книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

В широком диапазоне геометрических параметров изучены особен­ ности динамических процессов потери устойчивости и закритического поведения упругопластических оболочек и сделаны выводы относительно возможности принятия упрощающих математическую модель допущений физического и геометрического характера, таких как пренебрежение упру­ гой разгрузкой, взаимным влиянием форм колебаний, моментностью и нелинейностью докритического состояния и т.д.

Исследован механизм потери устойчивости гладкой цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении осевым сжатием и внешним давлением. Проанализированы формы потери устойчивости и критические нагрузки упругого и упругопластического стрингерного цилиндрического отсека со свободными торцами, нагруженного импульсом внешнего дав­ ления, в зависимости от толщины обшивки и скорости роста давления.

Проанализированы формы потери устойчивости и критические на­ грузки гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек из компози­ ционных материалов в зависимости от физико-механических и геометри­ ческих параметров обшивки и числа подкрепляющих шпангоутов и стрин­ геров. Сопоставлены формы потери устойчивости и критические нагруз­ ки подкрепленной цилиндрической оболочки с жесткими дисками на торцах, нагруженной внешним давлением или осевым сжатием, рассчи­ танные по модели с дискретным размещением подкрепляющих элементов и конструктивно-ортотропной теории.

Шестая глава посвящена задачам нелинейного поведения, потери ус­ тойчивости и закритического поведения композитных пространственных оболочечных конструкций с присоединенными массами при импульсном нагружении и соударении с плоскими преградами. Проведено исследо­ вание динамического поведения ряда пластинчато-оболочечных конструк­ ций, позволившее проанализировать степень их деформируемости и уровень перегрузок в зависимости от геометрических параметров и харак­ тера приложенных нагрузок.

Авторы выражают благодарность сотрудникам НИИ механики ННГУ им. Н.И. Лобачевского к.ф.-м.н. А.В. Елесину, к.ф.-м.н. Е.В. Игоничевой, к.т.н. В.К. Ломунову, к.ф.-м.н. В.П. Столову, к.ф.-м.н. Д.Т. Чекмареву за предоставление отдельных материалов, а также Е.Г. Глазовой и Е.В. Павленковой за большую помощь при технической подготовке рукописи книги.

11

Глава первая

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ТРАДИЦИОННЫХ И КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

Рассматривается постановка задачи нелинейного деформиро­ вания однослойных имногослойных оболочек переменной толщины при импульсном нагружении. Полагается, что многослойная оболочка имеет нерегулярную структуру по толщине и образована жесткой склейкой изотропных и {или) композитных слоев. Вывод разрешающей системы уравнений базируется на принципе возмо­ жных перемещений. При этом для сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории оболочек в случае однослойных оболочек применяется метод разложения функций перемещений в ряды по толщинной координате, а для многослой­ ных оболочек используются гипотезы типа Тимошенко с учетам обжатия нормали для каждого слоя или всего пакета в целом. Связь между тензорами напряжений и деформаций в изотропных слоях устанавливается на основе дифференциальной теории пластичности, а в композитных - на основе закона Гука для ортотропного тела с эффективными упругими характеристиками и соотношений линейной наследственной теории упругости.

Проблемам разработки моделей динамического деформирования пластинчато* оболочечных элементов и конструкций, математической формулировки соответ­ ствующих начально-краевых задач и применению разработанных подходов к решению Широких классов задач посвящены обстоятельные обзорные статьи Э.И. Григолюка, И.Т. Селезова [133], А.А. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова

12

[143], А.К.Галиньша[114,115], И.И. Воровича, М.А.Шлеиева[109], ЛЯ.Айнолы, У.К. Нигула [31], Э.И. Григолюка, К.А. Когана [130], Н.А. Кильчевского [166], ГА. Тетерса [243], П:3. Лугового [186], И.Я. Амиро, В.А. Заруцкого [37], Я.М. Григорснко, А.Т. Василенко [137]. Отмечено, что основным вопросом теории оболочек является создание метода, позволяющего приближенно привести трех­ мерную динамическую задачу теории упругости к некоторой двумерной задаче, после решения которой можно приближенно восстановить трехмерные поля сме­ щений, деформаций и напряжений в оболочке. В зависимости от решения основ­ ного вопроса теории оболочек, можно выделить два направления в теории оболо­ чек: прикладные теории, основанные на аппроксимации перемещений и (или) напряжений; неклассические теории оболочек, в основе которых лежат асимпто­ тические методы и различные варианты метода рядов.

