книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

		CBW_ , 2 W ,, _£® , B						1
		дхЪ		дх	дх3			дх* \
		d2w	■ g	dflyt
		dyi		ду
	к		d?w		dLj	д3т	1	|
	№Li
	дхду		дхду		дх	дхду?	J
+ у	Г ^ _	_ ^ L +		i ,	J ^	] +	?	s r = О	(1.93)
4 ^	| ду	дх^ду		1 djc2dy2J
(=1

Здесь через Bxi и 5 Vi обозначены изгибные жесткости подкреп­ лений l-то отверстия в соответствующем направлении; L* — пара­ метр жесткости ребер на кручение; q — .поперечная нагрузка.

Таким образом, по приведенным в настоящей главе соотноше­ ниям можно достаточно полно исследовать вопросы устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций с вырезами.

Глава 2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ВЫРЕЗАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ

2.1. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Весьма распространенным элементом тонкостенных конструк­ ций, широко используемых, в авиации, судостроении, ракетной тех­ нике, строительстве и многих других областях машиностроения, являются пластинки прямоугольной формы, ослабленные одним либо несколькими вырезами. В зависимости от формы и размеров последних в механике выделилось несколько самостоятельных пу­ тей исследования. Одно из направлений, объединяющее в настоя­ щее время наибольшую группу публикаций, связано с изучением устойчивости пластинок с прямоугольными вырезами, края кото­ рых параллельны внешнему контуру. Полученные в этой серии ра­ бот результаты основаны главным образам на методе конечных разностей. При этом необходимо отметить, что из-за трудностей, связанных с удовлетворением граничных услови^ на внутреннем контуре (контуре выреза), метод конечных разностей почти не ис­ пользовался для изучения устойчивости прямоугольных пластинок

свырезами, форма которых отлична от прямоугольной. Исследо­ вание поведения последних осуществлялось другими методами, на­ пример, с использованием конечных элементов или же комплексных потенциалов Г. В. Колосова. Настоящая глава посвящена вопро­ сам устойчивости прямоугольных пластинок с вырезами прямо­ угольной формы.

Известно, что после того как сформулирована та или иная зада­ ча механики деформируемых сред, становится необходимым оты­ скать решение исходных дифференциальных уравнений при задан­ ных граничных условиях. С усложнением задач аналитическое ре­ шение не всегда оказывается возможным, в этих случаях обра­ щаются к какому-нибудь численному методу. С 50-х годов исполь­ зуется метод конечных разностей или, как его еще называют, ме­ тод сеток [65]. Этот метод стал особенно широко распространяться

споявлением быстродействующих вычислительных машин. Суть метода состоит в том, что при исследовании какой-либо задачи ме­ ханики члены дифференциального уравнения заменяются конечно­ разностными выражениями. Кроме того, одновременно осуществля­ ется замена в дифференциальном уравнении не только производ­ ных, а и вообще дифференциальных операций их приближенными выражениями через конечно-разностные соотношения или значения

функций в отдельных точках. Последние представляются узлами сетки, наложенной определенным образом на область задания функции.

Можно отметить, что в числе самых первых публикаций по устойчивости прямоугольных пластинок с отверстиями были рабо­ ты, основанные на методе конечных разностей [26]. Как правило, в них излагались результаты, полученные для прямоугольных пла­ стинок с одним центральным прямоугольным (квадратным) отвер­ стием при различных условиях опирания внешнего и внутреннего контуров. Последние во всех случаях считались конгруэнтными.

Следует подчеркнуть одну особенность метола исследования, ос­ нованного на конечных разностях. Она состоит в там, что диффе­ ренциальное уравнение изгиба, а также граничные условия при ис­ пользовании такого метода, согласно требованиям, удовлетворяют­ ся только в узлах наносимой сетки. Этого бывает достаточно, если рассматриваются простейшие деформируемые системы, напримеэ, сплошная упругая изотропная пластинка. Однако когда рассматри­ ваемая пластинка имеет прямоугольные вырезы, то для удовлетво­ рения граничным условиям на его внутреннем контуре требуется вводить гораздо большее число узлов сетки в сравнении с осталь­ ной частью деформируемой системы. Это приводит к появлению громоздкой системы алгебраических уравнений, а следовательно, и усложняет дальнейшее решение задачи.

