книги / Статистические методы в строительной механике

ности резкого изменения режима такой процесс нельзя считать квазистационарным. Однако, как видно из вывода уравнений, они остаются справедливыми и в этом случае. Они останутся справедливыми и тогда, когда процесс s(t) составлен из конеч­ ного числа реализаций стационарных случайных процессов. Важно лишь, чтобы каждая такая реализация имела достаточ­ но большую длину (не менее, чем ДО-

Допустим, что в течение первых 0,75 ■10е сек	имеет место
режим со средним квадратическим напряжением	os =5 т!см2

(*0=4), после чего вплоть до разрушения действуют напряжения

с большим средним уровнем

(лго=2). Вычисляя интегралы, най­

дем:

Z (9;

2) = 1,15 •

103,

2(9; 4) =0,17 *Ю3,

У(8; 9; 0,8; 2).=

= 1,32-103, Y (8; 9; 0,8; 4) =

кН

= 0,48

Ю3.

Эти

значения

6ST M*

подставляются

затем

в

уравнения

(6.85),

которые

ю

легко

интегрируются. Пер-

вая

стадия

усталостного

разрушения

кончается

поч­

ти сразу же после заверше­

5

ния первого режима

напря-

жений

(при

^=0,75106 сек

мера

разрыхления

G оказы­

вается равной 0,95). При пе­

0

реходе к более напряженно-

му

режиму

интенсивность

Г

накопления

повреждений

резко

увеличивается:

для

Рис. .109

полного разрушения необхо­

димо еще 2,] • 104 сек.

последовательность.

Предположим,

Рассмотрим обратную

что вначале в течение 2,1

Ю4 сек имеет место более напряжен­

ный

режим. Найдем

время,

необходимое

для

полного

разру­

шения. Разрушение

наступает спустя 0,36 • Ю6

сек после

нача­

ла действия режима с меньшим уровнем напряжений. Ожидае­ мый срок службы конструкции в первом случае оказывается равным 0,77 • Ю6 сек, во втором случае 0,38 • 106 сек. Из этого примера видно сильное влияние истории нагружения на сум­ марную долговечность.

Применим теперь к рассматриваемому примеру уравнение (6.86). Учитывая, что Z(8; 2) =364, a Z(8; 4) =38,1, найдем, что при заданной продолжительности более напряженного режи­ ма, равной 2,1 104 сек, суммарная долговечность оказывается равной примерно 0,62 • 106 сек (независимо от истории нагруже­ ния). Это значение лежит между двумя найденными ранее зна­ чениями (0,77* 106 сек и 0,3810е сек), что качественно согла­ суется с опытными результатами, относящимися, правда, к де­ терминированному режиму.

74. Накопление усталостных повреждений при напряжениях, представляющих собой широкополосный случайный процесс

При действии на конструкцию случайных нагрузок могут од­ новременно возбуждаться несколько форм колебаний. В ряде за­ дач это могут быть десятки и даже сотни форм (см., например, п. 55). Если рассматривать напряжения в какой-либо фиксиро­ ванной точке конструкции, то они представляют собой широко­ полосный случайный процесс, в котором существенную роль играют несимметричные и сложные циклы [34].

Рассмотрим квазистационарный широкополосный случайный процесс s{t). Целесообразно различать «быстрое» время t и «медленное» время т. При дифференцировании по t, а также при интегрировании и осреднении по времени в пределах интервалов порядка Ат время т можно рассматривать как параметр. Вы­ делим из процесса s (0 медленно меняющуюся часть &*0(т) и быстро меняющуюся часть S\(t, to). Как будет видно из дальней­ шего, функцию 5о(т) удобно выбрать так, чтобы среднее число нулей процесса S\ (t, т) было возможно ближе к среднему числу экстремумов этого процесса. Ограничимся здесь такими случая­ ми, когда в пределах каждого интервала Ат функцию s(t) и, следовательно, s t (t, т) можно трактовать как вполне представи­ тельную реализацию эргодического стационарного процесса. В

этом случае удобно положить S0(T ) = S (/, t), где чертой обозна­ чено осреднение по времени в пределах интервала Ат.

