книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

обладающие указанным свойством упорядоченности, этого инте­ грала, недостаточно для представления поля, его необходимо до­ полнить интегралом второго рода, охватывающим неупорядочен­ ные пары.

Интегральные представления полей на основе первого подхода аналогичны представлению (1.4.7) для процессов с добавлением операций по г. Для модели (1.4.30) с учетом (1.4.31) такое пред­ ставление имеет вид

/	t
x(t, r ) = f f rx(x, г)< * +	[G-ft. r)dW (i, г).	(1.4.37)
^О	^0

Второй подход в общем случае приводит к весьма сложной мо­ дели, включающей в себя наряду с обычными интегралами Лебега и стохастическим интегралом Ито (первого рода) интегралы вто­ рого рода [196, 200 и др.]. Ее практическое использование в зада­ чах моделирования каналов и обработки сигналов [116] пока на­ талкивается на ряд трудностей. При решении задач фильтрации и обнаружения сигналов в- ПВ каналах иногда можно ограничиться сравнительно простым частным видом этой модели, включающим в себя лишь интегралы первого рода [199]:

	ь
dr x{r) = a(r)x(r)dr1-{-^$(r, s)x {rv s)dsdr1+
	а
	b
+	[ Y(r. s)W {drlt ds),
	a
где a(r), p(r, 5 ), у(г> s)	— некоторые детерминированные функции.

Аналогичное уравнение можно записать по второй координате.

В заключение кратко рассмотрим важный вопрос о марков­ ских свойствах случайных полей, определенных записанными вы­ ше уравнениями. Эти свойства, как уже отмечалось в разд. 1.3.2, тесно связаны с возможностью представления СДУ, порождающих поле, в форме уравнений состояния.

Простейшая параметрическая модель (1.4.26) порождает поле, являющееся совокупностью некоррелированных между собой мар­ ковских процессов, наблюдаемых в различных точках заданной области пространства, и, таким образом, не требует какого-либо обобщения понятия марковости.

Модель (1.4.30) уже менее тривиальна. Из-за наличия «прост­ ранственной динамики» (производных по г) в этом случае состоя­ ния уже нельзя задавать независимо в каждой точке. Состояние в момент ^-согласно трактовке, изложенной в разд. 1.3.2, опреде­

ляется	функцией x (/f, г)= х< (г), где reQ . Например,	для поля
с одной	пространственной координатой г е ( — оо, оо)	состояния

задаются на прямых (см. рис. 1.4). Таким образом, векторное поле х (/, г), порождаемое СДУ (1.4.30), можно считать марковским по

времени в смысле выполнения условия, налагаемого на функцио­ нал плотности вероятности,

^ [ * ^ ( 1"), tN\xN- \ (г), Чк—ь •••» «о(г), ^о] =

=oy[xw(r), *лг |хлг-i (г)» fo-i], reQ,

что, по существу, означает, что и здесь г играет роль параметра. Используя преобразование координат, описанное в разд. 1.3.2,

можно ввести понятие поля, марковского относительно системы кривых (контуров), изображенных на рис. 1.5,6. Одно из возмож­ ных применений такой модели в задачах оценивания полей рас­ смотрено в [63].

Наиболее общим является понятие марковского поля, введен­ ное в последние годы в работах [42, 117, 169 и др.]. В основе его лежит трактовка понятий «будущего» и «прошлого», используемых при определении марковского свойства, как внешней и внутренней областей множества относительно некоторой границы. Точная фор­ мулировка требует привлечения математического аппарата, кото­ рый выходит за рамки используемого в этой книге. Марковским в указанном общем смысле (при некоторых несущественных огра­ ничениях) является любое случайное поле, порождаемое СДУ ви­ да (1.4.33) с дифференциальными операторами (1.4.34) [117].