Необходимо помнить, что решение на основе метода сеток всег­ да остается приближенным. Степень точности (приближения) за­ висит от густоты нанесенной сетки. И здесь возникает одна суще­ ственная особенность метода конечных разностей, связанная со схо­ димостью решения при измельчении сетки, когда требуется достичь определенной точности.

Иногда в отличие от общепринятых уравнений метода сеток, в котором в качестве неизвестных принимаются значения иссле­ дуемой функции в узлах сетки, принимают за неизвестные, кроме значения самой функции (например, нормального прогиба ш) еще и значение ее первых производных (dwfo'x и owldy). В этом случае точность удовлетворения граничным условиям оказывается менее зависимой от густоты сетки. При решении задачи в такой поста­ новке появляется возможность более полного (а не в отдельных узлах) удовлетворения граничным условиям на внутреннем и на­ ружном контурах [53].

Замена рассматриваемой пластинки сеточиой областью соответ­ ствует задаче аппроксимации реальной системы расчетной моде­ лью. Переход от рассматриваемой деформируемой системы к сетке приводит в теоретическом анализе к системе линейных алгебраиче­ ских уравнений относительно неизвестных дискретных значений изучаемой функции. Структура уравнений зависит от характери­ стики се т и .

Строгая постановка задачи устойчивости требует прохождения при исследовании двух этапов. На первом этапе необходимо выяс­ нить распределение напряжений в срединной плоскости, а на вто­

ром — определить по одному из критериев устойчивости критиче­ скую нагрузку. Для пластинок и оболочек с отверстиями решение плоской задачи теории упругости связано со значительными мате­ матическими трудностями, поэтому в большинстве опубликованных работ, посвященных устойчивости подобных конструкций, докритическое напряженное состояние чаще всего аппроксимируется при­ ближенными формулами, а иногда считается равномерным [34]. Такой подход к исследованию позволяет провести хотя бы качест­ венное выявление влияния геометрических размеров, условий опирання и мест расположения отверстий на значение критических па­ раметров, а в некоторых случаях получить и достаточно точные их величины.

Приближенные решения задач об устойчивости прямоугольных пластинок с прямоугольными отверстиями на основе метода конеч­ ных разностей приведены в работах А. Баратова [7 10]. Автор этих работ считает, что распределение усилий во всех точках рас­ сматриваемой пластинки до потери устойчивости однородное. Эго упрощающее предположение эквивалентно наложению на пластин­ ку дополнительной связи [10], устраняющей в докритическом со­ стоянии влияние отверстия. Подобную связь можно осуществить, заполнив отверстие веществом, полностью воспринимающим напря­ жения плоского напряженного состояния, но не влияющим на де­ формации изгиба. Однако здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что наложение дополнительной (или новой) свя­ зи, как известно, должно повысить критические значения нагрузок, поэтому результаты, полученные при названном выше предполо­ жении однородности напряжений, позволяют указать те значения нагрузок, при которых пластинка с отверстием заведомо потеряет устойчивость. Здесь под нагрузками подразумеваются лишь актив­ ные силовые воздействия. Реакции дополнительной связи входят в решения неявно — через напряжения плоского напряженного со­ стояния.

Сопоставление числовых результатов, полученных на основе двух подходов (без учета истинного напряженного состояния перед потерей устойчивости пластинки [9 ... 14] — оно в этом случае пред­ полагается однородным — н с учетом истинного напряженного со­ стояния) показывает, что встречаются случаи, когда исследование задачи устойчивости можно проводить приближенным методом. Последний позволяет наряду с качественной картиной получить и количественные данные, которые можно использовать при проек­ тировании. При этом особо надо оговорить, что в рассматриваемых случаях речь идет пока лишь об общей потере устойчивости, поэто­ му применяемые в этом случае допущения не могут быть прямо перенесены на задачи локальной устойчивости, в которых главенст­ вующим фактором являются концентрации напряжения в ограни­ ченных областях деформируемой системы. В связи с этим надо помнить, что при проектировании несущих конструкций должна учитываться возможность как общей, так и местной потери устой­ чивости.