Естественность предложенного представления вытекает из практических задач. Случайные напряжения, возникающие в конструкции, состоят обычно из .постоянной или медленно ме­ няющейся компоненты s0( и быстро меняющейся компоненты Si(/, т). Компонента S0(T ) может быть как детерминированной, так и случайной. Компонента Si (t, х) обычно является случай­ ной, причем ее вероятностные характеристики меняются доста­ точно медленно. Заметим, что обычно в .практических приложе­ ниях составляющие sQ{x) и Si (t, т) могут быть изучены раздель­ но. Кроме того, в условиях специальных испытаний могут быть получены реализации процесса Sj {t, т) со статистическими ха­ рактеристиками, меняющимися настолько медленно, насколько $то требуется для обработки результатов.

Для того чтобы можно было применять правило суммирова­ ния -повреждений к широкополосным квазистационарным слу­ чайным процеосам, нужно ввести принцип разбивки на отрезки, каждый из которых с достаточной точностью можно было бы рассматривать как замкнутый цикл напряжений. Очевидно, что такую разбивку можно произвести различными способами. До­ пустим, что повреждениями, вызываемыми переменными наир" жениями s0(т), взятыми в отдельности, .можно пренебречь. Тог­ да наиболее целесообразным представляется следующий спо­ соб разбивки процесса s (0 на циклы (рис. 110). Проведем ли­

нию S =SO(T) « отметим точки -пересечения реализации s(t) с этой линией. Будем называть циклом напряжений отрезок реа­

лизации s(t), ограниченный двумя смежными пересечениями уровня S - SO(T ) -с положительной производной. Среднее число цикло® в единицу времени -0С1В1падает -при этом с .половиной среднего числа нулей процесса st(t, %).

С точ1Ки зрения усталостного повреждения наиболее сущест­ венными характеристиками цикла являются экстремальныё значения напряжений. Введем классификацию циклов в зави­ симости от числа экстремумов. Цикл называется простым, если

он содержит один максимум и один -минимум. Цикл называет­ ся сложным, если о« содержит -более двух экстремумов. Цикл с -четырьмя экстремумами будем -называть двойным (посколь­ ку он включает в -себе «внутренний» цикл), цикл с шестью эк­ стремумами — тройным и т. д.

Простой цикл характеризуется двумя экстремальными зна­ чениями напряжений (siim и smill), двойной цикл — четырьмя

значениями (Smàx? in, ,çmax> ^m/n) и т. д. Кроме того, характе­ ристикой цикла является и напряжение So, на котором цикл «замыкается». Заметим, что сложные циклы могут быть всвою очередь разбиты на группы в зависимости от расположения ми­ нимумов относительно напряжения $о. Так, имеется два вида

ДВОЙНЫХ ЦИКЛОВ (при Smin>So и ПрИ Smin <$о) >ТРИ ВИДЯ ТРОЙНЫХ циклов и т. д.

Относительное содержание сложных циклов зависит в пер­ вую очередь от вида спектральной плотности процесса si(/, т) (напомним, что время т при рассмотрении высокочастотной компоненты трактуется как параметр). Чем уже спектр процес­ са, тем меньшую роль играют в нем сложные циклы. 'В пре­ дельном случае процесса sj(/, т) с детерминированной частотой (спектральная плотность имеет вид дельта-функции) ©се циклы являются простыми.

В основу дальнейших рассуждений положим гипотезу сум­ мирования усталостных повреждений, выраженную формулой (6.51). Для применения этой формулы необходимо знать сред­ ние числа простых, двойных, тройных и т. д. циклов в едини­ цу времени, а также совместные плотности вероятности для экстремальных (напряжений цикла. Кроме того, требуется зада­ ние зависимости предельного числа циклов при пер.иодичеоком процессе от экстремальных напряжений -цикла (поверхности ус­ талости).

ПуСТЬ P j	(5 max, 5min»	5 Q I т ), Р ц (5max»	5min»	5 m ax, 5min,	50|х ) ,. . , —
совместные	плотности	вероятности	для	простых,	двойных и

т. д. циклов, зависящие		от «медленного» времени т как от па­
раметра. Эти плотности		будем сч-итать нормированными в сле­
дующем смысле:
J j j P	j (5m ax. 5 mj„, 5 0 | т ) d s max dsmiads0 +
PJJ (5maxi	5min, 5max» 5mm, 5Q11) rfSmàx ^mln tfcmax 6^5min tifôg-j~

+= 1 .

