книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

211

задачи; типичный экстремальный метод — метод Ритца, вариаци­ онный — Галеркина.

Применение вариационного подхода чаще всего сводится к при­ равниванию нулю вариации первого порядка и извлечению из этого следствий. Другими словами, речь идет об отыскании точек стационарности рассматриваемого функционала. Естественно, что в таких точках экстремум функционала, вообще говоря, не обязан достигаться — возможен также и минимакс.

Рассмотрим простой пример. Пусть в плоскости на оси симметрии дуги

(L) окружности радиуса R с центром в О находится источник света А; сере­ дину дуги обозначим буквой В (см. рис, 24). Куда надо направить луч света,

чтобы	он,	отразившись от				(L), вернулся			в А? От­
вет очевиден: в точку В .						Часто		говорят,	что	при
этом	действует			экстремальный				принцип	Ферма в
оптике, согласно которому луч света реализует ми­
нимум времени прохождения среди всех возможных
путей, удовлетворяющих заданным общим условиям
(в данном		примере — прохождению маршрута А -*
* (L)	Л). Однако это, вообще говоря, не так: если
точка А находится					с той	же	стороны (L), что и О,
и \A B \> R ,		как		на	рис. 24, то путь АВА реализует
не минимум,			а	минимакс		времени. В самом деле,
этот	путь	длиннее			любого		прямолинейного			пути
А В*А.	но короче любого криволинейного пути
АСВСА (рис. 24). Таким образом, принцип Ферма в
действительности имеет не экстремальный, а вариа­
ционный характер,					и на искомом пути реализуется
стационарное			значение времени					прохождения		(ко­
торое	при	некоторых добавочных условиях — нап­									минимально^,
ример, если			речь		идет	о	достаточно		коротких путях
В такой формулировке он теряет свой загадочный характер											и может быть

выведен из волновой теории света.

Аналогичный характер имеет принцип наименьшего действия, который более правильно называть принципом стационарного действия. Например, если материальная точка под действием лишь сил инерции движется по сфере, то соответствующее действие оказывается минимальным, только если точка проходит путь, не больший половины большого круга; в противном случае значение действия стационарно, но минимаксно (так как длина дуги большого круга, большая 180°, реализует максимум среди длин всех дуг окружностей с теми же концами).

Обратно, в классических ситуациях решение экстремальной задачи

является одновременно и решением соответствующей вариационной задачи; отсюда, в частности, вытекают уравнения Эйлера в вариационном исчисле­ нии. Однако сейчас в прикладных задачах все чаще рассматриваются «не­ гладкие» функционалы, для которых в точках экстремума полная вариация может отсутствовать, а также краевые экстремумы, в которых условия стационарности не обязаны выполняться. Это, конечно, вносит существен­ ные усложнения в картину, но в математике уже выработан целый ряд ме­ тодов их преодоления.

6. Дискретное и непрерывное. В реальных объектах можно за­ метить черты как дискретного, так и непрерывного, которые могут проявляться в большей или меньшей степени в зависимости от на­ правления изучения объекта [254]. После перехода к математиче­ ской модели картина обычно становится в изучаемом отношении

212	ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

отчетливо дискретной или непрерывной. Однако такое подразде­ ление не имеет абсолютного характера и при уточнении или ви­ доизменении модели дискретная картина может стать непрерывной

иобратно: то же может произойти при модификации модели в про­ цессе решения математической задачи. Таким образом, во многих задачах при составлении математической модели, а также при выборе метода решения получающейся математической задачи следует учитывать возможность применения как «дискретной», так

и«непрерывной» методики независимо от характера исходной кар­ тины. (Конечно, та или иная методика может оказаться явно пред­ почтительнее.)

