книги / Теплотехника (курс общей теплотехники)

Рис. 11-3. К выводу диф­ ференциального уравне­ ния теплопроводности

где Я„ и %1— значения коэффициентов теплопроводности соответст­ венно при 0°С и при *аС;

Ь—постоянная, определяемая из опыта.

В табл. 11-1 приведены некоторые данные о значениях коэффициен­ та теплопроводностидля разных веществ. Из нее видно, что наихудшими

проводниками тепла являются газы, для	которых	X= 0,006 -г
-т-0,6. вт/(м-град). Некоторые чистые металлы,	наоборот,	отличаются

высокими значениями Xи для них величина его колеблется от 12 до 420 вт1(м2-град). Примеси к металлам вызывают значительное умень­ шение коэффициента теплопроводности. Так, у чугуна Xтем меньше, чем больше содержится в чугуне углерода. Для строительных материалов

Л=0,16-М,4 вт/(м-град). Пористые материалы, плохопроводящие тепло, называют теплоизоляционными и для них значения Xнаходятся в пре­ делах от 0,02 до 0,23 вт/(м- град). К этим материалам относят шлакова­ ту, минеральную шерсть, диатомит, иыовель, совелит, асбест и др. Чем более порист материал, т. е. чем больше содержится в нем пузырьков малотеплопроводного воздуха, чем меньше его плотность, тем менее он теплопроводен. Очень широкое применение получил теплоизоляционный материал диатомит, в 1 смг которого содержится до 2 -106 скорлупок, заполненных внутри воздухом.

В табл. 11-1 приведены также данные о плотности некоторых тел.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА

Для изучения закономерностей распространения тепла в однород­ ном и изотропном теле составим уравнение, описывающее изменение температуры в любойточке нагреваемоготела взависимости от времени. Коэффициент теплопроводности и другие физиче­ ские характеристики будем считать постоянными и допустим, что деформацией тела от изменения температуры можно пренебречь. В объеме тела могут действовать внутренние источники тепло­ выделения (например, при нагреве тела путем пропускания электрического тока), но эти Источ­

ники распределены равномерно.

При выводе дифференциального уравнения применим закон сохранения энергии, сочетая его с основным законом теплопроводности. Выделим в теле элементарный параллелепипед с гранями йх, йу, йг (рис. 11-3). Количество поступившей теплоты и выделенной внутренними источниками

йдВНуза вычетом количества теплоты, уходящей через поверхность на­ ружу йдух, идет на приращение внутренней энергии вещества в выделен­

ном объеме:

йи = йд —йдп,

(11-7)

Если объемная мощность тепловыделения д« вт!мг, то за время йх выде­ лится тепла

йдвп = <70 йхйуйгйх.	(11-8)
По закону Фурье количество тепла, проходящее за время йх через
грань йуйг вдоль оси х, равно	(И-9)
йд'х = — X(дЦдх)йу йгйх,

Тепловой ноток, проходящий через противоположную грань йуйг, температура которой I+ {&!дх)йх, будет

й "х = —X~ [I + (дЦдх)йх] йу йгйх.

(11-10)

139

Разность величин этих потоков
Л7' — йцх = —X(дЧ/дх2)дхдудгйт.	(11-11)

Рассуждая аналогично для направлений теплового потока по осям у и г, получим

сф'у — АдПу = — X(дЧфу2) дхйудгдх\	(11-12)
адг — = — XфЧ'фу2) йхйуйгйт.	(1ЫЗ)

Общее количество тепла, оставшегося в элементе в единицу време­ ни, равно сумме выражений (11-11), (11-12), (11-13):

ду= —X(дЧ/дх2 д2{фу2-{- дЧ/дг2) йхйуйгйт.

(11-14)

Масса элемента при плотности вещества р, кг/м3, будет равна рйхйуйг.

Внутренняя энергия элемента изменится на величину

йи = —ср {д1/дт)дхйудгдх.

(11-15)

Здесь с— средняя теплоемкость вещества элемента, дж/(кг-град). Приравнивая выражения (11-14) и (11-15), получим

ср (дИдт) = Я0 + Х(дЧ/дх2+дЧ/с1у2+дЧ/дг2),

или

дЦдх = а (дЧ/дх* + дЧ/йу- + дЧ/дг-) + 2°. = ау31.

ф

(11-16)

(11-17)

Мы ввели новую физическую характеристику а — Х/ср, м2/сек, называе­ мую коэффициентом температуропроводности■ выражение у2{= =йЧ1йх2-\-йЧ/ку2-\-с1Ч1йг2 называют оператором Лапласа.

