книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления

Пользуясь распределением Стыодёнта, можем найти вероят­ ность выполнения неравенства (137). Задаемся некоторым произ­ вольным положительным числом ta и найдем вероятность попада­ ния величины М на участок —ta н- -Ь 4*

*а	"а
- Р ( | М | < * а ) = J	Sa_1(t)dt = 2 ) S ^ Q d t .
- * «	0

Заменяя в левой части формулы величину М ее выражением из уравнения (152), найдем

Р < \Т * - Т е„ \< taS*) = 2

(153)

Формулой (153) можно воспользоваться для определения веро­ ятности выполнения неравенства (Г* — ГСр) < е при любом е.

Для	этого вычислим величину 5*	и положим ta =	тогда
е =	taS*. Заменив в формуле (153) величину taS*, получим
	у = Р(1Т* — 7 ' | < е ) =	2 | Sn_i(t)dt.	(154)
		О

Интеграл в правой части уравнения (154) табулирован, поэтому нахождение доверительной вероятности при заданном доверитель­ ном интервале сводится к простой операции распределения иско­ мой величины по таблицам. Задавшись величиной е и определив по данным эксперимента величину 5* по формуле (152), находим

величину ta = Зная величину ta и число опытов я, по таб­

лицам определяем величину у.

На практике значительно чаще задаются доверительной веро­ ятностью у и, используя те же таблицы,, находят доверительные границы, в которых с этой вероятностью заключена искомая вели­ чина Гер. Можно также, задавшись значениями у и е, определить число опытов я, которые необходимо провести, чтобы получить величину ГСр с заданной точностью ± е и достоверностью у.

2. Случайная величина Г подчинена экспоненциальному за­ кону распределения.

При экспоненциальном законе распределения случайной вели­ чины Г закон распределения величины Гср может быть выражен через %2-распределение. Если ввести вспомогательную вели-

,/Т1ф

чину U по формуле	U = 2я -~г-, то оказывается, что плотность
„	*ср
распределения этой	величины представляется выражением
		иЯ—1	£
	Kn(V) =		2
		2пГ	>
			(я)

J)

KoTopôê iîpil rï = ~Y соответствует функции плотности ^-распре­

деления, определяемой формулой (125).

Дальнейшая задача определения доверительной вероятности и доверительных пределов не представляет большой сложности и сводится к определению вероятности попадания случайной вели­ чины U в заданный интервал. Вычисления в этом случае могут быть сведены к весьма простым операциям. Действительно, зада­

димся некоторым значением и\ = х?и тогда вероятность того,

что случайная величина U будет йе больше х?и можно опреде­ лить, пользуясь общим выражением

00

Pi ( x l < и < со) = P (U > X2,.) = j Кп (и) du,

V 2

интеграл которого табулирован.

Если задаться другим значением «2 — Х?2> то аналогичным способом можно определить вероятностьР2 ( 0 > х?2). Очевидно,

что разность	Pi (U >	%2qt) — Р 2 (U >	х?2) равна	вероятности
попадания случайной		величины. U на	участок от	х?2 Д° Х?2 •
В соответствии	с данным ранее определением разность

A U / > X Ü - ^ > X Ü

представляет собой доверительную вероятность у, а величины									х?,
и х?2 являются	доверительными пределами для случайной вели­
чины V.	выражение (154)				вместо	Р	разность	Рг — Р 2 и
Подставив в
заменив U через 2 п		,
		—, получим
Y =			> х ? ,) — P i ( 2 n j ^ > X «.)
И Л И
У = Pi		y *	%		T cp ^		2n
		cp	2n
y?		и	y?	=	ô 2, a	вероятности		P x и	P 2
Обозначим -^f- =			2n
	2n
через ух и y 2* тогда
и			V = V1		+ .V 2

^ = P l ( Z > b l ) ’

Ъ = Р ^ > Ь г) .

Используя систему уравнений (155), можем определить точ- ' ность оценки ô при заданной достоверности у и числе опытов п. Для этого зададимся некоторыми значениями yt = yj и у2 = у'.

