книги / Микроструктуры интегральной электроники
..pdfX h 3t>i2 |
и |
полагая m* = 0,07m, |
<gF—<2?=0,02 |
эВ, |
т о « т с^ т р = З Х |
Х 10"13 |
с, |
d4 = 3 нм, находим |
ЬЛ^о=0,17(& |
эВ, |
G = 1 0 /^\ Таким |
образом, СР на основе GaAs может иметь нелинейные свойства.
5.5. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В СВЕРХРЕШЕТКАХ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Для полупроводниковой СР с учетом резонансного туннелирования элек тронов между мини-зонами в КЯ методом матрицы плотности рассчитан не линейный отклик электронной подсистемы на сильное электрическое поле [125]. Показано, что ВАХ СР, определяемая резонансным ауинелированием электронов между локализованными состояниями «штарковских лестниц», имеет осцилли рующий вид в полях £ :> £ *= ft/<?dCTp (тр — время релаксации квазинмпульса). Поведение резонансных пиков с ростом вероятности туннелирования носит не линейный характер и определяется как величиной матричных элементов перехо дов, так и динамикой движения электронов в мини-зонах. В качестве приме ра на рис. 5.10 приведены характерные зависимости тока от напряженности поля, качественно совпадающие с наблюдаемыми экспериментально. На рисун ке Q12 — матричный элемент координаты; ^>02i=<B>02~'-^>0i — расстояния между центрами соседних мини-зон; А — ширина мини-зоны; Тц , — продольное и поперечное времена релаксации соответственно. Увеличение ширины мини-зон увеличивает амплитуду осцилляций, что связано как с ростом вероятности туннелирования электронов между мини-зонами, так и с проявлением механиз ма, подобного механизму Ридли -Уоткинса — Хилеума в однородных полупро
водниках. Амплитуда резонансных пиков па ВАХ при |
переходах электронов |
из узкой мини-зоны в широкую существенно больше, чем |
в обратной ситуации |
(рис 5.10,а). |
|
Рис. 510. Вольт-ампер-
пая |
характеристика СР |
||
при |
следующих |
значе |
|
ниях параметров: |
eEdcJèDz, |
||
я, 0) |
Qi2/dc=0,3; |
||
jretiT1/h*io; |
ar<wxr J |
||
«10; |
Д«У2хТ=2 |
(кри |
|
вые 3--5): 4 |
(кривая 2)\ |
6 (кривая/); \£Гг/2 «2 (кривые/, 2); 4 (кри
вая 3); |
6 (кривая 4)\ 10 |
||
Кривая 5); б) |
\!2кТ- |
||
«2; Д<Г2/2хГ-=16; |
; |
||
Qt2/d1—0.3: Tjj^T |
|||
bxi-l=xT; |
#<>2î/x7=13.5 |
||
(кривая |
/); |
14 (кривая |
|
?); 14,5 |
(кривая 3) |
Наиболее ярко этот механизм нелинейности проявляется при пересечении мини-зон, что имеет место в полупроводниках p-типа проводимости, вслед ствие расщепления зоны легких и тяжелых дырок. В этом случае ОДП (рис. 5.10,6) при определенных условиях может возникать в полях, меньших крити ческого поля нелинейности Е* одноминизонной СР.
Для СР с высоким уровнем туннельного тока и различной вероятности межмини-зонного пробоя рассчитаны области усиления электромагнитных сиг налов. Показано, что электромагнитное излучение может усиливаться при вы боре рабочей точки на участках ВАХ СР с положительной дифференциальной проводимостью.