Прикладные теории оболочек базируются на некоторых априорных предполо­ жениях относительно характера напряженного и деформированного состояния оболочки, позволяющих получить двумерную краевую задачу, эквивалентную в некотором смысле трехмерной. Примерами таких теорий являются: безмоментная теория, теория Кирхгофа-Лява, теория Флюгге, теория типа Тимошенко, теория Рейсснера-Нагди, теории С.А. Амбарцумяна, теория В.В. Васильева.

Наибольшее распространение получили теории Кирхгофа-Лява, Тимошенко и Рейсснера. Различные варианты этих теорий рассматривались в работах [30— 32, 97, 100, 106, 111-113, 142, 159, 218-221, 238, 246, 261, 267, 275, 277, 280, 283,285,286,291]. Анализу современного состояния классической теории пластин посвящены работы В.В. Васильева [94,95,98,99], Н.А. Алфутова [33], А.Л. Голь­ денвейзера [122], П.А. Жилина [148], В.М. Даревского [140].

При построении прикладных теорий многослойных композитных оболочек использовались различные комбинации кинематических и статических гипотез, что привело к созданию множества расчетных схем и уравнений. Следуя классифи­ кации [130], многочисленные работы, использующие метод гипотез для построе­ ния уточненных теорий многослойных оболочек, можно разделить надве группы.

В работах первой группы при построении теории используются гипотезы для всего пакета слоев в целом. Как правило, используются гипотезы о характере распределения поперечных компонентов напряжений или деформаций. Порядок получаемых при этом уравнений не зависит от числа слоев. Впервые подобные построения для упругих анизотропных оболочек были осуществлены С.А. Амба­ рцумяном [35]. Из работ, посвященных развитию этого подхода, следует отметить [38,81,92,93, 136,138,180, 184,220,225,226,228,233,234,242,279,288,292].

К работам этой группы примыкают подходы, которые используют замену неоднородного слоистого материала оболочки некоторой квазиоднородной средой, обладающей усложненными свойствами. В простейшей форме такая замена может быть осуществлейа на уровне физических соотношений [80, 255]. Получаемые при этом так называемые эффективные физические соотношения устанавливают

13

связь между осредненными по некоторому характерному объему значениями компонентов напряжений и деформаций. D.B. Болотиным в работе [79] был пред­ ложен “принцип размазывания", сущность которого заключается в том, что дис­ кретная система большого числа кинематических параметров, описывающих состояние каждого слоя, заменяется непрерывными функциями поперечной коор­ динаты. Эта замена производится или в определяющих дифференциальных урав­ нениях, или при составлении минимизирующего функционала. В результате задача сводится к уравнениям для некоторой однородной оболочки, энергетически экви­ валентной исходной слоистой оболочке. Этот подход затем использовался для построения теорий слоистых пластин [78, 79] и оболочек [118] с регулярным строением пакета.

В работах второй группы при построении теории многослойных оболочек кинематические гипотезы используются для каждого отдельного слоя. Порядок получаемой при этом системы определяющих уравнений зависит от числа слоев оболочки.

Проще всего учесть поперечные сдвиговые деформации в слое, используя кинематическую гипотезу прямых линий [128,287], которая формулируется следу­ ющим образом: прямолинейный элемент слоя, перпендикулярный к его иедеформированной срединной поверхности, в процессе деформации оболочки повора­ чивается не искривляясь и не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярным к деформированной срединной поверхности слоя. Естественным обобщением гипотезы прямых линий является так называемая гипотеза ломаной, по которой перемещения слоев оболочки задаются в виде пере­ секающихся под углом прямых. Гипотеза ломаной для касательных перемещений при постоянстве нормальных перемещений по толщине пакета была впервые использована для построения теории многослойных оболочек Э.И. Григолюком и П.П. Чулковым [134, 135], а позднее и другими авторами [45, 90, 207].