Учитывая, что число степеней свободы распределения в данном случае равно 2п, по заданным значениям yj и у' при известном

числе опытов п по таблице находим значения х* и

, а довери­

тельные пределы ôx и ô2 определим путем деления этих значений на 2ri. Соответствующая пределам ôx и ô2 доверительная вероят­ ность у определяется как разность у[ — у'.

Рис. 42. График зависимости точности оценки от до­ стоверности й числа опытов (доверительные границы).

Пользуясь этой методикой, можем построить график зависи­ мости точности оценки от достоверности и числа опытов. На прак­ тике часто используется доверительная вероятность у = Yi —

— у 2 = 0,95'— 0,05 = 0,9. Такая зависимость приведена на рис. 42. Из рисунка следует, что при заданной у точность оценки повы­ шается с увеличением числа опытов.

Аналогичные графики можно построить и для других зна­

чений доверительных вероятностей. Располагая	такими	гра­
фиками, легко установить доверительные пределы	Тср для	лю­
бого числа данных по отказам. Рассмотрим пример	определения

доверительных пределов при заданной доверительной .вероятно­ сти у = 0,9.

Пример. Дано: число отказов п = 10; среднеарифме­ тическое время безотказной работы Т = 435 час.; у = 0,9.

Решение. По графикам рис. 42 при п — 10 находим величины ôx и ô2. Они оказываются равными ôx = 0,54, а 3 = 1,57,

. Тогда на основании формул (155) нижняя граница воз­ можных значений Гср определяется как _Гср = ô ^ * , а

верхняя Гер = 62Г*.

Следовательно, с достоверностью 90% можно утвер­ ждать, что искомая величина среднего времени безотказ­ ной работы Гср будет заключена в пределах 6гТ* •< Гср. <! < 02Г*. Подставив значения ôx и ô2, получим

235 час. Гср 680 час.

Зная минимальные и максимальные возможности зна­ чения среднего времени безотказной работы, можем уста­

новить и доверительную область вероятности безотказной

__ t_

работы для любого времени t, учитывая, что P (t) = е т. Так, например, если задаться временем t = 300 час., то

300	= о,28,
P min (300) — е ' 235
300
Л™* (300) = е 628	= 0,64,

0,23 < Р (300) < 0,64,

т. е. с достоверностью 90% можно утверждать, что вероят­ ность безотказной работы при непрерывной работе в те­ чение 300 час. будет находиться в пределах от 0,28 до 0,64.

Совершенно очевидно, что при увеличении числа опы­ тов доверительная область для параметров надежности будет сужаться.

§ 46Метод статистической проверки гипотез

Сущность методики статистической проверки гипотез заклю­ чается в том,' что на основе вычисления соответствующих стати­ стических оценок параметров, определенных по ограниченному числу опытных данных, принимается решение о наиболее вероят­ ном конкретном значении оцениваемых параметров. В простейшем виде проверка гипотез состоит в следующем. Выдвигаются две альтернативные гипотезы относительно неизвестного параметра генеральной совокупности. Задача состоит в установлении такого оптимального выбора решения, по которому можно было бы на основании выборки заданного объема принять одну гипотезу и от­ вергнуть другую. При этом можно отвергнуть гипотезу, когда она на самом деле верна (ошибка 1-го рода), или принять ее, когда она неверна (ошибка 2-го рода).

Для выпускаемой продукции многих типов в технических усло­ виях указываются следующие показатели надежности:

Т0 — величина среднего времени безотказной работы, установ­ ленная для данного изделия в качестве номинальной, обеспечиваемая достигнутым уровнем производства изделий;

Т01 — минимально допустимая величина среднего времени без­ отказной работы, при которой еще возможно выполне­ ние изделием его основных функций.

