книги / Принципы динамической теории решетки

162

Глава 2

где G(0) получается из (2.3.676). Аналогично из (2.3.73) и (2.3.74) вы­ ражение ПУТ (2.3.69) для собственной энергии принимает вид

„	. ,	с (1 -с )< 5 *б (0 )	(2.3.83)
2d =	V -т-	-------------~------
		1 + 2иСг(0)

где G(0) определено функцией Грина ПВК, т.е. выражением (2*3.676) после замены 2 наг?. Сравнивая (2.3.82) и (2.3.83), мы видим, что метод ПКП можно рассматривать как первую итерацию (т.е. замену 2 на г;) в (2.3.82) при самосогласовании.

Элемент гриновской функции G(0) в (2.3.74) и (2.3.75) можно вы­ разить через спектр частот невозмущенного исходного кристалла. Чтобы убедиться в этом, используем (2.1.39), (1.3.44) и (1.4.13) для вычисления элемента гриновской функции G°(0, со) = G°a (0,0, со) исход­ ного (простого кубического) кристалла. Результат имеет вид

	G°(0, co) = j Z G ° aa(0, 0, со)	1	1
		3M°N tf о? -	cof(k)
		оо

(2.3.84)

О

Здесь G(<a2) обозначает функцию распределения квадратов собствен­ ных частот исходного кристалла, и в (2.3.84) со, вообще говоря, - комп­ лексная величина. Поскольку в приближении одного узла собственная энергия есть диагональная матрица (см. (2.3.68)), величина G(0) в (2.3.75) может быть получена из G°(0,co) заменой со2в (2.3.84) на со2 - 2(со)/М°. Отметим, что величина 2(со), вообще говоря, комплексна. Аналогично G(0) в (2.3.74) получается из G°(0, со) заменой со2 * со2-г?/М°.

Теперь сравним некоторые результаты, получаемые для спектра неупорядоченных сплавов в рамках ПУТ и ПКП с результатами числен­ ных расчетов. На рис. 2.20 показаны результаты, полученные для трех­ мерной системы с взаимодействием ближайших соседей в методе ПУТ и с помощью численных расчетов. Из этого рисунка видно, что при не­ большом количестве дефектов типа более легких атомов метод ПУТ хорошо воспроизводит зону высокочастотных локализованных состо­ яний. С ростом концентрации дефектов эта зона сливается с зоной ис­ ходного кристалла. Резонансная зона дефектов появляется снова, когда концентрация более тяжелых атомов становится малой. Из

ДинамикаpeilIeTK„ K^

Таллов с беспорядком замещения

163

Рис. 2.20. Спектральная пппти

"лотность квадрата частоты в неупорядоченной прос­

той кубической решетке R
с » методе ПУТ с виртуальным кристаллом в качестве
невозмущенного кристапя	,
,,а 'сплошная	кривая) и по результатам численных
расчетов (гистограмма). Отношение	масс атомов, составляющих решетку,
3.1, с есть концентрация легких атомов, СО|_ есть максимальная частота в ре­
шетке, содержащей только легкие атомы. (Согласно [2 3 7 ].)

рис. 2.20 видно, что метод ПУТ не очень точно описывает края зоны. Однако метод ПКП передает края зоны довольно точно. Это видно из рис. 2.21, где показаны результаты ПКП и численных расчетов для простой кубической решетки с взаимодействием ближайших сосе­ дей. Оба метода, ПУТ и ПКП, плохо воспроизводят структуру острых пиков в спектре. Эта структура формируется кластерами примесных легких атомов. Однако кластеры не учитываются в рамках одноузельного приближения. Отметим, что структура острых пиков особенно

164	Глава 2

Рис. 2.21. Спектральная плотность квадрата частоты в неупорядоченной кубической решетке в методе ПКП (сплошная кривая) и по результатам числен­ ных расчетов (гистограмма). Отношение масс атомов, составляющих решет­ ку, 3 :1 , с есть концентрация легких атомов, CI?L есть максимальная частота в

решетке, содержащей только легкие атомы. (Согласно [377] .)

