книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

+ H j

f(t)= ± —

- 1 .

(1.2.168)

АЛ

J

где для плоской деформации к - 2, а для объемной и осесимметричной -

к= 4 3.

Спомощью законов движения (1.2.111), (1.2.115), (1.2.116) пока­ зать, что при испытании образца на растяж ение (-I1) - сжатие (-) с

постоянной скоростью деформирования, когда в формуле (1.2.113)

	*	= const, эта же функция/(f) линейно зависит от времени t:
v. E\ ~h	= V
		/ ( 0 - ^ j f - 3	(1.2.168')

Отметим, что функция (1.2.168) обычно используется для профили­ рования исполнительных элементов установок, например пластометров, на которых проводятся испытания механических свойств материалов с постоянной скоростью деформации в условиях однородной деформа­ ции или при близких к ней условиях, а функция (1.2.168') соответствует испытаниям механических свойств материалов с постоянной скоростью деформирования на разрывных или универсальных машинах.

1.2.8. Кинематические граничные условия

При постановке задач ОМД граничные, в том числе и кинематиче­ ские граничные, условия назначаются на основе априорных или апо­ стериорных представлений об изучаемом процессе. Наиболее часто ки­ нематические граничные условия задаются в виде значений вектора скорости (вектора перемещения) или его отдельных компонент на гра­ нице области исследования. Очевидно это связано с ограниченностью нашего восприятия движения материальных объектов. Действительно, трудно, например, предположить значащ е какой-либо компоненты тензора скоростей деформаций на контакте деформируемого металла с абсолютно жестким инструментом. И совершенно очевидно, что нор­ мальная к поверхности такого инструмента составляющая вектора скорости металла в точке контакта его с инструментом должна быть равна такой же составляющей вектора скорости инструмента в этой же точке. В дальнейшем (см. п. 1.5.3) мы будем различать несколько типов граничных условий. Здесь отметим, что с кинематическими параметра­ ми связаны кинематические и смешанные граничные условия.

Кинематические условия в скоростях на границе S , с единичной внешней нормалью

( I

it = л,е,

(1.2.169)

считаются заданными, если на этой границе известен вектор скорости V", значение которого должен принимать вектор скорости V движения среды во всех граничных точках s:

V = V“V je S v.

(1.2.170)

При задании смешанных граничных условий используется либо нормальная V*, либо касательная Vх к поверхности S составляющая вектора скорости. В первом случае используется заданное значение Ур по нормали в к поверхности Stv, которое должна принимать проекция вектора скорости V движения среды на направление этой нормали

P J	(1.2.171)
V*Тп —V V 6 Sxyt
где в соответствии с (П1.40)
к	(1.2.172)
Т п = п ® ...® п .

Во втором случае используется заданное значение Vх по касатель­ ной к поверхности Spyi которое должна принимать проекция вектора скорости V на плоскость, касательную к поверхности S в рассматри­ ваемой ее точке s.

Прежде чем записать кинематическую часть граничного условия для второго случая выполним в общем виде, проектирование произ­ вольного вектора а на плоскость с нормалью в.

Проектирование вектора а на касательную плоскость поверхности S с нормалью в выполняется в два этапа. На первом этапе находим

вспомогательный вектор (рис. 15)
а' = ахп.	(1.2.173)

62

Упражнение 1.2.19. Доказать, что вспомогательный вектор (1.2.173) лежит в плоскости, касательной к поверхности S с нормалью в, перпен­ дикуляра! вектору а и нормали в, а по модулю - совпадает с проекцией атвектора а на касательную плоскость О

Для второго этапа проектирования необходимо выполнить следую­ щее упражнение.

Упражнение 1.2.20. Доказать, что векторное произведшие единич­ ной внешней нормали в поверхности S на вспомогательный вектор (1.2.173) точно совпадает с проекцией а1 вектора а на касательную плоскость этой поверхности:

ат= в х а х в Э

(1.2.174)

С помощью выполненного проектирования кинематическая часть граничного условия на поверхности записывается в следующем виде:

n x \ x n = y z\fse S /t.