1.5. ОСОБЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ РЕАЛЬНЫХ КАНАЛОВ

1.5.1. Рассеяние по времени и частоте

Для большинства реальных каналов связи характерно рассеяние передавае­ мых сигналов во времени. В проводных каналах оно обусловлено неидеальностыо частотных характеристик самой линии и отражениями сигналов при наличии мно­ гих участков переприема, в радиоканалах — многолучевым характером распро­ странения радиоволн. Нередко возникает, особенно в радиоканалах, и рассеяние по частоте, причинами которого являются изменения параметров канала во вре­

мени, перемещения		областей отражения сигналов,	а в системах подвижной
связи — и	взаимные	перемещения приемника и передатчика. В ПВ каналах,
кроме того, имеется пространственное рассеяние [54, 56—58, 75, 76, 138].
По перечисленным причинам каждый элемент сигнала, имеющий на передаче
длительность Т и полосу частот F, на приеме имеет иные, большие значения этих
параметров:		Та=Т+АТ, Fa=F+AF,
где АТ— максимальный интервал рассеяния сигнала			во времени; ДF — макси­
мальное	рассеяние	по частоте.

Например, в высокоскоростных последовательных системах передачи дискрет­ ных сообщений интервал временного рассеяния в непрерывном канале АТ может существенно превышать длительность Т передаваемых элементов сигналов, что при отсутствии защитных интервалов и использования сигналов с малой базой Bc=2FT (порядка нескольких единиц) приводит к межсимвольной интерференции [56, 58]. Дискретный канал, организованный на основе такого непрерывного ка­ нала, оказывается каналом с памятью.

Что же касается интервала частотного рассеяния, то в большинстве каналов связи он не превосходит занимаемой полосы частот, как правило, AF<&F.

42

Обобщенной характеристикой рассеивающих свойств канала служит так на­ зываемый фактор частотно-временного рассеяния k—AFAT.

По этому признаку каналы, используемые в системах связи, как правило, относятся к каналам первого рода, для которых [146]. Так, для каналов дальней проводной связи с большим числом участков переприема Д7^15-10-3 с, AF=10-3— 10-4 Гц и, следовательно, &^15-10_6. В радиоканалах декаметрового диапазона с многократным отражением волн от слоев ионосферы АТ достигает 3*10-3 с, в то время как частотное рассеяние 'А/7, характеризующее скорость за­ мираний, в обычных условиях1 не превышает 5 Гц, так что &^15*10-3.

Врадиоканалах с тропосферным рассеянием £^10-4, с ионосферным рассея­ нием А^Ю -3.

Воткрытых (атмосферных) оптических каналах со слабым рассеянием А г^Ю-9 с, AF^slO Гц, т. е. fe^lO-8. В условиях сильного рассеяния (туман, дождь,

дым, некоторые подводные оптические каналы) АТ может достигать 10-5 с и при указанном AF получается &^10-4. Для закрытых (стекловолоконных) опти­ ческих линий характерны значения ДГгз=5(Ы0_9 C / K M , AFs^lO-4 Гц, при которых fos5-10-12 [58].

Некоторые гидроакустические ультразвуковые каналы имеют фактор рассея­ ния около 1, т. е. относятся к каналам второго рода.

Таким образом, при моделировании большинства реальных каналов необхо­ димо принимать во внимание рассеяние по времени, частоте, а иногда и про­ странству, иначе говоря, рассматривать их как некоторые инерционные нестацио­ нарные, в общем случае пространственно-распределенные динамические системы. Соответствующие формы представления отображения вход — выход подробно описаны в § 1.3.

Кроме того, как следует из сказанного выше, характеристики многих реаль­ ных каналов случайным образом изменяются во времени. Практически во всех каналах присутствуют аддитивные помехи. Вопрос о вероятностных свойствах этих случайных процессов или полей имеет важнейшее значение, и его необходимо рассмотреть особо.

