книги / Общая теория анизотропных оболочек

6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 81

плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверх­ ности оболочки. Эти обобщения громоздки, но осуществляются простыми средствами. В этом легко можно убедиться, внимательно проследив за ходом последующих рассуждений и за результа­ тами, приведенными в следующем параграфе настоящей главы.

Как было указано выше (см. введение, § 4, п. 2), частично уточ­ ненная теория оболочек основывается на трех предположениях, которые аналитически представляются следующими приближен­ ными равенствами;

еТ = 0> Т«Т= ТаГ> Vr= TPY> °т^0’	(6.1)

где х®г ит^ — касательные напряжения, найденные по классической

теории и, как показано выше (1.17), равные

^ = x 1+ i x ! + ( | - % ) щ

(6.2)

Здесь Х п Y ( определяются согласно (1.19), а поперечные силы классической теории №{ — из полученных ранее формул (5.13).

Пусть теперь

							о, лгг= й Ф 0;				(6-3>
тогда	согласно			(5.5),	(5.12),		(5.13)		для	известных	функций
<р0 (а,	Р),	<J>0 (oe,	Р), которые			определяются положениями класси­
ческой теории,			легко записать:
		* о =		- А	{ ^	7 » ( * « ) 1 +		^	7 * ( * « ) +
				+ ± [B I2(BV) ] - ^ / 2 (5 22)}н;0,
											(6.4)
				+ | И / 2 (5 22) ] - ^ / 2(5 и) } ш0,
/ /в	\	ГД/*		Л ,	^ дб д~] | р			/сГ д2___ 1_дВд			_J_
ik>		В		д$)>~ А* да				L<)a ^		В дл д}
						j . h jL \ l(L L \ A . L Ad ^ \					(6.5)
						1"	A | _ М л		да)~Г	В* dp
где w0—w0(а, р) — нормальное перемещение,										определяемое клас­
сической		теорией.

6 С. А. Амбарцумян

82	РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК	Ггл. I
В силу	формул (6.1)—(6.3) из обобщенного закона Гука для

ортотропных тел (7) для деформаций поперечных сдвигов получим

е-т = аи*г-+ Г	« и * . ' + Т ( т - Т 2)То.
1	«4*^2+^	Т2) to-

где в правых частях равенств стоят известные величины и функции»

Здесь для коэффициентов упругости ан, согласно (7) и (8),		имеем
055= 1/(7x3,	ам = 1/(?2з.
1.	Перемещения и деформации. В силу основной	гипотезы

итерационной теории нормальное к срединной поверхности обо­

лочки перемещение и	не зависит от координаты	у, т. е. имеем
ет =	вт> т= 0, ит= w(а, р),	(6.7)

где w—w (а, р) — нормальное перемещение всех точек данного нормального элемента оболочки, в том числе и точки, которая принадлежит срединной поверхности.

В силу (6.6), (6.7) и (17) из последних двух соотношений (15) получим

1

__ __________1______... _|_____ а55

V

I

А (1 +

AlT)

J,r

АЦ1 + * i f ) 2

А (1 +

1_1“

_ I_ J L ___ _______ х

, ______ ^55____ ( ^

„

2

^

^

h

Л ( 1 + А 1Т)

2 + 2 Л (1 + А П ) U

1 Г

0'

(6 8>

Г

1

7т 1 _ ._ _ _ _ _ _1

ц.

I аи Y 4-

U

(1 +

k2t )

В* (1 +

* 1 Т ) *

“ 7.Э +

в (1 +

Л , if)

z 1 +

^

JL

°44

у

-I_______а44

/ * ?

Y2^ Ф

h

В (1 +

к2ч)

2^ 2 в

(1 +A jrt)

l

) r o -

Интегрируя полученные уравнения по у в пределах от нуля

до у и полагая, что при у=0 иа~ и (а, р), Ир=в (а,

р), с точностью

технической

теории

найдем

иа = и

(6.9)

Up — V

где и=и (а, р), v=v (а, р) — искомые тангенциальные переме­ щения соответствующей точки срединной поверхности.

Отметим, что при получении формул (6.9) отброшены некото­ рые несущественные с точки зрения технической теории члены на­ грузочного происхождения. В частности отброшены члены

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 83

в формулах (6.9) можно установить с помощью уравнений равнове­ сия в перемещениях.

Таким образом, формулам (6.7) и (6.9) соответствует геометри­ ческая модель деформирования оболочки в случае итерационной теории. Рассматривая (6.7) и (6.9), замечаем, что, как и в класси­ ческой теории, нормальное перемещение какой-либо точки обо­ лочки и не зависит от координаты у, а тангенциальные перемеще­

ния иа и и?, в отличие от классической теории, зависят от у не­

линейно.