Сравнивая эти два подхода метода гипотез, следует отметить, что хотя первый подход и предпочтительнее с точки зрения простоты разрешающих уравнений, но он не позволяет в отличие от второго описывать локальные эффекты в отдель­ ном слое оболочки, например, при местной потере устойчивости или при динами­ ческом деформировании оболочки под действием локального импульса нагрузки. Кроме того, учет физической нелинейности материала или расслоения оболочки при использовании единых гипотез для всего пакета наталкивается на принципи­ альные трудности, связанные с необходимостью перестройки расчетной схемы деформирования слоев.

Прикладные теории оболочек применяются для. построения разрешающих систем уравнений динамики не только гладких, но и подкрепленных пластин и оболочек. Наиболее актуальными здесь являются задачи о динамическом повет дении ребристых оболочек при импульсном нагружении.

При изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода,

14

отличающихся способом учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой ребристой оболочки эквивалентной ей в из­ вестном смысле гладкой оболочкой (конструктивно ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позво­ ляет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.

Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы теории конструктивно ортотропных оболочек, в прин­ ципе, могут отличаться лишь способом вычисления жесткостных параметров экви­ валентной гладкой оболочки. Как правило, используется способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответ­ ствующему направлению оболочки. Такой прием эффективен лишь в том случае, когда ребра каждого направления размещены на равных взаимных расстояниях и имеют одинаковые жесткостные характеристики.

При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер. С другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению по­ становки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. Различные варианты уравнений динамики подкрепленных пластин и оболочек рассматриваются в работах [36, 107, 146, 147, 161, 174, 183, 200, 241, 250, 265, 268, 284].

Естественно, возникает вопрос о пределах применимости прикладных теорий пластин и оболочек.

Вработах В.В. Новожилова, Р.М. Финкельштейна [211] и Х.М. Муштари

[198]произведена оценка погрешности, вносимой в уравнения теории оболочек гипотезами Кирхгофа-Лява, при решении задач статики. Было показано, что эта

погрешность имеет порядок h /R и, следовательно, классическая теория оболочек позволяет с достаточной точностью изучать равновесие только достаточно тонких оболочек.

В задачах динамики понятие области применимости уравнений, описываю­ щих ту или иную модель теории оболочек, неоднозначно. Оно связано с физичес­ ким смыслом величин, получаемых из уравнений и являющихся объектом срав­ нения. В работах У.К. Нигула [204-206] область применимости устанавливается путем непосредственного сравнения решений на стации переходного процесса, полученных на основе классических теорий и трехмерной динамической теории упругости. В рамках этого подхода определены области применимости классичес­ ких теорий Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко для некоторых частных задач. Показано, что теория типа Тимошенко имеет более широкую область приме­

15

нимости, чем теория Кирхгофа-Лява. Установлено существование областей неприводимости, где справедливы лишь уравнения трехмерной динамической теории упругости. Эти области примыкают к фронту распространяющейся волны, к контурной поверхности оболочки и к точкам сосредоточенных силовых воз­ действий. Наибольший поперечник областей неприводимости имеет относитель­ ный порядок малости, равный порядку малости толщины оболочек.

Весьма важны работы [210,218], сочетающие приведение трехмерных дина­ мических уравнений теории упругости к двумерным и одномерным задачам теории оболочек с анализом области применимости приближенных теорий.

В работе В.В. Новожилова, Л.И.Слепяна [210] методом интегральных пре­ образований исследован переходный процесс в бесконечной пластине на основе уравнений теории упругости и приближенных уравнений. Сопоставление решений позволило сделать вывод о том, что длинноволновой переходный процесс может быть описан в рамках параболических аппроксимаций (типа уравнения БернулиЭйлера), а для описания коротковолновых переходных процессов необходимы уже гиперболические аппроксимации (типа уравнения Тимошенко). ПИ. Пстрашень в работе [218] положил в основу составления уравнений двумерных задач динамики плит и определения области их применимости точные решения уравне­ ний динамической теории упругости для задачи о движениях бесконечно протя­ женного упругого слоя постоянной толщины. Методом разложения искомых функ­ ций в ряды по вырожденной координате построены приближенные уравнения движения и произведена оценка отбрасываемых в усеченных уравнениях членов. В результате был получен ряд выводов, из которых укажем следующие. Уравнения, составленные по способу разложения в ряд, имеют определенную область при­ менимости. Эта область ограничивает отрезок спектра частот, определяемых с точностью 6-10%, ограничивает площадь области приложения нагрузки условием, что эта площадь не должна иметь порядок меньший, чем квадрат толщины оболочки, и налагает условия на быстроту изменения нагрузки. Область применимости приближенных теорий, согласно Г.И. Петрашеню, определяется неравенствами: \h(nb\ < 2; \kh\ < 1, где к - волновое число, со - частота, Ь~] -

