книги / Общая теория анизотропных оболочек
..pdfS 9] НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ 151
Очевидно, при этой для части коэффициентов упругости будем иметь
а 36 = ^26 ~ а3в = О» а45 = |
(9.59) |
Такая оболочка, деформируясь, остается телом вращения, по этому внутренние силы и моменты, а также перемещения не будут функциями угловой координаты <р, и в оболочке возникнут ли ть напряжения о?, хп и соответствующие им внутренние силы и моменты.
Итак, для рассматриваемой оболочки вращения согласно ре зультатам, полученным в начале настоящего параграфа, будем иметь следующие основные соотношения и уравнения;
уравнения равновесия: |
|
|
|
|
|||
£ m + T , Si n t > + £ / f = - r x , |
|
||||||
T , W |
- r $ ; + % |
) = - r Z , |
(9.60) |
||||
^ |
(rMJ -f-М2sin ft — rN = 0; |
|
|||||
геометрические |
соотношения (согласно (9.22)— (9.24)): |
|
|||||
|
|
|
e2 = y (ia c o s » — и sin»), |
|
|||
|
dW |
A2 |
df0 |
T* |
dX* |
|
|
|
ds |
' |
8 в®5 |
ds ’’ R, |
' ds ' |
(9.61) |
|
|
sin 9 |
A2sin 9 |
|
sin 9 |
|||
\= w |
|
|
|||||
|
|
8 |
' as5?o ■ |
Ла |
|
||
w — — |
|
Лх ’ |
|
|
|
|
|
vr — ds |
|
|
|
|
|||
уравнение неразрывности деформаций: |
|
||||||
r <h2— ^ |
|
sin& — pp cog $ — o, |
(9.62) |
||||
ds |
|
|
|
|
|
|
соотношения упругости (согласно наиболее упрощенному варианту (9.33), т. е. при пренебрежении членами с множителями к{)
Тi = Cuai -f- CJ2a2, |
Т2 = |
Спа2 -f- С12а1г ) |
М1= Dnby-J-D-yj)2, |
М2= |
D^)2-J- D12bv J |
где согласно (9.30) и (9.61) имеем |
|
ах = |
ei — a i3 (% i |
2А ^ °) * |
° г = |
е 2 |
а 23 |
2А ^ °) ’ |
, |
dW .A 2 |
d<fо Т* , dX* |
|
(Z2 |
А2ЛП\ |
|
°1= ~~л7 “Г 1Га5 |
|
|
|
|
||
|
W ^ T M“ 1 7 "t'«7 " l__5 r — ai3VA'— 24V ) ’ |
|||||
и |
TJ7г asin 9 A2 |
sin 9 |
, Т* |
sin 9 -у-* |
fZ2 А2Л(Д |
|
b2 = W—---- - |
а б 5 — ?0+щ ---- |
— X |
у |
(9.63)
(9.64)
152 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
|
Формулы для определения напряжений запишем в линейной |
постановке, т. е. в формулах (9.29) оставим лишь первые две группы членов:
а« = |
В |
+ В12а2+ у (Bi A + В12Ъ2), 1 |
°в= |
В22а2-f- Bl2al -f- у (B22b2-j- Bl2b-^. J |
Для соотношений упругости и напряжений можно использо вать более полные представления (9.29) и (9.31), однако ради со кращения записи, но не в ущерб общности рассуждений мы этого здесь не делаем.
В приведенные уравнения и соотношения входят некоторые члены, которые должны быть определены из решения соответствую щей задачи по классической теории. Не вдаваясь в подробности (см. § 3 настоящей главы), приведем окончательные значения этих величин.
Бели искомыми в классической постановке задачи считать функции Vй(s) и W° (s), то согласно (2.11)—(2.16) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
r o = |
_ H L » Fo _|_lFi(s)i |
= |
|||
м °= __—(в |
(Шо |
|
|
(9.66) |
|
12 |
|
r |
|||
1 |
12 V И |
ds |
|
|
|
|
в |
dwo |
В22 |
sin ft |
|
-J— SC |
ds |
‘ |
|
|
|
|
12 |
|
|
и, наконец, согласно (9.5) и (9.66)
+ |
*• = “ • |
где для грузовых членов имеем
Fj = |
sin & J rErds -f- cos & ( ^ — J rEtds j , |
|||
|
«0 |
' |
«0 |
' |
F2 = |
— cos & J rErds -f- sin & |^ |
| |
rE,ds j , |
|
|
*0 |
' |
«0 |
' |
Er= |
Z cos & — X sin &, |
E, = |
Z sin & -f- X cos &, |
cos &0-j-TV0 sin &0) 2rcrn.