1.5.2. Статистика случайных сигналов и помех в реальных каналах связи

В большинстве систем связи на передаче используют сигналы вида

м (/)= {/(0 cos [cooH-e(0],	(1.5.1)
где ©о — средняя частота; U{t) и 0 ( /) — соответственно амплитуда	(огибающая)

и фаза, изменяющиеся по сравнению с колебанием частоты ©о» как правило, на­ столько медленно, что сигнал u(t) можно считать узкополосным. Таковы, в част­ ности, сигналы обычной амплитудной, частотной или фазовой модуляции и их разновидностей. В этом случае при многолучевом распространении сигналов, ха­ рактерном, как уже отмечалось, для многих реальных каналов (в частности, ра­ диоканалов) каждая из скалярных компонент выходного сигнала s(/, г), как это ясно из (1.2.3) и (1.2.21), даже при заданном на входе скалярном сигнале

1 В условиях магнитных бурь скорость замираний в рассматриваемом канале резко возрастает и фактор рассеяния k может приближаться к единице.

43

( m = l ) имеет вид

N

Si (t, O - E U (t— Tv) (hxvi (t, r) cos К t + 0 (t — Tv) — co0<cv] +

V = 1

4- V £ (*, r) sin [to0f + 0 {t — tv) — <O0T:J} =

N

г) u(*— \) cos l®o* + ?vt (*. г) -H 0 (/ — Xv)], i = 1, 2....... />, (1.5.2)

v= l

где xv — среднее время задержки v-го луча, которое в большинстве реальных ка­

налов меняется значительно медленнее, чем сами сигналы, допускает простое

измерение		и потому	может считаться известным в месте приема [54, 58];
hX4i	г)>	hyHi (f, г)	— квадратурные компоненты передаточной функции канала

по /-й скалярной компоненте выходного сигнала в v-м луче (медленно меняю­

щиеся по сравнению с колебанием частоты оо0) ; Yv/ (*>			г) — модуль	той же пере­
даточной	функции (относительно	которого делается	аналогичное	допущение);
г)	— суммарный фазовый	сдвиг в i-й компоненте v-ro луча; N — число

лучей в канале, обусловленное его физическими свойствами.

При использовании представления (1.5.2) следует учитывать, что сигнал на передаче u(t) имеет конечную длительность Г, соответствующую длительности передаваемого им сообщения или его элемента (например, отдельного символа), поэтому U (t)= 0 при f< 0, t>T.

Как правило, каждый из лучей сигнала в (1.5.2), в свою очередь, является результатом наложения многих компонент (подлучей), разность задержек кото­ рых в канале Тпл<^1/Л где F — полоса частот передаваемых сигналев. В усло­ виях флуктуаций это условие порождает так называемые неизбирательные (не­ селективные) по частоте замирания сигнала. Разность же задержек лучей в (1.5.2) может оказаться соизмеримой с 1/F, что при флуктуациях среды рас­ пространения порождает так называемые избирательные (селективные) по часто­ те замирания сигналов. Для подавляющего числа каналов проводной и некото­ рых каналов радиосвязи в (1.5.2) можно ограничиться одним слагаемым (одно­ лучевая модель канала). Для большинства же каналов декаметрового и метро­ вого диапазонов чаще всего для N можно принять значения 2— 4. Тем не менее существует немало каналов радиосвязи, в которых приходится учитывать десятки и даже сотни весомых компонент лучей. Более того, для некоторых каналов с памятью, в том числе и проводной связи, приходится считаться с непрерывной многолучевостью (N->oo), и в этом случае отображение вход — выход в канале удобнее характеризовать введенными выше непрерывными системными характе­ ристиками. Для стохастических каналов радиосвязи число существенных компо­ нент N в (1.5.2) является случайным.

В некоторых каналах как проводной, так и радиосвязи с медленными изме­ нениями параметров квадратурные компоненты можно считать детерминирован­ ными в области анализа поля [0, 7а] Х& (где Q — пространственная область анализа), имея в виду, что их оценивание производится при больших энергети­ ческих отношениях сигнал-шум или на больших интервалах усреднения.