Типичная ситуация возникает в задачах механики сплошной среды. По-видимому, вопрос о том, какой является среда «на са­

мом деле» — дискретной или непрерывной, лишен точного смысла и не допускает однозначного ответа. Традиционная исходная мате­ матическая модель среды непрерывная, т. е. мы принимаем, что свойства среды описываются математическими полями; впрочем, бывают случаи, когда при выводе основных математических уравне­ ний, управляющих этими полями, или при введении параметров этих полей мы вспоминаем о дискретном строении среды. Однако при приближенном построении полей с помощью решения соот­ ветствующих уравнений можно пойти разными путями, которые также можно условно подразделить на дискретные и непрерывные; по существу, здесь идет речь о типе той вычислительной модели, на которую мы заменяем исходную модель в процессе непосредствен­ ного построения решения.

Так, при применении метода сеток возникает дискретная мо­ дель. Здесь мы заменяем математический континуум на дискретную систему узлов сетки, руководствуясь чисто вычислительными со­ ображениями. С другой стороны, метод построения решения в виде суммы функционального ряда, классические варианты метода Галеркина и т. п. принадлежат к числу непрерывных в том смысле, что с их помощью решение непосредственно получается как функ­ ция непрерывных аргументов. Между этими двумя типами нет четкой грани. Например, метод сеток может сопровождаться ин­ терполяцией, тогда он будет иметь лишь преимущественно диск­ ретный характер; в то же время построение решения в виде суммы ряда или применение метода Галеркина реализуются подсчетом дискретных коэффициентов разложения, т. е. имеют и отчетливо выраженные дискретные черты. Такая взаимосвязь дискретного с непрерывным хорошо видна на примере разложения функции в ряд Фурье: задание функции непрерывного аргумента равносильно заданию дискретного набора ее коэффициентов Фурье.

Поскольку при изучении сплошной среды переход к дискрет­ ной модели на вычислительном этапе широко применяется и пока­ зал свою адекватность, то можно поставить вопрос о построении для такой среды дискретной и с х о д н о й математической модели.

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

213

приспособленной к непосредственному применению вычислитель­ ного метода без предварительного видоизменения этой модели. Такие модели действительно создавались и показали свою эффек­ тивность. Так, С. Улам описывает [317] предложенный им и Дж. Па­ ста метод численного решения задач газовой динамики, основанный на замене среды системой глобул и прослеживании их эволюции, а также метод Ф. Харлоу, основанный на замене газа конечной системой точечных частиц и подсчете числа этих частиц в фиксиро­ ванных ячейках пространственной решетки. (См. также [111].) Аналогичный характер имеет метод конечных элементов, получив­ ший в последнее время особенно большое развитие в прикладных задачах теории упругости.

С другой стороны, известны многочисленные примеры, в кото­ рых континуализация первоначально дискретной модели приносила существенную пользу. О сплошной среде мы уже говорили; до­ бавим к этому более специальный пример — операцию «размазы­ вания» часто расположенных ребер в задачах строительной меха­ ники о нагружении подкрепленных пластин и оболочек. (Аналогич­ ные соображения можно высказать по поводу любых систем, в которых изучаемые характеристики имеют не индивидуальный, а ста­ тистический характер независимо от структуры элементов, состав­ ляющих систему: это могут быть люди в демографии, звезды в кос­ мологии, электростанции, распределенные по мощности, и т. д.; см. по этому поводу также п. 4.7 и [141].)

Взаимосвязь между дискретными и непрерывными величинами широко используется для переноса понятий и утверждений, вырабо­ танных для одного из этих классов величин, на другой; примером может служить обычный вывод многих формул для материального тела на основе аналогичных формул, полученных для конечной системы материальных точек (например, для координат центра тяжести). Уже классики естествознания считали в ряде случаев целесообразным рассматривать непрерывно действующую силу как последовательность часто действующих малых ударов; в частности, именно этим способом Ньютон получил формулу для центростреми­ тельной силы при движении материальной точки по окруж­ ности.

