книги / Математика без формул

1сно, чго тем самым закройщик сконструировал сую функциональную зависимость, тесно связанную с )вой. Говорят, что по отношению к первой такая 1Исимость является обратной.

1з ателье перенесемся в поликлинику. Врач велит щенту измерить температуру. В стеклянной трубочке, орую пациент сует под мышку, заключен столбик ти. Он удлиняется от тепла человеческого тела. Вспочается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в орых мастер определял длину металлических стерж- \ как функцию их температуры: Здесь врач проделы- >т нечто обратное: по длине жидкого ртутного «стерчька» он определяет температуру пациента. Он строобратную функцию по отношению к той, которую мал Гаррисон.

’азумеется, к вопросу можно подойти с другой сто- <ы и назвать прямой функцию, с которой имеет дело 14, и обратной ту, знание которой прославило Гарри- <а. А если быть справедливым до конца, то обе -жции нужно назвать взаимно обратными. Противоггавлять их имеет не больше смысла, чем решать, кто двух близнецов старше.

1равда, порой одна из двух взаимно обратных функ- 1 более употребительна, более привычна, ее символ шелькался больше, и подобная неравноценность игпг свою роль при распределении званий «прямая» и «ратная». Арксинус, арктангенс называют обратными 1гонометрическими функциями, молчаливо отдавая 1ние прямых синусу и тангенсу.

1з поликлиники — на космодром. Ракета, летящая в ;мическом пространстве, наращивает скорость по заiy логарифма: именно эта функция позволяет по ;се израсходованного топлива указать скорость pa- м. Скорость — функция, масса топлива — аргумент, часто возникает обратная задача, когда исходным истом расчета является скорость ракеты. Чтобы вы- :ти спутник на орбиту, ракета должна развить первую ;мическую скорость. Какое количество топлива по­ дуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости? сса топлива в этом вопросе уже мыслится как функ- I, скорость — как аргумент. Задачу решает функция, эатная к логарифмической, — показательная.

Функция логарифмическая и функция показательная. Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они расположены симметрично относительно биссектрисы угла, стороны которого — оси координат. Это не уди­ вительно — ведь переход от прямой функции к об­ ратной заклю чается в переименовании: функция становится аргументом,

аргумент — функцией. Заметим, что функция,

обратная линейной, — это опять-таки линейная функ­ ция. Простейшая из линей­ ных функций — та, что равна аргументу, — обрат­ на по отношению к самой

себе, что, впрочем, очевидно: ее график совпадает с биссектрисой угла между координатными осями.

Корень квадратный и парабола тоже являются взаим­ но обратными функциями, и графики их тоже симмет­ ричны относительно той же биссектрисы.

А теперь — снова в ателье. Анализируя слова закрой­ щика с математической точки зрения, мы поначалу не обратили внимания на то, что он назвал сразу несколько значений функций, обратной к функции моды («...пять лет назад, да перед самой войной, да еще при царе Горохе»). Задуваемся над этим сейчас.

192

Мода повторяется, и это делает неоднозначной функ­ цию, значения которой называет закройщик. Та же при­ чина делает неоднозначной и арксинус — функцию, об­ ратную синусу (присмотритесь к ее графику).

В математике, как мы уже от­ мечали, принято рассматривать лишь однозначные функции, когда каждому значению аргу­ мента ставится в соответствие лишь одно значение функции. Именно поэтому математик, от­ разив относительно биссектри­ сы координатного угла график синуса* оставляет от него лишь небольшой участок и называет его главной ветвью арксинуса (см. график).

Резонно полюбопытствовать: какие же свойства функции га­ рантируют то, что обратная к ней окажется однозначной? Эти свойства — непрерывность и мо­ нотонность.

О первом из двух понятий речь впереди, а второе нам уже зна­ комо.

Беря в качестве примера вза­ имно обратных функций парабо­ лу и корень квадратный, мы не случайно взяли от параболы лишь одну половину. Если пара­ болу не урезать до монотонного вида, то в результате ее отраже­ ния относительно биссектрисы координатного угла получится

такой график, с которого значения корня квадратного можно брать и со знаком плюс, и со знаком минус. А это тот самый случай, по поводу которого мы говорили когда-то о нежелательности многозначных функций в математике.

193

Не было гвоздя — Подкова пропала. Не было подковы — Лошадь захромала

Ограничимся пока этим, ибо дальше в стихотворении идут совсем уж страшные вещи — гибель командира, разгром армии и так далее, и тому подобное.

Итак, лошадь. С чего начались ее неприятности? С того, что непрочно державшаяся подкова отвалилась. А отчего подкова держалась непрочно? Оттого, что кузни­ ца не обеспечила штатного количества гвоздей.

Боевое состояние лошади зависит от прочности креп­ ления подковы. Состояние лошади — функция, проч­ ность крепления — аргумент. Но эта прочность, в свою очередь, обусловлена количеством гвоздей. Проч­ ность — функция, количество гвоздей — аргумент.