характерна для неупорядоченных цепочек (ср. рис. 2.1), так как в этих системах основную роль играют флуктуации локального состава. Эти флуктуации менее важны в трехмерной системе, где данный узел окру­ жен большим числом ближайших соседей и поэтому чувствует усреднен­ ное окружение.

Отметим, что различие между предсказаниями методом ПУТ и ПКП не проявляется достаточно отчетливо, если спектр частот идеаль­ ной решетки не содержит характерных особенностей. Таков спектр ре­ шетки, вычисления для которой представлены на рис. 2.20 и 2.21 (прос­ тая кубическая решетка с взаимодействиями ближайших соседей). Су­ щественные различия результатов ПУТ и ПКП могут появиться в слу­ чае реалистического спектра частот невозмущенной решетки. Это мож­ но видеть на рис. 2.22, где показан спектр, вычисленный в рамках ПУТ и ПКП для неупорядоченной гранецентрированной решетки. Хоро-

Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения

165

Частота, ТГц

Рис. 2.22. Частотный спектр в методе ПУТ и ПКП, вычисленный для неупоря­ доченного сплава с ГЦК-решеткой: сплошная линия — метод ПУТ, пунктир­ ная — П КП . Заштрихованы области, где метод ПУТ дает чисто действитель­

ную собственную энергию, 6= (М^	^ обозначают массы ос­
новных и примесных атомов соответственно)	и с есть концентрация примес­
ных атомов. Слева величина 6 фиксирована,	а с изменяется, справа меняется
6, а с фиксирована. (Согласно [200] .)

шо видно, что ПУТ предсказывает спектр с более сложной структурой, чем ПКП. Эта структура образуется из-за того, что мнимая часть соб­ ственной энергии в методе ПУТ исчезает на частотах выше максималь­ ной средней частоты решетки wL (ср. разд„ 2.2.4, где Г(со) = 0, когда g°(co) « 0). Сам факт обращения в нуль величины ImZ при со > i»L со­ вершенно неудовлетворителен, так как он предсказывает незатухаю­ щие возбуждения типа плоских волн в неупорядоченной системе (ср. также (2.2.76)), На рис. 2.22 заштрихована часть спектра ПУТ с со > wL. Метод ПКП дает ImZ / 0 для всех частот спектра. Другими словами, ПКП предсказывает конечное время жизни для всех возбуждений типа плоских волн. Этот (результат есть следствие самосогласованного характера ПКП.

Дисперсию и затухание возбуждений типа плоских волн (фононов) в неупорядоченных сплавах можно исследовать с помощью неупругого когерентного рассеяния нейтронов. Прежде чем сравнивать результаты таких экспериментов с результатами вычислений ПКП, мы обсудим не­ которые теоретические аспекты возбуждений типа плоских волн в не­

166 Глава 2

упорядоченных системах. Как уже отмечалось в разд. 2.2.4, в неупоря­ доченных сплавах с кубической решеткой Браве сечение однофононного когерентного рассеяния нейтронов пропорционально Im< G. (к , со)> , где для диагональной матрицы собственной энергии (ср. (2.3.68)) <G.(k, со)> определяется выражением

(Ctyfc, си)) = [о>2 - соДк) - Дсо)]-1.

(2.3.85)

Здесь 2 (со) описывает собственную энергию в методе ПУТ или ПКП, а со. (к)

обозначает дисперсионное соотношение для / -й ветви колебаний иде­ ального исходного кристалла.

Величину

(.А}(к, со)) = — - Im (Gjik, со + гв)), в-» + 0 (действ.й)), (2.3.86)

л

обычно называют спектральной плотностью, усредненной по конфигу­ рациям. С помощью этой величины гриновскую функцию <G.(k, со)> можно записать в виде интеграла Коши на комплексной плоскости со с разрезом вдоль действительной оси:

(Gj(k, со)) = j dco'iAjik, co'))l(co - со') = / <к/2(ЛД/с, со')>/(а>2-	со'2).
0	(2.3.87)

Здесь второе выражение получено с учетом того, что Im<G.(*, со)