Проявлением той же взаимосвязи является широко применяе­ мое в физике распространение математических понятий и методов, разработанных для зависимостей между непрерывными величинами и, казалось бы, необходимо связанных с этой непрерывностью (на­ пример, понятия производной), на зависимости между дискретными величинами. Тогда взамен соотношений между дискретными вели­ чинами получаются дифференциальные и другие аналогичные уравнения, методика решения и исследования которых гораздо лучше разработана; при этом решение дифференциального уравне­ ния может в том или ином смысле (например, асимптотически) правильно описывать поведение исходных дискретных величин.

214 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Этот переход в определенном смысле обратен тому, который приме­ няется в методе сеток (примеры см., например, в [130, гл. XIII).

Переход от непрерывной модели к дискретной осуществляется также, когда мы производим замену распределенной нагрузки на сосредоточенную. Поскольку при этом мы отвлекаемся от конкрет­ ной структуры нагрузки, а учитываем только ее интегральные характеристики, картина в целом обычно упрощается, иногда до­ вольно существенно. Поэтому такая замена часто оказывается це­ лесообразной, если только она не нарушает адекватности модели; например, как мы говорили в п. 4.8, если изучается влияние на­ грузки на расстоянии, значительно большем, чем диаметр области ее приложения. Но если рассматривается воздействие нагрузки в самой зоне ее приложения или в непосредственной близости от этой зоны, то указанная замена может оказаться существенно неадек­ ватной. Более того, имеются вопросы (например, связанные с рас­ смотрением контактных деформаций 44), при изучении которых до­ пущение о сосредоточенном характере нагрузок приводит к про­ тиворечию и потому неприемлемо.

Отметим, что переход от распределенных величин к сосредоточен­ ным и обратно, а также совместное рассмотрение таких величин облегчаются, если пользоваться обобщенными функциями типа дельта-функции.

В заключение упомянем о так называемых больших (сложных) системах, активно изучаемых в последние годы и занимающих как бы промежуточное положение между дискретными и непрерывными. Это системы по исходному определению дискретные, но содержащие столь большое число взаимосвязанных элементов, что описание деятельности каждого отдельного элемента становится нецелесооб­ разным или даже невозможным, а изучению подлежит эволюция блоков системы и системы в целом.

По поводу взаимосвязи непрерывных и дискретных моделей см. также [35, 228, 265, 270, 462].

7. Роль гипотезы о линейности. Можно с уверенностью сказать, что почти все реальные зависимости являются нелинейными *). Конечно, имеются зависимости, линейность которых в рассматри­ ваемой области приложений является практически достоверной с любой разумной степенью точности. Однако гораздо чаще предпо­ ложение о линейности имеет характер допущения, хотя и далеко не всегда формулируется как таковое.

*), В, Шляпентох в «Литературной газете» от 1 января 1971 г. писал: «Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает нашу жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от чув­ ства монотонности, вселяет в нас оптимизм». Правда, далеко не всегда при­ кладник радуется, когда перед ним возникает необходимость решать нели­ нейную задачу. Однако одолеть нелинейный барьер престижнее, чем линей­ ный, и возможно, что в этом состоит психологическое объяснение примера, приведенного в конце п. 5.7.

§ 5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

215

Причины широкого распространения предположений о линей­ ности имеют глубокий характер. Прежде всего во многих случаях такое предположение является простейшим, и потому бывает есте­ ственно начинать именно с него — особенно, если информация об истинном характере зависимости недостаточна. Кроме того, как известно, это предположение часто имеет вполне удовлетворитель­ ную, а иногда и весьма высокую степень адекватности. Более того, введение операций сложения и вычитания всегда опирается на некий постулат линейности.

С другой стороны, многие математические методы исследова­ ния и точного или приближенного решения уравнений наиболее, а иногда и исключительно приспособлены к линейным задачам. Это обстоятельство наталкивает на применение линейных схем даже в тех случаях, когда имеются серьезные основания ожидать или за­ ведомо известно, что реальная зависимость значительно отлича­ ется от линейной. (Так обстоит дело, в частности, для многих задач линейного программирования.) При этом надеются либо на то, что эта нелинейность не скажется существенно в изучаемом отно­ шении на результате, либо на возможность удовлетворительной компенсации погрешности путем надлежащего подбора коэффици­ ентов в линейной зависимости, либо, наконец, на возможность даль­ нейшего уточнения решения.

