книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов
..pdf^ x xx3\ ~-±-x2x3 и ± x xx2x3. Но в данном случае предполагается, что взаимодействие ххх2 значимо, поэтому его в генерирующие соотно шения включать нельзя. Припишем фактору х4 например, знаки
взаимодействия |
ххх2х3 (х4 = xxx2x3)t |
а |
хь — знаки взаимодейст |
||
вия х2х3 (хь = |
х2х3). Таким образом, |
с |
помощью |
получившейся |
|
дробной |
реплики 2 5 2, имеющей определяющий |
контраст 1 = |
|||
= ххх2х3х4 = х2х3хь — ххх4хъ> можно |
получить оценки коэффи |
||||
циентов модели (2.36) независимыми друг от друга. |
|||||
2. |
Изучаемые k факторов можно разбить на две группы. В одну |
из них входит d факторов, в другую k—d . Требуется определить независимо друг от друга все k линейных эффектов, а также пар
ные взаимодействия факторов каждой из групп между собой, т. е.
построить |
модель |
|
|
|
У = |
ь0 + X b tXi + |
X bijx ixt + |
X |
btjXiXj. (2.37) |
Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий незначимы.
Число членов модели (2.37)
l ^ l - ' r |
k ^ C l |
+ C L d. |
(2.38) |
Для составления плана |
вновь |
выбирают |
полный факторный |
эксперимент (N ^ /) и его эффекты взаимодействия заменяют до
полнительными факторами так, чтобы факторы каждой группы не приравнивать каким-либо парным и тройным взаимодействиям факторов соответствующих групп. Кроме того, парные взаимодей ствия факторов обеих групп не должны совпадать.
Предположим в задаче изучаются семь факторов (k = 7 ).
Из априорных данных известно, что линейные эффекты всех фак торов должны быть значимы и ожидаются значительные парные эффекты взаимодействия трех и четырех факторов из рассматривае мых семи.
|
Разделим факторы на две группы. В первую включим тр« фак |
|||||||
тора: х1Ух2 и х 3 (d = |
3), во вторую — четыре: х4, х5, хв и х7 (k — |
|||||||
— |
d = 4). Следовательно, |
необходимо построить |
модель |
|
||||
|
«/ = &(,+ |
X |
b ix i + |
X |
bijx ix j -\- |
X |
bijXiXj |
|
ИЛИ |
l < f < 7 |
|
1 < / < / < 3 |
|
4 < i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
|
|
|
|
| Ь4ъх 4х ъ Ьм х4хв + |
|
|
|
У = Ьц -1- X b tx t + ь 12х гх 2 -J- Ь13х 4х3 |
\- b.a x 2x 3 |
|
|||||
|
f= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ь „ х 4-V,-|- ьъйхъхе + |
657х5х7 -|- Ьт х3х7. |
(2.39) |
|||||
+ |
Число членов модели (2.39) / = |
1 + Л + |
С® + |
С ? = 1 + 7 |
+ |
|||
3 + 6 = 17. |
выбирать |
полный |
факторный эксперимент |
25 |
||||
|
Приходится |
с числом опытов 32, так как 16 опытов эксперимента 24 недостаточно для оценки 17 коэффициентов модели (2.39). Запишем план 25 для факторов х г , х 2, х 3, х 4 и х ъ. Этот план позволяет получить для
91
факторов первой группы (xlt х2 и х3) оценку линейных эффектов
и парных взаимодействий независимыми друг от друга. Факто рам х8 и х7 в данном случае можно приписать любые взаимодей ствия плана 2 5, кроме взаимодействия поскольку х4 и лг3 входят в ту же группу, что хв и х7. Чтобы получить наибольшее
разрешение дробной реплики, приравняем хв, например, взаимо
действию ххх2х3 (хв = x1x2x3)i |
а х7 — взаимодействию хгх4х5 (х7 ее |
= *1 X4X5). Таким образом, |
с помощью получившейся дробной |
реплики |
27-2, |
имеющей определяющий контраст |
1 ~ *iX2*3*e = |
ее ххх4хъх7 = |
х2х3х4хъх8хъ можно получить оценки коэффициентов |
||
модели (2.39) независимыми друг от друга. |
независимо друг от |
||
3. |
Для |
изучаемых k факторов требуется |
друга оценить все линейные эффекты, а также парные взаимодей ствия d факторов из k между собой и с оставшимися (k — d) фак
торами, т. е. построить модель
У — Ь0~г |
btXi -(- |
bijXiXj -)- |
|
|
|
1 < i < k |
|
I |
|
|
-I- |
Yi |
bijXiXj. |
(2.40) |
1.2......d<i< /<rf+2........k |
|
Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий незначимы.