Выражение (11-17) называют дифференциальным уравнением теп­ лопроводности Фурье.

Наиболее просто это уравнение выглядит для случая распростране­ ния тепла для плоской стенки (для пластины неограниченного размера), когда тепло распространяется только в направлении оси х и когда отсут­

ствуют внутренние источники тепла, т. е. при ^ =	0:
дИдт = а (дЧ/дх2).	(1.1-18)

X /_Чем больше коэффициент температуропроводности а= — , тем;

Ф

пропорционально быстрее распространяется температура в теле, т. е. црно быстрее нагревается или охлаждается,! Стало быть, на этот процесс влияют три параметра: X, с и р и из них сир действует обратно пропор­ ционально. Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет решать многие практические задачи, однако решения получаются не всегда простыми.

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ, НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т. е. описывает класс явлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс, следует дать дополни­ тельное математическое описание конкретного процесса теплопроводно­ сти, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя: 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс: 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой; 3) начальные условия распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процес­

140

са зо времени; 4) физические свойства тела и окружающей среды, опре­ деляемые физическими параметрами; 5) интенсивность и распределение внутренних источников тепла.

Совокупность начальных и граничных условий называют краевыми условиями. Начальные условия при нагреве (или охлаждении) тела ска­ зываются только в начальный период, но по истечении некоторого вре­ мени наступает регулярный режим, при котором распределение темпе­

ратур в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных.

Граничные условия задаются соответственно способу нагрева (ох­ лаждения), т. е. воздействию окружающей среды на тело.

1. Если задается изменение температуры наповерхноститела во вре­ мени ?пов = /(т), то это отвечает граничным условиям первого рода. На практике встречаются случаи нагрева или охлаждения при заданномиз­ менении температуры на поверхности, например по прямолинейному за­ кону *пов=*о+&т. При очень интенсивном теплообмене температура стенки близка к температуре среды, т.е. /окр=*пов, и этот случай близок к условиям первого рода. а^°°

2. Если на поверхности тела задана плотность теплового потока, то

мы имеем граничные условия второго рода. По закону Фурье
* - 1 Ь	<1Ы*>

Градиент температуры относится к точке тела, расположенной в не­ посредственной близости от поверхности тела (х= +0).

3. Граничные условия третьего рода соответствуют случаю конвек.-, тивного теплообмена с поверхностью тела (конвективной теплоотдаче). Тепловой баланс на границе тела имеет вид;

	й|	(11-20)
м ^ = о - и — ^ дх и=о
Этот случай часто применяют при решении практических задач.
4.	В высокотемпературных печах чаще всего передача тепла осу­
ществляется лучеиспусканием. Тогда тепловой баланс на границе может
быть описан уравнением
°о*лр(^р- Г :.в) = - ^ =о.		(П-21)

Если разность температур среды и поверхности невелика и соблю­ дается неравенство О,9<7’0кр/Гх=о<1,1, то этот случай можно свести к граничным условиям 3-го рода и тогда

где ал — коэффициент теплоотдачи лучеиспусканием, вт/(м2 • град);

(11-23)

Различают два режима распространения тепла в телез а) при установившемся (стационарном) режиме,

когда температурное поле тела не изменяется во времени, т. е. когда температура каждой точки постоянна (<Э*/<Эт ==.0);

б) при неустановившемся (нестационарном) ре­ жиме, когда происходит нагрев или охлаждение тела, т. е. когда тем­ пературное поле изменяется с течением времени.

141

Времят,V

Рис. 11-4. Процессы прогрева плоской стенки (пластины). Кривые показывают распреде­ ление температур по истечении времени Ть т2,т3и т.д. от нача­

ла нагрева

На рис. 11-4 показан процесс одностороннего прогрева плоской стенки (пластины). Сначала нагревается внутренняя поверхность стен­ ки. Постепенно тепло распространяется все глубже в толщу материала, и, наконец, после более или менее продол­ жительного времени наступает установив­ шийся процесс распространения тепла. Это происходит, когда стенка вполне прогрелась и тепло больше не расходуется на увеличе­ ние энтальпии ее материала, а температура

ее остается неизменной.

На практике процессы нагревания и ох­ лаждения в условиях нестационарных ре­ жимов встречаются очень часто. Так, в про­ мышленных печах изделия подвергаются на­ греву для тепловой обработки материала. Например, стальные слитки нагревают пе­

ред прокаткой и ковкой в нагревательных печах.

