книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

*(g|)/P +(Ti),]

+ (« j)/B + (T ,),]*

X

(л = О, W;/ = ! ,£ ),

(3.18)

где W, =2/(l-xf)[P^(x,)]2 - весовые множители в формуле Гаусса.

Решение системы (3.9) относительно обобщенных ускорений г/'з может быть получено методом квадратного корня, поскольку матрица с ” является положительно определенной и имеет симмет­ ричный пятидиагональный вид:

	h	кг	(” + 1)2 ,	п2	(л = О, N),
	— I----- г
	2	т 2	4л 2 +8л + 3	4л2 - 1
		д И2	л + 1	(л = 0 ,^ - 1 ) ,		(3.19)
		Р 2R л/4л2+8л + 3
„	h3		л 2 + Зл + 2		(и = 0 ,^ - 2 ) .

Р8Д2 (2» + 3)74»г +12и + 5

Врезультате получим систему уравнений второго порядка по времени

а; =

ю 2)

( л = o,iV).

(з.20)

Интегрирование системы (3.20) при начальных условиях (3.12), согласно явной конечно-разностной схеме второго порядкаточности относительно шага по времени, сводится к рекуррентному счету по формулам:

121

(и",ГУ2=(й'’Г ' п +К"А1,

(3.21)

(и"Г ' = («3")к + (й")к+,/2ДГ (к = МО.

Решение задачи Коши для системы (3.20), (3.12) строилось также методом Де Воджелера [270] четвертого порядка точности относительно шага интегрирования.

По аналогичной схеме может быть получено решение при аппроксимации функции перемещения в виде (3.13).

Относительно процедуры численного решения заметим, что суммирование рядов при вычислении перемещений и деформаций выполнялось по схеме Горнера. Интегралы (3.15) вычислялись по формулам Симпсона с заданной точностью, а система (3.14) решалась относительно обобщенных ускорений методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. В результате получена система

и3л = Г

(n = 0,N).

(3.22)

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.22) при соответствующих начальных условиях осу­ ществляется как по рассмотренной выше явной схеме, так и методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования At.

Величины, необходимые для проверки баланса энергии (при исследовании одномерных волновых процессов), определяются сле­ дующим образом. Для простоты ограничимся случаем силового нагружения сферической оболочки импульсом внешнего давления.

Работа, производимая внешними силами, определяется фор­ мулой

ц =ЕГ' + \ { ^ Р ^ т +{щРгТ ' п }{\+ ^

Kt. (3.23)

Полная энергия системы слагается из кинетической энергии

122

+ ( щ Г 2]} Щ. (3.24)

потенциальной энергии окружных е, =е2и нормальных еъдефор­ маций, а также работы окружных и нормальных напряжений на соответствующих пластических деформациях

			(< * ,),(* ,'),+ £ 2 (а ,);(Д < )?	(3.25)
	= - t 1+	hx,	: ( ° з М « ! ) /+ Ё ( стэ)"(Д<)!’	^ •(3.26)
		~2R
	Таким образом, невязка
			Ьк=Е £-(Е?+Е $+Е;)	(3.27)

обусловлена неточностью конечно-разностной схемы решения. Из анализа полной энергии системы следует также, что одно

из возможных условий перехода от расчета по модели с разложе­ нием в ряд к расчету по классической теории оболочек можно запи­ сать в виде

Ж	1	(3.28)
- ■ *=0------------	< £,

1 № к+ | £ “ 1) *=0

где 8 задается из условия необходимой точности решения.

123

3.1.1.Анализ точности решения задачи упругого и упругопластического деформирования

сферических оболочек при импульсном нагружении

На примере задачи упругого и упругопластического деформирова­ ния сферических оболочек при импульсном нагружении проведем анализ сходимости решения, а также сравним с аналитическим и конечно-разностным решением уравнений динамики сплошной среды.

Рассмотрим в качестве тестового примера деформирование упругой замкнутой сферической оболочки под действием импульса давления, изображенного на рис. 3.1,6.

Задача решалась на основе системы уравнений (3.13)—3.15) при нулевых начальных условиях [12]. Материал оболочки имеет следующие характеристики: Е = 2,16,1010 Па; р = 7,8-10 3 кг/м3; v = 0 ,2 . Геометрические параметры оболочки равны: R = 0,095 м; h = 0,01 м.

Предварительно исследовалась сходимость решения. Основным критерием достаточности числа членов в разложении (3.13) служила точность удовлетворения граничных условий на поверхно­ стях оболочки. График на рис.3.1 ,а показывает, какое число членов ряда W необходимо взять в зависимости от скорости роста давле­ ния, чтобы погрешность удовлетворения граничных условий не пре­

вышала 3% от Рi - время, за которое давление достигает мак­

симального значения (рис. 3.1 ,б); т, = / h ; с,= Л/(Х, + 2 ц )/р .

124

На рис. 3.2,3.3 представлены результаты решения задачи при действии внешнего давления на оболочку, причем время нарастания давления t,= h /3 cr

На рис. 3.2 показаны распределения радиальных напряжений по толщине оболочки в моменты времени т=0,4 (а); т= 1 (б); т= = 1,9 (в). Сплошной линией обозначено решение приN=9, штрихо­ вой - при N= 5, штрихпунктирной - при N=\. Здесь же точками обозначено решение, полученное с использованием системы урав­ нений (3.9) при N=7.

Рис. 3.2

На рис. 3.3 ,апоказана точность удовлетворения граничных ус­ ловий на поверхностях оболочки при различном числе членов ряда N Сплошной линией показано изменение напряжений на наруж­ ной поверхности, штриховой - на внутренней.

На рис. 3.3,5 сплошная линия показывает изменение окружных напряжений на наружной поверхности, а штриховая - на внутрен­

не й ^ 9).

