книги / Статистические методы в строительной механике

Положительное значение квадратного корня яз дисперсии

называется средним квадратическим	отклонением или стан­
дартом а:
о = УЩХ).	(1.16)

Дисперсия и стандарт служат .мерой рассеяния случайной ве­ личины около среднего значения.

6. Нормальное распределение

Среди теоретических распределений случайных величин большое значение имеет нормальное (гауссовское) распреде­ ление

<U 7 >

Нетрудно убедиться, что плотность вероятности (1.17) удовлетворяет условию нормировки и что параметры а и о яв­ ляются математическим ожиданием случайной величины X и ее стандартом, что частично учтено в их обозначениях. Так, про­ изводя замену переменных

X— а			(1.18)
(7
получим		00	и*
00
1 р (х) dx =	- 1—	Г *	2 du.
J	/ 2я	J

Но интеграл в правой части представляет собой известный ин­ теграл Пуассона

00	«*
J'e	г du = У%х.
— *00
Отсюда видно, что условие нормировки (1.9)		выполняется.
Аналогично можно показать, что
Оо	оо
j хр (х) dx —a,	J (л: — а)2р (*) dx =	о2.
—*00	—00

Вид плотности вероятности для нормального распределе­ ния показан на -рис. 3. Чем больше стандарт о, тем значитель­ нее разброс случайной величины вокруг ее среднего значения. Если а = 0, то распределение называется симметричным (по­ ложительные и отрицательные значения величины X равнове­

роятны).

Таблицы для плотности вероятности и функции распределе­ ния при .нормальном законе можно найти в любой книге по

теории вероятностей или по ’ математической статистике. В ка­ честве аргумента обычно берется безразмерное переменное (1.18) и табулируются функции

и1 и г*

tp (и) = —-— е ^ ,	Ф (и) = —-— { е 2 dz
V2k	V2k Û

(вторая из них называется интегралом ошибок или функцией

Гаусса). Функция распределения выражается	через интеграл
ошибок следующим образом-
=	(1.19)

Для вероятности того, что распределенная яго нормальному за­

кону случайная	величина		X примет		значение,	заключенное
в интервале Х\		имеем формулу
Р (*, <	X <	=	Ф f e f A -		Ф	,	(1.20)
			которая		вытекает	-из зависимо­
			сти	(1.8).
				Пользуясь таблицами и фор­
			мулой ( 1.20), легко подсчитать,
			что	вероятность		обнаружить
			отклонение нормально				распре­
			деленной		величины	от	среднего
			значения,		большее двух		стандар­
			тов, равна
			1— Р(а — 2 о < Х			< а +	2о) =

= 1— 2Ф (2,00) = 0,0456.

Для отклонений, превышающих соответственно три и четыре стандарта, аналогично получим вероятности, равные 0,00270 и 0,000064.

Особая роль нормального распределения в теории веро­ ятностей и математической статистике объясняется тем, что со­ гласно предельным теоремам теории вероятностей, к нормаль­ ному распределению приближаются распределения тех слу­ чайных величин, которыё формируются под действием весьма большого количества независимых (или почти независимых) факторов, влияние каждого из которых незначительно. Неуди­ вительно поэтому, что нормальный закон распределения под­ тверждается во многих самых различных приложениях. Так, нормальный закон обычно хорошо описывает распределение случайных ошибок измерений, распределение для окоростей при порывистом ветре (свободная атмосферная турбулент­ ность), распределение шумов в линиях связи и т. л.

Даже в тех случаях, 'когда распределение заведомо не яв­ ляется нормальным (например, для механических характери­ стик материалов, которые принимают лишь .положительные значения), им нередко пользуются для приближенной замены реальных законов распределения. Для этого имеется несколько причин. Во-первых, нормальное распределение может быть полностью охарактеризовано двумя числовыми параметрами — математическим ожиданием и дисперсией1. Во-вторых, если случайная величина распределена нормально, то распределение остается нормальным и после линейного -преобразования слу­ чайной .величины (©ключая операции дифференцирования и интегрирования). Указанные два обстоятельства, взятые вместе, позволяют весьма просто находить законы распределе­ ния линейных функций случайных величин, если исходные ве­ личины распределены нормально.