2.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНКИ

С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ВЫРЕЗОМ

Рассмотрим приближенный метод аналитического решения за­ дачи об упругой устойчивости прямоугольной, сжатой с четырех сторон, шарнирно опертой по наружному контуру пластин-ки с цен­ тральным прямоугольным неподкрепленным вырезом, свободным от опор. Предложенный метод дает решение задачи в замкнутом виде. Исследование будем проводить .в предположении, что воз­ мущение, вносимое вырезом в докритическое напряженное состоя­ ние, в первом приближении при оценке устойчивости пластинки можно не учитывать. Подобная гипотеза основывается на следую­ щих соображениях.

1. Мы исследуем лишь случаи, когда на участках концентрации напряжений деформации не выходят за пределы упругих. Прини­ мается во внимание и то, что появление пластических деформаций в небольшом объеме детали не всегда существенно нарушает несу­ щую способность конструкции и не приводит к местной (локаль­ ной) потере устойчивости. Кроме того, возникновение местных тре­ щин далеко не всегда приводит к разрушению конструкции. При­ мером тому в строительных сооружениях могут служить железо­ бетонные конструкции, в которых образование местных трещин не вызывает, как правило, опасений за все сооружение в целом.

2, В данном разделе рассматривается лишь общая, а не локаль­ ная устойчивость пластинок с отверстиями. При этом мы будем основываться на энергетическом критерии при оценке характера отклоненного положения равновесия системы. Одно из возникаю­ щих затруднений при использовании этого критерия связано с воз­ можностью концентрации энергии в некоторых малых объемах уп­ ругого тела. Однако в этом случае мы не должны требовать, что­ бы критерий устойчивости был выдержан в каждой малой области тела [22]. Его можно применять по отношению к конструкции в це­ лом, используя средние значения перемещений и скоростей. Реш е­ ние на основе оплошной модели как раз и базируется на подобные соображениях. Наличие вырезов в системе учитывается перемен­ ным параметром жесткости сплошной модели. Неоднородность на­ пряженного состояния занимает ограниченную зону около выреза» Внутренние усилия в этой зоне перераспределяются. Появляются участки, где действуют усилия малой величины, в несколько раз меньшие средних, и участки с большими усилиями. Так как такие зоны пластинки, граничащие с вырезами, перемещаются при потере устойчивости на соизмеримые между собой расстояния независимо от концентрации напряжений, то работа усилий здесь в среднем должна быть близка к работе тех же усилий, равномерно распре­ деленных (работа является линейной функцией усилий). Величина ошибки будет колебаться в зависимости от размеров отверстий, их числа и месторасположения.

Вдали от вырезов напряженное состояние — однородное, а вбли­ зи — неоднородное. Однако запас энергии, поглощенной на дефор-

зг

мацию участка вблизи выреза, должен быть близок к энергии, по­ глощенной тем же участком, но без выреза, при соответствующем равномерном распределении внутренних усилий. Разница будет тем меньше, чем меньше площадь выреза в сравнении с площадью всей пластинки.

Такой подход к исследованию поведения прямоугольных пла­ стинок с центральным прямоугольным вырезом наряду с автором данной книги попользовал В . И. Липкин. Применение 6-функций для описания жесткостей пластин и стержней ступенчатых профи­ лей встречается в более ранних работах О. Ф. Коваленко и Т. Либера [60], а для описания законов распределения нагрузки в рабо­ те В . В. Новицкого [61, 62].