(1.2.175)

Итак, в дальнейшем будем ссылаться на три типа граничных ус­ ловий (1.2.170), (1.2.171), (1.2.175), связанных с заданными кинема­ тическими параметрами. Совершенно очевидно, что аналогичные граничные кинематические условия могут быть заданы не только в скоростях, но и в перемещениях в, в ', в* на поверхностях Su, STU, со­ ответственно.

1.2.9. Кинематика сплошных композитных сред

Если гетерогенная среда может быть заменена в рассматриваемой области ее движения другой, эквивалентной средой с эффективными гомогенными свойствами, то для описания кинематических параметров движения такой среды могут быть использованы все кинематические зависимости предыдущих пунктов. Естественно, что при таком подходе к описанию движения композитной среды исчезает индивидуальность поведения каждой ее составляющей.

Многообразие вариантов, используемых на практике КМ, является причиной того, что до настоящего времени не разработан метод, по­ зволяющий в самом общем виде осуществить точную реализацию по­ становки задач о совместном пластическом деформировании разно­ родных материалов с учетом их взаимодействия в объеме КМ. Однако имеется ряд приближенных методов, позволяющих с необходимой для практических расчетов точностью учитывать особенности деформиро­ вания КМ. К ним, в частности, относится упомянутый выше метод ос­ реднения свойств среды, который может быть полезен при инженерной оценке параметров (например, энергосиловых) движения среды осред-

63

ненными характеристиками. Другой приближенный метод, рассматриваемый в этом пунк­ те, позволяет подходить к опи­ санию движения сплошных КМ с учетом индивидуально­ сти их компонент. По существу он сводится к методу построе­ ния искомой функции с помо­ щью основного решения и его последующей корректировки (см. п. ГО).

Проблемы построения ос­ новного решения для различ­ ных процессов ОМД будут рассмотрены позже. Здесь, счи­ тая основное решение извест­ ным, изложим методы по­ строения скорректированных параметров движения КМ, по­ зволяющих учитывать кинема-

дЕр тическое взаимодействие всех тел Ма КМ (1.1.1). Кинемати­ ческие параметры основного решения будем обозначать

	Рие. 16. Муаровые картины нзотет (U*=const)	строчными буквами: V,; V; Щ, и;
	пола перемещений прн прокатке (а) н изолиний	г	J
	sip		ц/ и т.п., a соответствую-
		щие кинематические парамет­
	const поля пространственного градиента
	дЕ,	ры	скорректированного реше-
	^„„ац и и прн прессовании (6)
		„ия - прописными буквами: V,;

V; U,] U; Ч' и т.п. Изложение метода построения кинематических параметров движения КМ начнем с кинематики стационарного по­ слойного течения двухслойной среды в условиях двухмерной деформа­ ции как одного из наиболее простых вариантов деформирования КМ, основные идеи математического описания которого будут распростра­ нены на более сложные случаи.

1.2.10. Двухмерное стационарное течение двухслойной среды

Экспериментальные исследования, выполненные с использованием метода муаровых полос (рис. 16), показывают, что на межслойной гра­ нице допускается относительное проскальзывание (скачок перемещения,

64

скорости) слоев, а при определенных условиях - их сцепление (выравни­ вание этих характеристик). В частности, это показано на рис. 16 о рас­ пределением изотет (изолиний £/,=const) при прокатке и на рис. 16 6 —

dL0

изолиний — - = const при осесимметричном прессовании прутка. Ис-

дЕк

ходя из этого явления, на границе SM слоев назначим две точки Ег-Еп и Ei=Ec (рис. 17 а), в которых заканчивается однородное течение хотя бы одного из слоев и начинается сцепление (выравнивание скоростей) слоев соответственно (схема П-С). Однородное течение ело» с разны­

ми скоростями Fg и Г02 до точки Еп и совместное течение с одинако­ вой скоростью V после точки Ее, а также неизменность граничных ли­ ний тока ц/ = vj/+ и ц/=\|г, можно обеспечить, если в /-тых слоях исполь­ зовать нижеследующие функции тока

Yi = у +&i(4/-v|/+)Bc;
¥2 = ч/+&2(ч/ - ч/-)Вс	(1.2.176)