скорость распространения волн сдвига, 2И - толщина слоя. Первое условие ограничивает длину роли, второе - отрезок спектра частот. Вопросы примени­ мости прикладных теорий рассматривались также в работах [6,7, 232,266].

Согласно исследованиям У.К. Нигула [205,206] и Г.И. Пстрашеня [218], реше­ ние задач нестационарной динамики пластин и оболочек с помощью классической теорци может привести не только к количественным, но и к качественным ошиб­ кам описания процесса деформирования, особенно в задачах, где введены локаль­ ные динамические воздействия. В связи с невозможностью описания в рамках классических прикладных теорий нестационарных изгибных волновых процес­ сов, а также волновых процессов по толщине, возникла необходимость в разви­ тии неклассической теории оболочек.

16

Неклассические теории оболочек основаны на различных способах упроще­ ния непосредственно трехмерных динамических уравнений теории упругости. К неклассическим теориям, по классификации Н.А. Кильчевского, относятся теории, полученные на основе решения проблемы приведения асимптотическим методом и различными вариантами метода рядов.

Асимптотический метод основан на относительной малости толщины оболоч­ ки, что, естественно, приводит к определению искомых функций в форме разложе­ ния по степеням малого параметра, зависящего от толщины оболочки. Впервые этот метод применен И.Я. Штаерманом [264] и позднее К. Фридрихсом и Р.Дресслером [274]. В дальнейшем асимптотический метод был развит в работах А.Л. Гольденвейзера [123-125] и И.И. Воровича [109].

Асимптотический метод применительно к задачам динамики развит в работах ЛЮ . Коссовича [173] и Ю.Д. Каплунова [156-158]. В работах [67, 68, 156-158] производится асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для тонких оболочек и обсуждаются особенности асимптотических свойств напряженно-деформированного состояния в задачах динамики.

Вработах Б.Е. Победри [224], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [65], А.Л. Каламкарова, Б.А. Кудрявцева, В.З. Партона[155] рассматривается асимптотический подход построения математических моделей композитных сред и оболочек, осно­ ванный на методе осреднения дифференциальных уравнений с частными произ­ водными с быстро осциллирующими коэффициентами, предложенном Н.С. Бах­ валовым [63, 64].

Недостатком асимптотического метода приведения является то, что для успе­ шного применения метода весьма желательна предварительная информация об основных свойствах определяемого напряженного состояния. Также некоторые трудности представляет собой определение краевых условий, которым должны удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения.

Метод радов основан на разложении искомых функций в ряды по некоторым заданным функциям толщинной координаты при дальнейшем использовании соотношений упругости и трехмерных уравнений равновесия (движения) теории упругости или вариационных принципов для установления дифференциальных зависимостей между коэффициентами этих разложений. Удерживая необходимое число членов разложения, можно строить теории оболочек высокого порядкаточ­ ности. Заметную роль при численной реализации этих теорий играет рациональ­ ный выбор системы функций, по которым ведется разложение.

Вмонографии Н.А. Кильчевского [165] собраны и обобщены важнейшие резу­ льтаты автора по проблеме построения неклассических теорий статики и дина­ мики оболочек [163,164,167]. Кроме основного способа приведения, заключаю­ щегося в разложении искомых величин в тензорные ряды по степеням толщинной

17

координаты, в монографии указаны также другие варианты, основанные на воз­ можности разложения искомых величин в ряды Фурье, а также разобран важный способ приведения посредством использования общего уравнения динамики.