Искомые перемещения и, v, w, через которые представлены перемещения какой-либо точки оболочки, являются функциями лишь криволинейных координат срединной поверхности а и р . Известные функции <р0 и <j>0 также зависят лишь от переменных а и р. Поэтому можно привести, базируясь на соотношениях (6. 7) и (6. 9), трехмерную задачу теории упругости анизотропного тела

кдвухмерной задаче теории оболочек.

Всилу формул (6.7) и (6.9) деформации оболочки еа, ер,

могут быть представлены в виде разложений по степеням у; при этом, с точностью (6.9), можно ограничиться первыми четырьмя членами разложений, а именно:

(6.10)

Третьи члены приведенных разложений, т. е. члены с у2, не

выписываются, так как			они,	с точностью технической			теории,
в разложениях (6.10)		пренебрежимо малы.
Подставляя значения			иа,	и	соответственно	из	(6.7) и
(6.9) в	соотношения (15)		и при этом учитывая, что# !1 =				Л -1 (1 —
— А,Т +	K f - . . . ) ,	Щ 1= Я " 1 (1 -			А2у + k lf - . . . ) ,	а также (2),

приравнивая затем полученные представления к соответствующим разложениям (6.10), получим для коэффициентов разложений формулы

(6.11)

6*

84 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

структура которых ничем не отличается от структуры соответ­

ствующих

коэффициентов

деформаций

классической теории:

д _ ( _ 1 dw \

д А

dw

А

да

\ А да )

А В 2

др ~ж>

. [ h *

[

1 df0

,

1

дА

\1

' {

8

V*55 А

д

а

' а “

А В

0 }

'

1

<3/1

\

1

д В

dw .

: ~ "б

I f

\~В ~df) ~

~1Ш

Ite

"г"

(6.12)

, ГЛ2

/

1 <?Фо

,

1

д В

\1

+

{

8

\а и

В

^

^

А

В

да 'Pojj >

2

/ d^w

1 д А

dw

1

д В

dw

\ ■

А В

\(?а dj3

А

д$

да

В

да

д$) *

+ {

4

[ а 55 4 4

©

+

4

4

(4

)]};

коэффициенты (6.12) по структуре отличаются от формул компо­ нент деформаций изгиба и кручения классической теории лишь членами в фигурных скобках и представляют известные функции, характеризующие учет поперечных сдвигов.

Наконец, имеем еще три коэффициента разложений, которые в классической теории вовсе не фигурируют, а целиком являются продуктами учета поперечных сдвигов:

	&о =	1 Г	1 д90 ,	в44	1 д А	Vol >
		~■б"[.а№Х 'л Г +			А В

	1 г		1		1	д В		(6.13)
	6 [ ° 44 в		дЭ	+ ° 53	А В	да	'Ро]•
>®=	1 Г	А	д	/ ?о\	, „	В	д /фпУ1
	О|_ 55	В	db	V А ) +		44 А	да VВ AT

2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Для определения напряжений в ортотропной оболочке из (1.9) полу­ чим следующие формулы:

°« = -®11еа 4 ®12ер> °р ^ 22ер 4” ^ ]2еа> ТяЗ	(6.14)

где для В.к согласно (1.34) имеем

	а — 1	_	VlV2	-		В0« =
						22-------- 1 .
	В„ =
		Ум		.	ViЕо	(6. 13)
	В12 — 1					, В$$ — Gn .
		_	VlV2		1 .

$ 6) ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 85

Подставляя значения еа, ер, еа(3 из (6.10) в (6.14) и учитывая

формулы (6.11)— (6.13), получим для расчетных напряжений

=	A i [® 1 + P i — 3 7 ( т г “			? г ) & ° ] +
			+ Я н [ « > + т * 2 - 3 т ( х —		f ) * . }
Зэ =	В 22[®* +	7*2 — 3Т (- J- ~		~ f ) &г ] +	( 6 . 1 6 )
			+ A 2[ ei + P i — Зт ( т —		" т ) *?] *
V =	Ав [ “ +	Р - 3Т (-Т- ■—		г ) х°] *
где для х< и т,			как обычно, имеем
	*г~		— т ( т	А В ^ ’Р^Р’
	*2== ~ т ( ~ В			~B A?B '*W‘ «'	(6.17)

т= — T B ( u,.«

Всвязи с этим из (6.12), согласно (6.13), для коэффициентов разложения х* и т* имеем

«; =	х1— J .A%				х ;= х 2- | -h4*, т * = т - | а « .				(6.18)
Подставляя	значения				напряжений		из	(6.16) в (1.15), для
внутренних	сил	и	моментов			с точностью		технической	теории
получим
^1 =	Al®l “Ь Аг®2>				^2=	А 2® “Ь Аг®1*		АбШ»
М1=	A i* i -J- Z)12x2				5“ (Ai® i ~f- Аа^®)»
у¥ 2=	А л +		А	л	(Аа»2 +		Аа»!)-		(6. 19)
Я =	Овв( т	- ^		1 х«).

