книги / Общая теория анизотропных оболочек

§ 7]	УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК								121
где для линейных операторов имеем
г	in \ _£п	I Сг2 _^_	I (	___ о ^1 2 \		di
L*V'**>— Q0		dai-Г- QQ			Л Й0Уда"-(?,В2’
	(Dik) — Dn	-f- D22	-f~ 2 (D12-f- 2D66)				,
								di	(7.59)
ь	, т , ) = о	. . я + ° «	Ж	Д" Сс ~ С!‘ -			2° 1»)	даЩъ»
				‘ +	( г
	V J = V , V S = A | , '		*	" '	2	s'
			' Д( <504"Г		RlДг 5а2йрз ’

G помощью формул (7.53), (7.54), (7.55), (7.57), (7.48) нетрудно представить все расчетные величины посредством искомой функ­ ции Ф (а, (3). Однако ввиду громоздкости получаемых при этом формул здесь они не приводятся.

Наконец, укажем, что при этом тангенциальные перемещения согласно (7.51) определятся из следующих равенств:

ди__С22 d2F ___£12				__ w_
да	Ц>	dp2	20	d®2	’	Q
d v ___ C n		d ? F ____ ________________ w_				' ' '
<J3		д®2	20 ^Р2		Д*"

В случае тонких оболочек с достаточно высокой точностью взамен (7.53) для основных расчетных напряжений можно брать их линейные по у части, т. е. использовать следующие формулы:

V = в „ Т. + в » |” - T ( B „ S +	р ) +	+
4- М „ ) 4~ Т— (Вц^вв ^		.

а» =	в » |	+	в	»	| - т	(9в	+« в	" ё ) +	Л в »	+	(7.61)
				+ а д , ) «>■+ 7 f (В А | ■+ В А						| ) •
=	« в . (% +	Э	-	“	.ВТ g	f +	Т ¥	(«в .«в . |	■ + 8 Л	S )	■■

В силу этого формулы для определения внутренних усилий не­ сколько изменятся. Формулы для внутренних сил (7.54) останутся неизменными, а в формулах для моментов (7.55) изменится лишь коэффициент при поправочных членах, а именно множитель h2/W заменится на h2/8. При этом изменятся и значения некоторых коэф­ фициентов в разрешающих уравнениях задачи. В частности, первые три уравнения системы (7.52) останутся неизменными, а в последних двух уравнениях множитель h2/10 заменится

122

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

множителем А2/8. То же самое произойдет и с системой уравне­ ний (7.56): в первых двух уравнениях неизменными остаются все члены, а в последующих двух взамен множителя А2/10 будем иметь множитель А2/8 .

§ 8 . Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек

Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек мо­ жет быть построена на основании тех же предположений, что и уточненная теория анизотропных оболочек. Эти предположения аналитически представляются (см. введение, § 4, п. 3 и § 7 настоя­ щей главы) следующим образом:

I	I	I • • '	• '	I
где w(а, (3),	ср (а, (3),	<J>(а, (3) — искомые		функции.
Будем полагать, что оболочка изготовлена из трансверсально
изотропного	материала так,		что в каждой точке оболочки пло­

скость изотропии параллельна срединной поверхности оболочки, т. е. главное направление упругости, перпендикулярное к пло­ скости изотропии, в каждой точке оболочки совпадает с соответ­

ствующей нормалью	у.
В этом случае согласно формулам (10)		и (И ) для упругих по
стоянных материала	оболочки имеем
		(8.2)
где Е, Е' — модули	упругости, v, V, v "	— коэффициенты Пуас­

сона ( v " f i " = v '£ ), G, G' — модули сдвига (G—EI2 (1 + v)).

Будем считать также (это видно и из (8 . 1)), что оболочка за­ гружена лишь нормально приложенной нагрузкой с интенсив­ ностью Z (а, (3).

Отметим, что при построении общей уточненной теории транс­ версально изотропной оболочки везде, где это очевидно, мы не будем учитывать члены порядка (Ак()г по сравнению с единицей.