с функциями сцепления слоев Вс, созданных по типу склеивающих функций (П3.61),

Вс= 0,5 + 0,0625 (9 sin.Er+sin3£T),

(1.2.177)

(5

г д е

я (2 Е2 - Е п - Е с )

2{Еп - Е с)

Коэффициенты Ь, в (1.2.176) полностью определяются значениями vj/ на стыке слоев у входа в зону возмущенного движения до точки Еп (\|/ = vj/,) и от точки Ес до выхода из этой зоны (4/=%):

V / - V * .	(1.2.178)
---------- ; h
V s - v +	V f - v + ('t'+ - v

Зная функции тока Y, (1.2.176) в каждом из слоев, по формуле (1.2.105) определим соответствующие компоненты вектора скорости в

первом V1 =v?е, и во втором V2 = v2e,- слоях

у} = vi(1 +ЬХВС ) +bi (4/ - \|Л

	дЕ2
= vl ( l + blBc)'>
Vx = v 1( l+ 6 25 c ) + fri ( 't '- V " ) ™1.Вс+ь2 ™±
J E 2	dE2 J
v| =v2 (i +b2Bc),	(1 .2 .1 7 9 )

где

^= 0I0625£ (9COS£ T +3COS3£t )

dE2 V f ~ V + дЕ2 ЬЕ2 En - E c

По формулам Дж.Сгокса (1.2.137) найдем компоненты тензора скоростей деформаций

	ЭВ,
“ {j = ^ i i ( l + 6 15 c ) - » 2 b\
	дЕ-
S | 2 * 5 I 2(I +ь хв с) - v, ьх^ - +	- ь х( v - v +
dEi	2	dEi
( db	Bc +b 2	dBt
=^ll(I+fr2^c)“ v2		dE2 /
\ d E	2

66

		db:	дВс '
5 ?2 “ ^12(1+^2^с)+у1		•Вс +Ь2
		дЕ>	дЕ2 j
1	д2Ъ	дЬг две |	д2Вс
+ —	2 Вс+2	дЕ2 ЗЕ2	( 1 .2 .1 8 0 )
2	ЗЕ		дЕ\ ,

где

д2Ь2 _ \|/+ —у ^		дЬ2 дВс	t а2дс
дЕ\	V / - V +	Э£2 дЕ2	+* 2— X
			дЕ2 ;
д2Вс	0,5625я	(ддд	+sin3£T).
дЕ\	(^ п -^ с )2

На стыке слоев функция тока основного решения принимает зна­ чение \|/ = VJ/er, где

Уст=— + " ~ .	(1.2.181)
1+ М е

В дальнейшем для решения задач о совместном течении двух слоев, образующих сплошную двухслойную среду, понадобится приращение вектора скорости на межслойной границе 5нс в интервале ЕпйЕг^Ес

д у = У > - ¥ 2.

(1.2.182)

Легко показать, что такой разрыв вектора скорости осуществляет­ ся за счет тангенциальной к межслойной границе 5Мс составляющей вектора скорости, так как нормальная к этой границе составляющая векторов скорости обоих слоев равна нулю.

Условие непрерывности нормальной к поверхности стыка сло­ га составляющей вектора скорости

V ‘P = V2P

(1 .2 .1 8 3 )

всегда является дополнительным кинематическим граничным условием в постановке задач о движении композитных сред.

Поле скоростей (1.2.179), построенное на функциях тока (1.2.176), независимо от вида основного решения “автоматически” удовлетворя­ ет условию (1.2.183).

Расчет основных параметров двухслойного течения покажем на примере прокатки биметаллической заготовки. В качестве основного

67

используем решение с функцией тока (П3.54), текущей высотой проката (П3.59) и полем скоростей (П3.58) (рис. 18). Используя формулу Дж. Стокса (1.2.137) и (П3.58), легко найдем компоненты тедзора скоростей деформаций основного решения

		$п = _$п - vo~ \
,	,	Л0£, (			'ytff2	f>2 ^
				h'f +h 'f		3	(П1.2.184)
$12 =$21 =v0— 5"
		2h	\

Рис. 18. К построении) плоского KB-поляскоростей при прокатке двухслойной (я) н трсхслойпой(6)полос

