книги / Системный подход в современной науке

Размножение организмов Отсутствие функциональности соответствия

Поглощение одним организмом другого Отсутствие инъективности соответствия

Смерть особи или ее элиминация из общества

О	Отсутствие всюду определенности соответствия

^ И н т р о д у к ц и я особей в сообщество Отсутствие сюръективности соответствия

Рис. 4. Допустимые преобразования особей в экологическом сообщест­ ве и их математическая интерпретация.

туре d = -1/Т и справедливо F = (Е — Т Н) 1/Т. В такой ситуации экс­ тремальный принцип трактуется как принцип минимума свободной энергии системы.

6. Энтропию системы, выраженную через инварианты соответст­ вующих математических структур, можно рассматривать как количе­ ство информации, связанной со структурой системы, поэтому вве­ денный экстремальный принцип можно интерпретировать и в инфор­ мационных терминах.

Следует ли принцип экстремальности энтропии непременно ин­ терпретировать лишь как возможность возрастания энтропии к мак­ симуму? Г.Е. Михайловский выделяет мир существующего (мир да-

пласа) со стационарным значением энтропии, мир возникающего (мир Пригожина) с возрастающей в силу динамической неустойчиво­ сти энтропией вдоль реальных траекторий и мир развивающегося (мир действия принципа эквифинальности) с отрицательными приро­ стами энтропии, относя существенно биологические и социальные системы только к миру эквифинальности5.

Предложенный принцип осуществления экстремальной структуры систем безусловно открыт для дальнейших обобщений и новых ин­ терпретаций.

Появление энтропии в предлагаемом контексте обладает рядом особенностей по сравнению с ситуациями, в которых она неоднократ­ но возникала в различных областях естествознания:

—энтропии придается универсальная общенаучная роль функци­ онала, порождающего законы изменчивости систем;

—энтропия приобретает смысл, аналогичный смыслу инвариан­ тов математических структур — количественное представление, упо­ рядочивающее состояния естественных систем, монотонное с упоря­ дочением состояний при помощи гомоморфизмов систем; поскольку инварианты структур рассчитываются через количества допустимых преобразований, указанная трактовка энтропии оказывается обоб­ щением больцмановского определения энтропии;

—энтропия однозначно рассматривается вне каких-либо вероятно­ стных соображений. Величина ее зависит от эксплицирующей систему математической структуры и допустимых системой преобразований.

Пример: формула видовой структуры в экологии сообществ

Опишем экологическое сообщество структурой множеств с разби­ ениями: элементы множеств — это особи, классы разбиения — попу­ ляции биологических видов. Состояние сообщества — вектор n = {n !,n 2,...nw} , составляющие ni которого есть численность каждо­ го из w слагающих сообщество видов.

На рис. 4 представлены преобразования, происходящие с биоло­ гическими организмами, и их математическая интерпретация.

Конкретизируем модель для сообщества организмов одного тро­ фического уровня, например, для фитопланктонного сообщества без интродукции клеток извне. Для фитопланктона отсутствует поглоще­

ние одних клеток другими и слияние особей, также виды ни генети­ чески, ни трофически не взаимодействуют друг с другом. Поэтому до­ пустимыми преобразованиями будут необязательно всюду опреде­ ленные (смертность), необязательно функциональные (деление кле­ ток), но сюръективные (отсутствие интродукции) и инъективные (от­ сутствие слияния клеток) соответствия каждого класса разбиения в себя же (отсутствие взаимодействия видов).

Заметим, что модель сообщества определяется не только экспли­ цирующей математической структурой (множества с разбиениями), но и допустимыми морфизмами. Выбор иных морфизмов при сохра­ нении той же структуры порождает иную модель. Так, биекции в ка­ честве морфизмов приводят к существованию состояний сообщест­ ва лишь с постоянными численностями видов. Выбор свойств допус­ тимых морфизмов, как проиллюстрировано ниже, совершенно меня­ ет характер распределения численностей видов. Поэтому рассматри­ ваемая модель является содержательно теоретико-категорной, а не только лишь использующей язык этой теории.

