книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

2.1. Основные положения

Построение численных моделей сформулированных в первой главе

начально-краевых задач динамического деформирования пластин

иоболочек состоит из двух самостоятельных этапов: дискретизации по пространственным переменным и по времени.

Дискретизация по пространственным переменным включает в себя построение сеток; аппроксимацию функций, производных

иинтегралов, входящих в вариационное уравнение; построение полудискретной системы сеточных уравнений.

Процедура построения сетки для двумерных задач состоит в следующем. Расчетная область покрывается сеткой многоугольных ячеек, причем допускается одновременное использование треуголь­ ных и четырехугольных ячеек. Вершины многоугольников назовем улами, а построенную сетку - основной. Пронумеруем узлы осно­ вной сетки от 1 до К, а ячейки - от 1 до М. Площади ячеек основной

сетки обозначим через AS'/ (/ = 1,М). Наряду с основной сеткой вве­ дем промежуточную сетку, построенную по принципу: внутри каж­ дой ячейки основной сетки находится один узел промежуточной сетки, а площадь ячейки промежуточной сетки вычисляется по формуле

(2.1)

где т-Ъ для треугольных ячеек, щ =4 для четырехугольных. Построение сеток на границе области S- контуре Г - осуществ­

ляется аналогично. Перенумеруем граничныеузлы основной сетки, примыкающие к границе. Их длины обозначим через ДГ*+1/2

(к ~ \,L)- Граничные отрезки промежуточной сетки привяжем к граничным узлам основной сетки, а их длины будем вычислять, согласно формуле

ДГ* = ^ (Д Г * +|/2+Д Г*-,/2).

(2.2)

81

Использование двух сеток необходимо для построения явной схемы в рамках вариационно-разностного метода.

Для аппроксимации функции в ячейке по заданным значениям в ее вершинах используется формула

/ * < * . / = ! > * /* >

(2.3)

А=1

где п- число вершин, перенумерованных против часовой стрелки;

Р а- = 1, РА= 1 / п (к = 1, п), то есть значение функции в ячей­

ке определяется средним арифметическим ее значений в вершинах. Аппроксимация первых производных в ячейках разностной сетки базируется на интегральном определении производной, основанном на применении формулы Грина к ячейке разностной

сетки:

\fdo .,= -\—- d a ,d a 1,		J/rfa2 =	0 - d a , d a 2. (2.4)
С	F “ а 2	С	F ^ а 1

Здесь С - замкнутый контур, F - область, ограниченная этим кон­ туром. В предположении линейности функции / вдоль сторон ячейки контурные интегралы в формулах (2.4) запишутся в виде:

с

ы

(2.5)

J / * » = ! / * « ' - a f ) ,

С*=1

где f k = f (akt , a j ) - значения функции/ в вершинах «-угольной ячейки, перенумерованной против часовой стрелки. Поделив выра­ жения (2.5) на площадь ячейки

S = Jajdctj = £ a f ( a f - a f ),

(2.6)

СА=1

82

получим формулы естественной аппроксимации производных или средние значения частных производных в ячейке

Формулы естественной аппроксимации производных (2.7) справедливы для любых многоугольников, не имеющих самопере­ сечений. Аппроксимации (2.7) являются естественным обобщением центрально-разностных формул и обладают по сравнению с ними рядом преимуществ: единообразием аппроксимации частных про­ изводных для различных типов ячеек (треугольники, четырехуголь­ ники и т.д.); произвольным размещением узлов разностной сетки, что позволяет учесть геометрические особенности расчетной об­ ласти; инвариантностью разностных формул от смещений узлов разностной сетки, что важно при использованиилагранжевых пере­ мещений.

Интегралы по области S и контурам Г в вариационных урав­ нениях (1.51), (1.64), (1.79) заменяются конечными суммами, при­ чем интеграл, имеющий смысл вариации внутренней механической энергии тела, аппроксимируется суммой по ячейкам основной сет­ ки, а интеграл от внешних и инерционных сил - суммой по ячейкам промежуточной сетки. Интегралы по контурам Г заменяются сум­ мами по граничным отрезкам основной сетки.