Согласно теоретическим представлениям |
(см. § 5.3), ВАХ с |
||
ОДП |
при E t должна обладать малой |
инерционностью вплоть до |
|
частот |
осцилляций Вапнье — Ш тарка |
(5.43) |
fæ e E d cJ2nb. (Е ^ E tf |
где E t — напряженность порогового поля О Д П ), которая при ха рактерных значениях параметров СР d æ 7 нм, E t& 2«104 Bi/cm соответствует субмиллиметровому диапазону длин волн (/=3,4* 103 ГГц). Тем не менее для реализации отрицательного высококаче ственного полного сопротивления структуры на основе СР необхо димо обеспечить неустойчивость волн пространственного заряда, которые в достаточно коротких образцах (типичное число перио дов в СР N æ 100) начинают эффективно затухать из-за диффу зии свободных разогретых носителей. В этой связи приведем ре зультаты исследования спектра продольных волн в одномерных СР в присутствии сильного электрического поля.
Спектр волн пространственного заряда вычисляется в приб лижении косинусоидального закона дисперсии носителей тока S =
- |
(А/2) [1—cos (pzd\/h )] + p ±/2m |
(А — ширина мини-зоны СР; р2— |
||
составляющая импульса |
вдоль |
оси |
СР; p L -поперечный импульс) |
|
на |
основе кинетического |
уравнения |
Больцмана с интегралом |
столкновения Батнагара — Гросса — Крука St = —v ( f= f 0n(z)lno) (/о — равновесная функция распределения; n(z) — концентрация свободных носителей; по — концентрация невозмущенных носите лей; V — характерная частота столкновений), учитывающим закон сохранения числа частиц J Stdp = 0. В однородном электрическом поле [ я ( г ) = л 0] используемая модель интеграла столкновений описывает отклик системы на интенсивные статические и высоко частотные поля. Метод отыскания дисперсионного уравнения в системе косинусоидальным энергетическим спектром носителей то ка близок к нахождению спектра волн в сильно замагниченной плазме. Окончательный результат
1
(5.57)
Здесь о)р== Y 4ne2n0/mzzB — плазменная частота по (5.30); т 22~ = ti/v0d — эффективная масса на дне мини-зоны СР; ü0 = Adi/2 h — характерная скорость частиц в мини-зоне; Q — частота осцилля
ций Ваннье — Ш тарка |
(5.43) в постоянном поле Е\ р = k v 0fQ\ а = |
||||
= — (©±/v)/£2; k — волновое число; 1п —1п (х) |
— модифицирован |
||||
ные |
функции |
Бесселя |
с аргументом |
x —A/2kT; |
Т — температура |
решетки; Jn (x) — функция Бесселя. |
|
|
|||
В |
пределе |
низких |
частот ©<Cv |
(v æ lO 13 с-1), малой концент |
рации свободных носителей ©2p/n/v2/o<C 1 и при слабой пространст
венной дисперсии £->-0 дисперсионное уравнение (5.57) |
принимает |
||||||||
следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|||
© - |
кол (Е) - |
i ( t j (£) 4- D (Е) k \ |
|
|
(5.58) |
||||
где |
уд(£) = ü 0/iZ //0 (1 + Z 2) |
— дрейфовая |
скорость |
частиц; |
|||||
|
(Е) = ©2р/1(1— Z2)/v /0( l+ Z 2) 2 — дифференциальная максвел |
||||||||
ловская частота; |
|
|
|
|
|
|
|||
D(E) = |
°о |
h |
, h |
(2Z2- 1 ) |
|
|
(5.59) |
||
|
|
/0 (4Z*+1> |
|
|
|||||
|
|
2v (1 + Z *)[ |
|
|
|
||||
— зависящий от безразмерного электрического поля |
Z —eEd/tiv |
||||||||
коэффициент диффузии. |
|
|
|
|
|||||
В |
области |
слабых |
полей |
Z<Cl jD (Z )«Z )0, где |
£>o = f 2o/2v(l— |
||||
—h jlo ) |
связан |
с |
линейной |
подвижностью |
СР ц0 |
соотношением |
Эйнштейна D0 —\iokT/e. Для достаточно узких разрешенных мини зон Д/2kT <, 1 относительное изменение средней энергии носителей из-за разогрева незначительно. Вместе с тем цикличность движе ния частиц в мини-зонах СР, вызванная эффектом брэгговского отражения, приводит к их пространственной локализации и. сле довательно, к падению D с ростом электрического ноля Е. В этой области значений параметра Д/2kT полевая зависимость коэффи
циента диффузии хорошо аппроксимируется соотношением |
0 = |
: = (d2o/2v) (1 -f Z2)-1. В пределе низких температур A/2kT^>l |
воз |
растание средней энергии носителей в мини-зоне с ростом поля «становится существенным и зависимость D (E) имеет характерный Жолоколообразный вид с максимумом при E æ E t = bvled, подобно *тому как это имеет место при междолинном переходе в полупро водниках типа GaAs [20].