1. Перемещения и деформации. Согласно (8.1), (8.2) и (10) для поперечных деформаций оболочки имеем

(8.3)

81

ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

123

Поступая точно так, как в п. 1 § 7 настоящей главы, получим для тангенциальных перемещений какой-либо точки оболочки следующие выражения:

» . =

( 1 + * 1 Т ) и - г ^ +

т ( 1 + Т ^ ) т г с 7 +

+ т3 ( 1 + т ^ ,

+ Г 3 ( 1 + Г ^ ) б ^ >

где и=и (а,

р), v=v (а,

р) — искомые перемещения. В силу

(8.1),

(8.4)

из

равенств (15) для еще не определенных деформаций,

после некоторых преобразований с учетом (2) и (4), получим

ee=

®i +

(Т — * 1Г2)* Г

А2

4 f 3 \ dy

8

A G ’

[С

__( ' l l __ l i ^

_I_ ^r 2 __ lll'N

<pl_j___ ^ ! _ [ 7 T _

_

i £

_

\ 2

Н У da

З А 2У da ” J ^ 8 f i G ' L \ T

З А 2

1 dA i

3hi) dpjT*

h i )

A

d$

=

®2+

(T -

K f )

+

( t 2

. _ / „ g

dk^

Л .

h i

[ 7

4 T3

A l1f2

\ 2

h 2 / dp ' T ' V

З А 2/ dp

З А 2

2 " г

(8.5)

*>T*\ i ад

/

4т*\

зал

^

A 2 J B d a ^ \ l

З А 2/ da J ‘ ’

e . « =

• +

[ T — \ ( * i + * i ) ] ’

+ ^

F

[ ( T ~

5 T > ) Щ ( A ) ~

-

M

E ( ¥ ) + T(* - J0 A

- « 4 ( f ) ] +

1

5 ГЛ.

4Tf3\ d/4\

/V

74\ <?

I

‘ 8 G ’ A 1 _ V

З А 2 у da \B J

U

h * J d a \ B ) ~ r

где для

в,.,

«в,

т имеем обычные

формулы (7.9),

(7.11).

2.

Напряжения

в

оболочке,

внутренние

силы

и

моменты

Для расчетных напряжений из (10),

(11) согласно (8.1)

получим

° с

= В

ц

е <х “ Ь

- ® 1 2 е

р>

° 8

=

- ® 2 2 е

р

” Ь - ® 1 2 е

а>

Х »|3

=

- ® 6 6 е »р >

где для коэффициентов

имеем

Bu =

Bn = j _

^12 = 1 _

V2>

5 66—

2 (1 + м) >

(^-7)

124 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

Коэффициенты Bik в этом случае ничем не отличаются от со­ ответствующих коэффициентов В.к для обычного изотропного материала. И это естественно, так как оболочка в системе аОр является изотропной.

Подставляя выражения деформаций из (8.5) в (8.6), получим окончательные формулы для определения напряжений ов, о? и

Ввиду громоздкости получаемых при этом выражений		окон­
чательные формулы для °а, о(,,	здесь не приводятся.
Подставляя выражения для напряжений (8.1) и (8 .6)		в фор­
мулы (1.5) (о справедливости	этих формул для уточненных тео­

рий мы говорили выше, см. § 7), получим для внутренних сил и

моментов

следующие

формулы:

Т7=

С1г Ц®!. +

12(^2

М

хг

hi

120G'

+

.

1

дА , \

.

ЗА4

/1

дку? .

1

дА ,

.\"| .

+

I B

д$

640G7( х

~ 1даГ + ‘ АВ

д$

+

+ С12£е

З А *

! 1

dk2i> .

1 дВ ,

\ 1

640G'

T2=

C22[s2 +

J2 (&i — &2) *2 +

12^

(^1 — К) ( i -

+

+is д£ ®)+шо7{wI >^+JBззг*л)]+

(8.8)

+

C I 2[ EI + (Щс7( j

1 ?

+ J E W k^ ) ]'

5 1« C

e({e +

|

f t -

*

I) x +

i^

( * , - * , ) ( J

g

-

1

дА

\

,

3h*

ГА

д f k t<f\

, В д /Л2ФМ1

А В д3

V + 640G'|_B

)

‘ А

д а \ В

/_]/’

Ъ = £ ■ „ { » + 1

f t -

к,) т +

f

t - к,) (А . 1

-

___ ш

гд £ (к^\ I А £ /'ММ

ЛВ <Ь

^ ^ " 6 4 0 0 '^

д а \ в

/ '• "В

/J’

ДТ

_А З

(8.9)

■ ^1

12^’

M i =

^ п [ х х +

* А +

щ > ( г 2 + Я » ^

* ) ] +

+

/)12[ х2+

* 2е2+

TJG ' ( F

^

+

J 8 ^

' P)]>

(8. 10)

Л/ 2 =

/)я [кв +

*1. 2+

1й т ( i

f

+

i

g

* ) ] +

+

A

2[ XI +

V i +

-Щё7( j g

+ 2в g

ф )].

