряжения при типичном для стационарного режима поля тем ператур имеют положительный знак на ступице и отрицательный на ободе. Наличие на ободе сжи мающих тангенциальных напряжений о Т1объясня ется тем, что более горячие волокна обода диска стремятся расшириться, но более «холодная» сту пица препятствует этому и вызывает сжатие обо да. Обратное воздействие обода на ступицу вызы вает появление растягивающих с Т1 в ступице. В дисках турбин и последних ступеней компресоров высокого давления окружные температурные напряжения достигают 50% от суммарных напря жений.
Так называемый обратный градиент темпера туры, когда ступица диска горячее обода, возника
ет на режимах остановки двигателя. При этом рас пределение тангенциальных температурных на пряжений имеет противоположный характер: сжа тие в области ступицы и растяжение в ободе.
В дисках постоянной толщины с центральным отверстием окружные напряжения в ступице зна чительно выше, чем в таких же дисках без отвер стия. Наличие даже самого малого центрального отверстия приводит к падению на контуре отвер стия радиальных напряжений до нуля и увеличе нию окружных напряжений почти вдвое по срав нению со сплошным диском. По конструктивным соображениям диски часто выполняют с централь ным отверстием, а снижения напряжений добива ются увеличением толщины ступицы.
Диск постоянного сечения нагружен неравно мерно: суммарные напряжения в периферийной ча сти меньше, чем в ступице. В этом смысле его фор ма нерациональна. Ненагруженный, «лишний» материал не только неоправданно увеличивает мас су диска, но и нагружает ступицу дополнительны ми центробежными силами. Поэтому диски обыч но имеют меридиональное сечение, сужающееся
88
3.4. Пластические дефоамаиии в дисках. Автофретирование дисков
СТ7Х
От,
Отщ
Рис. 3.8. Пример распределения напряжений в промежуточном диске турбины высокого давления
к ободу. Ниже будет показано, что в принципе мож но спроектировать диск, имеющий одинаковые ста тические напряжения по всему сечению. Такие дис ки иногда называют «равнопрочными», хотя точнее было бы называть их «равнонапряженными». Дело в том, что равные напряжения не означают одина ковые значения показателей прочности. Реальные диски обычно не удовлетворяют полностью усло виям равенства показателей прочности по объему, однако при проектировании отдельных участков следует к этому стремиться.
Распределение напряжений в реальных дисках переменной толщины может быть достаточно слож ным. На рис. 3.8 приведен пример поля напряже ний в реальном промежуточном диске турбины вы сокого давления. Видно, что, несмотря на утолщение ступицы, суммарные окружные напряжения на внут ренней поверхности выше, чем в ободе. При пере паде температур между ободом и ступицей в 300 градусов температурные напряжения в ступице со ставляют около 20% от суммарных, в ободе - боль ше половины. Радиальные напряжения в средней части полотна примерно в два раза меньше окруж ных. Максимальные суммарные напряжения - на внутренней поверхности.
3.4. Пластические деформации в дисках. Автофретирование дисков
Приведенные выше основные уравнения для определения напряжений в дисках были получены в предположении упругого поведения материала диска, когда максимальные напряжения в диске не
превышают предела пропорциональности. Опыт доводки и эксплуатации двигателей показывает, что появление пластических деформаций в ступице само по себе не означает его разрушения, а лишь ведет к перераспределению напряжений. Более того, допуская более высокий, чем предел пропор циональности, уровень напряжений в диске, мож но уменьшить его вес. Важно, как будет показано ниже, чтобы пластическая деформация не приво дила к потере несущей способности диска, то есть не охватывала полностью его меридиональное се чение. В большинстве дисков современных турбин высокого давления материал испытывает пласти ческие деформации.
Для анализа напряженно-деформированного состояния диска с учетом пластичности материала используется метод переменных параметров упру гости, описанный в разд. 1.9. Напомним, что этот метод сводит решение задачи о пластическом по ведении конструкции к последовательности более простых задач, в которых материал считается ли нейно упругим. При расчете дисков метод перемен ных параметров упругости часто применяется вме сте с методом конечных разностей (см. разд. 3.2). Расчет требует наличия достоверных эксперимен тальных данных о диаграмме растяжения матери ала а - £ для рабочих температур. Результатом рас чета являются кривые распределения радиальных и окружных напряжений по радиусу диска.
На рис. 3.9 приведен пример распределения на пряжений в диске турбины высокого давления. Показаны суммарные радиальные и окружные на пряжения, полученные как в предположении уп ругого поведения материала, так и с учетом плас-
89