Согласно (5.58) при условии % md(E)<0 в области волновых чисел 0 < £ < ;& Гр существуют нарастающие волны (&rp=liV D xm d)-
При Aj2kTй 1 |
(типичный для СР случай) |
и при Z > \ { È > E t) |
kTp = kD [(z2 - |
l)/(z2+ l)]'/2 , |
(5.60) |
Где kD= V 4 n e2nolskT --- дебаевское волновое число. Для образцов Конечной длины значения k в (5.58) ограничены снизу величиной рорядка 2n/L.
. Таким образом, максимальная частота, при которой может реЕлизоваться отрицательное сопротивление системы ©max~&rp(£) X
(ид (Е), где 0Д (Е) — дрейфовая скорость, имеет вид |
|
«шах = v0 kD I, Z (Z2 - l)i« //0 (Z2 + 1p . |
(5.61) |
Анализ (5.57) показывает, что при ©2p/i/v2/o<Cl учет сильной про
странственной дисперсии (J £ 1 не приводит к возникновению неус
тойчивости |
при k > k ,p. |
реализованных |
структурах |
на |
основе |
|
В экспериментально |
||||||
Ga^Ali- , As Ал |
40 мэВ, d --7 нм, п — 1016 см 3, 7= 3 0 0 К, v — 1013 с-1, |
|||||
е = 13, Аг=100, |
напряженность порогового |
поля £ (--4-1014 В/см и |
||||
дебаевское |
волновое число /eD» 2 ,3 -1 0 5 см- 1. При условии |
макси |
||||
мальной отрицательной |
подвижности |
(Z = l/3 æ l,7 ) |
величина |
|||
Л,р« 1,64-10° см-1, что соогветс!вует длине образца L ---2я/&,р» |
||||||
^s0,38 мкм, |
а |
величина |
10й с |
', что соответствует дли |
||
не волны |
?.о= 3,5 мм. |
|
|
|
|
|
Hi (5.61) следуем чю |
одним из способов увеличения сотах яв |
ляется увеличение ширины мини-зоны СРА, чго приводит к росту дрейфовой скорости vA. Другим способом является увеличение кон-
цен I рации свободных носителей (w,n,|X-v V~n). Рост концентрации (co2j)/o/vJ/n ^ 1) приводит к .модификации спектра волн простран ственного заряда (5.58) В рассмотренном примере, однако cPp/i/ vL/ 0æ0.1 и эффекты плазменных осцилляций не проявляются.
5.6.КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В СВЕРХРЕШЕТКАХ
ВКВАНТУЮЩЕМ МАГНИТНОМ НОЛЕ
Особенности кинетических характеристик одномерных СР в квантующем магнитном поле H\\z (z — ось СР) обусловлены из менением заполнения мини-зон J126]. Если движения в плоскости (х, у) и вдоль 2 независимы, то энергетический спектр электронов (спиновый момент которых полагается направленным по Я ) име ет вид
+ |
(5.62! |
где q — орбиталыю квантовое число; i — номер мшга-зоны; ov — циклотронная частота. Считаются выполненными следующие не равенства: ÎUùc>A<^;>Aî, где Д<^г - - рассеяние между мини-зона ми, А, — их ширина. В отличие от одномерных СР при Н — 0 здесь имеется система ненерекрывающихся по полной энергии мини-зон. переходы между которыми возможны только при неупругих про цессах.