86	РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК		[ГЛ. I
	Подставляя	в последние три формулы (6. 19) значения Of,
Х°	из (6. 13),	получим окончательно:

Поперечные силы N x и N 2 должны быть определены, как и

б случае классической теории, из уравнений равновесия. Однако

сдостаточно высокой точностью можно считать, что они, анало­ гично касательным напряжениям т и т^, не отличаются от соот­

ветствующих поперечных сил классической теории, т. е. согласно (6.3) можно считать

( 6. 21)

Рассматривая формулы (6.19)—(6.21) для внутренних сил и моментов, замечаем, что учет явлений, связанных с поперечными сдвигами, который мы, по сути дела, имеем в итерационной тео­ рии, представляется в виде поправочных членов с множителем h2/10, входящих в формулы внутренних моментов (6.20). Эти по­ правочные члены существенным образом зависят от относительной толщины оболочки и от отношения упругих постоянных материала оболочки в срединной поверхности Bik к модулям поперечных сдвигов Gi9. (В этом легко убедиться, рассматривая (6.4) и вспоми­ ная, ЧТО ви= Сщ, ^ 5 5 .).

При рассмотрении тонких оболочек неоправданной роскошью является принятие нелинейного закона распределения напряже­ ний по толщине оболочки (6.16). Ограничиваясь в разложениях (6.10) лишь первыми двумя членами, получим для основных напряжений

- | л 2( а д + з д ) ] ,

(6.22)

- т Л2( а д + а д ) ] ,

$ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 87

Тогда изменения будут претерпевать лишь моменты, которые в этом случае запишутся следующим образом:

Рассматривая (6. 20) и (6. 23), замечаем, что новые, приближен­ ные представления моментов отличаются от первоначальных лишь коэффициентами при поправочных членах. В одном случае имеем h2l10, в другом — №18. Многочисленные подсчеты показывают, что в реальных оболочках изменение коэффициента при поправочных членах на 25% незначительно влияет на общие значения момен­ тов, а тем самым и на все расчетные величины. В этом мы убедимся при рассмотрении конкретных задач.

3.Разрешающие уравнения. Уравнения равновесия элемента

оболочки в случае итерационной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений классической теории.

Из уравнений равновесия технической теории оболочек (5.3), исключая N i и vV2, получим

к1Т1+ К Т2— £ в { ^ К ВМ1).*+(АН).> +

(6.24)

+ А, - в,А ][а■ --Хв { т г +

Подставляя значения внутренних сил и моментов из (6.19) и (6.20) в уравнения равновесия (6.24), с учетом (6.11)—(6.13) будем иметь

Ln {Cile) а -f- ^12 (^ik) v “Ь L * (Cm) W —		(6.25)
^12 (Cfk) U+ ^22 (^ik) V+ ^23i^ik) W =	Yi
L13 (Cik) U + L 2з(Ca) v + L ^ (Cik, Dik) w =	Z*,

88

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

где для грузового члена третьего уравнения имеем

- а д ^ + Д в в [ ( ^ ° ь + л Л 1} 10-

- D uBtt0» + Я 66 [(В\°)' . + Я a\o]]Jy

(6.26)

Система дифференциальных уравнений в перемещениях (6.25) является разрешающей для нашей задачи. Левые части уравнений этой системы полностью совпадают с соответствующими уравне­ ниями классической теории. Что же касается грузовых членов, то они совпадают лишь в первых двух уравнениях, в третьем же уравнении грузовой член дается формулой (6.26) и легко вычис­ ляется, если известно решение рассматриваемой задачи в класси­

ческой	постановке.
Поправочный		член грузовой функции Z* (а,				р)		содержит
функции № (а,		р), 1° (а,	р),	которые	через <р0 (а,	р) и		ф0 (а, р)
представляются		формулами		(6.13). Последние в		свою		очередь
с помощью формул (6.4)			выражаются через функцию				w0(а, р).
Как	известно,	w0(а,	р)	является	нормальным		перемеще­

нием оболочки, определяемым классической теорией. Таким образом, поправочный член грузовой функции Z* может быть представлен нормальным перемещением w0 (а, р), которое опре­ деляется в результате решения соответствующей классической эадачи.

Разрешающие уравнения технической теории анизотропных оболочек, построенной с учетом явлений поперечных сдвигов, могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.