Чаще всего, однако (и прежде всего в каналах радиосвязи), канал прихо­ дится считать стохастическим с той или иной вероятностной моделью для полей

44

^JCVX (tу (^» О (т* с . д л я системной характеристики канала). Учитывая, что

эти компоненты во многих кэнэлэх обрэзуются суммировзнием большого числз слзгземых (подлучей) в условиях, когдз выполняются требовзния центрзльной предельной теоремы теории вероятностей [106], их (при дзниом v) можно считзть неззвисимыми, в общем случзе неоднородными гэуссовскими полями с матемзтнческими ожидзниями и корреляционными функциями для кзждой i-й ска­

лярной компоненты поля тхч1 (/, г), туу. (/,	г), KX4i (tv t2, г„	r2), Kyvi (/,, t2,
ri, Гг). Неззвисимость (некоррелировэнность)	обеспечивэется	соответствующим

поворотом системы координзт. Это тзк нззывземзя общая гауссовская модель

канала	[57,	58].
Исходя из физических сообрзжений и экспериментзльных дзнных, чзще всего
можно считзть, что			коэффициенты корреляции у квздрзтурных		компонент одина-
ковы:	(<„	t2, г,,	r2) = Ry,i (tv t2, г,, r2) =	(/,, t2, rv	г2), причем для од­

нородных полей они удовлетворительно аппроксимируются экспоненцизльной функцией по переменным t2—1\ и г2—п.

Таким обрззом, общая гауссовская модель по каждой		из	скалярных компо­
нент v-ro	луча описывается параметрами mxvi (i, г),	ту	. (t,	г),	oaxvi (t, г),
о 8/vJ. (/, г)	(дисперсии квадратурных компонент) и R„i(tv	/ 2, гр		г2)	(коэффициент

корреляции по времени и пространству). Взаимная корреляция скалярных ком­ понент сигнала (с различными индексами i) и сигналов разных лучей (с раз­ личными v) должна оговариваться особо. Для многих реальных каналов связи ее можно не учитывать.

Далее индексы i и v, указывающие	на принадлежность компонент переда­
точной функции определенной скалярной	компоненте выходного сигнала и опре­
деленному лучу, для упрощения записи опущены и обозначено:		/Txv£ (^, г ) = х ,

V / (*» г>= У-

В рамках описания одномерными распределениями вероятностей рассмотрен­ ная модель характеризуется совместно гауссовской четырехпараметрической плот­ ностью вероятности

	1		[* — mx (t,	г)]2	[у — my (t, г)]2 \
Ю* <*• Л = 2*,х (<,	г) </, г)	ехР \	2«!, ((,	г)	2<з*у((, г) Г
					(1.5.3)
Четырехпараметрическое распределение модуля каждого из элементов пере­
даточной матрицы (и	амплитуд	сигналов) у = V хй-+- у2 и			Фаз <p=arctgy/.v
определяется при этом более сложными формулами
ИУ,				2о=	J X

1 Известно несколько формул четырехпараметрического распределения ампли­ туд [57, 58].

45

wi(v) — 2n(a2tfcos2 .

X { l + K ^ * exp К2[1 + Ф (У 2 К )]},

(1 .5 .4)

где

° 2t/ — « 2х	cos ?,nx°2y + sin
	(1.5.5)
Экспериментальные данные no	замираниям в радиоканалах различных диа­

пазонов подтверждают возможность удовлетворительной аппроксимации распре­ делений амплитуд и фаз как общим четырехпараметрическим законом, так и его

частными случаями. Основные из них следующие.
1. Трехпараметрические замирания ( т х= 0 ).	(а2* = а 21/= а 2, т2х-\-
2. Райсовские (обобщенно-рэлеевские) замирания
+m2v# 0 ).
3. Подрэлеевские замирания ( т х= т „ = 0). Наиболее	глубокие замирания

в рамках этой и более общих моделей соответствуют случаю одностороннего нормального распределения (тх= т у= 0, о2х= 0 ).

4.	Рэлеевские замирания	(тх—ту= 0, a2x-j-cr2v= a 2).
5.	Канал без замираний	(a2x= a 2v= 0 ).

Следует подчеркнуть, что в рамках четырехпараметрической (общей гауссов­ ской) модели замирания амплитуд и фаз сигнала оказываются коррелированны­ ми что подтверждается экспериментальными данными для различных радио­ трасс.

Что же касается параметров тх, ту, о2х, а2у указанной модели, то в по­ давляющем большинстве реальных каналов связи их можно считать не завися­ щими от t и г.