(М 7 )
(9.68)
Здесь (т. e. в формулах (9.68)) величины с нулевыми индексами относятся к краю оболочки s— s0(рис. 32), и их не следует путать
§ 9] |
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ |
153 |
с величинами, |
которые приведены в формулах (9.66), |
(9.67) |
и представляют решение задачи по классической теории. Искомые функции V0 и W0, через которые представлены все
необходимые здесь величины (9.66), (9.67), должны быть опре делены или из системы (2.17), или согласно (2.23) из уравнения (2.24).
Учитывая выражения (9.66) и (9.67), для членов, которые строятся на основании решения классической задачи, из (9.16), (9.18) получим следующие формулы
(9.69)
Таким образом, все величины (9.67), (9.69) представлены через известные (после решения классической задачи) функции F° (s) и W J(s).
Подставляя значения из (9.64) в (9.63), получим для мо ментов следующие выражения:
Как и в случае классической теории, введем вспомогательную искомую функцию V = V (s), с помощью которой внутренние силы представляются следующим образом:
(9.71)
154 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
где Fi (s) являются функциями от внешней нагрузки и определя
ются |
ранее приведенными формулами |
(9.68). |
|
|
Подставляя значения Tt, N из (9.71) |
в уравнения |
равновесия |
||
(9.60), тождественно удовлетворим |
первым двум |
уравнениям, |
||
а из |
третьего уравнения равновесия |
получим |
|
|
|
д (ril/j) + Мг sin & — V cos & = F2( S ). |
(9.72) |
Подставляя значения а,, из (9.64) в (9.63) и решая получен ные при этом соотношения упругости, найдем
Подставляя значения деформаций ех, е2, из (9.73) и момен тов из (9.70) соответственно в уравнение неразрывности (9.62) и в уравнение равновесия (9.72), после некоторых преобразова ний получим
(9.74)
где
Таким образом, как и в случае классической теории, задача сводится к определению двух искомых функций V (s) и W (s), которые должны удовлетворять системе двух разрешающих диф-
91 |
Н О ВА Я ИТЕРАЦИО Н Н АЯ ТЕО РИ Я |
|
155 |
|
ференциальных |
уравнений (9.74) и |
соответствующим |
гранич |
|
ным условиям. |
|
|
|
|
Уравнения |
(9.74) записываются |
точно так же, |
как |
и соот |
ветствующие уравнения классической теории (3.17). |
Однако эти |
системы уравнений принципиально отличаются своими грузо выми членами Ф<, входящими в формулу (2.19), и Ф* из формул (9.76), (9.77). Грузовые члены Ф*, наряду с грузовыми членами классической теории Ф^, содержат некоторые поправочные члены, которые появляются в результате учета поперечных сдвигов, поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения. Эти поправочные члены, согласно (9.76), (9.77), записываются с помощью (9.67) и (9.69).
Имея значения F°, W0и V, W, легко найти с помощью формул (9.67)—(9.71) все расчетные величины рассматриваемой оболочки, Что же касается перемещений и (s), w (s), то их, согласно резуль татам классической теории, можно определить с помощью формул
и= — s2r sin & -f- ^6° + | (si cos ® ~h W sin &) dsJ cos &,
(9.78)
w= e2rcos b -f- + J (ex cos &-f- VPsin &) ?j sirn &,
где e° — постоянная, определяющая жесткое смещение оболочки вдоль оси z.
Аналогично классической теории, введением искомой ком
плексной функции |
о (s), |
которая |
посредством искомых функций |
|
W и V представляется формулой |
|
|
||
0 = |
i |
Y ' i V’ “ о = ВпВп - В\2, |
(9.79) |
система разрешающих уравнений (9.74) с точностью Jcji может быть приведена к одному дифференциальному уравнению^второго порядка относительно искомой комплексной функции о:
|
^ > + ‘ т ) 3 | ’ = ф'' |
Р - * » |
где |
_ |
|
|
|
< 9 - 8 1 > |
Постоянные интегрирования разрешающих |
уравнений (9.74) |
|
и (9.80), а |
также Р° и е° должны быть определены из граничных |
условий, структура которых, как правило, совпадает со струк турой соответствующих граничных условий классической теории.