Число членов модели (2.40)
/ = 1 + k + Cl + d (k - d).
И опять основой плана является полный факторный экспери мент (N ^ /), эффекты взаимодействия которого заменяют допол
нительными факторами. При этом генерирующие соотношения не должны включать каких-либо парных или тройных взаимодействий между d факторами, а также между одним или двумя фактором из d и (k — d) оставшимися.
Предположим в задаче изучаются девять факторов (k = 9 ).
Наиболее важными для экспериментатора являются три первых *ъ х2, х3 (d = 3). Необходимо оценить линейные эффекты всех
девяти факторов, а также эффекты парных взаимодействий первых трех между собой и с остальными. Эффекты более высоких поряд ков, а также парные взаимодействия факторов х4, х5, хв, х7, х8 и х9 предполагаются незначимыми. Таким образом, необходимо
построить модель
у = ь0 + |
Е ь (х , + |
Г |
bijXiXj + |
S |
bijXtXj |
|
|
1<г<9 |
K fV /< 3 |
1, |
... , 3 < « / < 4 , .... 9 |
||
или |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У — |
btXi -f- bl2xxx2 + b13xxx3 -|- b23x2x3 -f- bHxxx4 - \- bibxxxb+ |
|||||
|
t=i |
|
|
|
|
|
+ |
&ie*x*e + |
bnXfy + |
b ^ X g + b^X g + |
bux2x4+ |
b2&x2xb-f- |
92
Ь28х2хв + b27x2x7 b28x2x8-f- bo$x2x9-f- Ьз4х3х4 - j - b3bx3x3-{"
+ |
636x3x6 |
b37X3X7 - f |
t з$х2х8-(- b39X3X9. |
(2.41) |
Число членов |
модели |
(2.41) |
/ = 1 + 9 + 3 + |
18 = 31- |
Выберем полный факторный эксперимент 25 с числом опытов ЛА = 32 > 3 1 . Запишем его для факторов хъ х2, X3J х4 и х5. Линей
ные эффекты и парные взаимодействия наиболее интересующих нас факторов х1( х2и х3 уже определяются независимо друг от друга. Факторам хв, х7, х8 и х9 в данном случае можно приписать любые взаимодействия плана 25, кроме хгх2, х4х3, х2х3, х^Хд, хгх4, хах5, х2х4, х2х5, х3х4, х3х5, xxx2x4f ххх2х5, xxx3x4f х4х3хь, х2х3х41 х2х3х5. Из остав шихся взаимодействий приравняем факторам хб, х7, х8 и х9 взаимо
действия, |
например, соответственно х4х5, |
х4х2х3х4, хгх2х3хь и |
|||||
X4X2X3X4Xg |
(Xg — Х4Х^УХ7 —. Х4Х2Х3Х4, Х8 — Х4Х2Х3Хд, |
Х9 — ХхХ2Х3Х4Х§). |
|||||
Таким образом, с помощью получившейся дробной реплики 29-4, |
|||||||
определяющий |
контраст |
которой |
1 = х4х5х0 |
= ххх2х3х4х7 = |
|||
~ ХхХ2Х3ХьХ8 = |
ХхХ2Х3Х4ХъХд |
= ХхХ2Х3Х5ХвХ7 |
= |
х1х2х3х4хвх8 = |
|||
— - X[Х2Х3ХаХв — |
X^XftXfXg — |
ХВХ-ХВ I- |
Х^Х8ХВ |
- XfiX-Xg ~ |
X^XQX^XQ |
||
= Х5ХвХаХ9 = |
Х1Х2Х3Х7Х8Х3 |
~ X lX 2X3Xi X;tX aX7XaXB, можно |
получить |
оценки коэффициентов модели (2.41) независимыми друг от друга. В заключение укажем на интересный способ достаточно про стого определения возможности выбора дробного факторного плана, позволяющего оценивать эффекты, априори наиболее важ ные для экспериментатора. Обычно, чтобы узнать, можно ли из выбранного плана 2й_^оценить нужные эффекты, приходится много кратно перебирать различные варианты смешивания эффектов, задаваемые разными определяющими контрастами. При этом в ито ге часто выясняется, что при выбранной дробности реплики нуж
ной системы смешивания нет.
