книги / Прикладная механика композитов
..pdfДинамика композитов с трещинами |
201 |
Рис. 16. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений в случае антиплоского сдвига от отношения длины трещины к шагу между волок нами при различных скоростях трещины.
3.4. ВЛИЯНИЕ ОРТОТРОПИИ МАТЕРИАЛА НА ДВИЖЕНИЕ ТРЕЩИНЫ
В работе [6] показано, что механические свойства одно направленных композитов с высоким объемным содержанием волокон хорошо описываются в рамках предположения об однородной анизотропии материала. Главные оси ортотропии
материала 1, 2 и 3 совпадают |
с геометрическими осями X, |
У, 1 , причем трещина движется |
в направлении осей 1 или |
X, более слабом в отношении механических свойств (рис. 17). Далее кратко обсуждаются результаты работы [1], в которой4
4) Однонаправленный композитный материал автор рассматривает как ортотропный. — Прим, перев.
202 Дж. Си
получены решения для шести различных однонаправленных композитов.
3 .4.1. Орт от ропная теория уп р уго с т и . Рассмотрим состоя
ние плоской деформации, описываемое системой неподвиж ных координат (X, У) следующим образом:
их = и(X , |
У, 0, u Y = о (X , |
У, t), uz = |
0. |
(62) |
Для ортотропного |
материала, изображенного на рис. 17, на |
|||
пряжения можно |
выразить через |
деформации |
с |
помощью |
Направление Z
Рис. 17. Трещина, движущаяся с постоянной скоростью в ортотропной среде.
соотношений
а Х = = С\\е ХХ + |
С)2eYY* |
|
|
ay = |
с12ехх + |
Сцвуу, |
|
Ст2 = |
V31(Jjr + |
V32CTy, |
(63) |
Тдгу = |
2Gl2eXY> |
|
|
TXZ = |
XYZ — |
|
|
Упругие постоянные сп, Ci2 и т. д. определяются по формулам
£ц == |
С1 |
V23V32)» |
|
|
С,2 = |
(V2I 4 |
V23V31) = |
(V,24V13V32), |
(64) |
^22 === |
l1 |
v13^32)> |
|
|
|
|
|
Динамика |
композитов |
с трещинами |
203 |
||||||
в которых Д обозначает определитель: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
— V12 |
— V13 |
|
(65) |
||
|
|
|
Д = |
— v2l |
1 |
— VJB |
|
|||||
|
|
|
|
|
— v3) |
v32 |
|
1 |
|
|
|
|
Уравнения |
движения, |
выраженные |
через |
перемещения |
||||||||
и(Х, Y, t) |
и v(X, |
У, t), |
имеют вид |
|
|
|
|
|
||||
|
„ |
д2и |
| |
г |
дги |
. , |
\Н2 ~т“ ^ 12/ |
д*и __ |
д2Ц |
|||
|
Hi |
|
-Г u I2 ду2 |
“г |
дх dY |
Р |
dt2 ’ |
|||||
|
^ |
д2о |
, |
^ |
d2v |
, |
i |
ri \ |
д2и |
____д2о |
||
|
^12 |
Q X 2 |
' |
^22 дУ2 |
|
'^ * 2 ' |
^ 12' |
д Х дУ |
Р |
d t2 ' |
||
Легко показать, что в системе подвижных |
координат (*. у ) |
|||||||||||
уравнения (66) преобразуются к виду |
|
|
|
|
||||||||
VH1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(67) |
|
, |
I |
П |
\ |
32и |
I |
( G 12 |
9\ д2° |
I |
|
<Э2и |
||
\С\2 + |
G 12) дх ду + |
р с ) дх2 |
+ |
С22 ду2 |
|
где с — скорость трещины, р — плотность материала.