Решение задач об изгибе прямоугольных пластинок с отвер­ стиями на основе сплошной модели приводит к цели быстрее, чем метод конечных разностей. Все операции легко поддаются про­ граммированию. И даж е при ручном счете для пластинок с одним отверстием получается довольно точный результат при затрате сравнительно небольшого количества труда.

Кроме высказанных выше соображений относительно правомер­ ности принятой модели и метода исследования, необходимо еще добавить и то, что пренебрежение неоднородностью напряженно­ го состояния может быть в какой-то степени обосновано принципом Сен-Венана, широко используемым в теории упругости. Несмотря на то, что этот принцип до сих пор не имеет исчерпывающего тео­ ретического обоснования [63], он является важным вспомогатель­ ным средством для решения многих за.дач линейной и нелинейной теории упругости. Полученные на его основе многочисленные тео­ ретические результаты апробированы опытными исследованиями многих авторов.

Наконец, возмущение, вносимое вырезами в доюритическое од ­ нородное напряженное состояние оплошной пластинки, если перей­ ти к деформациям и перемещениям, можно трактовать как началь­ ную неправильность. Исследования устойчивости показывают, что влияние начальных неправильностей на величину критической на­ грузки для прямоугольных пластинок незначительно в сравнении с их влиянием на критические нагрузки для оболочек. Поэтому изу­ чение поведения нагруженных пластинок можно осуществлять без учета начальных неправильностей.

В данном разделе будем	рассматривать только	те пластинки,
у которых стороны выреза	(внутреннего контура)	параллельны

внешним сторонам, т. е. сторонам наружного контура. Считаем, что в процессе исследования ось х направлена вдоль стороны дли­ ною а, а ось у вдоль стороны длиною Ь.

Исследование критического состояния системы проводим в гео­ метрически линейной постановке с помощью энергетического мето­ да. Известно, что при применении этого метода критические значе­ ния усилий, приложенных по контуру и действующих в срединной плоскости пластинки, определяются из условия, что работа А этих, сил, затрачиваемая на изгиб пластинки, должна быть равна соот«

ветствующему приращению потенциальной энергии пластинки. По­ тенциальная энергия при изучении поведения жестких пластинок включает в себя только энергию изгиба, определяемую по зависи­ мости

U = ^ - [ ( * i + * г )2— 2 (1 —

y})\dxdy.

(2.1)

F

Эта зависимость получается из выражения 01.21), если в него вве­ сти соотношения для моментов в виде

Л11 = ^ 0 (х14-рх2); ;W2= A ) ( X2+H *I); H = D 0{1 — (Ju)x-	(2 .2)
Работа сжимающих усилий NX) Ny, действующих вдоль	краев
х = 0 и х = а , у = 0 и у= Ь , определяется по формуле

F

Для рассматриваемого случая обозначим: F = S — S * — пло­ щадь, в пределах которой определяется полная энергия системы; S = a b — площадь пластинки, ограниченная внешним контуром; S = a {* b 1* — площадь, занимаемая прямоугольным вырезом со сто­

ронами длиною ai* вдоль оси х и by* — вдоль оси у. Учитывая ска­

занное выше и подставляя в (2.1)				выражения для параметров из­
менения кривизны
<?2W .					< iw		(2 .4 )
*1 =	* 2	=	I p '		дхду	'
	djfi ’
получим
и	d^w \2		2 d	. Гd’iw	/	dfcw у	dxdy.
	dyz)		^	[~dx2 ’dip	[дхду I
S\ K S -

(S -S *)

(2 .5 )

Далее примем во внимание результаты экспериментов В . Г. Н а- лоева [58], который установил, что форма потери устойчивости пла­ стинки с центральным вырезом мало изменяется в сравнении со сплошной. Поэтому функцию, аппроксимирующую прогиб после потери устойчивости, примем, как и в случае сплошной шарнир­ но-опертой пластинки, в виде [22]

w = f sin ах sin фу.

(2 .6 )

Здесь а — тп/а; р = л я /6 ; т и п — число полуволн, образующихся в пластинке после потери устойчивости, соответственно вдоль сто­ рон а и Ь.