Предположим, требуется из плана 2к—р оценить линейные эф
фекты k факторов хь х2, ..., хк и т их взаимодействий |
разных |
||||
порядков. Естественно, что должно выполняться условие |
|
||||
т < 2 k~p - k - 1. |
|
|
|
|
|
Обозначим взаимодействия через xk+jy где |
/ = |
1, |
2, |
т. |
|
Образуем произведения |
|
|
|
|
|
zk+j = |
(взаимодействие) *хй+у. |
|
|
|
|
Оказывается [112], |
что для существования |
плана |
2 к~р>обес |
печивающего получение раздельных оценок коэффициентов при переменных х0, хъ ..., xkt хк+ъ ...» xk+mt необходимо, чтобы число элементов хъ ..., хь хк+ь ..., хк+т для каждого zk+j и для про
изведений, включающих все возможные комбинации сомножи телей zk+jy не было равно 2 к~р — 2 или 2 к~р — 3 (как обычно, х,-
в четной степени равно 1, а* в нечетной х,).
Это условие является необходимым, но не является достаточным. Проблема нахождения соответствующего достаточного условия пока не решена.
93
Отметим, что если т <: 2к~р— k — 4, то необходимый план 2к~р
существует всегда.
Приведем несколько примеров. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. В задаче с четырьмя переменными (k = 4) требуется оце |
|||||||||||||
нить все линейные эффекты и парные взаимодействия |
хгх2, |
х2х3 |
|||||||||||
и хах4. Можно ли это сделать из плана 24"1? |
|
|
6 |
и |
24“4 — |
||||||||
В этом |
случае т — 3 = 24' 1 — 4— 1; |
24"1 — 2 = |
|||||||||||
— 3 = 5. |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Л'5 = |
|
z~ |
^2^3 » *^7 |
= |
^3-^4» |
|
|
|
|
|
образуем |
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
^5 ~ •^Х^'2^5» |
|
^7 |
“ |
^3-^4^7 |
|
|
|
|
|||
и перемножим их по два и по три: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z5z6 = |
ххх3хьх6; |
zbz7 = xxx2x3x4xbx7] |
|
|
|
|
||||
|
|
|
zez7 = |
х2х4х6х7; |
z5zez7 = ххх4х5хвх7. |
|
|
|
|
||||
Поскольку произведения zbz7 |
и zbzez7 содержат соответственно |
||||||||||||
по 6 и 5 элементов, план 24 1 для решения |
поставленной |
задачи |
|||||||||||
использовать нельзя. |
те же, |
что и в |
примере 1, |
но перечень |
|||||||||
2. Условия |
задачи |
||||||||||||
взаимодействий |
иной: |
ххх2у х2х3 |
и х2х4. |
Тогда |
zb = |
ххх2хъ\ ze = |
|||||||
= x2x3xe; |
|
z7 = |
х2х4х7; |
z5z6 — хгхах5хв; |
z5z7 = |
хгх4х5х7; |
zez7 |
= |
|||||
= х3х4хех7\ |
zbz6z7 = x4x2x3x4xbx^x7. Число элементов во |
всех этих |
|||||||||||
случаях не равно ни 5, ни 6, поэтому план 24' 1 можно |
использо |
вать для решения поставленной задачи. Действительно, если для переменных хъ х2, х3 записать полный факторный эксперимент 23,
а х4 приравнять |
—хгх3, то соответствующая полуреплика |
24"1 |
|
с определяющим |
контрастом 1 |
^ х хх3х4 позволяет оценить |
все |
линейные эффекты и коэффициенты при парных взаимодействиях хгх2, х2х3 и х2х4 независимо друг от друга.