Здесь интегрирование производится по всей области измене* ния переменных (например, в первом интеграле — в пределах 5о<5тах< ° ° , — œ < s min< s0, — со < s 0< œ ). При такой норми­ ровке произведение

		Pj (5max>		^min»	5Q| *0^5max tfsmjndSq
равно,	очевидно,		вероятности		того, что любой взятый			наугад в
				1 л		цикл окажется простым
интервале времени т ------ Дт, т+ —Дт
циклом	с параметрами			лежащими		в	интервале 5 гаах, s„,ax +
"1” ^5max, 3,		5min "f" ^5rajn, S0t			+ ds0’,	а	произведение
	до	s(V	s(2)	5mln» 5р I т ) dsfnàx d im in ^5m âx ^ m i n				d s 0 —
Рц (*,’шах» ùmln» °max>

вероятности того, что любой наугад взятый IB том же интервале времени цикл окажется двойным с параметрами, лежащими в соответствующем интервале. Обычно усталостному разрушению предшествует столь большое число циклов, что суммирование в формулах (6.51) можно заменить интегрированием. Кроме того, ввиду весьма большого числа циклов, предшествующих разрушению, можно пренебречь разбросом повреждений, обус­ ловленным случайным характером процеоса.

Обозначим среднее число циклов в единицу времени через п{т). Тогда среднее за время dx число простых циклов с харак­ теристиками, лежащими в интервале 5max, smax dsmax, sminf

5min 4" d s mln'> s0» s 0 + ^so будет

duj = f t ( T) P J (5 max, 5 m]n, SQI T ) dsmax dsmjn dSff.

Аналогично среднее число двойных циклов за то же время

dri\\ = r t ( " ) P l l («max, «m*n, «max, «rnl\i> «о I ^«max ^«mln ^«max ^«mln^«o

и та« далее. Предельное число циклов при периодическом ре­ жиме напряжений с экстремальными значениями «max ^ ^rnin обозначим через Ni (smaK, srain), предельное число циклов с эк­

стремальными значениями «max, «min, Smax, «min — Чв.рез N ll(«max,

«min, «mix, «m in). ПрИМвНЯЯ формулу (6.51), ПОЛуЧИМ, ЧТО СрвД- нее повреждение, накапливающееся в единицу времени, будет равно

dD	f ^	ГГС	^ ^ ma*» ^*nin» soI т) d$maxdsm\ndSQ
d*		JJJ		^i	(smax* smin)
D	( s ™	Ç(1)	Ç(2>	s(2)	S n l - z Y d s ™		d s {X) d s {2) d s {2) d s a
PII Wmax» *mln» 5max* smln* * o lxJasmax asmInasmaxa*inlna00
+'М1ЯЯ			Nil	(süiv’шах»» Smin*’		amax»	5mln^
					О)	.(?)

Стоящие в знаменателе предельные числа циклов не зави­ сят от напряжений % на которых цикл замыкается. Отсюда, замечая, что

		J Р\ (^max> ^min> ^0 1*0 ^SQ~					Р\ (^тах» ^min I
и т. д., щ.ридем к уравнению
		1	d D	(*(*	P i	(Sjnaxi Smin Iх)dSjMx d s m \ n
			•iHI					+
		n (x)	dz	JJ		Ni ($max* Sfflin)
	SIS!	n (s<{)		s{2) s(2)		I x\ds{l) d$(X) ds(1) ds(V
+		PIl^mox» smin* smix* smn |T*gsm4X g>m n asmax°^mtn						+	(6.87)
			AT	(SW	oO) 5(i)		с(0ч
			/VU v^niax» 5min* 5max* 5mln'

Среднюю долговечность конструкции T n найдем из условия 2>(7и) - 1 , где D(x) — решение уравнения (6.87), удовлетворя­ ющее начальному условию D (0)=0. Уравнение (6.87) интегри­ руется элементарно. В частности, если процесс s ( t ) — -стацио­ нарный, то для долговечности Г„ получаем формулу

		(Smax»	Smin)	d S m n x d s m \ n	+
		^1	(smax> ^mîn)
*m1n» °mox* s ^ d s^ d s ^ d s ^ x ds^n
M )	s (2)				... (6.88)
KJ	( oO )		P\ ■*/	Q( 2) ^
Ш Р ^ iVII			J(2)
	v^max» smîn» 5m,iŸlчпах* s<mlnJ
■Поверхности усталости		N = N i ( « max, «min).
N =Nu (i'max, «m n , «max,		«min),... СТрОЯТСЯ НЭ			ОСНОВЭНИИ ОПЫТ­

НЫХ данных. К сожалению, в настоящее время даже для наибо­ лее употребительных конструкционных материалов мы не рас­ полагаем достаточными данными по выносливости при сложных циклах. Для простых циклов, привлекая дополнительные гипо­