§ 8]

ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

125

я , = в „ f + ^ + ^ ( > | ( £ ) + ! 4 ( * ) ] } ,

( 8. 10)

где для жесткостей имеем

	E h	п	vEh	( £*6	E h
'<23. '■	1 — 1)2	C12—			2 (1 + y) *

(8.11)

E h 3	D12 '	\Eh?	D«6	E h s
D\i — £*22 —		12 (1 — V2)'		: 24(1 + v) ’
: 12 (1 — v2) ’

а деформации e(, a> и изменения		кривизны и кручения х(, т опре­
деляются по формулам	(7.9) и	(7.11).
3. О разрешающих	уравнениях и граничных условиях. Как

было неоднократно указано, уравнения равновесия элемента

оболочки	и	уравнения		неразрывности срединной				поверхности
оболочки	в	случае	уточненной			теории ничем	не	отличаются
от соответствующих			уравнений			класси­
ческой теории. Эти			уравнения			даются
формулами		(7.25) и	(7.26).		Что же ка­
сается невыписанного здесь шестого урав­
нения равновесия, то оно в силу соотно­
шений упругости (8.8) и				(8 .10)		удовлет- /
воряется тождественно.						а У
Граничные условия,				которым должны
удовлетворять искомые				функции и, v, w,			Ри0,
9, ф, записываются точно так					же, как и

в уточненной теории анизотропных оболочек. В частности, для некоторых вариантов они имеют вид (7.27)—(7.29).

Выполняя соответствующие подстановки, о которых сказано в пи. 3 и 5 § 7 настоящей главы, мы можем получить все варианты разрешающих уравнений трансверсально изотропных оболочек. Однако при этом мы получим громоздкие уравнения, которые в общем виде не используются в дальнейшем; поэтому разрешаю­ щие уравнения будут даны лишь для некоторых частных случаев.

Наконец, укажем, что приведенные в настоящем параграфе результаты можно получить как частный случай результатов предыдущего параграфа. При этом надо руководствоваться лишь равенствами (8.2), (8.7) и положить а1в= а 2в= 0 , В1д—В2в=0 .

4. Трансверсально изотропная круговая цилиндрическая обо­ лочка. Пусть срединная поверхность круговой цилиндрической оболочки с радиусом кривизны 7?=const отнесена к криволиней­ ной ортогональной системе координат a, р так, что а направлена вдоль образующей оболочки, а р — по дуге крута поперечного сечения. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы

126	РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК	[ГЛ. I
и для	радиусов кривизны будем иметь А —В —1, Д1=	ео» В2= Л ,
k2=l/R (рис. 29).

Будем полагать, что оболочка или пологая, или замкнутая (но тогда достаточно короткая) и поэтому может быть рассмотрена на уровне технической теории, т. е. с точностью h/R.

С принятой точностью из формул (8 . 8) —(8. 10) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:

т E h Гди . (до нАТ . . А3

rp

E h Г до , w , ди~1

лт АЗ

	S1=	S2^=S=Z			E h	(ди	,	dv\
				2(1		W					(8.12)
		EhS		ГГd2w ,,		d2w			(д<р
								А 2		, d<j>\“]
		1 2 ( 1 —	м2) L^5 +			V —dp		1 0 G 7'			Vdp/J*
		£A3		Г	d2w .	d2w		h2 /д<\> .			d<jp\"|
	M 2=	А З				V dtf~ 10(Г'\Щ
		12 (1 — M2)L^ 2								i~V ^aJJ’
	Я,	:H2= H —			£ A 3		|\	d2w	A2
					12 (i — M*)L“ dadp				loe7

Внутренние силы и моменты должны удовлетворять уравне­ ниям равновесия, которые в рассматриваемом случае запишутся следующим образом:

дТ 1	1	dS	- 0	,	dS , д Т 2			= 0 ,
да		dp			да " Г dp ~
			п		dN^		dN2	-	7	(8.13)
			iR		да		dp	— £Jу
		дн
дМг			—	N	дН	,	дМ2 _-		Д7
да	1	dp		iV 1»	да	1	dp
Подставляя значения			внутренних				сил	и	моментов	из (8.12)
в уравнения (8.13),		получим следующую						систему разрешающих

дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функ­

ций и (а, Р), у (а,

р),

w (а,

0),

<р(а,

р),

ф(а,

р):

( d 2

, 1 -

v d 2

>

1 ’

M

d2v

.

v

dw

L

+

o

^ d a 2

'*■

2

d p 2 ,

d a d p

*

.R

da

1 +

M d 2u

, /1 — м d 2

1 dw

o

2

d a d p * V, 2

d a 2 1 d p 2 ) V ‘ R dp

Eh

Й-+»#+1)-1И£+$)=г- i <8Л4>

R{1~ м2)

-г Ди? —

А 2

Г / д 2 .