3. Задача та же, что в примерах 1 и 2, но требуется оценить эффект взаимодействия ххх2хах4. В этом случае zb = ххх2х3х4х5
содержит 5 элементов, и поэтому план 24' 1 использовать нельзя. 4. В задаче с девятью переменными (k = 9) требуется оце
нить все линейные эффекты и коэффициенты при взаимодействиях
ххх31 хьхв1 хгх7, х2х9, х4хъи x2xsx9. Можно ли это сделать из плана 29"5? В этом случае т = 6 = 29~5 — 9 — 1, 29-5 — 2 — 14 и 29“5 —
— 3 - 1 3 . |
произведения |
zL0 =--- xxx3xl0\ zxx = хьхьхХХу |
z12 = |
Образуем |
|||
— ххх7х12; zxз = |
х2хьх13; zu = |
х4хьхХ4 и zXh — х2х8х9х13. Легко |
про |
верить, что любые комбинации сомножителей zk+j не содержат 14
или 13 элементов, поэтому план 29-5 можно попытаться использо
вать |
для решения поставленной задачи. |
5. |
Условия задачи те же, что и в примере 4, но вместо коэффи |
циента при взаимодействии ххх3 требуется оценить эффект взаимо действия х2х3. Тогда z10 = х2х3хХ0, a zlx — z15 останутся без изме нений. Но в этом случае оказывается, что zx9zxlzx2zx^x4zxb =*
94
= x1x2x3x4xex7x8xl0x11xl2xi3xuxl5 |
содержит 13 элементов, а по |
тому план 29‘5 использовать |
нельзя. |
В заключение отметим, что при практическом использовании описанного приема следует рассматривать только те комбинации сомножителей гй+/, в которых суммарное количество элементов не меньше, чем 2 к~р — 3.
Описанные выше регулярные реплики факторного экспери мента 2к в ряде случаев содержат слишком большое число опытов. Предположим, варьируются шесть переменных (k = 6), каждая
на двух уровнях. Из априорных данных известно, что отклик за висит не только от линейных эффектов факторов, но и от их пар ных взаимодействий. Эффектами более высоких порядков, скорее всего, можно пренебречь. Следовательно, необходимо строить мо дель
У = К + |
S |
bixi + |
X' |
bijXiXj, |
(2.42) |
1< i </г |
1 |
|
|
|
|
число членов которой при |
k = |
6 / = |
1 + |
k + C'l = |
22. |
Построить эту модель можно либо с помощью полного фактор ного эксперимента 2е, требующего 64 опыта, либо с помощью ре
гулярной |
полуреплики 2е"1 с |
определяющим контрастом 1 = |
= |
требующей 32 |
опыта. Регулярную четверть-реп |
лику 26“2 уже использовать нельзя, так как 16 ее опытов недоста точно для определения 22 коэффициентов модели (2.42).