тезы, можно предложить некоторые схематизации поверхности

усталости.		хорошо	известной		аппроксимации		для
Будем исходить из
симметричных	циклов	(6.55).	Заметим,		что отношение		k=-
=Rf /smax есть	не что	иное, как	коэффициент запаса, вычислен-'
ный по пределу -выносливости.			Для	несимметричных		циклов
при «шах+5min^ 0 имеется надежная				интерполяционная		форму­
ла •Серенсена-'Кинаоошвили (99)
	k =	________ Щ _________				(6.89)
		(1 + ib) Smax — (1 — Ф) smin

где	— константа материала, зависящая		от соотношения меж­
ду	пределами выносливости	при пульсационном		и .при симмет­
ричном циклах. Учитывая,		что формула	(6.89)	успешно при­

меняется и для оценки коэффициента запаса по ограниченно­

му пределу	«выносливости	[99], можно	попробовать	ввести ее
правую часть в формулу		(6.55) вместо	отношения	k —Rj/ smax
В результате получим при Smax+5min>0
	N = __________ 2m"°*/w			(6.90)
	K l+ W S m a x - U - 'f 'J S m i n r
Если Smax +	Srain«), TO
	N =	2"Woffi_________		(6.91)

[(1 —: ф') Smax — (1 "Ь ФО Smin]"1

В общем случае коэффициенты ф и ^ ' в формулах (6.90) и (6.91) могут оказаться .различными. Влияние конструктивных факторов (концентраторы, состояние поверхности и т. д.) мо­ жет быть учтено, как обычно. Бели формулы дают N > N Q, т о по аналогии с (6.55) следует положить N. -ю о.

Поверхность усталости, уравнение которой дается формула­ ми (6.90) и (6.91), показана на рис. 1Г1. Эта поверхность прохо­ дит через кривую усталости (6.55) при симметричном цикле и через «линии предельных циклов», уравнения котцрых получим из формул типа (6.89), полагая k=<l.

75. Нижние оценки долговечности для широкополосного случайного процесса

'Наряду с заданным	процессом s(t)	введем	два процесса
sH(t) и $нн(0* таких,	что каждому максимуму		процесса	s(t)
соответствует по одному циклу процессов		и	sHII (t).	Сред­

нее число циклов в единицу времени для вновь введенных про­ цессов равно среднему числу максимумов птйХ для заданного процесса s(t). Далее, примем, что процесс s„(0 состоит из цик­

лов со

средними

напряжениями s m= s 0 и амплитудами sa~

~ l smax—sol> если

s0 > О

<и

амплитудами

se= lso—Sminl.

если

So<0. Очевидно, что городeoc s„ (/) является

симметричным

от­

носительно

линии

s = s 0. Процесс же s Hn {t)

образуем

из

сим­

метричных

циклов

о амплитудами s„= |sraax|, если so^ 0

nsa=

=knini

. если s0<0.

суммирования

повреждений

(6.87)

и

Иопользуя формулу

выражения для поверхности

усталости

(6.90) и

(6.91),

можно

установить условие,

при котором процессы s H(0

и s,n (f)

будут

не менее повреждающими, чем процесс s(t). Для

центрирован­

ного процесса s(/)

и при <1>='У это условие имеет вид t

<to,

где

to — некоторая функция

от показателя

кривой усталости {34].

При т —6-7-12 вычисления дают to>O A Для	всех	известны,
мaтepиaлoвt <0,5. При этом значения ресурса	7'ни Г н„, найден­
ные для процессов s„(t),и s„.(t), будут давать для		искомого

ресурса Т оценку снизу: Т„^.Т,Тин4.Т. При этом вторая оценка

будет более простой, хотя и более грубой.
	Пусть Лп,ах(т) — число	максимумов процесса s(£)		в	едини;
цу	времени, /7(smax, s0Jт)	и p (srain,	sol т) — совместные		плотно­
сти	вероятности для экстремальных		значений этого	процесса