3.4.2. Растяжение в плоскости. Уравнения (67) для дви жущейся трещины, нагруженной напряжением симметрично относительно оси х, решены в работе [1]. Граничные условия имеют вид
0 < | х \ < а, У = о, |
(68) |
тх у |
|
а из-за симметрии задачи требуется выполнение условий
o = |
0f |
1 |
|
|
т = |
0 |
j |
У = 0- |
С69) |
Решение задачи, отыскиваемое с помощью преобразования Фурье, зависит от двух вещественных корней тц и г)2, удов летворяющих уравнению
Л4 — -^ Qi2 {[С22(си — рс2) + 0 12 (G{2— рс2) — (с12 + G12)2] ril +
+ |
(с„ — pc2)(GI2 —рс2)} = |
0, |
(70) |
||
причем |
^\1сХ\С\2 — G22' ^ CX2-\-G\2. |
(71) |
|||
|
|||||
Скорость трещины должна удовлетворять неравенству |
|||||
pc2 < |
G12» |
С11С2 2 “Ь ^ 1 2 |
( с 12 + |
^12) |
(7 2 ) |
С22 + |
G|2 |
|
|||
|
|
|
Imln |
204 |
Дж. Си |
Не вдаваясь в подробности расчета, укажем, что динамиче ские напряжения вблизи вершины движущейся трещины имеют вид
°Х = - £ j f -J£ [(cl2-nxAf2 - с„) д/ 1 + nr‘ cose +
|
+ ( СЛ |
|
М 3“ С\\ ) М \V 1+*А2-1 cos0J + • • • * |
|
|
|
= 2W |
1ЙГ [М .Л 1, - си) д/1 +ЙГ‘“ 50 + |
(73> |
||
|
+ |
|
|
С12)^1 V 1+ ^2~1cos9J + |
|
т" |
= _ |
I T T |
м 7 К4' + Мг) V * — **г'cos®+ |
|
|
|
+ |
(л2 + |
М3) Ж, д/l — p-'cosB j + |
|
|
где |
py = |
^/cos20 + Л/ sin20 / = 1, 2. |
(74> |
Полярные координаты г и 0 определены на рис. 17, а вели
чины Mj ( / = |
1, 2, 3, 4) обозначают |
|
|
|||||
М ,= |
Т]2 |
сп — рс2+ |
Л?С22 |
cn - p c 2 — r\\Gl2 |
|
|||
----------------о------5----» |
М2 — |
г |
|
|||||
|
Til |
С,, — pc* + |
r\iC22 |
Tl, (с12 + |
Gv2) |
(75> |
||
|
сп |
Рс2 |
Л2^12 |
|
|
|
|
|
М3 = |
М |
4 |
--— С(2 4“ |
|
12 |
|||
|
Ла (с>2 + |
G12) |
|
(^22“П2^3 £ )- |
||||
|
|
|
|
|
|
Компонента напряжения аг легко определяется через ах и а9 из третьего уравнения (63). Коэффициент интенсивности на пряжений k\ в уравнениях (73) определяется так же, как для неподвижной трещины в поле однородного напряжения:
ki = <т0 Va- |
(76) |
Для изотропного материала выражения (75) упрощаются:
М, |
2щЛа |
Л12 = Ль |
|
|
i + л! |
|
|||
|
4Т||Л2 |
(77) |
||
|
M 4= |
G |
||
|
|
|||
|
1+Л2 |
|
||
|
|
|
|
где Л1 и т|2 равны A,i и Х2, которые определены уравнениями (45).
Численные значения напряжений (73) легко найти, если известны упругие постоянные материала. Однонаправленный эпоксидный стеклопластик на основе Е-стекла с объемным содержанием волокон 56.5 % имеет следующие упругие по
|
Динамика |
композитов с трещинами |
205 |
||
стоянные: |
42,3 • 10 3 |
МПа, |
v12 = |
v,3 = 0,27, |
|
Е{= |
|
||||
£ 2 = |
9 , 8 • 103 |
МПа, |
v<3 = |
0,34, |
(78) |
G,2 = |
5,5 • 103 |
МПа. |
|
|
|
Тогда нормированные |
значения |
жесткостей сц |
( /,/= 1 ,2 ) |
равны |
|
|
|
£11/^ 1 2 = 12,190; |
C12/G12 = |
1,155; C22/GI2 = |
3,139, (79) |
где Си > с2 2 и G12 = G13 < G2 3 . Движение трещины, парал лельное волокнам, обусловлено ее исходной ориентацией. Влияние ортотропии материала будет обсуждено в разделе, посвященном критерию плотности энергии деформирования. Выражение (76) для коэффициента интенсивности напряже ния k\ не несет новой информации, так как оно идентично статическому выражению.