Собирая в построенных по такому принципу вариационно-раз­ ностных уравнениях коэффициенты при независимо варьируемых функциях, получим систему полудискретных сеточных уравнений движения для каждого узла основной сетки.

Поскольку вданной работе исследуются неустановившиеся не­ линейные волновые процессы на базе неклассических теорий обо­ лочек, когда существенными являются вопросы распространения волн, для интегрирования по времени полученных систем интегро-

83

дифференциальных уравнений воспользуемся явной конечно-раз­ ностной схемой типа “крест” [215,230].

Основные положения этой схемы заключаются в следующем. Процесс деформирования во времени разбивается неперемен­ ные слои .tK с шагом At = / к+| - t K, к = 0,оо. Рас­ сматриваются две различные центровки по времени. Характерис­ тики, определяющие историю деформирования (напряжения, де­ формации, температура), вычисляются в целые моменты времени f. Значения скоростей обобщенных перемещений определяются в промежуточные моменты времени /к+т.Производные по времени заменяются центральными разностями со вторым порядком точ­

ности с помощью оператора

f r ' = ------

^ -----+о(|л/2||),

(2.8)

где / к+1/2 = ( / k+1 - / к) / A t. Так, производные по времени от ве­ личин, заданных в целые моменты времени, будут определены в полуцелые моменты времени и наоборот.

Таким образом, процесс интегрирования заменяется последова­ тельным пересчетом искомых переменных с предыдущего времен­ ного слоя на последующий. Значения переменных с предыдущего слоя выступают при этом как начальные условия. Для первого шага начальные условия должны быть заданы.

Рассмотренная схема является условно устойчивой [230], то есть устойчивой при соблюдении некоторых ограничений на шаг по времени. Величина шага по времени ограничена также условием точности. Однако для явных схем, каковой является схема типа “крест”, условие устойчивости накладывает, как правило, более жесткие ограничения на величину максимально допустимого шага по времени по сравнению с условием точности.

Наряду с вышеизложенным заметим, что некоторой проверкой устойчивой и правильной работы схемы является выполнение за­ конов сохранения (баланса энергии) в процессе решения задачи.

84

Аналог полной энергии системы можно построить по значениям скоростей, напряжений и пластических деформаций вузлах разнос­ тной сетки. С другой стороны, полная энергия системы опреде­ ляется работой внешних сил и подведенным количеством тепла. Невязка этих величин позволяет осуществлять дополнительный контроль устойчивости схемы. Одностороннее нарастание невязки характеризует неустойчивость счета. Устойчивая и правильная работа схемы характеризуется осцилляциями невязки, иногда с незначительной тенденцией к возрастанию.

Анализ полной внутренней энергии системы позволяет также иногда (ниже это будет показано на примере центрально-симмет­ ричных сферических оболочек под действием импульса внешнего давления) повысить эффективность расчетов путем перехода в процессе решения задачи от расчета по модели с разложением в ряд по толщине к классической теории оболочек. Фактически это позволяет в некоторых случаях построить область применимости классической теории оболочек.

2.2. Дискретная формулировка разрешающих систем уравнений

Покроем внутреннюю поверхность оболочечного элемента основ­ ной и промежуточной сеткой четырехугольных ячеек. Будем счи­ тать, что в узлах основной сетки определяются коэффициенты Ла­ ме, кривизны, перемещения и углы поворота, а в узлах проме­ жуточной сетки (в серединах ячеек основной сетки) - деформации, напряжения и усилия.

Площадь ячеек основной сетки вычисляется по формуле

(2.9)

где скобки ( ) обозначают среднее значение. Длина границы, примыкающей к стороне ячейки основной сетки, определяется по формуле