Функционал, максимизация которого согласно экстремальному принципу определяет динамику сообщества, для выбранных допус­ тимых морфизмов выглядит следующим образом:

н	n n	w
	= l o g - ------ ^ X n j l o g n j + n l o g n >(3)

IK' м

i=l

w

где n = X n i — общая численность клеток в сообществе.

i= l

Заметим также, что здесь использована не локальная, а глобаль­ ная формулировка экстремального принципа: ищется финальное ста­ ционарное состояние системы, для которого экстремальна энтропия перехода лишь в самого себя, т. е.

/. \

Нн а(А)

V

Сообщество функционирует за счет ресурсов среды, которые огра­ ничивают беспредельную экспансию видов. Таким образом, реальное состояние сообщества, является экстремалью вариационной задачи

Г	\
Н ПГ	= - I ni lnrij +nlnn-extr,
V	J	i= l
w	г	г	w
I n j q j		< L ;	X i i j = n	(4).
i= l			i= l
Здесь		Qi — {qi»qfv> qJn} H 4 f —		потребность вида i в ре­

сурсе к, L = {L1, L2,.., Lm} и Lk — количество ресурса k, имеющееся в среде.

Такая задача имеет решение

1 Г

n i = n e x p { - A , q j }

(5),

где Х = {Х !Д 2,...Х,т } — множители Лагранжа, отыскиваемые вмес­ те с п из системы

Х е " * 4' = 1,
\	____
и i i l q j V ^ - L k /	= 0, k = 1,m,
к >0,k = l,m,	(6)

Заметим, что это решение единственно и обязательно существу­ ет (Левич и др., 1994).

Формула видовой структуры (5) позволяет адекватно описать эм­ пирические численности видов в экологических сообществах6.

Анализ формулы (5) позволил сделать теоретический вывод (и подтвердить его экспериментальными исследованиями) о том, что относительная численность заданного вида принимает наибольшее значение при отношениях в среде ресурсных факторов, равных отно­ шениям потребностей в них данного вида.

Для задачи (4) доказано «правило лимитирующего звена», обоб­ щающее принцип минимума Либиха и закон совокупного действия, факторов Митчерлиха: пространство потребляемых факторов среды

распадается («стратифицируется») на 2т — 1 непересекающихся подмножеств, каждому из которых соответствует единственный на­ бор потребляемых факторов, которые (и только они) в этом подмно­ жестве:

а) потребляются полностью; б) являются аргументами экстремали (5).

Проиллюстрируем возможности метода выбором иных допусти­ мых преобразований. Пусть допустимы произвольные соответствия, т. е. кроме смертности и размножения допускаются интродукция осо­ бей и поглощение одних организмов другими. Решением вариацион­ ной задачи

Н	п —log	2"	- e x tr ,
		• = n2
		П 2 П'
X	n i 4i - L ,	X n j = n	(?)
i		i

будет экстремаль

1 г

П| = n - X q { .

Заметим, что функционалы (4) и (7) применяются в экологии неза­ висимо от описываемого подхода и называются индексами разнооб­ разия видовой структуры экологических сообществ7. Таким образом, экстремальность функционала Н, порождающего динамику сообще­ ства, можно интерпретировать и как требование максимального раз­ нообразия системы, ограниченного доступными ресурсами среды.

Следует уточнить, о какой динамике идет речь: изменчивость чис­ ленности m параметризуется количеством L потребленных сообщест­ вом субстратов. Действительно, численности щ, зависят согласно (5) от множителей X, которые согласно (6), как и полная численность п, являются функциями лишь потоков через сообщество ресурсов Lk, т. е. подразумевается динамика в субституционном времени системы.

Время субституционное, энтропийное и категорное

Субституционное время было определено как количество заме­ ненных в системе элементов. Энтропийное время связано с количе­ ством преобразований системы. Поскольку (согласно принципу уни­ фикации изменчивости) преобразования системы и состоят в заме­ не элементов, то на качественном уровне связь между метаболичес­ ким и энтропийным временами очевидна. Между ними существует и однозначная количественная связь. Проиллюстрируем ее на приме­ ре вариационной задачи (4) предшествующего раздела. Энтропия

			- н		i
	n |= - X ni lnni +nlnn	при		с учетом	]Г iij q, < L
	i=l
	Xn, =n переходит в	m ,	I	где множители	Лагранжа Xk
		H L £A, L
		k=l

также зависят от L. Причем связь между энтропией и компонентами метаболического времени строго монотонна, поскольку можно пока­ зать, что dH/dLk > 0.