•Следует отметить, что в энергетическом методе не требуется специально обеспечивать удовлетворение аппроксимируемыми функциями статических граничных условий. Эти условия при реше­ нии задачи указанным методом удовлетворяются, как известно»

автоматически. В рассматриваемом случае граничные условия на наружном контуре имеют вил

лри

у = О, b

® = 0 ; M x = - D j m + ^ ) = 0 ;

*

°

\ 6x 2

' Г ду2 )

при

х — 0 , а

(2 .7 )

п.

ял

г-ч /д2гг>

.

\

« ,= 0 ; Ж 9 = Д 0 ( _ + 1. _ ^ = 0 ;

граничные условия на внутреннем контуре

при

х = х г И Х = Х 2

л л

п

гл

n

или

53*»

I ,

<?2w

n

<?3да .

/п

.

дЗдо

Ю;

(2 .8 )

М х =

0;

А?д. = 0

дх1

-Г— = 0 ;

-Г— -{- (2 — ц)

dxdifi

ду2

5JC3

при

И У =

Ц2

лл

п

л

Г »

(32 Ю

I

л < )3 и ;

. , 0

. <ЭЗщ»

=0.

A L==0

/?и= 0

и л и -------г*ц.-------=

0 ; -------- м 2

— и)--------

у

у

ду2

1 г

дх2

д у

* ' к

t

д х Щ

При исследовании используем энергетический метод. В связи с этим граничные условия на внутреннем контуре (2.8) и граничное условие для момента на наружном контуре можно не рассматри­ вать, так как они являются силовыми.

Полную энергию системы находим из следующего соотношения:

		Э = и — А.			(2 .9 )
С	введением в	(2.9) соотношений	(2.3) и (2 .5),	а также	проги­
ба в	форме (2.6)	после выполнения	обычных для	метода	Ритца

операций получим уравнение для определения критической нагруз­ ки, которая может быть сведена к виду

дг	— k	я2Д°			(2. 10)
^хкр — кх		Ь2	У
где
[ « ( 5 — 5*) —	(26 + ^ 1 2 ^ 2 2 )+ 2 (1 — (г) apgj;				(2 .1 1 )
№	; a i = x 2 — х х;			0\=Уч — У\у
5я2 (а2 + XEJ2)
N»				-j- rri22^\a y	(2. 12)
X= —- - ; g = (а2 -|-р2)2; Q—
Nx
т Х2 — sin 2ал:| — sin 2алг2;		т22= sin 2р^ — sin 2 фу2,

.где Хц х2, У\ и у2 — координаты вершин прямоугольного выреза.

Если прел,положить, что отверстие в пластинке отсутствует, то соотношение (2.11) преобразуется к известной формуле для оплош­ ных прямоугольных шарнирно опертых пластинок:

k	Нгп/г)1 + тРр_	г = _а_'	(2 . 13)
	[(т/г)г + \пЦ	Ь	v	1

Для сравнения по выведенным зависимостям были проведены вычисления коэффициента, характеризующего ослабление, вноси­ мое в пластинку вырезом. Рассматривалась прямоугольная пла­ стинка с центральным квадратным вырезом, аналогичная рассмат­ риваемой в работе [39]. Один из приведенных там коэффициентов, характеризующий уменьшение критической нагрузки для сжатой

с двух сторон вдоль оси х (NV=Q) однослойной пластинки		с раз­
мерами <1=1,56; ai* = 6i*= Q ,56 из-за	отверстия получился	рав­
ным 0,58. Из расчета по зависимостям	(2.10) — (2.13) этот же ко­

эффициент оказался равным 0,67. Совпадение результатов удовле­ творительное, в пределах 15% .