Но оказывается можно поставить меньше 32 опытов, если воспользоваться нерегулярной репликой от полного факторного эксперимента 2*, состоящей из нескольких регулярных. В общем случае число опытов в такой нерегулярной реплике будет
|
N = |
£ |
2 к~р, |
(2.43) |
где v — число |
объединяемых |
реплик |
2 к~р. |
|
Например, |
в данном случае |
можно |
объединить три 1/8-регу- |
лярные реплики 26"3, получив нерегулярную реплику с числом опытов
J V = I , 2 6- 3= |
24, |
вполне достаточным для определения |
всех коэффициентов модели |
(2.42).
Общая процедура построения нерегулярных реплик l/2f от полного факторного эксперимента 2 к описана в работе [122]
(см. также [33]).
В табл. 2.8 приведены наиболее употребительные нерегулярные реплики 3/2Р от полного факторного эксперимента 2к. Для по
строения нерегулярной реплики следует в каждом случае объе динять указанные в табл. 2.8 регулярные реплики с соответствую щими генерирующими соотношениями. Составим, например, 3/4- реплику от полного факторного эксперимента 24. Как следует
95
Т а б л и ц а 2.8. Нерегулярные дробные реплики 3/2Р от факторного эксперимента 2k, получающиеся объединением регулярных реплик 2k~~p
Н ом ер р е гу л я р н о й р е п л и к и 2k Р и ген ер и р у ю щ и е со о тн о ш ен и я
1 2 3 О б о зн а ч е н и е
1/4-реплика |
1/4-реплика |
1/4-реплика |
и <м eg |
' S |
2 3 -2 |
2 3- 2 |
2 3 -2 |
реплика |
* М |
111 |
1 |
хг = |
х2 |
хг = |
х2 |
от 23 |
|||
*1 |
= |
XZ |
* 1 = |
х3 |
ХТ = |
— * з |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О) |
|
|
|
|
1/4-реплика |
3 / 2 |
__ |
3/ |
||
V4-реплика |
^-реплика |
|||||||||
/ 2 |
— |
i 4" |
||||||||
|
2 4 -2 |
2 4_2 |
2 4 -2 |
реплика |
||||||
*3 |
= |
XjX-2 |
х3 = |
— х±х2 |
х3 = |
хгх2 |
от 24 |
|||
Хг = |
■—хгх2 |
х 4 = |
хгх2 |
|
~ 'X^Xg |
|
|
|
Н е р е г у л я р н а я р е п л и к а 3/г ^
Оп р ед ел яю щ и й
ко н тр а с т
1 = | хгх2| :
=| хгх3| =
=1 *2*3 1
Чи с л о
оп ы тов
6
Г р у п п ы ч ас т и ч н о см еш ан н ы х эф ф ектов
1) Ь0 и два лю
бых парных эффекта
2) Ьъ Ь2 и Ь3
1 = |
| |
хгх2х3 _ |
12 |
О |
^0^34 |
= |
|
хгх2х4 |
|
2) |
Ь4, Ь2з и 624 |
= |
1 |
* 3 * 4 I |
|
3) |
62, Ь13 и 614 |
|
|
|
|
4) |
68, b4 и 612 |
М одель
Линейные и два любых парных эффекта
Линейные и парные эффекты
1/4-реплика |
V4-реплика |
1/4-реплика |
3 |
2 |
__ |
3/ |
1 = |
— |
24 |
0 |
^0> |
^124 И |
^135 |
Линейные, |
||
|
/2 |
— |
/,4- |
| * 1 * 2*4 1 |
||||||||||||
25- 2 |
2 5 -2 |
2 5 -2 |
|
реплика |
= |
| * 1 * 3 * 5 I == |
|
2) |
6lf |
Ь24 и Ьзъ |
парные и |
|||||
х 4 = |
— х1х2 |
Х4 = |
— хгх2 |
*5 = — х л |
|
от 25 |
= |
1 * 2 * з* 4 * 5 1 |