Неизвестная величина Тф — фактическое значение среднего времени безотказной работы — может быть оценена по результатам испытаний с какой-то точностью и достоверностью на основании полученной из опыта статистической оценки Г*. Эта оценка яв­ ляется случайной величиной, зависящей от числа опытов п, зна­ чения Гф и закона распределения a (t) изучаемой случайной ве­ личины.

Установление двух показателей — Т’оиТ’о, соответствует разде­ лению изделия на три категории в зависимости от Тф:

при	Тф > Т0	— хорошее изделие;
»	Т01 <±Тф <±Т0 — допустимое изделие;
»	Тф •<	— плохое изделие.

В некоторых случаях вместо величин Т0 и Т01 могут быть за­ даны допустимые значения вероятностей отказов изделия за пе­ риод его рабочего цикла:

q0 — величина вероятности отказа изделия за период его ра­ бочего цикла /р, принятая в качестве номинальной и обес­ печиваемая достигнутым уровнем производства изделий; q Q1 — максимально допустимая величина вероятности отказа изделия за период его рабочего цикла /р, при которой еще возможно выполнение изделием его основных

функций.

Если в технических условиях заданы значения q 0 и q Q1, то опре­ деление категорий производится по тому же принципу:

при	qф	q Q	— хорошее изделие;
»	q 0 <	<7ф <	q 01 — допустимое изделие;

»<7ф > <7„1 — плохое изделие.

На основании изложенного можно сделать следующее обобще­ ние. Пусть случайная величина х подчинена обобщенному закону надежности f (х\ т) с неизвестным параметром т. Допустим, что требуется проверить две конкурирующие гипотезы [19]— гипо­ тезу # 0, заключающуюся в том, что т = т ф — тТ, и гипотезу Н1% заключающуюся в том, что m = т ф =f=mT.

Используя статистические данные объема л, необходимо при­ нять гипотезу # 0 (отвергнув Нг) или отвергнуть и ее, приняв аль­ тернативную гипотезу Нг.

В процессе такой статистической проверки гипотез, как было отмечено, возможны ошибки двух родов, которые являются след-

ствием случайности эксперимента. Количественно их оценивают некоторой вероятностью того, что будет допущена ошибочная ста­ тистическая оценка.

Вероятность ошибки первого рода обычно обозначают через а и называют риском поставщика (изготовителя'изделия). Риск поставщика (а) определяется как наибольшая вероятность того,

чтов результате	испытаний хорошее изделие (т. е.		изделие,	для
которого Тф >	Т0 или	<; <7о) будет признано	плохим	или
забраковано.			через р и на­
Вероятность ошибки второго рода обозначается

зывается риском потребителя (заказчика). Риск заказчика, определяемый как наибольшая вероятность того, что в результате испытаний плохое изделие (т. е. изделие с Т ф < Т01 или q^^>qQ1) будет признано годным и принято.

Для оценки результатов испытаний по определению соответ­ ствия показателей надежности изделия установленным требова­ ниям разработаны математические методы, обеспечивающие тре­ буемую достоверность оценки при заданных величинах рисков а

и р и заданных значениях соотношения *01т

Данное соотношение определяет собой требуемую точность оценки фактического значения среднего времени безотказной ра­ боты изделия 7ф, поскольку при Тф = Toi изделие должно бра­ коваться с вероятностью Р бр = 1 — р, а при Тф = Т0 изделие должно приниматься с вероятностью Р пр = Г — а. Вероятность приемки или забракования изделий, для которых фактические по­ казатели надежности имеют промежуточные значения (т. е. T0i <

<: Тф < Т0 или ft < #j)<<7oi), при этом не принимается во вни­ мание.

На практике такие изделия могут быть приняты или забрако­ ваны с вероятностью, зависящей от фактического значения сред­ него времени безотказной работы Тф, как наглядно показано на рис. 43. На этом графике изображены кривые, характеризующие

величины вероятности приемки изделия (Рпр)

и вероятности его

забракования

(Рбр)

в зависимости от фактического значения сред­

него времени безотказной работы данного изделия (Тф).

