книги / Принципы динамической теории решетки
..pdfРис. 2.5. Квадратичная амплитуда атома дефекта по отношению к квадратич ной амплитуде атома идеального кристалла как функция частоты в случае дебаевского спектра при различных значениях параметра 6 = (М ° — М) /М° (М° — масса атома идеального кристалла. М — масса атома примеси). (Сог
ласно [107] .)
Рис. |
2.6. |
Усредненная по |
температуре |
среднеквадратичная |
амплитуда |
|
< и \ |
( /) |
> /д г (а - |
постоянная решетки) |
атома примеси Ли в решетке Си |
||
как функция со/со L |
(со L - |
максимальная частота кристалла |
Си) для 6 = |
= (М° — Af) / Af° = —2 Ш ° — масса атома Си, М — масса атома А и ); сплошная
кривая — атом примеси, штрихован — атом ближайшего соседа, пунктирная— невозмущенный атом; Г = 50 К. (Согласно [379] .)
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
123 |
способами, описанными выше. Результаты таких вычислений для ато ма примеси (/ = 0) и для ближайших соседей (/ = 1) в случае ГЦК-крис- талла с с - —2 (сплав Си: Аи) и е —0,57 (сплав Си : А1) изображены на рис, 2.6 и 2.7 соответственно. Согласно этим рисункам, искажение амплитуды колебаний благодаря наличию примеси очень быстро спа дает с увеличением расстояния от примеси.
Возвратимся вновь к коэффициенту инфракрасного поглощения а (со) при наличии дефектов. Из (2.2.10) мы видим, что а (со) определя ется мнимой частью функции Грина. Простейшим случаем является
гомополярный кристалл с простой заряженной примесью. С учетом того, что Ма р (() = ^ 0баре*(е* - эффективный заряд примеси), мы
имеем ос(со)~ ImGaa(0, 0, со). Следовательно, с помощью (2.2.10), (2.2.19), (2.2.22) и (2.2.25) для случая заряженных изотопических при месей получаем
/ v 2 л 2пе*2 |
|
|
|
*(") — с'у м ° |
х |
|
■+ [я<-сод°(со)12]2\гдля со < coL i |
0°И ■ 1 - |
ш 2Р J |
со2 — со2 |
|
|
о |
|
|
6(a) — й?0) |
|
|
ДЛЯ >СО> (oL, |
€ |
|
|
|
|
|
(2.2.31) |
|
|
|
|
где п - число примесей в кристалле. Равенство (2.2.31) предсказыва ет поглощение во всем диапазоне частот зонных колебаний, которое пропорционально плотности состояний, модифицированной знаменате лем, который может быть резонансным. Более того, предсказывается, что в случае локализованного колебания появляется 6-образный пик на частоте данного колебания.
Равенство (2.2.31) применимо к различным системам, в частности, для кремния с примесями замещения III и V групп. Довольно хорошее, например, согласие между теоретическими и экспериментальными ре зультатами было получено для S i: В. Теоретическая кривая поглоще - ния в Si : В показана на рис. 2.8. Внутризонное поглощение связано с главными пиками плотности состояний колебаний в кремнии; Пример но 75% поглощения атомами бора содержится в резком пике локально-
124 |
Глава 2 |
Рис. |
2.7. Усредненная |
по |
температуре |
среднеквадратичная |
омпли.уда |
|
< £ /* |
(/.) > / |
а2 (а - постоянная решетки) |
атома примеси AI в решетке Си |
|||
как |
функция |
СО / C0L |
(С0|_ - |
максимальная частота кристалла Си) для |
||
€ = Ш °—М)/М° = 0,57 {М^ - |
масса атома Си, М - масса атома |
AI); сплошная |
кривая — атом примеси, штриховая |
— атом ближайшего соседа, пунктир |
ная — невозмущенный атом; Г - 5 0 К |
. (Согласно [379] .) |
Рис. 2.8. Спектр поглощения, предсказанный с помощью (2.2.31) для Si с
Добавками В10 и В1 1 в естественном содержании. Пики локализованных мод
уменьшены в 10 раз. (Согласно [1 0 8 ].)
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
125 |
го колебания. Оказывается, что вычисленная частота локальной моды (при 664 см**1 для В11) находится существенно выше наблюдаемой ве личины (при 620 см~1 для В11 ). Это предполагает, что примеси В также вызывают соответствующее изменение .силовых постоянных для связи В - Si (на величину порядка 14%).