|
3) |
b2t b14 и 6345 |
тройные эф |
||||
хъ = |
— х±х3 |
хъ = |
х±х3 |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
^3» |
^15 И |
^245 |
фекты (из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ) |
6 4, |
Ь\2 и |
6 235 |
групп 7 и 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ) |
6 5 , |
& 13 и |
6 234 |
следует вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
^23» ^45» Ь[34 И |
брать по |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^125 |
|
|
одному лю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 ) |
^34» |
^25» |
^123 и |
бому трой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^145 |
|
|
ному , ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффекту) |
.Б .Я B O C D A ..С .Ф к и в о М
со
-<1
1/4-реплика |
1/4-реплика |
1/4-реплика |
3/ 22 = |
3/4- |
1 = * 1 * 2 * з * 5 |
I = |
48 |
о |
^1» &235 И |
^246 |
Линейные, |
||||||||
|
|
2 в- 2 |
2 е- 2 |
2 е- 2 |
реплика |
ХгХЛХ4Х^ | = |
|
2) |
|
^135 |
И |
^146 |
парные и |
||||||
*5 |
= |
— * i * 2* 3 |
*5 = |
* 1*2*3 |
Х5 = ХгХ2Х3 |
от |
2е |
* з * 4 * 5 * е |
1 |
|
3) |
^3> |
^125 |
И |
&45б |
тройные эф |
|||
*6 |
= |
*i*2*4 |
*в = |
х±х2х4 |
*6 = ~ х гх2х4 |
|
|
|
|
|
4) |
b4i |
Ь123 и |
|
Ь356 |
фекты |
(из |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
^б> |
^123 |
И |
^346 |
групп |
14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
^6» |
^124 |
и |
^345 |
и 15 следует |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
^12> |
^35 |
И |
|
^46 |
выбрать па |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
Ь13 И |
6 25 |
|
|
три любых |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
^14 |
И |
^26 |
|
|
эффекта) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0) |
^15 |
11 |
^23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П) |
^16 |
И |
^24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
^34 |
И |
6 5б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) |
Ьт и |
645 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
^134> |
^245» |
^236 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) |
И &15В |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^136» |
^256» |
^234 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Ьыъ |
(эффект |
|
|
Ь0ортогонален)
1/ 8- р е п л и к а |
V g - р е п л и к а |
1/ 8- р е п л и к а |
% 8 = |
j |
= |
*2*3*41 |
= |
24 |
1) |
Ь0 и |
615 |
|
Линейные |
||||||
8/ 8- |
|
|
|||||||||||||||||
|
2 в - з |
|
2 в - з |
|
2 в - з |
р е п л и к а |
|
*1*5 1 Н |
|
|
2 ) &1 >^5 11 ^26 |
и парные |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
*4 |
= |
*2*3 |