156 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
1ГЛ. I |
§ 10. Классическая теория анизотропной слоистой оболочки, составленной из нечетного числа слоев,
симметрично расположенных относительно срединной поверхности
Рассматриваются оболочки, составленные из нечетного числа (2/п+1) однородных анизотропных слоев. Слои, симметрично рас положенные относительно координатной поверхности у = 0 , имеют одинаковые толщины и одинаковые физико-механические свойства. Координатная поверхность у = 0 является срединной
|
поверхностью |
как |
среднего |
||||
|
слоя, |
так и всей оболочки в це |
|||||
|
лом (рис. |
33). |
|
|
|
||
|
Основной предпосылкой для |
||||||
|
построения теории является из |
||||||
|
вестная гипотеза недеформируе- |
||||||
|
мых |
нормалей, |
принятая |
для |
|||
|
всего |
пакета оболочки в целом. |
|||||
|
Принятие гипотезы недефор- |
||||||
|
мируемых |
нормалей |
(см. вве |
||||
|
дение, § 4, |
п. |
1 и гл. I, § 1), |
||||
|
очевидно, освобождает нас от не |
||||||
|
обходимости |
рассмотрения |
пе |
||||
|
ремещений и деформаций каж |
||||||
|
дого слоя в отдельности. Имея |
||||||
|
деформации удлинения и сдви |
||||||
|
га, а также параметры, харак |
||||||
|
теризующие изменения кривиз |
||||||
|
ны и |
кручения |
срединной по |
||||
|
верхности |
|
оболочки, |
можно |
|||
|
определить |
элементарным |
пу |
||||
тем деформации и |
перемещения любого |
слоя |
оболочки. При |
||||
этом, как нетрудно |
заметить, все характеристики деформации |
и перемещения каждого слоя получаются из перемещений средин ной поверхности некой приведенной однородной анизотропной оболочки.
1.Перемещения, деформации, уравнения неразрывности де
формаций срединной поверхности. В силу основной гипотезы из шести соотношений (6) третье, четвертое и пятое соотношения
приближенно могут |
быть |
заменены |
равенствами |
|
|
|
е т — |
0 , |
е ? г = |
еув0 =, 0 |
( 1 0 . 1 ) |
или для отдельного |
1-го слоя |
оболочки |
|
ег~ 0, е^ = 0, е‘а = 0. |
(10.2) |
§ 10J |
|
ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ |
|
157 |
|||||||
В |
силу |
(10.1), (10.2) |
из |
(15), |
полагая, |
что при |
у = 0 |
м* = |
|||
= и(а, (3), |
uj = tf(a, |
(3), u* = |
w(a, (3) |
легко |
получить |
(см. ход |
рас- |
||||
суждений § 1 |
гл. I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
K = |
( l + feiT)«— |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
(! Ч- *2Т) ^ |
|
|
( |
|
10-3) |
|
|
|
|
|
и < = |
г г * ' ( Ра , ) = |
ш |
( а , |
Р ) , |
|
|
|
где |
и (а, |
(3), |
у (а, |
|3), |
w (а, (3) — перемещения соответствую |
||||||
щей точки |
срединной поверхности оболочки. |
|
|
Таким образом, гипотеза недеформируемых нормалей, данная для всего пакета оболочки в целом, безотносительно к слоис тости, приводит нас к обычной геометрической модели деформи
рования (10.3). |
Вследствие |
этого деформации |
отдельных слоев |
||||
оболочки е‘ , ej, |
могут |
быть представлены в |
виде |
двухчлен |
|||
ных разложений по степеням у в виде |
|
|
|
||||
e‘ = |
si + |
T*i. |
= |
®2~Ь Тх2> <р = ®+ |
Ге. |
(10.4) |
|
где для коэффициентов разложений имеем |
|
|
|||||
|
si = |
T |
B. « |
+ i 4 .Pi; + |
*iu;’ |
|
|
|
е2= |
4 ‘ |
|
B,u + |
k2w, |
|
(10.5) |
— т ( т |
+ к^ Л + К р i — ® 0' |
|
( 10.6) |
Коэффициенты разложения е1( . . ., т, которые характеризуют деформированное состояние слоистой оболочки, имеют тот же смысл, что и в случае однослойной оболочки, т. е. представляют относительные деформации удлинений и сдвигов, а также изме нения кривизны и кручения срединной поверхности оболочки.