Полагая

(6.27)

где F = F (а,	р ) — искомая	функция напряжений, удовлетворим
тождественно	(с точностью	технической	теории)	первым двум
уравнениям равновесия (6.24) (при X =0,			Y =0 ),	а из третьего

§ в] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 89

уравнения получим
" ж [ ж ( т к* 1 т ) Ь	—
1 д ( 1 ГдВМ,	. дАН . дА „	дВ л. Ц

1	Г	ГдАМ		дВ_Н _ ^ м ^ „ 2	(6.28)
	д г 1	VdAM3 j i дВН +
а в	{i? LФ		да

Решая соотношения упругости (6.19) относительно компонент деформаций и учитывая формулы (6.27), будем иметь

где			е2— Л (^ 22)^ »		ш— АС^ее)^1»					(6.29)
Т ( Л	\	< 3 \ , ^		А щ Г	<?г	1	дБ д	1	дА	д '
11\л 1к>—		в	д$)~*~А*да да]	_да др		В	да д$	A	dfi	да[] +
				АВ |_о
		И	г [ я ( x i ) +	i > w	i l	4 . = “«*■*!				(в-30)

при этом для рассматриваемой ортотропной оболочки согласно (7), (8) и (1.33) имеем

1

1

_

1

п

а”

— % '

~ Т 2 *

®66 —

Gi2 ’

а1в —

и’

(6.31)

а 12~ — ~S~ -- F" > А 2 =

Я2в =:

Из соотношений упругости

(6.19) в силу (6.17)

получим для

моментов

следующие выражения:

М, =

- / , (A ,) w - ™

(Du«? +

Dta8®,

М2 =

_ / 2 (Dn) w- Щ - (D.8 8 +

A 2&I)»

(0.32)

Н =

-

где

Т /Г) \ __

A fc f" ^

^ \ I__1

д 1 ■ Г) Djlc Г____д*

1 <ЭВ д

1

I t\Lyik)

В

А* да

В д ^ Щ ' А йр'да]"Ь

, ^ и Г —

Г)

__ R

*3.

(6.33)

‘

А

\_да\А да)~*~Вгд$

J ’

л <*12

Напомним при этом, что для ортотропной оболочки

« И

я_1_

Р

в м ==С ц _

с ,

* , . vlv2

®22— f^T VjV2

(6.34)

в 12 ‘

vlv2

B JJ —- в м — . 0 .

90

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

(ГЛ. I

Наконец, укажем, что уравнение неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки и в итерационной теории остается неизменным, т. е. имеет вид

Подставляя значения моментов из (6.32) в уравнение равнове­ сия (6.28), а значения деформаций и компонент изменения кри­ визны и кручения соответственно из (6.29) и (6.17) в уравнение неразрывности (6.35), получим следующую систему разрешаю­ щих дифференциальных уравнений итерационной теории:

(6.36)

где для линейных операторов L 2, L3, Vk имеем обычные представле­ ния (5.14), а грузовой член Z* определяется по формуле (6.26).

Полученная здесь система дифференциальных уравнений (6.36) совпадает с соответствующей системой разрешающих уравнений классической теории (5.14), отличаясь лишь грузовым членом Z*.

В целом же итерационная теория существенным образом отли­ чается от соответствующей классической теории. Это отличие

видно как	из формул для	определения напряжений (6.16), так
и из формул внутренних моментов (6 .20).
Искомые функции и (а,		Р), v (а,	р), w (а, р) в первом случае
(уравнения	(6.25)) и и; (а,	р), F (а,	р) во втором случае (уравне­
ния (6.36))	должны удовлетворять		не только соответствующим

уравнениям, но и граничным условиям, которые, как правило, имеют структуру граничных условий классической теории.

Наконец, укажем, что если ограничиться лишь первыми двумя членами разложений (6. 10), то для напряжений и внутренних усилий будем иметь ранее полученные формулы (6.19) (первая строчка), (6.22), (6.23), (6.27), а грузовой член Z* несколько из­ менится (входящие в (6.26) поправочные члены вместо множи­ теля 3/i2/5 будут иметь новый множитель Зй2/4).

Полученных выше общих результатов вполне достаточно для рассмотрения отдельных типов оболочек по итерационной теории. В последующих пунктах параграфа, не вдаваясь в подробности, рассмотрим частные случаи оболочек.

4.Техническая итерационная теория ортотропных оболочек,

для которых приближенно или точно можно принимать А = const, В =const, fcx=const, fc2=const. Здесь мы имеем в виду весьма по­ логие оболочки в соответствующей системе координат (см. пункт 2 § 5), цилиндрические оболочки на уровне технической теории (см. пункт 2 § 3) и др.