Скорость замираний квадратурных компонент x(t, г) и y{t, г) по времени и пространственным координатам в общей гауссовской модели определяется харак­ тером коэффициентов корреляции R(ti, t2, г,, г2). Большую часть каналов связи, удовлетворительно описываемых этой моделью, можно отнести к категории кана­ лов с медленными (неселективными) замираниями во времени и неселективными

замираниями в пространстве,	когда	коэффициент	корреляции R(tu	t2, гь г2)
в области анализа [0, Та]ХП	близок	к единице.	Противоположная	ситуация,

когда компоненты сигнала x(t, г), y{t, г) дельта-коррелированы во времени и

пространстве, для систем	связи не характерна. Это означает, что модель		(1.5.2)
в области анализа характеризуется 2N случайными		гауссовскими величинами
H*v ( t, г), Hyv(t, г) (v =	1, 2, ...,N ).
В работах [58, 146,	182 и др.] для замирающих	амплитуд отдельных	лучей

и сигнала в целом принято и обосновано так называемое т-распределение, или

распределение Наказами,

(1 .5 .6 )1

1 Исключением является чисто рэлеевский канал, для которого ш2(у» Ф) = (у/2яо2) ехр (—у2/2 а2).

46

где а и	m j^ l/2 — параметры распределения;	Г ( т ) — гамма-функция. Параметр
а = W	выражает среднеквадратическое значение амплитуды у,		а т—
=ак/(у2—а2)2— отношение квадрата средней		мощности замирающего	сигнала

к дисперсии его мгновенной мощности, т. е. характеризует глубину замираний. Такой вид гец (у) был получен теоретически для распределения неотрицательной функции многих случайных аргументов и экспериментально подтвержден при испытаниях на различных радиотрассах [58, 182]. Распределение Накагами удов­ летворительно аппроксимирует некоторые области четырехпараметрического рас­ пределения, но, разумеется, не может передать все тонкости последнего. Эти

распределения тождественны лишь в трех частных случаях:
1. Односторонне		нормальные		замирания		амплитуд (m*=mv= 0,	о2х=0,
т= 1/2.			(mx= mv=0, a2x= o 2v= a 2, m = l).
2.	Рэлеевские замирания
3.	Канал без замираний		(о2х= о 2у=0,		т-+оо).
В	многолучевой	модели	(1.5.2)	фазы	<р.л-	даже в тех случаях, когда	учиты­

ваются не только свойства канала, но и случайные флуктуации фаз опорных ге­ нераторов в тракте передачи, с хорошим приближением к практике нередко

можно считать независимыми от амплитуд и равномерно		распределенными:
ш(<р)=1/2я;, —		(1.5.7)
Распределение квадратурных	компонент х=у cos ф,	у=у sin ф (а следова­
тельно, и сигнала s,(/, г) в целом)	определяется при этом	распределением ампли­

туд. Аппроксимируя последнее четырехпараметрическим законом или распреде­

лением Накагами, получают широкий набор	негауссовских1 моделей для	поля
s(/, г).
Так, если у имеет плотность вероятности	(1.5.6), а фаза распределена	рав­
номерно, то совместная плотность

*("'> (Ухг + уг) _ щт(Xs у2)т- 1

" • Ы » -	2п V ха + уг......................*Г (m) (чаГ" « Р						(1.5.8)
а каждая из квадратурных компонент имеет распределение
	w (»«/2-l/4)	ех р ( т г 2/2^2)	^ п -1 .5		tmzi	\
W W =	У ъ	Г (/И) (Y 2)"*/2-	1^	Г т - 0 ,5	. т -0 .5 V Y2	) '	( 1 5 - 9)

где Whp — функция Уиттекера [128].

В каналах радиосвязи наблюдаются медленные замирания, имеющие неинтер­ ференционную природу, и, следовательно, их статистика не может быть объясне­ на центральной предельной теоремой теории вероятностен (таковы, например, абсорбционные замирания радиосигнала). Многочисленные эксперименты под­ тверждают, что при медленных мультипликативных флуктуациях возможны более глубокие замирания амплитуд относительно долговременных среднеквадра­ тических (медианных) значений, чем те, которые следуют из четырехпараметрнческой модели при интерференционных замираниях. Другими словами, наблю­ даются замирания более глубокие, чем при одностороннем нормальном распре­ делении амплитуд.1

1 Гауссовская модель получается только при рэлеевском распределении амплитуд.