Число N состояний на единицу объема в одномерной мини-зоне (т. е. при фиксированных значениях q и i) пропорционально маг нитному нолю (N=-eHlnticdc). Поэтому, изменяя магнитное поле, можно менять заполнение мини-зоны при фиксированной концент рации носителей тока п в кристалле.
При этом периодически с периодом А (Я "1) —е/пЬ cndc мини-зо ны будут после тователыю полностью заполняться (или освобож даться), т. е. будет происходить переход металл-полупроводник.
Это проявится, в частности, в квазипериодической |
зависимость' |
|
продольной |
проводимости <3гг от Я -1, которая при 7 |
—0 И H —H i-- |
--л Л endc/ei |
(/= 1, 2) должна обращаться в нуль. При Я —Я» дви |
жение в плоскости (х, у) отвечает ситуации, известной из иссле-
224
дований квантового эффекта Холла (ахх и рхж равны нулю). Р ас сматриваемые осцилляции o?z{H) имеют место и при условии Д<Г;> tlfrtc> А
5.7. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЫ В СВЕРХРЕШЕТКАХ
Расемшрим явления, связанные с распространением акустиче ских и оптических фононов в полупроводниковых СР. Одним из простейших видов мод на границе раздела (ГР) является мода, состоящая из волн, проходящих параллельно ГР, которые экспо ненциально затухают в контактирующих средах. Рассмотрим, на пример, ГР между двумя поп}'бссконечными средами, имеющими зависимые ог частоты диэлектрические постоянные ei(m) и е2(«). Считаем, что система координат начинается на границе раздела, а
ось z направлена |
в глубь одной из двух сред, например |
в среду |
с диэлектрической |
постоянной fi(c»). Волна с вектором q i |
> 0, про |
ходящая вдоль оси х, обусловливает возникновение электрическо
го потенциала |
Ф (х, |
z, t) — Г (?)ехр(iq |
х - |
Го/). Без учета релак |
|
сации (о<с^ |
С81.2) |
величина Ф удовлетворяет уравнению Л апла |
|||
са. Тогда |
|
|
|
|
|
V" {z)-- q\ |
V (z). |
|
|
(5.63) |
|
Решение (5.63) |
V(z) — V (0)exp(—q } |
|z |) . |
Граничные условия — |
непрерывность х-комноненты электрического поля и z-компоненты Смешения Dz——e(cfl) (дФ1дг)г. Первое условие удовлетворяется,
если непрерывно |
V(z) |
при z —0, а второе —• при |
ех (or) -f е2 /со) - |
0. |
(5.64) |
/равнение (5.64) определяет частоту волны.
Рассмотрим поверхностные моды в СР из слоев соединений Ct Ь С2 (толщины слоев <h и d2), в которых помимо периодичности кристаллов Ci и С2 есть трансляционная симметрия с периодом M*=di + cl2 [127]. Ограничимся модами, играющими роль в неупру- [гом рассеянии света (эффект Рамана) СР. Д ля рамановского рас сеяния видимого света первого порядка, согласно закону сохра1ёния волнового вектора, только возбуждения с волновым вектоЮм порядка 10® с м -1, т. е. вблизи центра зоны Бриллюэна (q== *0), распространяются. Периодичность СР привела к образова
нно мини зон Бриллюэна с волновыми векторами от —n/dc до Jdc. Спектры возбуждения каждой компоненты Ci и С2 формиру йся в новой (меньшей) зоне Бриллюэна, поэтому коллективные юды, которые не были активными при рамановском рассеянии ервого порядка, могут стать активными, если их новые волновые
■“ктора находятся вблизи центра мини-зоны.