Так что же получается? Прочность крепления подко­ вы — это одновременно и функция и аргумент. Нет ли здесь противоречия? Не ведет ли это к путанице?

Напротив! Описанная конструкция из функциональных зависимостей ведет к прояснению многих важных во­ просов.

Бывает, что изучить зависимость какого-то явления от первопричины оказывается делом сложным. Чувствует­ ся, что взаимообусловленность между ними есть, но перекинуть прочный мост четкой функциональной зави­ симости от одной к другой не удается. Дело облегчает­ ся, если между чрезмерно далекими берегами посчас­ тливится отыскать остров — некоторый фактор, который является следствием первопричины и причинрй оконча­ тельного, исследуемого следствия. Иными словами, когда удается построить некоторую промежуточную функцию, для которой независимая переменная служит аргументом, в то время как сама промежуточная функ­ ция служит аргументом для исследуемой функции. И безнадежно разобщенные прежде берега оказываются связанными этаким двухарочным мостом.

194

И неясная прежде связь между комплектностью куз­ нечного оборудования и боеспособностью конницы про­ ясняется введением промежуточного звена — прочнос­ тью крепления подков на копытах лошадей.

Подобная конструкция из двух функций называется их суперпозицией, или сложной функцией.

В ходе пристального анализа цепочка функциональ­ ных зависимостей может удлиняться: былая первопри­ чина обнаруживает обусловленность более глубокими факторами, a oi явления, на котором прежде останав­ ливался взгляд исследователя, тянется вереница далеко идущих следствий. Двухарочный мост становится по­ добным акведуку.

Взять хотя бы наше стихотворение:

Лошадь захромала — Командир убит Конница разбита — Армия бежит Враг вступает в город, Пленных не щадя

Оттого, что в кузнице Не было гвоздя

Поэт видит корень зла в гвозде и умалчивает о при­ чинах нехватки. Расследование можно продолжить. Может быть, администрация кузницы халатно относится к своим обязанностям? А может быть, ее подвели снаб­ женцы? А может быть, завод-изготовитель не выполнил своих обязательств? Или подкачали смежники?

Шутки шутками, а между тем подобные цепочки функ­ циональных зависимостей возникают при анализе мно­ гих серьезнейших проблем нашего времени и среди них такой — «Человек и окружающая среда».

Ученые утверждают, что в наше время ледники тают быстрее, чем, скажем, века два назад. И одну из причин этого явления усматривают в развитии промышленнос­ ти.

В чем дело? Может быть, в том, что топки заводов и фабрик греют атмосферу и это вызывает таяние льдов? Нет, на столь непосредственное воздействие вряд ли хватит тепловой энергии, выделяемой заводами и фаб­ риками. Дело здесь в другом.

195

Замечали ли вы, как быстро тает весной грязный снег при дорогах и как долго лежит он чистый на полях9

Пыль, копоть и прочие им подобные плоды цивилиза­ ции загрязняют атмосферу, переносятся ветрами на огромные расстояния, оседают на ледниках, и загряз­ ненный лед интенсивнее поглощает солнечные лучи, тает быстрее

Налицо сложная функция, или суперпозиция. Количе­ ству топлива, потребляемому заводами и фабриками планеты, соответствует определенное количество пыли и копоти, выбрасываемое в атмосферу, а этому количе­ ству соответствует определенное количество солнечной энергии, поглощенное ледниками

Зная эту сложную функцию, можно приступать к ана­ лизу загадочного прежде таяния ледников.

•

Эта кривая, напоминающая головной убор времен Наполеона, — своеобразный фирменный знак теории вероятностей. Там она называется кривой нормального закона распределения ошибок, или кривой Гаусса.

Казалось бы, этой функции как и функции Бесселя, можно посочувствовать, такая известная, такая распро­ страненная, а звания элементарной не удостоена

Не надо спешить с собо­ лезнованиями. Ведь эле­ ментарными функциями, как мы уже говорили, счи­ таются не только полиномы и корни, логарифмическая и показательная, тригоно­ метрические и гиперболи­ ческие функции, не только все те, что получаются из них с помощью сложения и вычитания, умножения и деления, но также обрат­ ные к ним (например, арк­ синус или арктангенс) и их суперпозиции

196

Функция нормального распределения ошибок как раз и представляет собой суперпозицию двух элементарных функций, показательной и параболы, взятой со знаком минус перед ней, а потому по праву принадлежит к числу элементарных.

Беря различные функции, можно создавать разнооб­ разнейшие их суперпозиции. Но будьте осторожны! По­ мните определение суперпозиции двух функций: одна служит аргументом для другой. Значит, область значе­ ний первой функции должна попадать в область опре­ деления второй. Забвение этой важной детали может привести к курьезам. За примерами ходить недалеко.