47

По многочисленным экспериментальным данным распределение амплитуд при медленных (часовых и более продолжительных) замираниях удовлетворительно описывается логарифмически-нормальным распределением

			ехр	(In Y — '«„)*
	(ч) =	V 2™2м		(1.5.10)
			[ -	2а 2м
где	т м, 0м — соответственно	математическое		ожидание и дисперсия величины
In у	(параметры распределения).
	Для моделирования каналов связи помимо закона распределения замираний
важно знать возможные значения их			интервала корреляции тКор. Замирания

в радиоканалах декаметрового диапазона, описываемые четырехпараметрическим или m-распределениями (при т = 0 ,5 — самые глубокие), имеют TKOp в пределах 1— 10 с. В каналах с тропосферным рассеянием наблюдаются примерно такие же замирания с тКор около нескольких секунд, «о возможно и тКор=0,1 с. Для мед­ ленных (абсорбционных) замираний, описываемых логнормальным распределе­ нием (см. выше) характерны значения тКОр= 10 мин. Более детальные све­ дения можно найти в [25, 26, 54, 57, 58, 99, 146].

Разновидности аддитивных помех, чаще всего встречающиеся в реальных ка­ налах связи, обычно подразделяют на три группы:

1) помехи, распределенные по частоте, времени и пространству (гладкие шумы), обусловленные внутренними шумами аппаратуры и множеством помех внешнего происхождения;

2) помехи, сосредоточенные на отдельных участках спектра временных или пространственных частот и в радиоканалах, обусловленные чаще всего работой посторонних передатчиков;

3) помехи, сосредоточенные во времени или пространстве, — импульсные помехи.

Для помех первой группы, которые часто называют флуктуационными, обыч­ но приемлема модель в виде «белого» или «окрашенного» (т. е. с неравномерным спектром) гауссовского шума. Лишь в редких случаях возникает необходимость рассматривать более общие законы распределения, например [76]

	w (х) =	v		(	1 * Г \		(1.5.11)
		2V ~2T (1/v)	u	exp\v	2v,V	)
							'
	где v — параметр, выбираемый в пределах			0,5—2. При		v = 2	это распределение
	переходит в гауссовское.

Для сосредоточенных по спектру помех в большинстве каналов из-за их фи­ зической природы характерны замирания, которые могут описываться четырех­ параметрическим и другими рассмотренными выше распределениями. Если ампли­ туда замирающей помехи распределена по закону Накагами, а фаза — равномер­ но, то плотность вероятности мгновенных значений помехи подчиняется бимо­

дальному закону, который часто аппроксимируют выражением
w (х) = С ехр (рх2—qx*)	(1.5.12)

с параметрами р и q, связанными с параметром m-распределения Накагами соот­ ношениями

6	Р	5m	1	4а2 (m + l)2	1 _	3.
	=	3 п 3(/я + 1) ’	YTq ~	5m2	’ 2
	VTq

48

Для узкополосных негауссовских помех на выходе высокочастотного тракта приемника иногда используется модель Холла [185]:

	Г (0/2) Y0-1
‘^	“ ГК Э — 1)/2]К я (х2 + Yz)8/2*	(1 -5 .13>

где 0 е [2 , 5].

Сосредоточенные во времени помехи представляют собой быстро затухающие колебания или импульсы той или иной формы, длительность существования кото­ рых меньше интервала анализа, а моменты появления и амплитуды обычно слу­ чайны. Появление такой помехи в любой момент заданного интервала времени, как правило, равновероятно, а число появляющихся в нем помех подчиняется закону Пуассона. Распределения амплитуд могут быть весьма разнообразными. Для описания импульсных помех часто используют распределение вида (1.5.11) [76], логнормальное распределение (1.5.10), гиперболический закон

W(х) = С (Р + * ) - “ , х ^ О ,

(1.5.14)

где Р<0, 1^ а^ 5, и гамма-распределение

да(х) =	xg exp ( — x/fi)	(1.5.15)
	0а+,Г (а+ I)

где (5>0, а > — 1, а также взвешенные суммы четырехпараметрических, экспонен­ циальных и других распределений. Для помех в форме радиоимпульсов начальнаяфаза обычно принимается равномерно распределенной.