Продольные акустические фононы в СР. Предполагается, что кристаллы, ИДОазующие СР, растут так, что направление z — с высокой симметрией, в ко- ■ром могут проходить продольные волны. Взаимосвязь между частотой и вол-
новым вектором продольных акустических волн при наличии поля u(zt t) вдоль оси СР получим из уравнения
д*и |
д2и |
' д12 |
(5.65) |
дг2 |
где р — плотность и с — объемный модуль упругости изотропного тела или со
ответствующая комбинация упругих постоянных для кристаллов. Величины |
pi |
|||
и Ci — в кристалле Ci |
и р2, с2— в кристалле С2. Скорость звука ü=(clç>)1^2 |
в |
||
этих |
кристаллах vv и |
о2. Колебание с угловой частотой со описывается |
реаль |
|
ной |
частью выражения u(z, t) —и (г)ехр(—/со/), и уравнение (5 65) |
можно |
||
записать как |
|
|
|
|
и- (2) + («û*/u?,2) (U/Z) = 0. |
(5.66) |
Это дифференциальное уравнение второго порядка, в котором коэффициент
(оо2Л>1,22) |
- периодическая функция |
z с периодом de в кристаллах Ci и С2— |
m2/vi2 и |
со2/ъ’22. Решение уравнения |
(5.66) должно удовлетворять условию |
и (z+ |
dc) = exp (iqz dc) и (z), |
(5.67) |
где qz — номер волны от —nde до nltfc основной зоны Бриллюэна в одномер
ной периодической структуре с периодом dc (см. рис. |
5.1). Решения уравнения |
||||||||||||||
(5.66) имеют следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и (г) = |
Ai exp (i со z/ut) |
Б, exp ( — i (ùz/vJ , |
0 < |
г ^ |
dv, |
|
|
|
|
||||||
и (z) = А2 exp (t со z/v2) + |
В2 ехр ( — i (ùz/v2), |
< |
z< |
d. |
|
|
(5.68) |
||||||||
Распределения |
u(z) |
и |
механических напряжений си(z) должны |
быть |
нс |
||||||||||
прерывными вдоль |
границ |
слоев СР. Тогда для u(z) |
и cti(z) |
при г=0, |
най |
||||||||||
денном из уравнений (5 67) |
и |
(5.68), |
и z~ d i получим четыре линейных одно |
||||||||||||
родных уравнения для Au Bu |
и В% Нетривиальное решение |
(отличающееся |
|||||||||||||
от случая Л1=В1=Л2= А 2=0) |
получим, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos {qz d) = |
cos (со dj/o,) cos (соdjiu) —[(1 + a2)/2a] sin(co dxfv^ sin (cod2/v2) , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.69) |
|
где a = (ciüj/cayi) = |
(pi^i/p2^2). |
Это |
уравнение |
позволяет определить |
взаимо |
||||||||||
связь между частотой и волновым вектором qz |
При |
(cod1,2/01,2) |
1 |
и qzd<. 1 |
|||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d:2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
(5.70) |
||
СО4 ' Яг d f i . ■+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
v1v2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
L |
■? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если aæ l, cùœqzVa, где va —средняя скорость звука, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
va xd |
..-1 |
^1 + |
02 1^2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.71) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если a = l, |
то решение уравнения |
(5.69) есть |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2nnva |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5Л:>) |
||
© « — “— ±qzva> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n = 0, |
1, 2,... Эго решение верно при O^qz^xfdc |
(при я= 0 |
отрицательным |
||||||||||||
знак в ±qzva |
опускается) |
и со(—qz) = со(?г). Частотный спектр |
схематичесгн |
||||||||||||
изображен на рис. 5.1L Бегущая волна появляется, если происходит совмепш |
|||||||||||||||
ние частотных спектров |
акустических фононов в кристаллах Ci |
и С2. Это |
по» |
Рис. 5.11. Дисперсионная |
зависимость |
со |
|
||||||
от nfdc согласно |
(5 69) |
|
|
|
|
|
|
||
воляет |
рассматривать |
фононные |
состоя |
|
|||||
ния, используя методику анализа элек |
|
||||||||