Заметим, что если один из существенных для функционирования системы факторов Lk есть тепло AQ, то соответствующий множитель Лагранжа А.к есть 1/Т, где Т — абсолютная температура. Из этого сле­ дует, что термодинамическая энтропия ДОЯ (как и больцмановская статистическая энтропия) есть частный случай категорного опреде­ ления энтропии.

Формула H = X,JlkLk демонстрирует важный результат: энтропия

к

представляет собой как бы «усреднитель» метаболических времен системы с несколькими сортами заменяющихся элементов. Множи­ тели Лагранжа играют роль собственных «метаболических частот» системы. Таким образом, энтропийная параметризация разрешает возникшую в метаболическом подходе проблему разносортности элементов в универсумах.

Энтропийная параметризация появилась в результате математи­ ческого приема замены упорядочения структур систем упорядочени­ ем чисел. Поэтому можно сказать, что энтропийная параметризация изменчивости вторична по отношению к способу упорядочения сис­ тем при помощи гомоморфизмов. В рассмотренном выше форма­

лизме проводилось сравнение систем с помощью мономорфизмов (по аналогии с инъекциями для сравнения неструктурированных множеств). Вообще говоря, для сравнения структур вместо мономор­ физмов в категории могут быть выбраны иные морфизмы. Кроме ос­ новного одноместного функтора, породившего энтропию, могут ока­ заться монотонными по отношению к упорядочению структур и дру­ гие функторы, а может оказаться, что таких функторов не существу­ ет вовсе. Таким образом, параметризация времени с помощью структурных чисел (назовем ее категорным временем) является бо­ лее общей конструкцией, чем энтропийный способ. Правда, как уже отмечалось, структурные числа упорядочены лишь частично и вво­ димое ими время обладает тем самым довольно экзотическими свойствами.

Энтропийное (и вместе с ним метаболическое) время согласова­ но с упорядочением структур при помощи инъективных морфизмов (т. е. вложений). Поэтому, согласно экстремальному принципу, эво­ люция систем идет от подобъектов к объектам и от них — к надобъектам. Такую эволюцию можно назвать консервативной или казуаль­ ной: достигнутые состояния не пропадают (подобъект «сохраняется» в объекте) и новые состояния возникают не на пустом месте, а из сво­ их «менее сильных» (в смысле упорядочения по «силе структур») предшественников.

Отказ от использования мономорфизмов в качестве упорядочива­ ющих морфизмов при описании некоторой системы может привести к изменению и только что сформулированного принципа консерва­ тивной эволюции естественных систем. По-видимому, выбор упоря­ дочивающих морфизмов — вопрос экспликации операциональных способов выяснения принадлежности элементов объектам. Естест­ венно-научной интерпретацией конструкции упорядочивающих мор­ физмов может, по-видимому, служить понятие сигнала.

Теорема теории категорий, устанавливающая монотонность упо­ рядочения структур и их энтропийных инвариантов фактически игра_ ет роль Н-теоремы Больцмана, доказывающей монотонность энтро­ пии, но не в физическом, а в категорном времени8. Аналогична роль предъявленной выше монотонной связи энтропийного и метаболического времен.

Поскольку в процессе изменчивости системы интервал ее мета­ болического времени At = Am+ + Дгтг строго возрастает, то вдоль тра" ектории системы в пространстве состояний возрастает и энтропия си­

стемы. Это означает, что с помощью энтропии можно параметризо­ вать изменчивость или задавать количественную меру изменения со­ стояний системы. Таким образом возникает T-компонент теоретикокатегорного описания систем, или энтропийное время систем.

Как указывалось, для разработки динамической теории какого-ли­ бо фрагмента реальности необходимо решение конкретного ряда ме­ тодологических проблем: построение элементарного объекта теории, перечисление допустимых состояний объектов и путей их изменчи­ вости, конструирование способов параметризации изменчивости и, наконец, формулировка закона изменчивости, выделяющего реаль­ ное обобщенное движение объектов в пространстве состояний из всех возможных.