85

" ( J x ^ ) d,A2~ + & j ^ o ( K ) + ^ , ( K ) +

+ ^ y d a (S “ B} + (a * 3 + w ; , ( f t , ) + M ; 2( k 2) ) d 0 ( b u l ) +

+ 7 7 T Z ^ 'W .(8 « ;,) + 7j - S M " r f 2(5»l”) +

\ Л|//;=2	(Л2/>.=2
+ ^ ^ у ^ , Л 1 Л / 2Х (5 < ) - ^ л £ к ^ » (8 < ) ) -

-<*.>£^,V„(S<)+X M3X(S«r)			+	(би;)+
//=2	и=2		\ Л 2/ и=2
+ T JT I K M ( Ю + T T T T T r f £ К Х ( 6 « П -
\ л , / л=2		\ Л |Д Л 2Д	n=2
-d ,A 2J^M2[d0(5U2) ] - <*2>Z M ”X ( 8 « 2 ) +
/1=2	\ Л 1/	/1=3	h < 4 ) i . 3
+ <л, > £ м	; ч	(би? ) + <*2 > Х К Х ( К		) +
//=3
+ £ ч Н ( Ю		^ „ , + Z i
«=3
+ Е Д > г ] к	+ z f 5“»"2 +52»«1 + 1>2”Л",Ч)Ч ”

87

+ N°M + * > i +М> г +Mlbu\ + £ s > ," +

	п=2
+ Е ^ 8 « 2" + 1 5 3" 6 « ” ]Д Г	= 0 ,	(2.11)
/t=2

где М - число ячеек основной сетки, К - число ячеек промежуточ­ ной сетки, L - число граничных отрезков промежуточной сетки.

Собирая для каждого узла основной сетки коэффициенты при вариациях 8и,", придем, в силу их произвольности, к системам линейных алгебраических уравнений относительно обобщенных ускорений:

	N			N22dlA2
	I ВюЩ		+ d ,\
		(А,)		- d 0
			< Л г/J>
	K d A	Q u ( K )	+ FI+N?AT/AS„ ( 1 ^ 2 ) ,
	( а , Х А 2)

f\ ~ \ - do(.K (K ) + K i ( k 2)) +

+ F3+N д г

m=o w > j I H >J (< 4 > < ^ >

	M l2d 2A,	2
		- Л/,з (к,) + бз,		+ JW, + М °Д Г /Д 5 .,		(1 <-» 2),
	< 4 X 4 > -
				M l
		+ б з '3) +		/ гз2 + м	, 0 ^ ,
					AS.
	N
	I	'<4>J	I w J		4<4X4>	<4X4>
	m=0
	- К э < * | >	+ М 3”, I + ./']" + 5 "			( n = 2 , N ) ,	(1 о 2 ) ,
				AS.
				M ”
		+ M ” ) + F ;	+ S3” ^		( « = M O -	(2.12)

Полученная полудискретная система по структуре совпадаете исходной системой уравнений движения (1.52). Разрешая (2.12) относительно обобщенных ускорений и” , получим систему нели­ нейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго по­ рядка по времени;

«Г	= F я	(т = О, N \ (1 <-» 2),
1	wi	(2.13)
	и" = F . (m = \,N).
	J	UJ

89

Для интегрирования систем (2.13) при начальных условиях (1.54) воспользуемся явной конечно-разностной схемой второго порядка точности относительно шага по времени (2.8). В результате получим:

- ( щ Т и г

= F .

( m = 0 , N ) , (1

2 ) ,

Д /

(2.14)

(и;1у*"2- ( н “у -'п

= F . (от = l,N).

ы

Таким образом, решение систем (2.13) сводится к рекуррентному счету по формулам:

(« Г )" 1'2 = « Г " 2 + F , Д(	(от = О, W),	(1	2),
Г -
t ' m чк+1/2 /	(к = 0,оо),	(1 ^	2),
(и,”)'*' = « ) к +(м”) " ,,2ДГ
(у/я)К+1/2 _			(2 1 5 )
= (а3” ) ‘:‘,,2 + ^ . Д / (от = 1,Л0,

(и; у*1=(и?у + (» 3" )к*''2дл

Очевидно, что вариационно-разностный метод решения об­ ладает определенными достоинствами перед обычной конечно­ разностной схемой решения уравнений (1.52)—1.55), так как позволяет стандартным образом вести рекуррентный счет по формулам (2.15) не только внутри области, но и на границе.

2.2.2. Вариационно-разностный метод в случае кинематически однородной модели

Как и выше, заменим в вариационном уравнении (1.64) интегралы по области S и контуру Г конечными суммами

90