4. Динамическое поведение слоистых композитов
Слоистый композит (рис. 18) — это пакет, соединенных вместе тонких пластин, работающих как единый конструк-
Мгновенный
изгиб /Мгновенное
Рис. 18. Сквозная трещина в слоистом композите (пластине), нагруженном мгновенным растяжением и изгибом.
ционный элемент. Механическое поведение слоистого компо зита зависит от свойств составляющих слоев и распределения нагрузки между ними. Считается, что слои идеально свя заны по поверхностям раздела, где имеется непрерывность
206 |
Дж. Си |
перемещений и напряжений, а расслоение отсутствует. Предполагается, что в слоистом композите, который может под вергаться мгновенному растяжению или изгибу, имеется де фект в форме сквозной трещины. Далее использованы дина мические теории слоистых композитов, изложенные в рабо тах [10,11].
4.1. ПОВЕДЕНИЕ СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Приложение мгновенной растягивающей нагрузки вызы
вает во |
всем объеме |
слоистого композита распространение |
|||||
|
|
|
волн напряжений. В этом |
||||
|
|
|
случае |
|
взаимодействие |
||
|
|
|
между волнами, отражен |
||||
|
|
|
ными |
в |
продольном |
на |
|
|
|
|
правлении и по толщине |
||||
|
|
|
слоистого |
композита, |
яв |
||
|
|
|
ляется |
существенным |
и |
||
|
|
|
им нельзя пренебречь. В |
||||
|
|
|
особенности это относится |
||||
|
|
|
к области |
трещиноподоб |
|||
|
|
|
ного дефекта, где поле на |
||||
|
|
|
пряжений |
трехмерно. Без |
|||
р ас т т ен и е |
|
|
потери |
общности рассмо |
|||
|
|
трим |
|
четырехслойный |
|||
|
|
|
|
||||
Рис. 19. Усилия и скручивающие момен |
слоистый |
композит, |
изо |
||||
ты вблизи трещины в мгновенно растя |
браженный на рис. |
18. |
|
||||
гиваемой |
четырехслойной |
композитной |
|
|
|
|
|
пластине.
4.1.1.
на: растяжение пластины.
Динамическая теория растяжения слоистых пластин разра ботана Си и Ченом [11] в предположении о поле перемеще ний, зависящем от времени:
их = |
и (х, у , /), |
иу = V (х, у , 0. |
«г = |
22 |
0- |
(80) |
w (*» У• |
||||||
Система |
координат |
(х, у, г) выбрана |
так, |
что ось |
г |
нор |
мальна к поверхности пластин из слоистого композита общей толщиной h. Обычно исходные уравнения теории пластин за писываются через усилия (рис. 19)
ft/2
(Nx, ^У> NZ1 Nху) == |
^ (^Х> Gyt |
Чху) d* |
(8 1 ) |
и скручивающие моменты |
- А / 2 |
|
|
|
|
|
|
ft/2 |
|
|
|
{ R x t R y ) == \ |
faxz» ^иг) ^ |
|
(82) |
- А / 2
Динамика композитов с трещинами |
207 |
Подстановкой уравнения (80) в соотношения между на пряжениями и перемещениями и использованием уравнений (81) и (82) установлено, что для слоистого композита, изо браженного на рис. 18, справедливы соотношения *>
N x = |
т h [(° + |
2Р) т г + |
а Т й \ + |
ахш’ |
|
|
^ = |
у Л [(а + |
2Р)-^- + |
а - |^ ] + |
ахШ, |
^ |
|
Nz = (а + 2р) х2® + 4 ахЛ |
+ -Ц -), |
|
= |
^ |
= |
Постоянная х = я/У12 в уравнениях (83) и (84) харак теризует взаимосвязь между волнами напряжений в продоль ном направлении и по толщине композита. Если pi и р2 обо значают плотности материала внутренних и наружных слоев слоистого композита, то основные уравнения для трех неиз вестных и, v и w имеют вид
PV2« + |
( a + |
|
P ) £ ( £ + |
£ ) + |
2ax |
dw |
|
, . |
ч д2и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