7. Совместное распределение вероятностей для нескольких случайных величин

Рассмотрим совокупность случайных величин Xït Х2, ... Хп, которые, вообще говоря, не являются независимыми. Совмест­ ной п-мерной функцией распределения этих случайных величин называется функция

	Р ( .	? о <Х‘		. п)		••*«)•
		= 1, 2, .
	а совместная	п-мерная	плотность		вероятности определяется
	формулой				xb < X k < x k + àx/t \
	Р(х1, Xi	. хп) — Нш			At = 1 » 2,	. . ,n /
					Axi&Xt	. д*я
			А*/Г°

Совместная функция распределения и совместная плотность ве­ роятности связаны между собой соотношением

	Р{ХJ, *2, .	х )—	•	• •*«)	(1.21)
При этом	’	п)	dxLдха	. дхп
	Р(^i* х%, •		• хт) =
00	оо		x„)dxm+i		• dxn. (1.22)
	—00	»*2»

1 Это не является особенностью лишь одного нормального распределе­ ния. Поскольку всякое теоретическое распределение задается с точностью до нескольких параметров, то эти параметры всегда можно выразить через мо­ менты случайной величины. Если же вид распределения неизвестен, то его реконструкция по известным моментам представляет собой задачу, тесно связанную с известной проблемой моментов.

Согласно определению, вероятность обнаружить случайную точку М с координатами Хи Х2, . .Я, в бесконечно малом n-мерном прямоугольном параллелепипеде хА.<ЯЛ <хк +dxk (£ = 1, 2 ,... п) равна

P (	Xk < ^ k < xk + dxk			\ = р ^ 1(Хъ			XJ dXi d4		. dx
v	£ = 1, 2, .		. «	}
Отсюда вероятность			обнаружить			точку	М в «-мерном		объеме
V определяется -по формуле1
р(М С V) = j		^	j	р {хъ х2,		. x n)dx1dx2 .		. dxn. (1.23)
В частности, условие нормировки принимает вид
	00	оо
	J	j Р(^х» х2 •			• х^) dx±dx2 .			dxn = 1.	(1.24)
	—00	—00

Согласно теореме умножения совместная плотность веро­ ятности статистически независимых случайных величин равна произведению частных плотностей вероятностей

	Р{хи Х2>•		Хп)=--Р(xi) Р(х*) *					Р(*/»)•		(1 -25)
Например,	если	случайные			величины			Хи Х2, .. .Хя		статисти-
чеоки независимы		и распределены				по	нормальному			закону со
средними значениями Хк и стандартами аА, то
			р{хъ хг,
		1		ехр						(1.26)
	—----- ---------------
	V (2я)" ах а2		. <з„
Введем	понятие		о	плотности			условной		вероятности
р(хи х2, . . . ,хг\хг+1, хг+2 , . . .				х „), обладающей тем свойством,							что
р l X j < X j < X j + dxj					хк < Х к < х к + dxk					\ ^
\ / = 1, 2,			. г		k = r-\-\, г-\-2, ,				. « )
= р(хи	х2,	. хг | Xr+i,		xr+2,			. x n)dx1dx2 .			. dxr
Совместная плотность вероятности для случайных величин											Хи
Х2, . . . Х„ найдется по формуле (1.2)
			Р (*Х>	Х2,		. х^) —
= P {Xi, Xi,		. Xr I Xr+ b			Xr+2,	. xn) P (Xr+u				. Xn).

Отсюда после («—г)-кратного интегрирования по формуле (1.22) получим формулу для совместной плотности полной (безуслов­

ной)	вероятности случайных величин Яь Х2, .. . Я ,:
•	Символ включения М С V читается так: точка М принадлежит объе­
му V.

P (^1» ^2»

—00	—00
X p{xr+u~.x„)dxr+i...dxn.		(1.27)

8. Числовые характеристики совместного распределения нескольких случайных величин

Совместное .распределение случайных величин Хи Х2, ... Хп может быть охарактеризовано их средними значениями

00
x k= J xkp(xk)dxk,	(1.28)

моментами второго -порядка

0 0 00

(1.29)

моментами третьего порядка

00 я СО

00

—00—00 _ 00

и т. д. Наибольший интерес представляют моменты второго по­ рядка. Соответствующие им центральные моменты

K x J xk = ( X j - X J) ( X k - X k) =

=	00	00
	J	J	iXj— XJ)(xk— Xk)p(xj1xk)dxjdxh,	(1.30)
	_00	_00
называют	также корреляционными моментами;			матрицу К,
составленную1		из	этих .моментов, (называют корреляционной

матрицей1. Названия (происходят от того, что (смешанные мо­ менты Kxjxk (ПРИ / Ф k) характеризуют статистическую связь

(корреляцию) между случайными величинами Х} и Хк. При от­ сутствии такой связи смешанные моменты обращаются в нуль. Действительно, в этом случае согласно формуле (1.25) р (Xj, xk ) —p(xj)p(xb), откуда, учитывая формулу (1.28), по­ лучаем (яри ji=k)

1 (В дальнейшем будут использованы некоторые элементарные .результа­ ты из теории матриц; с этими результатами можно познакомиться по деся­ той главе книги В. В. Болотина [17].