Одномерные распределения вероятностей для широкого класса внешних по­ мех детально исследованы в [181] и приведены в [76].

1.6. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА, СИНТЕЗА И ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ КАНАЛОВ В ФОРМЕ СДУ

Построение и последующее использование рассмотренных вы­ ше марковских моделей каналов связи в форме СДУ требует реше­ ния ряда теоретических задач, важнейшими из которых являются задачи анализа, синтеза и идентификации таких моделей.

Под анализом марковской модели случайного процесса или по­ ля в канале, представленной СДУ, будем понимать определение его вероятностных характеристик, в первую очередь плотности вероятности и моментных функций по коэффициентам заданного СДУ. Анализ может быть выполнен на основе решения уравнения Фоккера— Планка— Колмогорова или каким-либо иным способом.

Синтез имеет обратную цель — по некоторой исходной инфор­ мации о случайном процессе или поле в канале построить его мо­ дель в форме СДУ, т. е. определить их размерность п и вид функ­ ций, входящих в них в качестве «коэффициентов», например функ­ ций ft(x, /) и gik{x, t) в СДУ (1.4.1). Исходной информацией для синтеза СДУ могут служить вероятностные характеристики моде­ лируемого полезного сигнала или помехи, полученные на основе теоретических исследований физических процессов в канале или статистической обработки результатов экспериментальных иссле­ дований и измерений на реальных линиях связи.

4—3490

49

Особое место занимает случай, когда синтез модели осущест­ вляется непосредственно на основе обработки наблюдаемых в ка­ нале реализаций случайных процессов и полей методами статисти­ ческой теории оценивания. Такой подход к построению моделей (не только каналов, но и других самых разнообразных систем) активно развивается в последние годы и известен под названием

идентификации систем.

Разумеется, грань между двумя указанными подходами к по­ строению модели канала в известной мере условна: идентифика­ цию можно рассматривать как особый вид синтеза, и наоборот, при синтезе информация о характеристиках процесса может быть получена на основе их измерения (оценки) по реализациям, следо­ вательно, задача синтеза нередко оказывается частью задачи идентификации, понимаемой в широком смысле. Тем не менее сло­ жившиеся методы решения указанных двух задач существенно различны, поэтому в рамках данной книги во избежание путани­ цы под синтезом модели канала будем понимать только ее пост­ роение на основе известных вероятностных характеристик, а под идентификацией — на основе обработки реализаций наблюдаемого в канале процесса или поля.

При моделировании каналов связи на основе СДУ задача ана­

лиза	СДУ имеет главным образом	вспомогательное	значение:
•если	известны ее результаты для	наиболее типичных	моделей,

можно заранее сузить подкласс СДУ, в котором ищется модель, и существенно облегчить ее синтез или идентификацию.

В свою очередь, синтез и идентификация также могут сочетать­ ся и во многом дополнять друг друга: синтез позволяет теоретиче­ ски определить СДУ по исходной информации без сложной обра­ ботки сигналов, но не учитывает возможных текущих изменений вероятностных характеристик канала, идентификация дает воз­ можность более оперативно реагировать на такие изменения и со­ ответственно корректировать модель. Однако без предварительно­ го знания результатов синтеза, в особенности структуры и размер­ ности модели, процедура идентификации может оказаться гро­ моздкой, длительной и труднореализуемой.

Г л а в а 2

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

2.1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ФОРМЕ СДУ

2.1.1. Постановка задачи анализа марковской модели

Как было отмечено в гл. 1, системные характеристики широко­ го класса стохастических каналов связи, а также разнообразные аддитивные помехи могут быть представлены моделями в форме

50