Усиление поглощения во всей зоне колебаний вследствие наличия дефектов, предсказываемое в (2.2.31), представляет особый интерес. Такое поведение характерно для неупорядоченных систем. Заметим, что в идеальных гомополярных кристаллах не существует однофонон ного поглощения и что в полярных кристаллах есть только однофонон ные пики отражения, возникающие из-за оптических колебаний с к = О. Широкое внутризонное поглощение в неупорядоченных системах "ил люстрирует" устранение правил отбора при к = О из-за отсутствия периодичности решетки (см. разд. 2.3.3).
На рис. 2.9 даны теоретические и экспериментальные кривые однофононного поглощения в растворе Ge : Si. Теоретическая кривая была получена в приближении дефекта массы (MGe/Mg. = 2,6). Заме тим, что в случае незаряженных примесей в гомополярном кристалле эффективный заряд на дефекте и близлежащих атомах возникает вслед ствие перекрытия волновых функций атома примеси и ближайших ато мов. В этом случае а (со) вычисляется аналогично описанному выше. Из рис. 2.9 мы видим, что при низкой концентрации дефектов кривые для поглощения и для плотности колебательных состояний имеют сход ство (рис. 2.9,а). Однако при большей концентрации примесей в спект ре поглощения появляются новые особенности, которые можно припи сать ближайшим примесным парам.
Влияние примесных пар и изменение силовых постоянных здесь мы не. сможем рассмотреть детально. Отметим только, что такое влияние можно трактовать аналогично дефекту массы. Однако матри цы примесей в последнем случае имеют существенно больший поря док, чем в случае дефекта массы. Применяя теорию групп, задачу об изменении силовых постоянных или о примесных парах можно сущест венно упростить. Для более детального изучения данных вопросов ото шлем читателя к работе [ 257, гл. 8]. Обзор и обширная библиография экспериментальных исследований влияния дефектов на колебательные свойства даны в работах [27, 257, 379].
126 |
Глава 2 |
|
Рис. 2.9. Инфракрасное поглощение в сплаве Ge:Si. а: штриховая кривая —
экспериментальные результаты для Geo 95 S*o 05# светлая сплошная — плот
ность однофононных состояний для Ge, жирная сплошная — кривая поглоще ния. предсказанная в модели беспорядка масс для изолированного атома Si;
б: штриховая кривая - экспериментальные результаты для Geo.88 s '0.22#
светлая и жирная сплошные кривые — поглощение, предсказанное для
различных мод (с симметрией 2?и и А ^и соответственно) спаренных
атомов Si.
2 .2 .3 . Описание колебаний дефектов с помощью эйнштейновского осциллятора
Следуя работам [113, 223], мы приведем простое и физически
очевидное описание поведения локальных колебаний изолированного дефекта. Это описание основывается на методе функций Грина. Оно сводится к эйнштейновскому осциллятору. Этот осциллятор характери зуется эффективной силовой постоянной, описывающей статический отклик, эффективной массой, составляемой1массой примеси плюс до полнительный вклад атомов, расположенных вблизи дефекта, и по-
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
127 |
стоянной затухания, которая в свою очередь может быть выражена через эффективную силовую постоянную и эффективную массу. Послед ние величины могут быть вычислены с помощью функций Грина идеаль ной решетки, но для них также можно получить приближенные выраже ния,не требующие знания функций Грина бездефектной решетки. Опи сание с помощью эйнштейновского осциллятора можно применять как к резонансным, так и к локализованным колебаниям примеси.
Согласно (2.1.28), функция Грина кристалла с дефектами дается
выражением |
|
[Мш2 - Ф] G(co) = 1, |
(2.2.32) |
где МиФ соответственно обозначают массу и силовую постоянную при наличии изолированного дефекта. Матрицы М, Ф и G удобно пред ставить в следующем виде:
(2.2.33)
где индекс С означает "центральную" область, которая в большинст
ве случаев включает в себя только атом примеси, и R означает "осталь ную" область. Подставляя (2.2.33) в (2.2.32), мы получаем
(МСС0)2 — Фес) @СС — ^CR^RC = 1 >
— ^RC^CC + (-MRRO)2 — ФщО GTRс = О,
(2.2.34)
( М с с с о 2 — Ф е с ) @ С К — ^ C R G T R R —
—Ф^сОCR, -г (MRRO)2— ФШ) Gnii = 1.