Корреляционная	матрица К является	симметричной, т. е.
^Xj-xk = ^ х кк}> ее	Диагональные элементы	равны,	очевидно,
дисперсии 'соответствующих случайных величин.			нормальное
В качестве примера вновь рассмотрим n-мерное

распределение, предполагая, что корреляция случайных вели­

чин Хь Х2, .. . Х п отлична от «нуля. Пусть						К — корреляционная
матрица,	\К \ —ее определитель,			{/Г-1		— элементы матри­
цы А*-1, обратной		по	отношению		к матрице К . Совместная
n -мерная плотность вероятности имеет вид
			■X") = v		w	m x
X exp Г---- L 2			2			С-31)
	L	/= 1	k = \			J
При отсутствии корреляции между					случайными величинами
матрицы	К и К~х становятся диагональными:
		\К \= о \а \			о*,
			- 7	при / =		k,
			О	при j Ф k.
При этом формула		(il .31) переходит в формулу (1.26).
Если	совместное		распределение			‘случайных (величин
Хи Х2, . . . , Хп		является нормальным, то каждая величина Xk

а также любая их совокупность имеют нормальное распределе­ ние. Это весьма важное свойство нормального распределения может быть доказано, если воспользоваться формулой (il.22) и вычислить входащие в шее интегралы1.

9. Функции случайных величин

Займемся важным для последующего изложения вопросом об отыскании функций распределения и плотностей вероят­ ности функций от случайных величин. Начнем с функции од­ ного случайного аргумента 'У = ^(Х ). Согласно определению

F{y) = P ( Y < y ) = P[g(X)<y],

откуда, используя формулу (il.8), найдем	р;
F(y) = \p(x)dx.	(1.32)

i(*) < U

1Доказательства различных свойств нормального распределения, при­ водимые обычно в книгах по теории вероятностей, базируются на понятии ха­

рактеристической функции (n-мерного преобрааования Фурье для плотности вероятности).

Знак у интеграла указывает, что интегрирование произво­ дится по всем интервалам числовой оси, на (которых g(x) <у. Дифференцируя выражение (1.32), получим формулу для -плот­ ности вероятности р(у).

Формула для р(у) получается особенно простой, если пред­ положить, что функция g(X) монотонная. Тогда обратная функция X=h(Y) является однозначной. Производя в правой части формулы (1.32) замену переменной x=h(y), dx— =\h'(y) I dy, найдем, что

			F (У) =	J p[h(y)]\h'(y)\dy.
			—.00
После дифференцирования получим
			Р(У) = P[fi'{y)]\h'				(у)\.			(1.33)
Формула (il.33) легко обобщается на								случай	функций не­
скольких аргументов. Пусть
		Ул = 8л(Хъ Х * .					Х„)
			( £ = 1 , 2 ,			.т).				(1.34)
Тогда по фо|р;муле (1.23)
Р(Уъ У2, •		• Ут) = ! • • •		J/>(*i,*2f			• •*«) dxxdxz ...d x n. (1.35)
		gk iXl,Xt,.			.хп ) < у к
Здесь интеприрование производится по области «-мерного
пространства,		для	которой			(справедливы			неравенства
gb (хи Xz,... хп) <tfh(Л-И, 2, . . .						т).	имеют единственное ре­
Допустим,		что соотношения				(1.34)
шение относительно каких-либо т переменных XuXz, • • • Хт
	Xk = hk(Ylf V2,					Ym,X m+i ,		Хп).		(1.36)
Тогда	в правой		части интеспрала (il.35)					может1быть произве­
дена замена переменных
			F {Уь У&*••• Ут)
			со		oo
= V	f dyxdy2...dym j				J	P(hlt h2, ...hm, xm+i ,				xn) V
__ 00			—O00O		—oo00
		d(hlt fh, . .			-М	I dXm+l... dxn.

\д(Уи Ул,

Ут)

Здесь

dfi!

dhj

Mm

dyi

àyi

àyi

д(Ai, />2i •

• .hni)

_

dhx

dh2

àhm

ày-ь

ду%

дуг

d(jfi,y2,

-Ут)

dh

dht

àjhn

дУт

àym

àym

.36). Замечая, что

Р(У1>У*

• Ут)

?mF(yx,y2, .