Из графика видно, что для изделия, имеющего

значение Тф =

= Т01 ,

вероятность

приемки

Рпр =

§, т.

е.

риску заказчика,

а вероятность

забракования

Рбр = 1

—• (5;

для

изделия,

имею­

щего

значение Тф =

Т0, вероятность забракования

Рбр =

а,

т. е. риску поставщика, а вероятность приемки,

соответственно,

Р пр =

1 — а. Для

изделий с промежуточными

значениями

Тф

вероятность

приемки

имеет

промежуточное

значение

между

Р и 1 — а.

При этом изделия, для которых

Р пр <

Рбр

(например,

изде­

лия с фактическим

временем

Тф =

Тф на рис. 43), будут чаще

браковаться,

чем

приниматься, изделия

же,

для

которых

126

Рпр > Ябр (например, Тф = Тф на рис. 43), будут чаще прини­ маться, чем браковаться.

т

.Величина соотношения -=-4 принимаемая для планирования •*01

испытаний, должна устанавливаться в точном соответствии с имею­ щимися данными о значениях Т0и Т01. Значение T0iустанавливается техническим заданием на изделие на основе тактических сообра­ жений и, как правило, не может изменяться в процессе проектиро­ вания или изготовления изделия. Значение Т0, устанавливаемое

проектантом изделия на основе расчетных данных или по резуль­ татам испытаний опытных образцов, характеризует собой как бы гарантированный запас надежности по отношению к минимально допустимому значению Тщ.

На практике рекомендуется устанавливать для планирования

	т
испытаний величину соотношения-яг2- в пределах от 1,5 до 2. Уста-
1	2 нецелесообразно даже в тех случаях,
навливать значение-—- >
То1	.

когда есть основания' предполагать, что фактическое значение

среднего времени безотказной работы изделия Тф существенно’ больше принятого значения Т0.

Практическое применение статистической оценки параметров надежности получили методы однократной выборки'и последова­ тельного анализа. Рассмотрим каждый из указанных методов от­ дельно.

§ 47. Метод однократной выборки

%

Сущность этого метода состоит в том, что контроль надежности аппаратуры производится после проведения испытаний всего за­ ранее рассчитанного объема выборки. Оценка надежности аппара­ туры при этом возможна двумя способами.

Первый способ заключается в том, что объем выборки д, кото­ рый потребуется для испытаний, определяется по заданной вели­ чине вероятности отказа qQ= 1 — Р 0 и известному объему партии аппаратуры N при допустимых величинах максимально возможной вероятности отказа qx и риска заказчика р. Если в результате ис­ пытаний этой выборки будет получен хотя бы один отказ, то партия аппаратуры не соответствует заданным требованиям. Этот способ испытаний называюттакже методом испытаний с при­ емочным числом отказов, равным нулю. При указанных условиях объем выборки может, быть рассчитан по следующей приближен­ ной формуле:

— Р АН ’

(156)

где N — объем проверяемой партии, из которой берется испыты­ ваемая выборка объемом п экземпляров;

q1 — максимально возможная вероятность отказа в принятой партии;

Р— риск заказчика принять партию объемом N , имеющую вероятность отказа qx.

Втабл. 10 [34 ] приведено количество циклов испытаний или

экземпляров аппаратуры, необходимое для испытаний по методу с приемочным числом отказов, равным нулю, рассчитанное по формуле (156), для различного объема партии, риска заказчика и максимально возможной вероятности отказа. При малых значе­ ниях партии объем выборки рассчитывался по точной формуле биноминального закона распределения. '

Оценка надежности аппаратуры производится путем испытаний выборки, соответствующей той или иной изготовленной партии. Если объем выборки выбран в соответствии с приведенной табл. 10, то продолжительность испытаний каждого экземпляра аппаратуры должна соответствовать времени непрерывной работы (одному циклу работы).