Как было указано в предыдущем разделе, минорная матрица G, связанная с примесью - Gc c , представляет особый интерес ввиду то го, что ее полюса или псевдополюса определяют соответственно лока лизованные или резонансные колебания, а ее мнимая часть определя ет квадратичную амплитуду колебания атома примеси и такую экспери ментальную величину, как интенсивность инфракрасного поглощения. Из первого равенства (2.2.34) можно получить следующее выражение для Gc c :
Сгсс^) = [МссЮ2 —Фес —^CR^RR^Rc]-1» |
(2.2.35) |
128 Глава 2
* |
|
где G„ дается уравнением |
|
К л |
|
[-MRRG>2 — ^ RR] GRR(CO) = 1. |
^2.2.3б) |
л
Для вычисления GRR мы поступим точно так же, как при выводе
(2.1.48). Для примеси замещения мы находим |
|
||
GRR = |
[1 - |
G&EFRR]-I д°ш , |
(2.2.37) |
где |
|
Ф1п] GU = 1• |
(2.2.38) |
[M lRa>* - |
|||
Здесь |
и |
обозначают соответственно массу и силовую посто |
янную минорных матриц, связанных с оставшейся областью идеально
го кристалла. Величина Г - соответствующая минорная матрица матрицы возмущений (2.1.31) для одиночного дефекта. Используя
(2.2.38) и последние два уравнения (2.2.34) (переписанные однако для идеального кристалла), легко прийти к следующему выражению для G0 :
RR |
|
|
|
|
RR |
= |
C |
CC X |
(2.2.39) |
6 ° |
G RR ~ GR [G |
]~ Ggp |
|
где G° означает функцию Грина идеального кристалла.
Рассмотрим резонансное колебание. Такая мода имеет место на
частоте coR> определяемой уравнением |
|
det |Re G?cJ(coR)| = 0, |
(2.2.40) |
при условии, что мнимая часть Gu(сок) |
мала, т.е. в случае, когда |
Gc c (co) имеет квазиполюс. Это определение находится в полном со гласии с определением, данным в предыдущем разделе. Заметим, что ImG° мала вблизи края зоны, т.е. в одноатомной простой кубической
решетке вблизи со » 0 и со « a>L, где coL - наибольшая частота колеба ний идеальной решетки. Ограничиваясь здесь низкочастотными резо нансными модами, мы разложим G '^co) при малых со. Таким образом,
согласно (2.2.35), мы должны разложить 6__(со) по степеням со. Если |
||
Л |
|
к к |
GR R (CO) само по себе не имеет резонансного поведения, свойства |
||
G |
(со) связаны со свойствами G°(co), и вместо низкочастотного раз- |
|
ПП |
А |
* |
ложения GRR (со) мы можем исследовать разложение G (со). Чтобы га
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
129 |
рантировать такое поведение G RR(co), нам, возможно, понадобится не сколько расширить область влияния дефекта.
Рассмотрим мнимую часть G°(co) при низких частотах. Согласно
(2.1.39), для решетки Браве G°(co) приобретает вид
G°aAl> I', СО)
|
|
exp [гк(х{1) — ae(Z'))] |
+ 0 (2.2.41) |
= |
Ж» £ / ^ е*(,еЛ e^ kj) |
е |
|
(со + ге)2 — (Oj2(k) |
|
||
|
1.0Z |
|
|
(va - |
объем примитивной элементарной ячейки), где мы использовали |
(1.4.18), а также тот факт, что для решетки Браве собственные векто ры е(к.) действительны (см. разд. 1.3). В (2.2.41) величина
exp[ik{x(l) - х(Г )] |
может быть заменена на cos к(х(1) - х (Г )). Ис |
|
пользуя (2.1.21), мы получаем из (2.2.41) |
||
Im G°aa.(l, V, о,) |
tt(sgn со) va |
|
М°(2я)3 * |
||
|
||
X £ |
/ dft e.(kj) e.ikj) cos k(x(l) - x(V)) д{а>* - ш ,Щ . |
|
j |
l.BZ |
|
|
(2,2.42) |
При низких частотах, в интеграл (2.2.42) вносят вклад только векторы
к вблизи к = 0. Векторы поляризации зависят здесь лишь отЛ = А/| ^)|, и, согласно (1.3.54),
0),(fe) = Cy(fc) |fc|, |
(2.2.43) |
где с. - скорость звука, связанная с ;-й ветвью. Раскладывая в ряд косинус и интегрируя по |к |, из (2.2.42) и (2.2.43) мы получаем
Im a»Al, V, со) = - ЗМ™2Л)» £ / |
еА&)) ш/сДЙ) + 0(оД . |
|
|
|
(2.2.44) |
Для кубического кристалла, используя свойство |
* = 5aa'G ° и ус |
ловие ортонормированности (1.3.44), мы можем переписать (2.2.44) в виде
Im а д , г,„) - - (jf + i ) .»„■ + O K ). (2.2.46)
где Cj и c t - продольная и поперечная скорости звука соответствен но. Из (2.2.45) мы видим, что при низких частотах ImG°a*(J, Г 9со) не зависит от индексов / и Г .