Известную роль играет и человеческая психология: линей­ ные зависимости обычно воспринимаются с минимальным внутрен­ ним сопротивлением, порой они как бы сами собой подразумева­ ются *) и ощущаются как естественные и «справедливые», так же как

и формула / (JC)= / (jc) для средних значений (хотя она справедлива только для линейных функций /).

Ошибки, происходящие из-за замены нелинейной зависимости на линейную, могут быть количественными либо качественными. В первом случае решение математической задачи в целом правиль­ но описывает свойства реального явления, хотя числовые харак­ теристики могут получиться более или менее существенно отлич­ ными от истинных **). Такой результат может оказаться достаточ­

*) Так, в школьных задачах обычно даже не оговаривается линейность многих зависимостей,— таких, как зависимость объема произведенной рабо­ ты от числа работающих и т. п. Это иногда приводит к явному формализму, а порой и к прямым ошибкам. Так, для задачи «Бассейн наполняется водой из крана за 3 часа, а опорожняется через отверстие в дне за 2 часа; за сколько времени он опорожнится при открытом кране?» обычный «школьный» ответ («за 6 часов») неверен: скорость опорожнения зависит от уровня воды в бас­ сейне и при понижении этого уровня уменьшается. В условиях задачи уровень воды будет асимптотически стремиться к некоторому равновесному значению, соответствующему равенству скоростей наполнения и опорожнения, так что правильный ответ: «никогда не опорожнится».

**) Впрочем, понятие «в целом правильно описывает» является сугубо рациональным, так что, за исключением самых простых случаев, невозможно установить четкую грань, отделяющую количественные ошибки от качест­ венных.

216 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

ным, если целью исследования является лишь некий качественный вывод (яркий пример — заключение об устойчивости состояния дви­ жения или равновесия на основе анализа уравнений линейного приближения). Но и в тех случаях, когда только качественный вы­ вод недостаточен, он все же может помочь в организации более точ­ ного определения изучаемых характеристик: как уже было ска­ зано, чтобы найти, надо знать, что разыскивается!

Бывает, что качественно неправильный результат получается только из-за неудачно принятых значений параметров линейной модели; тогда остается еще надежда на исправление результата путем изменения этих значений.

Однако иногда ряд наблюдаемых в действительности эффектов невозможно отразить с помощью линейной модели ни при каком выборе значений ее параметров. Это — существенно нелинейные эффекты, для их выявления линейные модели принципиально не­ адекватны. Типичными примерами существенно нелинейных явле­ ний могут служить автоколебания в а тономных системах, субгар­ моники 45 при вынужденных колебаниях, синхронизация слабо свя­ занных объектов. Важным существенно нелинейным эффектом является возникновение порогов воздействия и других сходных эф­ фектов, при которых малое воздействие вызывает в системе затуха­ ющий отклик, тогда как достаточно большое приводит к возникно­ вению некоторого незатухающего процесса или иных остаточных явлений.

Вопрос о том, какие именно — качественные или только коли­ чественные — ошибки возникают в результате той или иной линеа­ ризации, решается на рациональном уровне на основе навыков и аналогий, физических и численных экспериментов, а также де­ тальной проработки (в том числе, на дедуктивном уровне) эталон­ ных задач. Обычно для каждого нового класса задач приходится сделать немало проб и ошибок, чтобы воспитать правильную ин­ туицию в этом отношении *).