Принимая (10.5) и (10.6), получим для уравнений неразрыв ности деформаций срединной поверхности слоистой оболочки обычные представления (1 .8) или (1 .8/), справедливые для одно родных оболочек.
158 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
2. Напряжения в слоях. Пользуясь основной гипотезой, пре небрегая напряжениями о* и учитывая, что в каждой точке каж дого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой сим метрии, параллельная срединной поверхности оболочки, из обоб щенного закона Гука (6) получим
(10.7)
<з = |
+ Ф ? + |
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора напряжений в каждом слое оболочки и учитывая при этом (10.4), найдем
|
= |
Я П61~|~ |
ВI2e2~h^1в(0“Ь Т (Я ИХ1+ |
Я 12Х2 + В1б'С)> |
( 10.8) |
|||
|
= |
Я 12® |
В22^2~hЯ 26Ш“Ь Т (В 12Х1+ |
Я 22Х2 “Ь Я 2вХ)> |
||||
|
Т«|3= |
В[в«1 + |
В\йS2-f-B'6fs(Й-)- у (5 )6Xj |
-j- 5*6Х25 j6X), |
||||
где для коэффициентов B jk каждого слоя оболочки имеем |
|
|||||||
В 11 — (а22а1в |
1а2вУ) |
*> Я 16 = |
(®J2®26 |
а22й1б) |
|
|||
■ ®22 = |
(а11й6в |
|
[а1б12) |
Я26 = |
(а12а16 |
®и®2б) |
|
|
= |
(®11®22 |
Г®1г1") |
В12= |
(а1ва26 |
а12абб) |
|
||
Q{ = |
(®11®22 |
|
[а1г12)a ea ~t~^а12а‘ба2в |
а 11 [а2б]2 а22 [®1б]2' |
|
Отличные от нуля напряжения x*v, т*7 и о* (которыми мы
ранее пренебрегали) могут быть определены из уравнений равно весия (16). Аналогично (1.12), они запишутся следующим об разом:
ъ = -н ? н ? {[ [# !( В д . . - |
В Д , ао<+ |
|
+ (Л ’Кр), р] dy + ср. (a, |
P)J , |
|
х<7 = -Н ? Н ? { J [Я 2(Н1с<)1„ - |
В Д , ^ |
+ |
+ (ЯК Д Jd y - f Ф,.(а, |
(10.10) |
|
Р)}, |
^ = Я -'Я 2- {( [Я 2Л^а‘ + //,5^* _ (Я2х Ц . -
|
|
— (//i'cp7),|i] dT + х<(*. |
Р)}- |
|
Здесь, |
(я, Р), |
()j. (а, Р), х < ( а, |
Р) — функции |
интегрирования, |
которые |
могут |
быть определены |
из условий |
на поверхностях |
§ 10] |
ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ |
159 |
контакта смежных слоев и на внешних поверхностях оболочки (1.13).
3. Условия контакта смежных слоев. Ранее, при формули ровке исходных положений для слоистой оболочки, было указано, что слои оболочки работают совместно без скольжения. В силу этого напряжения и перемещения отдельных слоев на поверх ностях спая должны удовлетворять следующим условиям кон такта:
( 10. 11) ( 10. 12)
Гипотеза недеформируемых нормалей, сформулированная для всего пакета оболочки в целом, привела нас к геометрическим
соотношениям |
(10.3), |
вследствие чего условия контакта (10.11) |
||
выполняются |
автоматически. Из |
условий |
(10.12) совместно |
|
с (1.13) могут |
быть |
определены |
функции |
интегрирования ср,., |
Ф<> X, и> как нетрудно сообразить, первые три уравнения равно весия дифференциального элемента оболочки hAB da d(3 конеч ной толщины h.