есть нечетная функция со(ср. разд. 2.3.1). Аналогично тому, как это было сделано в разд. 2.1,3, мы можем определить теперь запаздываю­ щую функцию Грина <G. (A, co)>ret = <G.(k, со + п )> (действительные со), которая аналитична в верхней полуплоскости со, но имеет полюса в нижней полуплоскости. Согласно общим концепциям элементарных воз­ буждений, действительная часть этих полюсов описывает дисперсию возбуждений типа плоских волн, а мнимая часть - их затухание. Отме­

тим, однако, что такая интерпретация полюсов имеет смысл, если их мнимые части малы по сравнению с соответствующими действительны­ ми частями, т.е. если отсутствует так называемое переторможение.

Заменяя со в (2.3.87) на со	+ U и используя (2.1.21), находим
оо
{0,(к, e>))«t = Р J <W	- гя(А,(к, <*>)>.	(2.3.88)

Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения

167

Это уравнение показывает, что в нижней комплексной полуплоскости со полюса <G. ( k, со) > rct совпадают с полюсами <А. (к, со)>, так как первый член в правой части (2.3.88) есть аналитическая функция. Та­ кие возбуждения хорошо определены, если для действительных со функ­ ция <А. (к, оо)> есть лоренциан с достаточно малой полушириной.

Экспериментальные данные для однофононного когерентного рас­ сеяния нейтронов в неупорядоченном сплаве Ni 1_ с Ptc показаны на рис. 2.23. Мы видим, что интенсивность рассеяния в зависимости от

Рис. 2.23. Интенсивность когерентного рассеяния нейтронов в зависимости

от частоты вблизи резонансной частоты для поперечной ветви [0 0 в

Nio,9S Pto.os (f — волновой вектор в единицах 27Г/а, а — постоянная решет­

ки) . Сплошная линия показывает форму линии в ПКП с учетом разрешения прибора (Согласно [396] .)

168

Глава 2

со имеет структуру двойного пика. Эта структура обусловлена резонанс­ ными модами тяжелых атомов Pt в матрице Ni (MPt/MNi = 3,32). Уд­ воение фононного пика наблюдается на частотах вблизи резонансной частоты (см. обсуждение в разд. 2.2.4 после (2.2,75)). С увеличением концентрации атомов Pt резонансное поведение усиливается, форма фононной линии приобретает характер двух отчетливых пиков и соот­ ветствующая дисперсионная кривая расщепляется, давая щель в спект­ ре (рис. 2.24). Рис. 2.25 показывает интенсивность рассеяния для спла­ ва Rb 1 _ с Кс в зависимости от частоты. Структура двойного пика в этом случае обусловлена локализованными модами легких атомов К(Мвь/Мк = 2,18). Мы видим, что с увеличением концентрации атомов К локализованные моды все более отчетливо отщепляются от пика, соответствующего основной зоне колебаний. Отметим, что рассеяние на локализованной моде максимально при тех значениях к, при кото­ рых частота а. (к) исходного кристалла достигает максимальной ве­ личины (ср. (2.2.76)). Дисперсионные кривые для фононов в сплавах

Rb1 _ с Кс показаны на рис. 2.26. На этом рисунке дисперсионные кривые локализованной моды представляют особый интерес. Заметим, что на рис. 2.23 и 2.25 ширина фононного пика составляет в общем одну десятую от средней частоты. Следовательно, при интерпрета-

[оос]

10

Г.1 I - L

О0J 0,8

С

Рис. 2.24. Кривые дисперсии фононов для направления [О О J] в Nio 70 Pto ao (? — волновой вектор в единицах 2тг/д, а — постоянная решетки). Точечные линии показывают примерное расположение плохо разрешенных пиков рассеяния. (Согласно [396] .)

Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения

169

Рис. 2.25. Интенсивность когерентного рассеяния нейтронов в зависимости от частоты для продольных колебаний [f f 0] на границе зоны в Rb-j^ Кс при разных концентрациях с (£ = 0,5; J — волновой вектор в единицах 27Г/з, а — постоянная решетки). Высокочастотные пики соответствуют локализован­ ным модам легких атомов К. Штриховые линии показывают результаты ПКП. (Согласно [201] .)