В регенеративных теплообменниках греющей средой сначала нагревается тепло­ емкая насадка, а затем эта насадка отдает тепло нагреваемой среде. Принцип регене­ рации используется и в отопительных ком­ натных печах: в то время когда онитопятся, разогревается кладка, а после закрытия

трубы тепло нагретой кладки постепенно распространяется по помеще­ нию, где установлена печь.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМТЕПЛОВОМРЕЖИМЕ

Теплопроводности плоской стенки

Из предыдущего следует, что для плоской стенки, или иначе для не­ ограниченной пластины, когда д1!ду= дЦдг—.О, условие установивше­ гося режима выражается уравнением [см. формулу (11-17)]:

дИдх = дЧ/дх*= 0.	.(11-24)
Решив это уравнение, получим д^дх =	С\ и, следовательно,
2 = Сгх+ С2,	(11-25)

где С\ и Сг— постоянные интегрирования.

Отсюда вытекает, что в плоской стенке без внутренних источников тепла, температура распределяется по закону прямой линии (рис. 11-5).

Определив значения постоянных (положив один раз х = 0, а другой раз х = б) и подетавив их в уравнение (11-25), найдем значение темпе­

ратуры в любой точке:
<= <=.+ ^ Т ^ " Х	(Н-26)
или в безразмерном выражении
	(11-27)

142

Тепловой поток, проходящий через 1м2стенки, можно выразить сле­ дующим образом:

<П-28>

Закон Фурье можно написать в форме, аналогичной закону Ома в элек­ тротехнике, введя понятие о тепловом (термическом) сопротивлении:

д= <С|~ <с*-дт/л(3,

(11-29)

Рис. 11-5. Распределение	Рис. 11-6. Теплопроводность	Рис. 11-7. Графический способ
температуры в плоской	плоской многослойной стен-	определения температур на
стенке	ки	границах отдельных слоев мно­
		гослойной стенки

Для сложной стенки, состоящей из п слоев, тепловое сопротивление будет равно сумме сопротивлений отдельных слоев:

11 ‘

иудельный тепловой поток может быть определен по формуле

<7=

(11-30')

Распределение температуры внутри стенки изображается ломаной

прямой линией (рис. 11-6).

Если построить график изменения температуры как функцию терми­ ческого сопротивления ^то он будет представлять прямую линию

(рис. 11-7). При помощи такого графика очень удобно определить тем­ пературы на границах слоев стенки.

Пример 11-1. Определить потерютепла в окружающую среду, происходящую
вследствие теплопроводности через 1м2плоской стенки из шамотного кирпича толщи­
ной 6=0,51 м, если	температура внутренней поверхности	=900°С и наружной
=120°С.
Средняя температура шамотной кладки
*ср = 0,5 (/С1+ у	= 0,5 (900 + 120) = 510° С.
Среднее значение коэффициента теплопроводности находим по формуле, приве­
денной в табл. 11-1:	4*ср = 0,7 Ц- 6-510.10—4= 1,006 втЦм-град).
Кр = 0,7 + 6«10			143

Термическое сопротивление слоя равно Я = 6Д= 0,51/1,006 = 0,506 м2^рад(вт.

Тепловой поток (потери тепла через 1м2стенки) определяем по формуле (11-29):

<7=	900—120	= 1542 вт/м2.
	0,506

В приведенном выше примере коэффициент теплопроводности не является постоянной величиной, а потому распределение температур в стенке будет несколько отличаться от прямолинейного. Однако ввиду сравнительно небольшого влияния температуры на величину коэффици­ ента теплопроводности это отклонение будет не очень значительным.

Теплопроводность цилиндрической стенки (трубы)

Цилиндрические стенки встречаются часто, например изолирован­ ный трубопровод представляет собой многослойную цилиндрическую стенку. Найдем тепловое сопротивление сначала однослойной трубы

Рис. 11-8. Теплопровод­	Рис. 11-9. Теплопровод­
ность однородной ци­	ность многослойной ци­
линдрической стенки	линдрической стенки

длиной /, разбив ее цилиндрическими поверхностями на бесконечноболь­ шое число слоев (рис. 11-8). Количество тепла (?, проходящее через каждый слой, будет равно

—М7 Щйт) = — 2пгМ {Ш/Ог) = — Ш/Ж,	(11-31)
где тепловое сопротивление элементарного слоя
Ж = (1г/2л%1г.	(11-32)
Общее тепловое сопротивление определим по формуле
™ = ш 1п	0 1'33)

где I и й— соответственно длины и диаметр трубы, м.