тронных уровней в периодическом потен |
|
||||||||
циале |
Отмегим, |
что |
аналогия |
с |
уравне |
|
|||
нием Шрсдингера не полная, так как в |
|
||||||||
электронной задаче волновая |
функция и |
|
|||||||
ее производная непрерывны, в то |
время |
|
|||||||
как принята |
непрерывность механического |
|
|||||||
напряжения и |
поля. Уравнение |
(5 66) |
при |
|
|||||
обретает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
UT (z) + |
U (z) и (г) = |
(ю*/о| ) и, |
(5 73) |
|
||||
где U—Uiy2(2) — о)2(ua“'t—t>i,2“2) в |
областях |
I п 2 Если рассматривать U(z) |
|||||||
как возмущение, то спектр на рис |
5 1! изменится. Наиб лес значительные из |
||||||||
менения происходят при значениях |
qz, когда |
с>ществует вырождение Следова |
|||||||
тельно, щели в спектрах фононов |
появятся при qz—0 и ±n/dc (см. штрихо |
||||||||
вые линии на рис |
5 И) |
Если а» 1 при qz~ О |
|
||||||
Дш — 2 \\--a\Vg |
|
|
|
|
|
(5.74) |
|||
|
|
d( |
|
|
|
|
|
|
|
для /2=1, 2, |
При qz^n/dç |
|
|
|
|
||||
ДСВ= 2 11— а |
cos |
|
|
|
|
||||
|
|
de |
|
|
{_г7 ? " ( п + _ 5 ') [ т ! -------(5'75’ |
Оптические фононы на границах раздела слоев в СР. Аналогичное рассмо трение возможно при описании оптических фононов в СР ионных твердых тел. В этом случае движение ионов не приводит к макроскопической деформации. Напомним, что частоты поперечных и продольных оптических фононов при q=0
в объемных |
кристаллах являются полюсами и |
нулями |
диэлектрической |
функции е(<о). |
Коллективные моды могут быть двух |
типов. |
Один тип — обыч |
ные колебания, подобные оптическим фононам в объемных кристаллах. Когда Частотные спектры двух компонент СР (кристаллов Сх и С2) не совпадают, появляются колебания, локализованные в отдельных слоях. Они называются изолированными («ограниченными») оптическими фононами. Второй тип мод в Периодической структуре — поверхностные моды на ГР между двумя матери алами с различными диэлектрическими постоянными. Рассмотрим СР из кри сталлов Ci и Сг, диэлектрические постоянные которых ei(o>) и 82(со) зависят От частоты. Без учета затухания электрический потенциал удовлетворяет ус ловию У2Ф=0, Взяв направление z вдоль оси СР, найдем решение уравнения
'Ч виде |
|
/ = V(г) exp [i {qx х — со t)], |
(5.76) |
де ось х — произвольное направление, параллельное слоям; |
q JL— волновой век- |
ip поверхностной волны. Это приводит к уравнению |
|
d2 v/dz2 — ^ V= О, |
(5.77) |
227
o = A1z ‘lZ + B ie 9j-Z , |
0 < z < d ,; |
o = i42e5J-z + 5 2e-4,J-z , |
(5.78) |
rf, < z < d, -f- d2 = d. |
Граничные условия — непрерывность Е*= ~дФ/дх и Dz= —edф/дг на |
каждой |
ГР. Эти условия, применимые при z= 0 и z=di для |
|
V(г -f d) = exp (i qzdc) v (г), |
(5.79) |
приводят к системе однородных линейных уравнений для Лх, Ви Л2, Вг. Ре шение, отличающееся от случая Л[=б1=Л2= В 2=0, существует только при
где t]= 8i(to)/e2((o). Отметим, что уравнение (5.80) можно рассматривать как уравнение второй степени по т) и найти зависимость возможных частот от qz и q Для СР, состоящей из двух полупроводников (CdTe, GaAs,...),
e (м) = eeo (ш*— ш|0)/(юг — ш%), |
(5.81) |
где еоо — оптическая диэлектрическая постоянная, ь>ы и cuto |
-- частоты про |
дольных и поперечных оптических фононов (при больших |q|). Если в полупро воднике По — концентрация носителей заряда с эффективной массой т ', в урав
нении для е(о>) добавляется член |
• 4ппое2/т г |
|
|
Для qz вблизи центра мини-зоны (q*d»l) и |
qLdi,2<Cl (единственная мода, |
||
определяемая из |
экспериментов по рамановскому рассеянию) уравнение (5 80) |
||
дает |
|
|
|
ех (ш)/е2 (ш) = |
—d,/d2 или |
—d2/dx- |
(5.82) |
Следовательно, эги моды наблюдаются на частотах, когда гДсо) и е2(ю) имеют противоположные знаки.