Изложенное позволяет предложить:

—в качестве элементарного объекта — иерархию структуриро­ ванных множеств, не замкнутых относительно замены элементов на каких-либо уровнях иерархии;

—в качестве пространства состояний — категорию, объекты ко­ торой (элементарные объекты теории) интерпретируются как состоя­ ния изучаемой системы, а морфизмы — как способы изменчивости системы;

—в качестве часов — параметризацию изменчивости, которая за­ дается энтропией состояний системы, рассчитываемой через значе­ ния основного одноместного функтора категорий. Энтропийная пара­ метризация комонотонна с метаболической, задаваемой количест­ вом замененных в системе элементов;

—в качестве закона изменчивости — принцип максимума энтро­ пии при условиях, накладываемых ограниченностью доступных сис­ теме ресурсов.

Предложенный подход к описанию естественных систем, конечно, недостаточен для построения теории и представляет собой лишь не­ которые основания для потенциальной исследовательской програм­ мы. Эта программа должна, в частности, включать возможность по­ следовательного получения традиционных уравнений динамики

впредметных областях, где такие уравнения уже известны, т. е. обес­ печивать выполнение принципа соответствия. Получение уравнений мыслится как следствие принципа экстремальности энтропии в отли­ чие от исследовательской программы И. Пригожина, в которой дина­ мические уравнения считаются исходно заданными, и речь идет о до­ полнении их способами введения энтропии (как функции Ляпунова

динамических уравнений) и принципами отбора допустимых состоя­ ний на основе второго начала термодинамики.

ПРИМЕЧАНИЯ

Работа поддержана Российским гуманитарным научным фондом (грант

№00-03 003 60а).

1Левин А Л . Теория множеств, язык теории категорий и их применение в тео­ ретической биологии. М., 1982.

2Шаров А.А. Понятия информации в теории категорий // Семиотика и инфор­ матика. Вып. 8. М., 1977.

3Пригожин И. От существующего к возникающему. М., 1985. С. 93.

4Там же. С. 303.

5Михайловский Г.Е. Описание и оценка состояний планктонных сообществ. М., 1988.

6Левин А .П., Алексеев В.Л., Никулин В.А. Математические аспекты вариаци­ онного моделирования в экологии сообщества // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 5; Levich А.Р. Variational modeling theorems and algocoenoses func­ tioning principles // Ecological modeling. 2000. V. 131.

7	Левин А Л . Структура экологических сообществ. М., 1980.
8	Левин А.П. Теория множеств, язык теории категорий и их применение в тео­

ретической биологии. М., 1982. С. 113.

А.П. Огурцов

ТЕКТОЛОГИЯ А.А. БОГДАНОВА

ИИДЕЯ КОЭВОЛЮЦИИ

1.Что такое коэволюция? В словарях коэволюция определяется как эволюционное взаимодействие организмов разных видов, не об­ менивающихся генетической информацией, но тесно связанных друг

сдругом биологически. Термин «коэволюция» был введен эколога­ ми, для которых коэволюция — взаимное приспособление видов. Об­ ратив внимание на различные типы взаимодействия видов (хищни­ чество, паразитизм, комменсализм, конкуренцию), экологи сначала связали коэволюционное взаимодействие с мутуалистическими (вза­ имовыгодными) ассоциациями, примером которых может быть сим­ биоз. В симбиотических ассоциациях организм, будучи элементом одного микроуровня, становится элементом другого уровня — макро­ уровня, или биоценоза. В последующем экологи расширили область этого понятия и стали говорить о коэволюции как взаимоотношениях любых видов организмов с видами — ближайшими партнерами в био­ геоценозе. Эти взаимоотношения включают в себя даже антагонис­ тические, однако при них виды-партнеры оказываются взаимно не­ обходимыми. Коэволюция обеспечивает условия взаимного сущест­ вования и повышение устойчивости биоценоза.

Этологи сделали предметом анализа коэволюционные процессы, обратившись к изучению совместной эволюции коммуникативно-ин­ формационных систем (передающей и воспринимающей систем),

краскрытию корреляции между актами поведения одних особей и их влияния на акты поведения других особей, между сходными адапта­ циями (например, мимикрия). Поэтому вместо адаптации они стали говорить о коадаптации — взаимной адаптации двух видов.

Вгенетике начинают анализировать коэволюцию в геноме челове­

ка, т. е. в ансамбле генетических информационных структур разного ранга. В социобиологии (Е. Уилсон) вводится понятие «генно-культур­ ной коэволюции», т. е. сложного взаимодействия, в котором культура порождена биологическими императивами, а биологические черты изменены генетической эволюцией в ответ на культурные новшества.