Задачи устойчивости значительно усложняются, если в пластин­ ке несколько прямоугольных вырезов или же, как мы частично убедились выше, вырезы непрямоугольной формы, например, в форме круга, полукруга, эллипса и т. д. Нахождение их решения по методу Ритца в большинстве случаев весьма затруднительно. В этой связи важное значение имеют новые пути исследования представленных задач, которые позволяют найти решения в замк­ нутом виде. Рассмотрим один из них — метод сплошных моделей. Он разработан автором по результатам работы Б. Н. Бастатскогэ [11]. На примере решения задачи об устойчивости прямоугольной шарнирно опертой пластинки со свободным вырезом выявим его суть и преимущества. Прямоугольная пластинка с вырезом пред­ ставляется оплошной моделью-аналогом с переменными жестко­ стью й массой, имеющими разрывы однородности. После такой ап­ проксимации реальной деформируемой системы все соотношения теории пластинок записываются применительно к используемой модели. Наличие выреза в системе проявляется в дифференциаль­ ном уравнении равновесия тем, что оно включает в себя изгибную жесткость как переменную функцию координат.

С помощью функции Хевисайда от двух переменных жесткость пластинки, ослабленной центральным прямоугольным вырезом со сторонами, параллельными ее наружному контуру и расположен­ ными в пределах X i< x< X 2] у\< у<У ь записывается таким образом:

D = D { x , y )= D 0[\— Г 0( х — у — j f t)+ r 0 (je— -*2; у — уд +

- H O(JC— x t\ У — У2)— Г 0{х — Х2, У— Уч%	(2 .1 4 )
где £>о=£оЛ3/[12(1— р,2)] — цилиндрическая жесткость;	Г 0 — им­

пульсивная функция нулевого порядка.

Введение оплошной модели позволяет в принципе не рассматри­ вать вопрос о граничных условиях на контуре выреза. Это сущест­ венно упрощает процесс исследования задачи. В этом случае нет

необходимости требовать, чтобы функция, аппроксимирующая про­ гиб пластинки после .потери устойчивости, удовлетворяла гранич­ ным условиям на контуре выреза.

Для исследования устойчивости пластинки используем уравне­ ние равновесия в форме (1.86).

Функцию, аппроксимирующую прогиб пластинки после потери устойчивости, возьмем в .виде (2.16). Она удовлетворяет как сило­ вым, так и геометрическим граничным условиям на наружном кон­

туре пластинки. Поэтому решение уравнения			(1.86) можно		искать
на основе метода Бубн ова— Галеркина.		Подобная		возможность
появилась благодаря использованию сплошной (модели.
Введя в	уравнение (1.86) функцию w	и	умножив		его	на
sin ах sin fiy,	в результате интегрирования	в пределах		от 0	до	а и

от 0 до b получим:

—

—

+

+

Д)С$/?г12от22|,

(2. 15)

где

т = О 0 -!-= ^

а р ;

(2.16)

m * = D 0- Ц ^ а 2р.

(2 .17)

А

При получении уравнения (2.15)

были использованы следующие

соотношения:

а

b

j

JCj; у - У г ) / ( х , y ) d x d y = f ( x lt

ух)\

оп оО

а

иЬ а

(х - Х£

у - Ут) f

{х,

у) d x d y =

а

(х,

ух) dx\

J

J

J

/

0

0

JC,

а

Ь

а

^

^ Т 2У){

(х — х х\ у — й ) /

(х,

у) d x d y =

— U А . [ /

(X,

у)]\

d x ;

о

oJ

х , {dy

’у1

а

Ь

Ь

$

^ Г 2Х)(

( х - х х;

у - у х) f ( x ,

у) d x d y =

-

^ { £ - [ /

(х,

r/)]|

dy\

(2.18)

0

0

U i

X l

а

Ь

а

Ь

J

J^o { х — х х, y — yx) f { x , y ) d x d y = j

Vt

у) dxdy;

0

0

JT,

ХхУх

ac *

bU

V

b

j

£г1х ,(л:— x x;

y — y i ) f{ x ,

y )d x d y =

j

f ( x u y)dy\

0

0

Ui

Здесь через Г^- ^ обозначены производные от импульсивных функций по соответствующей переменной.