. •Ут)

духдуг

,дут

найдем

00

00

Р {Уъ Уъ*

• Ут) =

J

J Р (^1 >^2>• • • ^/я> «Я/n+l |

• *«)X

—00

— 00

X

д {hi, ftg»

* «

■h/n) I ^

■m+l

. dx„

(1.37)

д(У1,Уг,

.ут)

Бели

число функций

равно

числу аргументов (m=n), то

формула

(1.37) принимает вид

Р(УьУ2,

Ут) = Р{К, h , - - -К )

д(hi, h2, * •

• h/л)

(1.38)

д(У1,Уъ,

.Ут)

Заметим,

что

предположение

об

однозначности

функций

hi, hi,

hm

не является стесняющим. Рассмотрим,

например,

функцию

одной

случайной

переменной

Y=g(X).

Бели эта

функция

не

монотонная,

то

интервал

изменения

аргумента X

все же можно разбить «на отрезки, ъ пределах каждого из 'ко­

торых	функция остается монотонной. Тогда		вместо формулы
(1.33)	находим
	Р(У) =	I J P (ÿ)j.|h'k (у) |.	(1.39)
		к
Здесь	x= hk (y ) — обратное	‘преобразование	для каждого от­
резка.

10.Пример. Вывод распределения Рэлея

Вкачестве примера использования только что выведенных формул рассмотрим вывод формулы для плотности вероятности так называемого распределения Рэлея (эта формула понадобит­ ся нам в дальнейшем).

Допустим, что случайная величина X меняется по периодиче­ скому закону с постоянной частотой шо, случайной амплитудой а и случайной фазой ф:

X = асоэ(ш/ •+• ф) = а cos б

X ~ —tuasin (Ы + ф) = —toasin®’

Здесь точкой обозначено				дифференциро­			Р(х)
вание по времени1, б			= cat + ф — также
случайная величина. Задача состоит в
том,	чтобы,	предполагая,			что величины
X и	х распределены		по		нормальному
закону и статистически независимы, най­
ти плотность вероятности для случайной
амплитуды		а.	с	формулой		(1.26)
В	соответствии						X
примем, что							Ряс. 4
		р{х, х)— 2пшза ехР				( 202+	2(i>2oa )]

(здесь учтено, что X X = 0 и что X2 — ы202, где а — стандарт случайной величины X). Перейдем к новым переменным — случайной амплитуде a и фазе 0 . По формуле (1.38)

дх дх

да дО

р(а, б) = р[х(а, 0), х(а, б)]

дх дх да Ô0

Якобиан преобразования равен, очевидно, по модулю ам. От­ сюда

		а	д*
	р(а, б)		2а*
		2тсо2	^

{все значения фазы О<0<; 2л равновероятны). Переходя при по­ мощи формулы (1.22) к плотности вероятности для амплитуд а, найдем

2к	_	а*
р( а) =Гр( в, в) <И—		•"
О
Это и есть распределение Рэлея (рис.	4).

1 Предполагается, что амплитуда а и фаза <{/ являются функциями времени, медленно изменяющимися по сравнению с X, что учтено при диффе­ ренцировании.

11. Линейные преобразования нормально распределенных величин

Как уже указывалось ранее, нормальное распределение об­ ладает тем свойством, что оно остается таковым и при линейном преобразовании случайных величин. Докажем это важное поло­ жение, ограничившись простейшим случаем одной случайной

величины.

Пусть X — случайная величина, имеющая распределение

(* — л)«

	р (х) = — ± — е				**		(1.40)
		У2пах
Найдем плотность распределения для случайной величины
		У = аХ + с,					(1.41)
где а к с — константы. Подставляя				выражения		(1.40) и	(1.41)
в формулу ( 1.33), получим
	Р(У) = У	1			а Х — с)*	]
		а<зх			2**4 -	J •
Из этой формулы видно, что случайная величина Y также рас­
пределена	по нормальному закону,			причем
	Ÿ = aX -\-c, оу=а<зх						(1.42)
Пусть	теперь
		Yj — 2	ajk Xk +		cj		(1-43)
	,	k=\		. m).
		( / = 1,	2,
Здесь aJk и Cj — некоторые константы,					Xk — случайные		вели­
чины, имеющие совместную -плотность вероятности
		Р(х1,*2,	• хп) =
	[	- т 2	2				.
		/ —1	k=l

Кх — их корреляционная матрица. Для совокупности случайных

величин Yk мы снова получаем	нормальное распределение со
средними значениями
Yi —2	CJ	(1-44)
k-i
( / = 1, 2,	.m)

an