ции этих экспериментальных результатов может быть использована концепция фононов.

Для сравнения на рис. 2.23 и 2.25 даны также результаты вычис­ лений ПКП. Мы видим, что вычисления ПКП в качественном отноше­ нии хорошо согласуются с экспериментальными данными, но остает­ ся еще широкое поле деятельности для усовершенствования теории.

Существующие расхождения теоретических и экспериментальных ре­ зультатов наводят на предположение о важности изменений силовых постоянных и кластерных эффектов в дополнение к одноузельным эф-

Глава 2

170

f

Рис. 2.26. Дисперсионные кривые длп продольных колебаний [ffo] в

Rb1_c Kcnpn различных концентрациях с	— волновой вектор в единицах
2Я/з, а — постоянная решетки). (Согласно	[201 ] .)

фектам от беспорядка масс. В частности, эксперименты по рассеянию нейтронов дают некоторые указания на зависимость собственной энер­ гии от к . Отметим, что в случае беспорядка только масс одноузельное выражение для I диагонально по узлам и поэтому не зависит

от h

Учет недиагонального беспорядка в сплавах оказывается для фо­ нонов более сложной задачей, чем для электронов. так как в первом случае недиагональный беспорядок (изменение силовых постоянных) сопровождается диагональным беспорядком из-за правила сумм (2.1.78). Аналогичных ограничений не существует для электронов (см. [418]).

Предположение о линейной суперпозиции силовых постоянных, т.е. ФАВ = (фАА +.Фвв)/2 (ср. разд. 2.1.3), дает на сегодняшний день наилучший подход для включения недиагонального беспорядка в схему

Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения

171

ПКП. Для получения уравнений ПКП в этом случае мы воспользуемся

уравнениями (2.1.85) - (2.1.95) и будем действовать аналогично тому,

как было изложено выше в этом разделе. Взяв идеальный А-кристалл в качестве исходного, получим (в обозначениях разд. 2.1.3)

О = (1 — с) ( - Я ) [1 -	6 (-Я )]-1 + c(F - К) [1 - б (Р -	Я )]-1, (2.3.89)
где V, К и G - матрицы в пространстве дефектов и
[(G0)-1 — 5 ] G =	1,	(2.3.90а)
а>) = £ £	du+ll6lw+llK .aiss', « ).	(2.3.90Ь)
Ц М*
Уравнения (2.3.89) -	(2.3.906) образуют замкнутую систему матрич:-
ных уравнений для К, 2 и G, которые должны быть решены самосог­
ласованным способом.

Метод ПКП, учитывающий.изменения силовых постоянных в рам­ ках предположения о суперпозиции, дает в целом лучшее согласие с экспериментальными данными по рассеянию нейтронов, чем метод ПКП, учитывающий только беспорядок масс. Однако теоретические и экспериментальные результаты дают заметные различия в форме ли­ нии фононов [ 270], которые наводят на предположение о необходимо­ сти учитывать многократное рассеяние на кластерах из атомов.

Сейчас исследован также подход, учитывающий изменения сило­ вых постоянных в ПКП в предположении о том, что ФАВ есть геомет­ рическое среднее ФАА и Фв в . Он оказывается более ограниченным, чем подход с предположением о суперпозиции, так как не дает зависи­ мость собственной энергии от к , а для некоторых наборов параметров он вырождается в П ВК. Более того, такой подход часто предсказыва­ ет неправильно края зон [ 271 ].. Оба подхода однако не могут воспро­ извести структуру острых пиков в спектральной плотности колебаний.

Динамика решетки смешанных двухатомных кристаллов изучена также в рамках ПУТ [ 228] и ПКП [ 346, 380]. Однако к настоящему времени вычисления ПКП учитывают только короткодействующие силы, так как включение дальнодействующих сил оказывается очень слож­ ной задачей. Поэтому полученные результаты невозможно сравнивать с инфракрасными и комбинационными спектрами кристаллов с дальнодействуюшими электростатическими силами.