дх |
— (Pi + |
P2)~glT’ |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 7 |
|
2ax |
dw |
|
(P i + |
2P) I S - . ( 8 5 ) |
||
PV2o + |
(<* + |
) -Щ ( l 7 |
+ |
) + |
- |
4 |
- -g f ~ |
||||||||
|
|
|
m -г ™ да, |
||||||||||||
VV2» - - р - ( а + 2Р)х2ш |
- - ^ |
( ^ - + |
|
| ^ ) |
= |
(p1+ |
7p2) ^ : , |
||||||||
где V2 |
= |
д2/дх2 + |
д2/ду2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- * |
|
GiVi |
О2V2 |
) . |
P = |
G, + G2, |
Y = |
GI + 7G2. |
|||||||
( т * 2v, |
1 - 2 |
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(86) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений (85) была решена Си и Ченом [11] для случая сквозной трещины.
4.1.2. Мгновенное растяжение. Допустим, что сквозная трещина (рис. 18) испытывает воздействие от мгновенно приложенного растягивающего усилия величиной No, постоян ного во времени. В этом случае задаются следующие условия:
Nу = — NqH (Г),
|
Nxy = |
0, |
0 < | * | < a , У = 0; |
(87) |
|
|
|
||
________ |
v = Rv = 0 , \х \> а , у = 0 . |
(8 8 ) |
о Эта теория легко распространяется на слоистые композиты, состав ленные из анизотропных слоев.
208 |
|
|
Дж |
Си |
|
|
В теории пластин |
поле локальных напряжений |
выражается |
||||
в усилиях |
|
|
|
|
|
|
Nх — —т = |
cos-^-Gf 1 — sin — 9 sin — в') + |
|
||||
|
V2Г |
2 |
V |
2 |
2 ) |
|
Ny = ~ = r cos —0 (\ |
sin — 0 sin —0^ + |
Q |
||||
y |
V2r |
2 |
V |
2 |
2 / |
(89) |
Af*! ,= ' ^ ' sin'2'0cos |
7 9cos| |
e + - - - . |
|
|||
R x = |
R y = |
0 (1). |
|
|
|
|
Скручивающие моменты Rx и Ry несингулярны. Коэффициент интенсивности усилий в уравнениях (89), являющийся функ цией времени, имеет вид
k\ (t) = n[[(c2)i t/a] N0 л/а. |
(90) |
Значения величины n\[(c2)\t/a) , вычисленные при условиях
a/h = 1,0; vi = V2 = 0,3 и p; ==р2, приведены на |
рис. |
20. |
|||||
|
Рассмотрены три различных |
||||||
|
отношения |
жесткостей |
на |
||||
|
ружных слоев к внутренним |
||||||
|
G2/G 1. |
Случай |
G2/G | = |
1,0 |
|||
|
соответствует |
однородной |
|||||
|
слоистой пластине, |
изготов |
|||||
|
ленной из материала одного |
||||||
|
типа. Отметим, |
что |
зависи |
||||
|
мость |
k\{t) |
сначала |
возра |
|||
|
стает до максимума, а за |
||||||
|
тем, уменьшаясь, переходит |
||||||
|
в статическое решение. Мак |
||||||
|
симум |
ki(t) |
в случае |
G2 > |
|||
|
>• G1 выше максимума, со |
||||||
|
ответствующего |
однородно |
|||||
|
му решению, а при G2 <. Gi |
||||||
Рис. 20. Зависимость нормированного |
ниже. |
Поэтому, |
формируя |
||||
коэффициента интенсивности усилий |
пакет, |
у которого |
внешние |
||||
от времени при различных отноше |
слои более податливые, |
чем |
|||||
ниях модулей сдвига. |
внутренние, |
можно |
|
умень |
|||
шить интенсивность динамичес |
|
||||||
ях напряжений вблизи сквоз- |
|||||||
ной трещины. |
|
|
|
|
|
|
|
4.2. ПОВЕДЕНИЕ СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ИЗГИБЕ
Соответствующую задачу о динамическом изгибе слои стой пластины можно решить вышеприведенным методом. Система дифференциальных уравнений с соответствующими
Динамика композитов с трещинами |
209 |
граничными условиями, необходимая для расчета слоистых пластин с дефектами при нагружении изгибом, выведена Ск и Ченом [10] с помощью вариационного исчисления.