и для его медленно меняющейся части s0(x) ,N =N (а а, ат) — пре­ дельное число циклов для периодического процесса, выражен­ ное через амплитуду ааи среднее напряжение вт. Иопользуя уравнение (6.87), получим для повреждения D,„ вызываемого процессом s„ (t), следующее уравнение:

j n		r	rГ	PFV°( smax>x« $°o0 |i*c)w; d“ s miix
		I		---------- r-			+
		^ Ô ^(se<Sm) Ls a				== \ Vax~s« I
	0	0				min ^ s °
	P C P P (smin» S0 I T)
""Ь ^niax(x) 1		l		N(sa,			(6.92)
	J	J			sm)
	— Oo — Oo			v a >			stnin I
					sa —I s °
					Sm “ S0
Для повреждения Д ш,				вызываемого		процессом s„,« (0* п° т
лучим уравнение типа
		00
d D m	= ^max(x)		р	Piin (Smaxl x) d s .пах
dz			1				+
		J		N (s a, $/я)
						sa e	I smax I
		o				sm=> 0
				PHII (s;nln I T) ^s.nin
+ птм(x)		—00j					(6.93)
				N(sai	Sm)
					sa = l „mini
					*m = °
Здесь
00		$ 0 1			(^raln	=	0
P im (^max I "c) ~ j P (^tnax*			d s 0, P m				f P C-*mint ^01"0^^0
0						_oo

ненормированные плотности условных вероятностей для «шах и smin при 5 о > 0 И So< 0 .

М. Ф. Диментберг (52], используя процесс s,m (/), получил нижнюю оценку для долговечности в случае, когда npoueocs(f) является стационарным гауссовским процессом со средним зна­ чением, ;равным нулю. М. Ф. Диментберг показал, что форму­ лы типа (6.57), полученные для узкополосных гауссовских про­ цессов, дают результаты, весьма близкие к упомянутой нижней оценке.

В работе [34] был рассмотрен процесс, представляющий со­ бой сумму всех Стационарных узкополосных гауссовоких про­ цессов. В той же работе .получена двухсторонняя оценка долго­ вечности для одного типа стационарного широкополосного про­ цесса и было показано, что расхождение этих опенок обуслов­ лено главным образом влиянием асимметрии циклов.

Рассмотрим пример применения уравнений (6.92) и (6.93). Допустим, что процесс .изменения напряжений s (0 представля­ ется в виде статистически независимых стационарных узкопо­

лосных 'процессов: s(/) = $ о (0 + si(0» из которых первый явля­ ется низкочастотным, другой— «высокочастотным. Допустим, что оба процесса являются^ гауссовскими и что их средние зна­

чения равны нулю: s0= si= 0 . Эффективные частоты этих про­ цессов обозначим через <оо и coj.

Будем вначале трактовать процесс s(t) как стационарный. Среднее число циклов в единицу времени п и ореднее число максимумов nmix -найдем по формулам

			Рис.	112
На	рис.	112 показан	график зависимости величины а =
^^maxM	от	параметров у,	0. Из	графика видно, что содержа­

ние сложных циклов в процессе может быть велико, если толь­ ко не выполняются условия т<£ 1 или YÛ> 1. Уже при уК '/г от* носительное количество сложных циклов не превышает 12.5%. Чтобы процесс s(t) можно было трактовать как квазистационарный, требуется, чтобы прирашения функции s0(i) за время, 'равное эффективному периоду процесса st(/), были достаточно малы по сравнению со средним квадратичеок-им значением

(si)1/2. Только в этом случае каждый цикл, определяемый как отрезок между двумя смежными пересечениями уровня s0(t) с положительной производной, можно приближенно рассматри­ вать как замкнутый. Итак, мы получим условие

т.e. условие79 <C 1. Тогда по формулам (6.94) n max«n»(oi/2n. Допустим, что условие (6.95) выполняется. Тогда можем

применить к нему результаты предыдущего -раздела. ГЬри этом

в силу узкополосности	процесса	Si{t) процессы s(t) и sH (О
совпадают. Для ресурса	Т=Т *из	уравнения (6.92) получаем
формулу

ОО00

P fSmitn gpï ^smin.4So

+

I *•

smin I

So

Далее, полагая, что знак среднего напряжения не влияет на выносливость, что процессы s0{t) и S\(t) статистически незави­ симы и что (положительные и отрицательные значения напря­ жений So (0 и Sj(<) равновероятны, преобразуем формулу « виду

те

(6.96)

“1	' р (Sg) р (s0) ds, dsp
	о о	N (Sj>%)

где p ( $ a) — плотность распределения амплитудных значений процесса p(s0) — плотность распределения ‘процесса s0(t). Для гауссовских процессов

Для величины Гнн, представляющей собой оценку ресурса снизу, при тех же предположениях получим

ни	7С	1	(6.97)
	О)!
		P {Sg) р (s0) dst ds0
	о5 о h	(Smax)
		I sa + s" I

где ^ ( s max) — кривая усталости для симметричных циклов.