Втабл. 3.1 дано сопоставление результатов расчета максималь­ ных перемещений оболочки от действия внутреннего давления по различным теориям.

125

		Рис. 3.3
					Таблица 3.1
	Трехмерная	Неклассическая теория			Классическая
U Jh		оболочек			теория
	теория[266]
		N = 1	N = 5	N = 9	оболочек
+Н/2	0,0589	0,0592	0,0591	0,0590	0,0668
-М 2	0,0566	0,0568	0,0567	0,0567	0,0668

Проведенное исследование показывает, что решение по пере­ мещениям сходится значительно быстрее, чем по радиальным на­ пряжениям. Решение задачи на основе системы уравнений, полу­ ченной путем аппроксимации функции перемещения потолщинной координате конечным рядом по ортнормированным полиномам

126

Лежандра (соотношения (3.9)-(3.11)), сходится быстрее, чем реше­ ние на основе системы уравнений, выведенной путем аппроксима­ ции функции перемещения отрезком степенного ряда (соотноше­ ния (3.13)-(3 .15)).

На примере динамического деформирования сферической обо­ лочки под действием импульса давления в виде равнобедренного треугольника с основанием тфи высотой Р3* проведено сравнение решения, полученного на основе системы уравнений (3.9)-(3.11), с конечно-разностным решением уравнений динамики сплошной среды по схеме Уилкинса [244]. Результаты сравнения представ­ лены на рис. 3.4-3.7. Параметры геометрии, импульса давления и материала оболочки следующие: R=0,05 м; Л=0,01 м; т,= 1; Р3* = = 1 ГПа; £ = 7 1 ,5 ГПа; v=0,3; g = 0,541 ГПа; ст.=0,1265 ГПа.

На рис. 3.4 приведены графики перемещения во времени сре­ динной поверхности оболочки, полученные в предположении упру­ гого деформирования материала.

Кривые 1,3 получены при конечно-разностном решении уравнений динамики сплошной среды, причем кривая 1 соответствует п- 5 (л - число узлов разностной сетки по толщине оболочки), кривая 3 - п= 15. Графики 2, 4 получены при решении задачи по вышеизло­ женной методике при N- 1 (ЛТ=5) и N=5 (К= 15) соответственно.

127

Рис. 3.5

7	Я	Чf	n	Ы '
	&		Щ	It h\
		V J		' m
k	К	1 1
		■дt		1V
		Ll'U	У
	0 > Г V			Ф
		1f t*	V
		i

На рис. 3.5 для сравне­ ния приведены соответс­ твующие кривые, получен­ ные по модели упругопластического деформирова­ ния.

На рис. 3.6 представ­ лены графики изменения радиальных напряжений во времени на внешней (сплошные линии) и вну­ тренней (штриховые ли­ нии) поверхностях оболоч­ ки, полученные в пред­ положении упругого де­ формирования материала оболочки. Кривые 1,2 на рис.3.6,я получены при ре­ шении задачи по выше­ изложенной методике при

N =\ (К=5). Кривые 3, 4 получены при конечно-раз­ ностном решении уравне­ ний динамики сплошной среды при л = 5 .

На рис. 3.6,б,в приве­ дены идентичные кривые, рассчитанные при N = 3 (К= 9) и п = 9; N = 11

(К= 15) и и = 15 соответ­ ственно.

128

Аналогичные графики, но для случая упругопластического деформирования материала оболочки, приведены на рис. 3.7.

Анализ представленных результатов показывает: а) с увеличе­ нием числа членов аппроксимирующего отрезка ряда (3.8) наблю­ дается неплохое совпадение решения по вышеизложенной мето­

129

дике с конечно-разностным решением уравнений динамики сплош­ ной среды; б) решение по интегральным характеристикам (пере­ мещениям) при упругом деформировании сходится быстрее по сравнению с упругопластическим, и уже при N= 1 получается впол­ не приемлемая точность решения; в) характер сходимости решения по локальным характеристикам (напряжениям) при упругом и упру­ гопластическом деформировании, начиная с N> 3, примерно оди­ наков.

3.1.2.Деформирование упруговязкопластических сферических оболочек при силовых импульсных воздействиях

Рассматривается решение задачи динамического деформирования упруговязкопластических сферических оболочек при центрально­ симметричном нагружении импульсом внешнего давления. Иссле­ дуется влияние пластических и вязкопластических свойств матери­ ала на переходные процессы деформации оболочек с целью опреде­ ления области параметров (толщины, длительности и величины импульса), где роль волновых процессов по толщине несущест­ венна и применима классическая теория оболочек [4,5].

Исследование проводилось на основе системы уравнений (3.9)- (3.11) при нулевых начальных условиях. Внешнее воздействие, как и выше, задавалось в виде треугольного импульса давления. Меха­ нические характеристики материала оболочки следующие: £ = 71 ,5 ГПа; v = 0,347; р=2730 кг/м3; #=0,541ГПа; а ф= 0,1265 ГПа; D=

=0,65*104 с-1; п=4. Расчет проводился при N=7 (£ = 1 5 ). При этом, как ранее показано, точность решения вполне удовлетворительна.

Результаты расчетов представлены на рис.3.8-3.18.

На рис. 3.8,а приведены графики перемещений во времени, рас­ считанные при h/R= 0,05, Р* = 2 ГПа, тф= 0,5 в предположении упругого деформирования материала оболочки. Кривые 1,2,3 соот­ ветствуют срединной, внутренней и внешней поверхностям оболо­ чки. Кривая 4 соответствует решению, полученному в приближе­ нии классической теории оболочек. Кривая 5 соответствует переме­ щению срединной поверхности оболочки и получена при решении

130