4.2.1.Теория Си и Чена: изгиб пластин. В отличие от
уравнений (80) перемещения в плоскости заданы как нечет-
iМгновенный
изгиб
Рис. 21. Изгибающие |
моменты и перерезывающие силы вблизи трещини |
в мгновенно изгибаемой четырехслойной композитной пластине. |
|
ные функции по z: |
|
ux = zu{x, у, |
t), uy = zv(x, у, t), Uz = w {x,y,t). (91) |
При изгибе пластин определяемыми величинами являются моменты Мх, Му и Мху на единицу длины кромки слоистой пластины:
ft/2
— ft/2
и перерезывающие силы:
hi2
(93)
Обозначения указаны на рис. 21. Величины, входящие в уравнения (92) и (93), связаны с перемещениями и, v и w
210 |
Дж. Си |
(91) следующим образом:
M» = D» ( I ? + V» l r ) - |
|
|
|
(94) |
||||
^ „ = |
i ( l - v |
0)D0 ( |2 . + |
| 1 ) ; |
|
||||
|
Qj, = 1L ^ G0( U + ^ ) , |
|
(95) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?» = TV j,2/,g»(1’ + |
^ |
) - |
|
|
|||
Параметры Do, vo, G0 вычисляются по формулам |
|
|||||||
A. = 0. + Ai. |
|
V0= 0|V| + ° 2Vi , |
|
G0 = |
-i-(G, + G2), |
(96) |
||
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
G , A 3 |
n |
— |
7 |
° |
2 /,э |
(97) |
Ux |
48 (1 — V,) |
’ |
2 |
48 (1 — v2) ’ |
|
Три неизвестных перемещения и, v и w определяются из ре шения системы уравнений, полученных Си и Ченом [10]:
1 (1 - |
v0) D tfu + 4- (1 + |
v„) О0 £ |
(-£ - + |
-g -) - |
|
|||
|
- |
~h л2Л°о(« + w |
) |
= ^ |
' /,3(PI + |
P2) ' | F > |
||
i- d - |
v0)D t f v |
+ i (1 + |
V „) G„ ± . |
( |
* |
+ |
* ) - |
(98) |
|
|
- - ^ - д 2ЛО„(И + | f ) = |
^ - * 3(Pi + 7p2)-^ -. |
|||||
|
■— Ji2ftG0 ( y 2w + |
+ -gjj-) + |
? = |
4"h (Pi + |
Pa) -Ц г • |
где q — боковая нагрузка, приложенная к слоистой пластине
внаправлении г.
4.2.2.Мгновенный изгиб. Слоистая пластина со сквозной трещиной шириной 2а мгновенно изгибается так, что выпол няются следующие условия:
Му = - |
М0Н (/), | |
(99) |
Мху = 0, |
0 < | х | < а, у = 0; |
|
} |
|
|
v = Qy = 0, 1*1 > а , у = 0. |
( 100) |
Установлено, что в пределе при г-»-0 моменты являются син гулярными у вершины трещины и определяются по форму-