Фононы с волновыми векторами qz (5.72) в центре мини-зон Бриллюэна (см. рис. 5.1) проявляются в резонансном комбинаци онном рассеянии. В сверхрешетке GaAs/AlAs с периодом 2,5 нм наблюдались четкие линии продольных акустических фононов с частотами 63,1 и 66,9 см-1. Эти моды соответствуют колебаниям слоев сверхрешетки друг относительно друга. Время рассеяния фононов 10-11 с. Благодаря периодичности СР в спектре фононов образуются щели при волновых векторах qz=- (2 n + l)n fd c. Это про является в селективном отражении фононов сверхрешеткой. М ак симально отражаются фононы с длинами волн (условие Брегга) % =2de. Фильтрующее действие сверхрешеток GaAs/Alo.sGao.sAs наблюдалось экспериментально и может использоваться для соз дания фононного спектрометра. Так, сверхрешетка GaAs/ Alo.sGao sAs с периодом 12,2 нм является фононным фильтром для частоты 2,2-1011 Гц с шириной линии 0,2 -1011 Гц. Отметим, что высокочастотные фононы с длинами волн 10 нм проходят без заметного ослабления через сотни поверхностей раздела компози ционных сверхрешеток, если идеальны поверхности раздела.
5.8. МАГНИТОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЫ НА ГРАНИЦАХ СЛОЕВ
ВСВЕРХРЕШЕТКАХ
ВСР со слоями, содержащими магнитные ионы, возможно воз буждение спиновых воли, подобное поверхностным модам (§ 5.7). Для СР, каждая компонента которой содержит различную кон центрацию магнитных атомов, волны перемагничивания рассмот рены в [127]. Если пренебрегать эффектом затухания, то магнит ные поля описываются уравнениями магнитостатики, а именно:
V X H = 0, v - B = 0, |
(5.83) |
где Н = В—4яМ. При таких условиях через магнитный скалярный потенциал Фм можно определить интенсивность магнитного поля Н = —УФ„. Следовательно,
у 2Ф„ = 4 я у -М . |
(5.84) |
Предположим, что существует внешнее магнитное поле H 0z, парал лельное оси СР. Рассмотрим моды перемагничивания, в которых составляющая М, параллельная г, постоянна, а составляющая в плоскости слоев колеблется гармонически с угловой частотой о, т. е. М = М02 + М 1 ехр(—Ш ). Уравнение движения моды — урав нение Блоха
(5.85)
где магнитное поле Н = Нга + Н 1 ехр(—tcot); у — гидромагнитное отношение для материала. Взяв и Н а малыми, получим линеаризованное уравнение (5.85):
— |
= у М 02Х Н х -1-у#г Мх х,г. |
(5.86) |
||||
Решив это уравнение для М х , получим |
|
|||||
м _ |
у2 Нг М0 |
н |
( *®уЛ*.*ХНА |
(5.87) |
||
|
о)2 — у2 Н\ |
|
|
й>2 — у2 Н\ |
||
|
|
|
|
|||
Подставив его в (5.84) получим |
|
|
||||
у * ф „ - |
4nr2//z^ |
V - H I( |
|
|||
так что |
|
ш2 —у2Я| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц(0>) Г тф м |