68

Сначала рассмотрим прокатку несимметричного пакета (рис. 18 а),

для которой по формуле (П3.54) на уровнях Е ,-					h	h
					— ; Е, = — определим
значения					2	2
						(1.2.185)
	h				h
на уровне Ех = — -+Л1		при А=Ао и на уровне Ех = — -+А* при h =h\ -
	2				2
соответствующие значения функции тока
	А0 - 2А*		.; v / = v 0	А0(а,-2А{)		(1.2.186)
	Vi =v0	0		2А.
По формулам (1.2.178) с помощью (1.2.185) и (1.2.186) найдем ко­
эффициенты стыковки слоя
	*i = М [ - 1;		Ь7 =	*i*i		(1.2.187)
	*1*0		AJ - A,(I + M C)'
Отсюда	ясно, что при	равенстве		деформации	обоих	слоев, когда
Л* A2	ft

— =-т- =— , коэффициенты b\ = bi = 0 и все кинематические параметры

И} ^ А,

совпадают с кинематическими параметрами основного решения.

С помощью (1.2.187), учитывая, что в области ЕгйЕп функция (1.2.177) равна единице, а ее первая производная по Ег равна нулю, по формулам (1.2.179) определим значение компонент вектора скорости до входа в зону возмущенного движения. Так как в основном решении

(П3.58) при Е г - Е к величина vi = 0, то из (1.2.179) имеем			Vf =VX =0, а
остальные компоненты в этой области, учшывая, что			V2- Vo, имеют
A0*J	.	*о (*1 — * 1 )
вид: V} - Уп------; V} =У0—з--------г. Аналогичным образом в области
*1 *0		*1 \*0 _ * о )
Ei>Ec также имеем	F,1 =V* =0 и VF =VF =VF, где v F =y0 — - ско-
			h \

рость выхода обоих слоев из валков (скорость прокатки). Нетрудно убедиться в том, что отношение скорости выхода слоев из очага де­ формации к их скоростям входа в этот очаг равно коэффициенту вы­ тяжки (отношению площадей поперечного сечения заготовки и изде­

69

лия) каждого из слоев соответственно, что естественно связано с усло­ вием постоянства потоков обоих слоев.

Построжие поля скоростей двухслойного течения на функциях тока (1.2.176) является универсальным с нескольких точек зрения. Во-первых, в нем может быть использовано любое основное решение, удовлетво­ ряющее кинематическим граничным условиям; во-вторых, это же поле можно использовать для исследования трехслойного двухкомпонент­ ного (биметаллического) симметричного течения (рис. 18, б), положив ц/- = 0 , и в-третьих, его можно использовать с различным чередованием зон проскальзывания-сцепления (П-С,'С-П, П-С-П и т.п.). В частности, для того чтобы поле (1.2.179), моделирующее схему П-С, переделать на схему С-П, достаточно поменять местами координатное положение то­ чек Еп и Ес (рис. 17, б). Кроме того, применение в (1.2.176) вместо функ­ ции тока ц/ основного решения, записанного в декартовых прямо­ угольных координатах Е„ функции тока ц/р основного решения, запи­ санного в цилиндрических координатах Ер, Ег

ч>р =ч>Р+ 6i(vP- ч ^ К ;

Vp =Ч'р+&2(ч'Р~ 4 > р )в с ,

(1.2.188)

позволяет использовать рассматриваемый метод стыковки двух слоев для моделирования осесимметричных течений. При этом в формуле для вычисления величины £т, определяющей функцию сцепления (1.2.177), вместо Ei необходимо подставил» Ег. Компоненты вектора скорости находим по формулам (1.2.128):

К	Е р	ЪЕг
	K j= vz(l + Ь,5е);
	Vp-Vp 'дЬ2	Вс +ь2
	(1+6,Вс)
	,dEz	dEz ) ’
	Vz = vz 0 + Ь2В С),	(1.2.189)

где

дьг	_ Ь2 У р ~ У р дВс
дЕ2	1 Wf -Ц>Р бЕг

По формулам Дж.Стокса (1.2.137) найдем компоненты тензора скоростей деформаций

70