Для многослойной трубы (рис. 11-9), например стальной, покрытой

144

слоем тепловой изоляции, формула (11-33) видоизменяется следующим образом:

	1=П	(11-34)
	« - т Е й т 1* » .* ) -

Количество тепла, проходящее через трубу в единицу времени:

1С—/	/ —I	(11-35)
К	= 2лЯ/—— Ь- вт.
	1п иМ
Количество тепла, отнесенное к 1 м длины трубы:
<71= — = 2пК —— - вт/м. .		(11-36)
I	1п и м

Количество тепла, отнесенное к 1м2 внешней поверхности трубы:

_	„	__ 2Ш	вт/м2.	(11-37)
Я\ ■	яа91	^\пим

Температура внутри стенки для каждого слоя распределяется по лога­

рифмической кривой, изображенной на рис. 11-9, в соответствии с фор­ мулой

1п и м77\

(11-38)

Экспериментальное определение коэффициента теплопроводности

Можно опытным путем определять значения коэффициента тепло­ проводности Xдля изоляционных материалов при невысоких температу­ рах (до 300°С), пользуясь прибором, изображенным на схеме (рис. 11-10). Исследуемый материал помещают на наружной поверхно­ сти трубы длиной 1,5 м (чтобы избежать влияния торцов), Внутри

Рис. 11-10. Схема опытной установки

/—автотрансформатор;2—ваттметр;3—труба: 4—исследуемый материал;5—электрический нагреватель;6—тепловая изоляция

трубы 4 заложен электрический нагреватель, мощность которого изме­ ряется ваттметром 2. Температуры материала изменяются термопарами 7—12, горячие спаи которых заложены на наружной и внутренней по­

верхностях материала. Коэффициент теплопроводности определяют по формуле

(НпЩЬ) втЦм-град).

(11-39)

145

Рис. 11-11. К расчетам дву­ стороннего симметричного прогрева плиты

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМТЕПЛОВОМРЕЖИМЕ

Нагревание или охлаждение тел— явление очень распространенное в производственных установках (например, нагревание стальных слит­ ков в промышленных печах, охлаждение нагретых предметов на возду­ хе и т. д.). При этом температурное поле тела изменяется во времени, что обусловливается изменением энтальпии тела и является признаком нестационарного теплового режима.

При нагревании тела тепло, воспринимаемое внешней его поверх­ ностью от окружающего пространства печи, постепенно проникает внутрь материала вследствие его теплопроводности и разности .темпера­ тур поверхности и внутренних слоев материала.'Для простоты рассмот­ рим случай нагрева неограниченной пластины (См. рис. 11-11), когда тепловой поток движется только в направлении оси х (перпендикулярно к поверхности пластины). Нестационарный процесс нагрева описывает­ ся уравнением Фурье (11-18):

дЦдх = а (дН/дх%

(11-40)

где а— коэффициент температуропроводности, м21сек.

Если среда, окружающая тело, имеет температуру /0кр* то по форму­ ле (11-20) можно написать уравнение

а (Ажр ^пов) = ^(<^/д*)пов>

где а — коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к поверхности тела.

Само собой разумеется, что на распределение температур в теле влияют толщина пластины 5 (при двустороннем нагреве удобно толщину пластины принимать за 2$) и начальная температура тела и. Следовательно тем­ пература каждой точки тела описывает­

ся уравнением, имеющим вид:

<=?(*,г,а, К«. <окр.и, «)•

(11-41)

Большое-число переменных затрудняет аналитическое решение такого урав­ нения. Задача легче решается, когда раз­ мерные переменные объединяются в без­ размерные комплексы (критерии). Если переменная выражается в долях от дру­ гой одноименной величины, принимаемой за характерную, то безразмерная вели­ чина называемая симплексом, характери­ зует или то, насколько она отличается от

максимальной (например, безразмерная температура 0=.//?тах^1), или во сколько раз она превышает величину, принятую в качестве калибра

(например, безразмерная длина трубы Ь—Ц. кратна диаметру ее). Без­ размерные комплексы или критерии подобия состоят из разноименных

величин, объединение которых осуществляется строго по соответствую­ щим правилам.