При организации испытаний количество экземпляров, опреде­ ляемое в соответствии с табл. 10, может быть-уменьшено, но при этом во столько же раз должна быть увеличена продолжительность испытаний каждого экземпляра, т. е. во столько же раз увеличено количество циклов работы. Если при таких испытаниях в аппара­ туре не возникает ни одного отказа, то аппаратура соответствует заданным требованиям по надежности. Если аппаратура не соответствует заданным требованиям, то после соответствующей доработки могут быть назначены повторные испытания.

При оценке надежности вторым способом испытания органи­ зуются из расчета допустимости отказов в выборке.

' Для аппаратуры, надежность которой характеризуется вели­ чиной средней наработки на отказ, объем испытаний определяется

Объем выборки партии (в шт.) при испытании по методу с приемочным числом отказов, равным нулю

М акси­					©бъем	выборки при 0 =		0,1
мально
возмож ная
вероятность
отказа						«
		N < 2 0
в принятой				A f s	30	N » 100		J	N ss 1000
партии								V ss 500
	0,01		—	30	’		90	185	206
	0,05		18	23			37	43	43
	0.1		14	16			21	23	23
	0,2		8	9			10	11	ii
	0,3		6	6			7	7	7
	0,4		4	4			5	5	5
	0,5		3	3			4	4	4
М акси­					Объем	выборки при 0 =		0,2
мально
возможная
вероятность
отказа		N < 20		N тх 30		N zz 100		N » 5 0 0	N ss 1000
в принятой
партии
	0,01		—	30			80	137	149
	0,05		16	20			28	31	32
	0,1		11	12			15	15	15
	0,2		6	7			7	8	7
	0,3		4	5			5	5	5
	0,4		3	3			3	4	4
	0,5		3	3			3	3	3
из условия				Г„		х|(2")
									(157)
				T,	x î-at2") ’
где	(2п)	и	х?_а (2ft) —[квантили				уровней	%2 распределения
при	заданных		значениях		a, (S и		числе степеней		свободы 2п.
В данном выражении				п — количество отказов.
Для заданных величин Т0/Т ъ						a и Р по формуле (157) нахо­

дится количество отказов, которое должно быть получено при ис­

пытаниях, или,	используя	это	количество отказов, по формуле
	t	_	X i-g (2 п )
	Т0 ~~		(158)
			2
9 И . М. Маликов	1208		129

определяется продолжительность испытаний. По приведенным формулам могут быть заранее рассчитаны зависимости количества

отказов п и продолжительности испытаний t/T0 от Г0/Г х при раз­ личных значениях а и р .

В качестве примера на рис. 44 приведена зависимость продол­

жительности

t

испытаний ИТ0 от величины T J T ly			при значе­
ниях		а = р = 0 , 1	и а = р =
=	0,05.
	Испытания по этому способу
продолжаются до тех пор, пока
не будет получено			количество
отказов, по формуле (157), или
в	течение времени,		определяе­
мого		по формуле (158). После
появления в аппаратуре требу­
емого		количества отказов опре­
деляется * средняя			наработка

на отказ по формуле

Т = 4->

(159)

Рис. 44. Зависимость продолжитель­

ности испытаний от Т0/Т1 при значе­ ниях а = Р = 0,1 и а = Р = 0,05.

где t — суммарная наработка аппаратуры до появле­ ния п отказов.

Если полученное значение

	Г удовлетворяет условию
Т >	T0Xi_a (2л)	(160)
	2п

то аппаратура соответствует заданным требованиям, а если это условие не выполняется, то аппаратура не соответствует им.

Для аппаратуры, надёжность которой характеризуется вероят­ ностью безотказной работы в течение времени непрерывной ра­ боты (Р0 = 1 — <70), объем испытаний определяется из условий

ь	4 (у)
Ч°	Xl-a(v) ’
у (или N) =	Xl—a (v) _		%р (у)	*	(162)
	' 2q0	~~	2qx
V =	2 (rt +	1),

где у — общее количество циклов работы аппаратуры (длитель­ ность каждого цикла работы равна заданному времени непрерывной работы аппаратуры);