н д2фм 1 4 д*Фм |
- 0, |
(5.88) |
|||
Р W |
1- дх* |
ду2 |
J |
дг* |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
(со) = 1 — (4лу2 Hz М0)/(О)2 - |
у2 Щ ). |
|
||||
Теперь исследуем моды |
|
|
|
|||
Фм = |
Y (г) ехр [i (qx x + qyy )-i< a t]. |
(5.89) |
||||
Функция T(z) описывается уравнением |
|
|||||
d* Y/cfe2 — |
= 0 |
|
|
|
(5.90) |
229
с Я2х—Я2х+Я\. |
Решение уравнения |
(5 90) |
следующее: Чг(г) =,4expQ2-|- |
|
+Вехр—Qz, где |
Q = |x1/2(?i. Для СР |
С Hi (о) |
И |Л2(ю) В слоях ТОЛЩИНОЙ di |
|
и d2 |
|
|
|
|
¥(г) = Л1е«»г + В1е - ^ г> |
O s S z s ^ , |
|
||
Т (г) = А2 е<2‘ 2 + Вге“ 0. г, |
dx< ,z ^ d v+ d3 = d. |
Условие непрерывности тангенциальной составляющей Н эквивалентно условию непрерывности Фм и, следовательно, 'F. Зависимая от времени нормальная ком понента В есть —дФмjdz и также непрерывна. Кроме того, как и для оптиче ских и акустических фононов (§ 5.7), ^(z) подчиняется блоховскому условию для волнового вектора qy вдоль направление 2: dc) —exp(iqxqc)xY(z).
Это условие приводит к
cos (qz — d) cosh (Qx d±) cosh (Q2 d2) +
+ [(l + kl)/2k0] sinh (Q, d{) sinh (Q, d2),
где ^o= [j.ii((o)/p,2(cù)]1/2. В антиферромагнитной фазе магнитного полупровод ника (например, в струкзурах Cdi xMnTe/Cdi-JViriyTe) изменение соотношения между М х и Н х может быть объяснено следующим образом. Если предпо ложить, что существуют только две группы ионов Мп2+, магнитные моменты которых имеют противоположные направления, то результирующая намагни ченность атомов этих двух групп есть МАи М2. При равновесии Mi+M2=0. Однако в магнитном поле, описываемом уравнением (5 85), Mi, М2 изменяются согласно
д МJdt = |
у MjX(Н — Я М2 + На), |
|
д fAJdt = |
у М2Х(Н - Я Мх - |
На). |
Здесь ЯМ!,2 — напряженность |
обменного поля между атомами групп 1 (2) и |
2(1); На— напряженность магнитного поля анизотропии. Для упрощения об суждения возьмем Нд, параллельное Hzz. Тогда
Мх = М0 z-f Mj ± exp ( — tot), |
М2 = — М0 г -f М2 ± exp ( — tot). |
|
||
Если обозначить напряженность обменного поля как //в = ЯМ0, то |
уравнения |
|||
Блоха имеют вид |
|
|
|
|
— io)MljL =в уМп^ХН^ — уН£ 2ХМ21 — у (Н0 — НЕ + Н&) гХЩ |
(5.91) |
|||
— гюМ2х = — |
+ yHj&2XMj х — у(Н0 — НЕ ~ #а)*ХМ21 (5.92) |
|||
(с сохранением только членов в М х и Н х) . |
|
|||
Теперь определим |
м х~ Mi j.+ ^ 2 1 через Нх . Это достигается |
суммиро |
||
ванием и |
вычитанием |
уравнений |
(5.91) и (5.92) и исключением Mix —М2х. |
|
Получаем |
Ьс |
ас . |
„ |
|
М, « |
|
|||
---------Н, + — |
|
|
||
1 |
а2 + Ь2 1 |
а2 + £2 |
|
|
где |
|
|
|
|
а = 2/ ©у Нг> |
— о>2— у2 |
+ у2 Н^-\- 2у2 Яа Я£ ; |
|
|
с = 2у2 М0 Яа. |
|
|
|