1 —

м d 2 '

*

+

^

а

]

+ ^ = ° -

да

1 0 G Яда2

2

)

4 дw—

А 2

д2

1 -- V д2

4

2

да-2

1 0 G ' L V ^ P 2 ~

S 8] ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 127

где, как обычно,

(8.15)

д а <182 •

Система пяти разрешающих уравнений десятого порядка ■(8.14), написанная относительно пяти искомых функций, может ■быть несколько модифицирована.

Из последних трех уравнений системы (8.14), исключая ис­ комые функции <р и ф, получим новую систему трех дифференциаль­

ных уравнений относительно трех искомых

перемещений и, v,

и>. Эта

система

в целом

выглядит

следующим образом:

|

*

* д 2 )

„

1

ч

д2и

,

v

dw

n

д р )

1 4

да dp

R

—

U ,

,да%

1

2

'1

2

1

да

' (12

,

1 -

ч

д”и

,

1

dw

0

-

А З 2

1

2

да2)

^1

2

dot dp

г

R

—

U ,

dp

(8.16)

E h з

Eh

/1

u * \ \ f dv г

ДДw ■

ди

w \

12 (1 •

R (T = r^ j ( 1 — h д ) ( d j T +

* 1 ' + Т ) =

где

=

— (1 — h*b)Z,

E h 2

If

(8.17)

10(1 — v2)G'

представляет важную величину, которая характеризует влияние поперечных сдвигов на напряженно-деформированные состояния ■оболочки. В частности, при h *= 0 система уравнений (8.16) сов­ ладает с соответствующими уравнениями классической теории.

Система (8.16) не будет полной, если к ней не присоединить систему двух дифференциальных уравнений, определяющих ис­ ключенные выше искомые функции <р и ф:

h? /dtp . дф\		E h	/ dv	.	ди . w\
И Л ^ Г " * " d p	}	R (1 — v 2 )			v	^
Очевидно, что	система (8.18)			получается		из последних трех
уравнений системы (8.14).
Система уравнений (8.16)			может		быть представлена в более

компактной форме. Выполним операцию д21д а2 над первым урав­ нением (8.16) и операцию д*1дад|3над вторым уравнением (8.16). Складывая полученные при этом уравнения, найдем

d2 .	(?»	Ди-	д3ш	1	dsw	= 0.	(8.19)
да■ГГ- Ди ■	да dp		R да3	‘ R	да др 2

128 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. I

	Далее выполним операцию д2/д|32 над						первым уравнением (8.16)
	и операцию дг1дад\3 над		вторым уравнением (8.16).							Вычитая из
	полученного первого уравнения второе, найдем
	дг .		(У1	,	2		d»w		0 .	( 8. 20)
	JjjjF	_	~ д Щ	^ V ~ ~ ~ R			(кГдр
	Складывая теперь уравнения (8.19) и (8.20), получим
	ДДи =		v		д»ш	1	d » W			( 8. 21>
			~Ж~дР			R	да д р		’
	и аналогично этому		2 +	v	<?3ц,		1	(рш
	ДДи =									(8.22)
			R		да*д'$		R	д 'р	•
	Исключая с помощью уравнений (8.21) и (8.22) м и » и з третьего-
	уравнения системы	(8.16), получим				взамен			(8.16)	следующую,

достаточно удобную для использования систему трех новых урав­ нений относительно трех искомых функций и, v, w:

Д2И:	dsw	,	1	d»w
	да»	~	R	да д р ’
R
Д2о = ■ 2 +	v	d»w		I	d»w	(8.23)
R	д а 2 др			R	д'р

E h

(1— /г*Д)Д%

где D = Eh3/12 (1 — v2) — обычная цилиндрическая жесткость, Д2= = ДД, Д4= ДДДД.