4. Об уравнениях равновесия и граничных условиях. Поступая точно так же, как и в случае однослойной оболочки (см. гл. I,
§ 1 , п. 6), мы придем к уравнениям равновесия, которые, оче видно, не будут отличаться от аналогичных уравнений одно слойных оболочек:
-(к ,Т , + к2Т2) + |
± |
P J , . + |
(AN2)t„] = |
Z, |
(10.13) |
. + № |
) , |
р+ ^ р# 12- |
В , ЛМ2= |
ABNV |
|
(AM2)t р -|- (ВП12) а-\-В аН21— A' pil/j = A B N 2.
Здесь при определении грузовых членов должны быть учтены весовые характеристики отдельных слоев, т. е. объемные силы должны быть определены с учетом слоистости оболочки.
Граничные условия классической теории анизотропной слои стой оболочки, как и в случае однородной оболочки, описыва ются для линий, принадлежащих к поверхности f = 0, т- в. для не которой приведенной двухмерной задачи. Поэтому граничные условия слоистой оболочки ничем не отличаются от соответству ющих условий однородной оболочки.
5. Соотношения упругости. Из условий статической эквива лентности напряжений и внутренних сил и моментов для танген циальных (Г х, Т2, S12, S21) и поперечных (Nlf N 2) сил, а также
160 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
для изгибающих (Mv М 2) и крутящих (Я 12, Я 21) моментов, от несенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, аналогично (1.15), получим (рис. 33)
^ m + i
Г — — S а » « Я
|
|
“ |
A m + i |
|
|
|
|
|
* m + i |
|
|
|
|
С |
__ |
1 |
Aiw |
\ |
тЭ+ 1 # |
2 Й Г |
° i 2 |
— |
F |
||||
|
|
“ |
f l |
|
|
|
|
|
А »| +1 |
|
|
|
|
|
|
|
S |
' Г т + 1 Я |
2 А |
|
|
|
- * * ? » + |
! |
|
|
|
|
|
А т + х |
- |
г |
д |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
“ |
^ m + i |
|
|
тh g
2+ |
+ ° « Я| ^ |
2’ |
S |
в«*1 |
Л в + 1 |
|
|
тА $
+ |
| |
S- 2 |
+ 1 |
= |
• |
|
в=»1 |
А $ +1 |
|
|
|
тh 8
+ 2 1 - |
Ч Sт ^ |
Т * |
^ 2 = |
• |
(10.14) |
« = 1 |
А 8+1 |
|
|
|
|
я * |
А * |
2 ^1т > |
^2 2 |
|
S |
а |
т а « +‘ я |
= |
|||
в2® ! |
А в^.| |
|
|
|
|
я 12 = ~ j |
^ т+1Я 2й т + 1 2 S хичнЖ ’ нп = -- |
-hm+i |
»“1й«+1 |
Напомним, что и в случае многослойных оболочек, заменяя напряжения статически им эквивалентными силами и моментами, мы, по сути дела, взамен трехмерного неоднородного (слоистого) элемента оболочки рассматриваем соответствующий приведенный двухмерный элемент конечной толщины h.
Подставляя значения напряжений из (10.8) в (10.14), по лучим следующие, наиболее простые, соотношения упругости, которые не противоречат шестому уравнению равновесия (1.23):
Т\ — £це1 + |
Cl2e2+ |
^ 1вС0> |
^2 = |
^ 22®2 + ^ 12е1 + Аб®» |
|||
Sl2= |
-f- CjgSj + |
С26е2+ |
+ (Аб^ + |
А в х1 + |
^ 2вхг)’ |
||
+ 1 — Аб® + |
Ав®1 + |
А б £2 + |
^1 ( |
+ |
А в х1 + |
^26хг)> |
|
Л/l = |
A JXJ-f- Z)j2x2-f- Я 16Т, |
M2 = |
Д22Х2 + А г х1 + ®26Т> |
||||
Я = |
Я 12= |
Я 21 = Я6вг + А |
л + |
Я26х2, |
|
||
где для жесткостей |
имеем |
|
|
|
|
||
|
|
|
^ +Л п+1 + |
| 5 * Л ^ . - й <+1)], |
|||
|
|
— з ^ |
3m+i + |
2 |
B% ( ^ - V i ) | . |
||
|
|
|
|
|
«-1 |
|
j |
(10.15)
(10.16)
(10.17)
Здесь и в последующем формулы для определения 7VX и TV2 не приводятся, так как при наличии известных соотношений