Наше обсуждение окажется неполным, если мы не отметим нас­ тораживающих признаков появления новой моды — во что бы то ни стало уходить от линейной постановки задачи, с чрезмерной нас­ тойчивостью изыскивая нелинейности в системе. Так, например,

*) Д. Хорафас [336, с. 34—35]: «...ловушкой при математическом экспе­ риментировании (имеется в виду создание и изучение математической моде­ ли.— Авт.) является пристрастие человека к линейности. Это особенно про­ является в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и допущения не были четко сформулированы заранее... Каким-то образом люди пришли к убеждению, что в окружающем нас мире преобладают линейные зависимо­ сти. Нет ничего более ошибочного».

Отметим, что существенно нелинейна человеческая личность в любом аспекте. Это заметил уже Козьма Прутков [301, с. 147]: он с явным неодобре­ нием описал, как некий господин де Графиньи, прогуливаясь в один летний день в двух черных камзолах, объяснил сей удивления достойный наряд так: «Вчера скончался дед мой, а сегодня испустила дух моя бабка! Для чего и надел я сугубый траур».

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

217

в некоторых недавних публикациях, относящихся к динамике упру­ гих вращающихся валов (роторов), краеугольным камнем постанов­ ки задачи служит нелинейная зависимость восстанавливающей силы F от перемещения г, принятая в виде

р = К г10'9.

(57)

Хотя показатель степени 10/9 довольно близок к 1, зависимость (57) в некотором смысле существенно отличается от линейной: при уменьшении перемещений г жесткость системы стремится к нулю. По этой причине в указанных публикациях формально обнаружи­ ваются некие своеобразные эффекты, к которым, как нам кажется, нельзя относиться слишком серьезно. Имеются веские указания на то, что в дейсгвительности жесткость системы при сколь угодно малых отклонениях достаточно велика (не вдаваясь в подробности, сошлемся хотя бы на существование некоторого натяга в подшип­ никах), и как бы ни были затруднительны соответствующие количе­ ственные оценки, ясно, что названные выше эффекты нельзя фети­ шизировать — они скорее результат принятой схематизации. На фо­ не ряда других неизбежных и существенных упрощений реальной системы отказ от довольно естественной замены показателя 10/9 на 1 выглядит как искусственный шаг, словно специально нацеленный на изыскание нелинейного эффекта.

Итак, всякая линеаризация требует осторожности, но и привле­ кать нелинейные соотношения без должных оснований не следует.

8. Детерминированность и случайность. Здесь можно повторить многое из того, что говорилось в п. 5.6 по поводу соотношения между дискретным и непрерывным. Принципиально невозможно гово­ рить об а б с о л ю т н о одинаковых р е а л ь н ы х объектах и а б с о л ю т н о одинаковых воздействиях на них, а потому и об абсолютной детерминированности. По-видимому, все реальные объекты и явления имеют черты как детерминированного, так и слу­ чайного (недетерминированного), которые могут проявляться в большей или меньшей степени *), так что поставленный в этом смысле вопрос «Каким является мир на самом деле?» в принципе не допускает однозначного ответа. Однако математические модели могут либо быть детерминированными, либо включать случайные

*) Отметим, кстати, что при организации элементов, обладающих не* которой недетерминированностью, в единую систему, ее общая недетермини­ рованность существенно зависит от способа этой организации. Если на пер­ вый план выступают статистические закономерности либо если структура организации подавляет влияние недетерминированности, то последняя у сис­ темы в целом может практически отсутствовать. С другой стороны, организа­ ция может стимулировать усиление (своеобразную синфазность, когерент­ ность) недетерминированности элементов, в результате чего последняя для системы в целом может оказаться выше, чем для отдельных элементов. Первый тип организации характерен для газа, кристалла, толпы, второй — для живого организма, коллектива, Возможно, что именно на этом пути можно было бы объяснить такие понятия, как «жизнь», «свобода волн» и т. п.