Полученных в этом пункте разрешающих систем уравнений (8.14), (8.16), (8.18)и (8.23) достаточно для рассмотрения различных

1г	задач	теории			трансверсально
	изотропных				цилиндрических
	оболочек.
	5. Трансверсально						изотропная
	сферическая			оболочка. Пусть сре­
	динная	поверхность					сферической
	оболочки радиуса кривизны R от­
	несена	к	географической					системе
	координат		а,	(3, так, что а пред­
	ставляет угол долготы, а р — угол
9	широты (рис. 30).
	Тогда,		очевидно,				для	коэф­
	фициентов		первой			квадратичной
	формы и для			кривизны срединной
	поверхности			будем		иметь		A = R ,
	B = R s	i na, k1=k2=k=R ~1. В по­

следующих выкладках ради сохранения симметричной структуры получаемых выражений приведенные выше значения Л и В (в рас-

S 8] ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 129

шифрованном виде) не будем подставлять, однако все время будем помнить, что А — величина постоянная, а В не зависит от р.

Так как в дальнейшем трансверсально изотропные сферические оболочки будут исследоваться лишь с точки зрения устойчивости и колебаний, разрешающие уравнения выводятся здесь именно для этих целей.

Учитывая вышеизложенное, с принятой точностью получим

из (8 .8) —(8 .11) для	внутренних сил и моментов следующие вы­
ражения:
	д т	А З
		12 'Р’
51= S , = S	= j Tl i r7)» + 5«1
		(8.24)
",=fa(Г-v.) [*.+«•+7Г(*.■+•*.)]+"I
" « = .з а ~ ~ [ * ! + “ > + ^		( * . + * '. ) ] + " ■ •
Я 1 = Я , = Я = ж ^ ( х +		^ ) + Я»,

где для членов, представляющих явления поперечного сдвига, имеем

	9	П =	120 (1 — м2) G' L|.А		да ' ^ \ В	д$ т А В да V j ’
М2_	16Я	ТО	Е№				(8.25)
	9	1 2 --- 120(1 — м2) G'
Н° _ _	16Д	5 ° —	Eh5	_ Г А Л .(1 Л л . В			д / ± У 1
			240 (1 +	v) G' L В	д$ \ л ) ~ Г	А	да ^Я / _Г

Для компонент деформаций в,., ю, изменений кривизны и круче­ ния xt., т из (7.9), (7.11) получим

__ 1	да	. w		__	I	dv	.	I	дВ	.	w
е1~ А ~ д 1 ~ ^ В '				*Ъ~~В			г д е		да “ Т й -
__ А д / и \ ,				В д / v \
__	/1	д2и>	,	w \	^			2 (	д-w	1	(8 .2 G )
											дВ дио\
** ~	\А2 да*		№■) ’				Т В \ д Т Щ , ~ 1 Г '1 ^ ~ ^ ]’
__	/1	д2ш , 1		дВ		dw	,	w \
* 2 ~~		'д ^ " ^ " Ш ~ д Т ~ д 7 < " Ш ) -

9 С. А. Амбарцумян

130

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ.

Уравнения равновесия сферической оболочки, которым должны удовлетворять внутренние силы и моменты, в географической си­ стеме координат выглядят так:

дВТ, дВ

да

ъ г Ъ + а Ц . + ^ л в ъ - о.

(8.27)

i r № > -	" L M 2+ a ^ = A BNV
	да

дВ

Ц в я ) + ^ - и + А ^ = л т г

Исключая из первых трех уравнений (8.27) перерезывающие силы и используя оставшиеся, получим

Ж г-+*)Н4('.+*)+т[Ч4+*>М

(8.28)

АВ	т т г - * . + т ^ * > ] +

Подставляя

значения

внутренних

сил и

моментов из (8.24)

в

уравнения

равновесия (8.28),

найдем

дЪ

№

д

■ (A -j-2 )u ;J

(1

dV

,

" > Т

Ж

+

х

[

да

12Л3 да

, 1 — V/ и

1 dw \_

1 _ V2: 1

К

'

Л

\ Л

А

да ) ~ 31

ЁА

ЛЛ

Л 1»

я

дЬ

Д2

д

(Д +

2 )и ;] +

( 1 -

- * > Т

—

+

12Л3 *

да

‘

(8.29)

1 — ' ( v

1

\

1 — vS 1

,

К

•'

'Л

^ Л

В

ар /

ЯА

АВ л 2>

(

h2 д

1 +

v )(A + 2)И7 +

и г л »

Л > - 1 Й г < 4 + ‘ -

1 --- V- Z

—■ v*1

+

—

* 3 .

E h

E h