В динамике метод степенных рядов применялся П. Эпстейном [272] при построении уравнений плиты и круговой цилиндрической оболочки. Дальнейшее развитие этот метод получил в исследованиях Е. Кеннарда [281] и в работах У.К. Нигула [204,205], И.Т. Селезова [239.240].

Метод разложения искомых величин в ряды по полиномам Лежандра для построения двумерных теорий статики оболочек предложен И.Н. Векуа [104,105].

Вдинамике метод разложения по полиномам Лежандра развит в работе

В.В.Новожилова, Л.И. Слепяна [210], а также использовался в работе Е.А. Гоцуляка, В.И. Гуляева, В.К. Чибирякова [127] для вывода дифференциальных уравнений термоупругого состояния оболочек, работе И.Ю. Хома [254] для получения системы уравнений движения толстых анизтропных оболочек перемен­ ной толщины и работах Н.А. Абросимова, В.Г. Баженова [4,6,7,12] для построения разрешающей системы уравнений и анализа нестационарных нелинейных процес­ сов деформации пластин и оболочек.

Вработе В.В. Васильева, С.А. Лурье [101] на примере ортотропной однород­ ной плиты рассматривается проблема сведения трехмерной задачи теории упру­ гости к двумерной. Установлены условия согласованности разложений в ряды по толщине для тангенциальных перемещений и прогиба, обеспечивающие получе­ ние физически обусловленных систем двумерных уравнений. Обсуждаются неко­ торые традиционные уточненные двумерные теории пластин. Приведен пример, иллюстрирующий точность предлагаемой согласованной теории.

Вработе В.Е. Чепиги [259] нелинейная теория толстых многослойных оболо­ чек построена на основе аппроксимации функций перемещений в каждом из слоев рядами по полиномам Лежандра от безразмерной поперечной координаты. На основе этих разложений и условий кинематической совместности на границах слоев строится непрерывная функция, аппроксимирующая перемещения по толщине всего пакета. Недостатком, затрудняющим численную реализацию теории, является плохая обусловленность полученной системы уравнений.

Вработе Д.В. Вайнберга, А.С. Сахарова, А.И. Гуляра [89] при построении теории слоистых оболочек в качестве разрешающих принимаются перемещения граничных и внутренних координатных поверхностей каждого слоя, а для аппроксимации функций перемещения слоев используются интерполяционные полиномы Лагранжа. Применение полиномов Лагранжа, сохраняющих геометри­ ческий смысл перемещений на граничных поверхностях, позволяет легко исклю­ чить условия кинематической совместности слоев, значительно сократить объем вычислений. Однако полиномы Лагранжа не удовлетворяют условиям ортонормированности, и при высоких степенях полиномов точность решений может существенно зависеть от процесса накопления ошибок. Проблеме рационального

18

выбора координатных функций посвящена работа А.С. Сахарова [237], где по­ строена почти ортонормированная система координатных функций, которая в то же время сохраняет положительные свойства полиномов Лагранжа. Число обус­ ловленности полученной в [237] системы приближенных уравнений практически не зависит от количества удерживаемых в разложении членов рядов.

Несмотря на значительные трудности в реализации, важным преимуществом метода разложения в ряды по толщине является принципиальная возможность повысить точность решения, не выходя за рамки выбранных процедур, в то время как метод гипотез требует замены первоначальной гипотезы другой, более точно отражающей реальное напряженно-деформированное состояние.

К недостаткам метода рядов, как метода приведения, следует отнести то обстоятельство, что удовлетворение краевых и начальных условий с заданной условной точностью требует относительно более высокой точности уравнений и что формальное усечение аппроксимирующих рядов часто приводит к тому, что, по существу, оказываются сохраненными некоторые члены такого же порядка малости, как отброшенные. Однако эти недостатки можно устранить, решая про­ блему приведения с помощью общего уравнения динамики и проводя асимпто­ тический анализ порядка малости отбрасываемых членов.