218 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

факторы. Мы будем здесь предполагать, что эти факторы являются стохастическими, т. е. при некотором разумном моделировании подчиняются с определенной точностью законам математической статистики; такая стохастичность может быть либо слабой (напри­ мер, если в сумме случайного и неслучайного слагаемых первое относительно мало или в случае весьма узкополосных спектров внешних случайных воздействий), либо существенной, даже опре­ деляющей *). (По поводу принципиальной роли стохастических моделей, отражающих направленность процессов во времени, см. 14911.)

За последние годы стохастические модели получили широкое распространение. Дело в том, что многие прикладные задачи яв­ ляются вероятностными по самой своей природе, а в других слу­ чаях бывает, что хотя задача допускает и детерминистскую мо­ дель, привлечение случайных компонент приводит к более адекват­ ному или к более детальному описанию реального явления. Напри­ мер, случайное воздействие иногда можно полностью игнорировать (если оно не слишком велико), в других случаях его можно учесть максимально возможным значением или принять для него какуюлибо детерминированную схему; однако наиболее естественно так и считать это воздействие случайным, т. е. принять для его описания стохастическую модель. Наконец, случайные компоненты могут быть искусственно введены в чисто детерминированную модель из-за преимуществ при решении математической задачи, например при вычислении интегралов по области сложной формы и высокой раз­ мерности по методу Монте-Карло (см.33). (О соотношении между де­ терминистскими и стохастическими моделями см., в частности, [297, с. 26—29; 340, 3691.

Существенно в прикладном отношении, что слабым звеном мно­ гих работ, связанных с исследованием стохастических моделей,— звеном, порой делающим полностью невозможным их фактическое применение,— является выбор статистических гипотез, в особен­ ности предположения о вероятностных характеристиках входных (задаваемых) случайных величин и функций. Такие характеристики часто считаются либо полностью известными (например, прини­ мается, что исходная величина распределена по нормальному за­ кону с известными параметрами и т. п.), либо доступными опреде­ лению.

Однако в реальных ситуациях чаще всего оказывается, что нужная информация отсутствует; более того, во многих случаях ситуация оказывается не стохастической, а неопределенной, дру­ гими словами, сама возможность применения статистических ги­

*) В. В. Налимов [235, с. 54): «Случайность..., как и причинность,— это есть просто одна из двух категорий, порождающих два разных языка для описания мира. В обоих случаях мы имеем дело не с представлениями, воз­ никшими как зеркальное отражение реальности, а с некоторыми абстракци­ ями, построенными над наблюдениями о внешнем мире».

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

219

потез является сомнительной. (О построении математических мо­ делей в условиях неопределенности см., в частности, 1228].)

Примечательно, что с точки зрения чистой математики подобные работы, число которых весьма велико, представляются вполне

естественными.	(Здесь сказывается различие тенденций в чистой
и прикладной	математике, причем не только в процессе решения,

о чем мы говорили в п. 2.11, но и в самой постановке задачи.) В самом деле, в теории вероятностей именно вероятностные характе­ ристики величин являются первичными, такими же, как, например, длины и углы в геометрии, так что кажется логичным при введе­ нии случайных величин считать эти их характеристики заданными. Однако целью прикладной математики является не просто на­ хождение по одним величинам других, и в частности, по логиче­ ски первичным величинам — логически вторичных, а нахождение по величинам, которые можно реально считать заданными (непо­ средственно определяемыми, т. е. измеряемыми или вычисляемы­ ми),— величин, которые такому непосредственному определению не поддаются. Поэтому при построении математической модели

вопрос о возможности и трудоемкости получения исходных данных является одним из важнейших, а порой и определяющим. В ряде математических дисциплин, таких, например, как теория диффе­ ренциальных уравнений, имеется прямая связь между логической иерархией понятий и иерархией фактического нахождения соот­ ветствующих параметров. Однако в теории вероятностей дело, повидимому, обстоит не так. Например, при рассмотрении случайной величины логически первичным является ее закон распределения; однако лишь в сравнительно редких реальных задачах этот закон можно считать известным из непосредственных наблюдений с удов­ летворительной точностью. В более далеких разделах теории, на­ пример связанных с применением случайных процессов и случайных полей, положение еще усугубляется *).