Г46

ОПОДОБИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Теория подобия физических процессов получила развитие в СССР

благодаря выдающимся работам отечественных ученых М. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, М. А. Михеева и др. Каждый физический процесс мо­ жет быть описан уравнениями математической физики. Анализ этих

уравнений (чаще всего дифференциальных) позволяет установить, ка­ кие факторы влияют на искомую величи­

ну, т. е. отыскать общий вид уравнений.		с'
Примером такой функциональной связи
является уравнение (11-41).
Впервые понятие о подобии дается
в геометрии. В случае подобия много­
угольников (рис. 11-12) каждая сторона
одного многоугольника больше сходст­
венной стороны другого многоугольника
в определенное число раз. Это число на­
зывают масштабом. Стороны измеряют
линейными мерами.	В подобии много­	Рис. 11-12. Геометрическое
угольников можно	убедиться и другим
способом. Поместим один многоугольник		подобие многоугольников

вдругойи будемих равномерно деформи­

ровать. Если при этом фигуры полностью совпадут одна сдругой, то ониподобны. Можно использовать следующий

прием для деформации. Разделим стороны каждого многоугольника на одну из сходственных сторон, т. е. выразим размерсторон в долях от сто­ роны, выбранной в качестве масштаба. Тогда безразмерные стороны каждого многоугольника будут: для первого /, а', Ь\ с', Л' ... и для вто­ рого а", Ь'\ с", й”. Если при совмещении многоугольников с безразмер­ ными сторонами они совпадут, то многоугольники подобны и тогда с '= =а"; 6'=6", с'—с" и т. д., т. е. безразмерные сходственные стороны подобных многоугольников равны.

Может быть подобие и физических процессов. Возьмем, например, явление теплопроводности через однородную плоскую стенку при ста­ ционарном процессе. Подобных стенок может быть множество: стенки зданий, стенки паровых котлов, печей и т. д. Материал их различен, раз­ лична толщина б, различен температурный перепад в стенке А? = 1\—12.

Но теплопроводность всех стенок подчиняется одному и тому же закону Фурье (11-4):

<7=— Я(Д*/6).

Следовательно, природа явлений одна и та же, т. е. качественно они одинаковы.

Распределение температур (температурное поле) во всех стенках будет следовать закону прямой линии. Для любой точки

б—X

(11-42)

или

1— х/д.

(11-43)

Величина 0* представляет собой безразмерную температуру для лю бой точки. При х=0 6я=1, а при х=Ь ©^=0. Базразмерное темпе­

ратурное поле 0* = /(х/б) одинаково для всех однородных плоских сте­ нок и изображается одной и той же прямой (рис, 11-13).

147

Из этого вытекает, что процессы теплопроводности для всех одно­ родных плоских стенок при стационарном тепловом режиме будут по­ добны друг другу.

Рассмотренные процессы образуют группу, состоящую из бесчислен­ ного множества подобных единичных процессов. Группы объединяются в классы.

Например, распространение тепла теплопроводностью в плоской стенке здания и в стальном слитке, нагреваемом в печи перед прокат­ кой,— явления одного класса, в этом классе могут быть не две, а бес­ численное множество конкретных групп. В нашем примере из класса

Рис. 11-13. Подобие температурных полей в двух однородных плоских стенках:

а —первая стенка; б —вторая стенка; в—приведенное температурное поле вх -/(х(5)

выделяются две группы явлений: первая— распространение тепла теп­ лопроводностью в плоской стенке при установившемся тепловом режиме и вторая— нагрев тел при неустановившемся тепловом режиме. В груп­ пу, как можно понять из предыдущего, объединяют процессы, на кото­ рые можно распространить результаты единичного процесса. Чтобы вы­ делить группу подобных явлений или процессов, необходимо к матема­ тическим (чаще всего дифференциальным) уравнениям присоединить условия однозначности, которые конкретизируют геометрическую форму и размеры устройства, физические свойства среды или тела, начальное состояние тел, особенности протекания процесса на границах тела (гра­ ничные условия) и особенности протекания процесса во времени. Напри­ мер, процесс распространения тепла при нестационарном тепловом.ре­ жиме и температурное поле зависят от времени: в одном случае слитки нагреваются быстро, в другом— медленно.

Безразмерные комплексы находятся разными способами: методом масштабных преобразований, путем анализа размерностей и др.

Мы воспользуемся тем, что индикатор размерности критерия равен единице (поскольку все размерности входящих в критерий величин в чи­ слителе и знаменателе сократились). Знаки дифференцирования, отно­ сящиеся к отдельным величинам, можно опустить, сохранив сами раз­ мерные величины.

	Из уравнения (11-20) имеем
	%*	СИ-44)
	Ы дх "

Поскольку размерность градиента дЦдхта же, что и отношения IIх, т. е.

148