Врамках рассмотренных теорий наряду с линейными вариантами успешно развивается геометрически и физически нелинейная теория оболочек. Их появ­ ление и развитие обусловлено самой природой тонкостенных элементов конструк­ ций, в которых под действием интенсивных нагрузок могут возникать перемеще­ ния и деформации, не описываемые линейной теорией [29, 199,209,278].

Большой вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли работы Н.А. Алумяэ, И.Г. Бубнова, А.С. Вольмира, К.З. Галимова, В.В. Новожилова, П.Ф. Папковича, В. Койтера, Х.М. Муштари, Э.И. Григолюка, Л.А. Шаповалова.

Внастоящее время существует два подхода к решению задач деформирова­ ния оболочек и пластин в геометрически нелинейной постановке.

При использовании первого подхода уравнения теории оболочек записы­ ваются в криволинейной системе координат, связанной с недеформированной оболочкой. Учет геометрической нелинейности осуществляется введением квадра­ тичных членов в выражения деформаций через перемещения. Этому подходу построения геометрически нелинейной теории оболочек посвящены работы [29, 30,45,46, 110, 134, 135, 176, 197,214, 229, 260, 262, 273, 278], композитные оболочки рассматривались в работах [87,131,132,214,229,253].

Во втором подходе, ориентированном на применение численных методов, используются линеаризованные геометрические соотношения относительно скоростей в сопутствующей системе координат, связанной с текущей геометрией деформируемой оболочки. Данный подход был предложен М.Л. Уилкинсом [244] для описания движения упругопластических сред. В применении к теории обо­ лочек он развит в работах [41, 62, 141, 193, 282]. Второй подход имеет более

19

широкую область применимости, одновременно является более трудоемким, так как требует перестроения сеток на каждом временном шаге.

Наряду с геометрической нелинейностью в практике инженерных расчетов деформирования пластин и оболочек при больших прогибах существенным является вопрос учета вязкоупругой и упругопластической работы материала.

Для описания линейно вязкоупругих свойств композитных материалов используется, как правило, структурный подход. Этот метод развит в работах Б.Е. Победри [222, 223], А.Ф. Крегера, Г.А. Тетерса [175]. Обзор работ, посвя­ щенных этому методу, можно найти в работе А.Л. Каламкарова, Б.А. Кудрявцева, В.З. Партона [155]. Отметим, что приложения этого метода и библиография по нему приведены также в работе И.Ф. Образцова, В.В. Нерубайло, И.В. Андрианова [213].

Появление пластических деформаций в отдельных элементах или слоях мно­ гослойной оболочечной конструкции не приводит к немедленному исчерпанию ее несущей способности. Перераспределение усилий в элементах и слоях конс­ трукции и обусловленная этим возможность резервирования прочностных свойств многослойной конструкции делает учет появления и развития пластических де­ формаций чрезвычайно важным.

Разнообразные свойства, проявляемые материалами в пластической области, нелинейность и необратимость деформационных процессов являются причиной того, что до сих пор не разработана единая математическая модель процесса пластического деформирования. Разработанные теории пластичности, как пра­ вило, основаны на гипотезах и предпосылках феноменологического характера, с той или иной общностью описывающих специфику процесса пластического дефор­ мирования. Для простых лучевых путей нагружения (или близких к ним) наиболее разработанной и экспериментально обоснованной является деформационная тео­ рия пластичности [152] и ее различные модификации. Применение этой теории можно найти в работах [171,201,248].

В большинстве работ уравнения для решения задач динамики упруго­ пластических оболочек строятся в рамках модели жестко-пластического тела и простейших классических теорий оболочек. Впервые теория жестко-пласти­ ческого тела была применена А.А. Гвоздевым в задачах о динамическом изгибе балок и плит [117]. В дальнейшем, благодаря относительной простоте, эта теория получила широкое распространение. Обширную библиографию по ее применению можно найти в обзорных статьях [187,227]. Основным недостатком теории жестко­ пластического тела является недостоверность результатов при малой степени раз­ витости пластических деформаций.

В последнее время при решении задач динамики упругопластических сред нашли широкое применение теории течения [153,154,208], несмотря на то, что пределы применимости этих теорий недостаточно хорошо изучены. Здесь можно отметить следующие работы: [4,6,7,12,14,42,45,46,50,56,62,169,177,282].

20