*) Это обстоятельство затрудняет, в частности, некоторые применения математики в экономике. В. Леонтьев в докладе [190] писал: «...сила стати­ стических приемов, как и экономических моделей, в свою очередь зависит от принятия определенных удобных допущений. Эти допущения относятся к вероятностным свойствам тех явлений, для объяснения которых предназна­ чены данные модели, и редко поддаются проверке.

Ни в одной другой области эмпирических исследований использование столь изощренного статистического аппарата не давало столь неопределен­ ных результатов. Тем не менее теоретики продолжают создавать модель за моделью, а математические статистики — изобретать одну сложную процедуру за другой.

Большинство их идет на свалку без какого-либо практического приме­ нения или сразу же после поверхностной апробации. Даже те модели, кото­ рые находят применение в течение некоторого времени, вскоре попадают в немилость, ибо их заменяют новые, построенные другими методами, которые далеко не лучше прежних».

Аналогичные замечания по поводу применения ряда статистических тео­ рий к биологии ьысказывает П. Оттестед [494].

220 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Таким образом, при построении и исследовании стохастиче­ ских моделей необходимо особое внимание уделять вопросу о спо­ собе установления вероятностных характеристик исходных вели­ чин. Этот способ должен входить в состав модели и, в частности, участвовать в оценке ее адекватности и простоты. В тех довольно распространенных случаях, когда указанные характеристики не поддаются детальному определению, следует искать грубые модели, которые, быть может, не дают детального описания решения, но достаточно устойчивы относительно пробелов в знании исходных данных. В этих случаях применение стохастических моделей ана­ логично математической обработке задач, включающих размытые понятия и величины (п. 1.9). Чем больше степень этой размытости, тем меньшую роль должны играть детали исходных характеристик задачи, т. е. тем более устойчивыми должны быть методы ее изу­ чения.

Конечно, высказанные здесь соображения не являются новы­ ми *). Многие разделы математической статистики специально посвящены методам нахождения вероятностных характеристик слу­ чайных объектов в реальных условиях. Мы хотели только обратить внимание читателя на фундаментальную важность этой проблемы в приложениях: необходим дальнейший анализ классов реальных задач, нуждающихся в таких методах, и дальнейшее развитие этих методов.

Неопределенность выводов, сделанных на основе стохастической модели, может усилиться некоторой произвольностью в выборе критерия значимости, на основе которого игнорируется возможность наступления при единичном испытании события, обладающего до­ статочно малой вероятностью (см. п. 2.5). (Конечно, если при веро­ ятности р<^\ производится серия испытаний, число которых имеет порядок /7-*1, то появление рассматриваемого события уже надо счи­ тать возможным, а при достаточном увеличении порядка — даже обязательным. Впрочем, это замечание не относится к чрезмерно малым вероятностям, рассмотренным в п. 2.5, так как для них р~х есть практическая бесконечность.)

Окончательной целью изучения любой модели являются доста­ точно точные описания, предсказания, рекомендации. С этой точки

*) В. И. Феодосьев [324, с. 146]: «...существует совершенно реальная угроза того, что труд, затраченный на поспешное создание математических средств предсказания потери устойчивости как вероятного события, останет­ ся напрасным, поскольку необходимые для расчета функции распределения начальных несовершенств остаются неизвестными даже в тех немногих слу­ чаях, когда их можно отнести к категории случайных параметров. Инженерпрактик затратам на изучение скоротечных функций распределения безуслов­ но предпочтет в сомнительных случаях более жесткий контроль за качеством изготовления, а то и попросту изменение конструкции».

Вопросы о выборе и анализе статистических гипотез, а также о право­ мерности применения теории вероятностей к изучению реальных процессов, рассмотрены, в частности, в книгах В. В. Налимова (233, 235] и В. Н. Туту­ балина [312—314]; см. также [7— 10, 62, 73, 430, 443].