130 Глава 2
Согласно (2.1.44), ReG°(<o) и ImG°(co) связаны друг с другом со
отношением Крамерса - Кронига, Дифференцируя соотношение (2.1.44)
по со2, мы видим, что соотношение Крамерса - Кронига также связыва
ет величины |
ReG°(oo) и Л — ImG°(co). Учитывая это соотно- |
dco2 |
dco2 |
шение и (2*2.45), мы получаем следующее низкочастотное разложение
ReG°(oo):
Re 6?°(о>) = 6?°(0) + со2I Re G°(co)1 + •.•. (2.2.46)
Заметим, что в (2.2.46) предел со2 -> +0 появляется вследствие сингу
лярности --------ReG°(co) при со2 = -0 , а она возникает из сингуляр- dco2
ности — — ImG °(со) при использовании соотношения Крамерса - Кро- dco2
нига.
Продолжим теперь изучение низкочастотного поведения резонанс
ных мод с помощью исследования низкочастотного поведения в С с с |
|||
из (2.2.35). Учитывая (2.2.46), мы получим для ReG__(a>) |
|
||
|
|
HR |
|
Be Ga»(») = |
+ а>2 |
Re £ RRH ] ^ +O+ •••! |
(2.2.47) |
л.
здесь мы использовали равенство G__(0) = -Ф „_ (см. (2.2.36)). Пер ни кн
вый член в (2.2.47) вносит вклад в эффективную силовую постоянную примеси
fee — *сс — ^CR^RR^RC |
, |
(2.2.48) |
а второй - в эффективную массу |
|
|
Мес == Мес — &ск |
**яя*(й>)j ^ +0| *^лс* |
(2.2.49) |
Л
Мнимая часть GRR(co), поведение которой дается выражением (2.2.44),
определяет постоянную затухания ус с |
с помощью равенства |
MccYccft> = - ^ CR[Im GRR(G))] Фкс. |
(2.2.50) |
Таким образом, из (2.2.35), (2.2.48) - |
(2.2.50) мы видим, что низкочас |
тотное поведение G (со) имеет вид |
|
LiLi |
|
GccH = [M&OJ* - / $ + гМеиуссш]-1. |
(2.2.51) |
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
131 |
Это выражение аналогично эйнштейновскому приближению Gc c (со) » « [Л^ссо2 — Фс с 1""\описывающему колебания, атома примеси в поле всего остального кристалла, атомы которого предполагаются покоющимися. Однако в (2.2.51) учитывается движение всех атомов. Оно представляет собой функцию Грина затухающего эйнштейновского ос
циллятора с эффективной массой |
, эффективной силовой постоян- |
||||
ной |
и постоянной затухания Ус с . |
|
|||
Для простоты предположим теперь, что центральное подпростран |
|||||
ство с |
содержит только атом примеси. В случае кубической симмет |
||||
рии величины f |
Af^ |
и Ус с становятся диагональными матрица*- |
|||
МИ размерности 3 x 3 , Т.е. |
^сс^оа' = 5а а ' ^ |
и т'д** 3 Сс с (ш) |
|||
имеет вид |
|
|
|
|
|
[ОссИ]..- = |
д..-[М°“ со* - /*« + |
Ш'Ную]-1; |
(2.2.52) |
и представляет собой функцию Грина изотропного осциллятора с за туханием, зависящим от скорости.
Согласно (2.2.9) и (2.2.19), квадратичная амплитуда колебаний
атома примеси определяется величиной Im[ Сс с (со)За0С^, которая с учетом (2.2.52) имеет вид
1ш [<?сс(й>)].«' = — |
1 |
усо |
(2.2.53) |
Jfift (m2 _ |
Ш112)2 _j_ у2ш2 ■ |
||
здесь |
|
|
|
С0Л= y /e t t /J fe n |
|
|
(2 .2 .5 4 ) |
- резонансная частота, определяемая эффективной силовой постоян ной и эффективной массой. Перед тем как обсуждать (2.2.53), выра
зим у через и Af6**. С этой целью выведем сначала, что в области низких частот ImG ImG0. Используя (2.2.3), мы получаем для ImG
Im G = |
(G — G+) = |
|
|
|
— —r [(1 — G“F)-i G° - |
(G°)+ (1 - F+(G°)+)->] |
= |
||
= |
(1 - |
G°F)-i Im G°(l - |
F+(G°)+)-1- = |
|
= |
(1 + |
GF) Im G°(l + F+G+), |
(2.2.66) |
где крест означает эрмитово сопряжение (напомним, что Gf = G*,
V* * V)* Раскладывая ImG до линейного по со члена, мы можем заме нить F(co) на F(0) = Ф - Ф°, G(co) на G(0) и ImG0 выражением (2.2.45).