Мы только что говорили про суперпозицию показа­ тельной функции и параболы со знаком минус перед ней. Замените в этом сочетании показательную функ­ цию функцией «корень квадратный», и вы увидите, что получившаяся при этом сложная функция имеет смысл лишь при нулевом значении независимой переменной. Ведь корень квадратный нельзя извлекать из отрица­ тельных чисел!

Смешная картинка, не правда ли? А почему она смеш­ на? Потому что в ней есть подвох Ваш взгляд скользит по ногам человечка, затем, как вы думаете, вдоль туло­

вища, скрытого газетой затем подходит к краю газеты, ожидая встретить там голову... ан нет' Голова оказыва­

197

ется совсем в другом месте. Фигура нарисованного человечка оказывается разорванной.

Сравните теперь эти графики — какая из двух функций более похожа на человека с газетой?

Конечно, вторая! Прослеживая взглядом ход линии, при подходе к значению аргумента а мы обнаруживаем, что значение функции в этой точке, указанное жирным кружком, совсем не там, что ожидалось, — как на при­ веденном рисунке.

Первая из функций, представленных графиками, на­ зывается непрерывной в точке а, вторая — разрывной в этой точке.

Непрерывность и разрывность — одни из важнейших понятий, применяемых для анализа функций.

Судя по элементарным функциям, непрерывность — явление весьма распространенное в мире функциональ­ ных зависимостей, разрывность же, напротив, экзоти­ ческое, так что наглядные примеры разрывных функций подберешь не вдруг. Но мы все-таки попробуем их поискать.

Замечали ли вы, читатель, как гасят свет в кинотеат­ рах перед началом сеанса? Осветитель медленно пере­ двигает рычажок реостата, и свет едва заметно и непре­ рывно гаснет, превращаясь в тьму.

	Я р к о с ть
Смещение
р уч к и
А	У г о л поворота
	ры чажка

198

Попробуйте воспроизвести это медленное и непре­ рывное угасание дома, попытайтесь так же загасить люстру, поворачивая рычажок тумблера. У вас ничего не получится, даже если вы крепко будете держать рыча­ жок, не давая ему срываться. По мере его поворота свет до поры до времени ничуть не убудет в яркости — и вдруг мгновенно погаснет, так что тьма останется неиз­ менной при дальнейшем движении рычажка. Подобный переход от света к тьме описывается разрывной функ­ цией.

Конечно, не следует придавать чрезмерного значения тому, что тумблеры чаще служат выключателями, чем реостаты. И все-таки приведенный пример позволяет утверждать, что разрывные функции необходимы для списания совсем не таких уж редкостных явлений и устройств.

Как же определить понятия непрерывности и разры­ ва?

Не мудрствуя лукаво, можно сказать, что непрерывная функция — это такая, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. А разрывная — такая, которую так не нарисуешь.

К сожалению, математиков такое определение не удовлетворит, ибо фигурирующие в нем карандаш и бумага — понятия не математические. В строгом мате­ матическом определении должны содержаться лишь ло­ гические и количественные понятия.

Однако, поставив вне закона карандаш и бумагу, мы вовсе не отказываемся от наглядности. Определение непрерывности мы дадим с помощью картинки — той самой, с которой начинался этот отрывок, а точнее, с помощью газеты, которую держит в руках человек.

Возьмем у человечка его газету и наложим ее на первый из вышеприведенных графиков, лричем так, чтобы ее центр совпал с той точкой на линии графика, где функция исследуется на непрерывность. (Собствен­ но, от слова «газета» уже можно отказаться и говорить

опрямоугольнике с центром в интересующей нас точке.) Мы можем так обрезать газету с краев, что график

функции на всей ширине газеты не вылезет за ее верх­ ний и нижний края. Суть определения непрерывности заключается в том, что такое можно сделать с газетой

199

любого размера, с тетрадным листом, с почтовой от­ крыткой, с трамвайным билетом, с прямоугольником любой высоты: задавшись этой высотой, прямоугольник можно затем так сузить с боков, что в столь узком

промежутке отклонения функции от ее значения в ис­ следуемой точке будут меньше, чем высота прямоуголь­ ника. Такая функция и называется непрерывной в дан­ ной точке.

Функция называется разрывной в данной точке, если описанная процедура оказывается невыполнимой. Го­ воря точнее, если найдется прямоугольник такой высо­ ты, что, как ни сужай его с боков, на любом зауженном промежутке найдется точка, по крайней мере одна, в которой значение функции будет выступать либо за верхний, либо за нижний край прямоугольника.

•

Если предыдущий раздел начинался со смешной кар­ тинки, то этот начнется с загадочной.

Часть графика функции, располо­ женная правее некоторой точки а, за­ крыта. Не видно также, какое значение функция принимает в самой точке а. Чтобы подчеркнуть это обстоятельст­ во, видимая часть графика закончена стрелочкой в той точке, в которой об­ рывается кривая.

200