*4 |
= |
*2*3 |
*4 |
= |
*2*3 |
о т |
2 е |
|
* i* 2 * e l |
= |
|
3) |
Ь2>Ь34, Ь13 и Ьъз |
эффекты (из |
||
*б |
= |
— *1 |
*5 |
= |
*1 |
*5 |
= |
*1 |
|
|
== |
*1*2*3*4*5 1 Е |
|
4) |
63 и |
&24 |
|
группы 3 |
|
*6 |
= |
— *1*2 |
*6 |
= |
— *1*2 |
*8 |
= |
*1*2 |
|
|
== |
*1*3*4*в 1 = |
|
5) |
Ь4 и |
62з |
|
следует вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*2*5*4 1 = |
|
6) |
Ьь, Ь12 и |
625 |
брать два |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*3*4*5 *6 1 |
|
7) |
^13* |
^35 и |
^46 |
любых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
Ьи , |
ЬАЪ и |
6зб |
парных |
эффекта)
Номер регулярной реплики 2^ Р и генерирующие соотношения
1/ 8-реплика
2 7 -3
* 5 = * I * 2* 3*4
*6 ЕЕ — * i* 2
х7 = *2*3 * 4
СО
00
Vje-реплика
2 8-4
Х Ъ |
= |
*1 * 2 *3*4 |
*8 |
= |
— *1*3 |
*7 = |
*1*з*4 |
|
* 8 |
= |
~ * 1 *2 * 4 |
1/ 8-реплика
2 7-з
х5 = |
х1х2х3х4 |
Xв = |
*1*2 |
*7 = |
— *2*3*4 |
1 /1 в-реплика
2 8-4
*5 = * 1 *2 *3 * 4
*8 = — *1*3
*7 = — *1*3*4
* 8 == * 1 *2 * 4
Vg-реплика
|
|
2 7 -3 |
*5 |
= |
^ * 2 *3*4 |
Х в |
= |
Х ХХ2 |
*7 |
= |
* 2 * 3 * 4 |
Vie-реплика
2 8-4
*5 |
= |
* 1 * 2 *3 * 4 |
*6 |
= |
*1*3 |
* 7 |
= |
*1*3*4 |
* 8 |
= |
* i* 2*4 |
Обозначение
3/23 = 3/ 8-
реплика от 27
Продолжение табл. 2.8
Нерегулярная реплика ь} гР |
||
Определяющий |
Число |
Группы частично |
контраст |
опы |
смешанных эффектов |
|
тов |
|
*1*2*3*4*5I |
48 |
1) |
Ьъ |
b2G и '57 |
|
*1 *2*6 I =_ |
|
2) |
Ь2 и |
Ьи |
|
Х2*3 *4*7 ] = |
|
3) |
Ь* |
и |
Ьл |
|
Ь3 и |
17 |
|||
* 3 * 4 * 5 Х6 I = |
|
4) |
Ь12 |
||
*1*5*7 I = |
|
5) |
Ь 7 |
и |
Ь 1 Ь |
*1*3*4*6*7 I |
|
6) |
Ь 23 |
И |
6 47 |
*2*5*6*7 I |
|
7) |
Ь 24 |
и |
637 |
|
|
8) ^25 и ^67 |
|||
|
|
9) |
^27» ^34 И ^56 |
||
|
|
10) |
*>35 |
И 646 |
П). ^36 и ^45
(Эффекты 60, 68, 64,
Ь13 и 614 ортого нальны)
Модель
Линейные и парные эффекты
3 /4 |
__ |
3/ |
2 |
_ |
* 1 * 2 *3 *4 * 5 |
| = |
48 |
1) |
Ьг |
и |
6 3e |
|
Линейные |
'2 |
— |
116 |
|
|
|
||||||||
от |
2 8 |
|
= |
*1*3*6 1 = |
|
|
2 ) |
b2 и |
6 57 |
|
и парные |
||
|
|
|
|
ЕЕ |
*1*3*4* 7 j |
— |
|
3) |
&з> |
6 1в И |
&58 |
эффекты |
|
|
|
|
|
= |
*1*2*4*8 1 = |
|
4) |
6 4 и |
6 67 |
|
|
||
|
|
|
|
|
*2*4*5*6 1 = |
|
3) |
^б» |
^27 И |
^38 |
|
||
|
|
|
|
|
*2*5*7 1 |
= |
|
6 ) |
Ьв, |
Ь13 и |
647 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*3*5*8 |
|
|
|
7) |
by, b 25 и |
b46 |
||||
= |
*4*6*7 |
= |
|
|
8 ) |
b 8 и |
6 3 5 |
|
|||
ее |
* а З Д гА 1 = |
9) h 2 и 6 4 8 |
|
||||||||
== |
х2 х3 |
х7 х8 |
1 |
= |
|
1 0 |
) |
b^4, 6 3 7 и |
6 2 8 |
||
= |
*1*2 |
*зХ5 Хв*7 1 = |
1 1 |
) |
^15 11 |
^ 6 8 |
|
||||
|
|
|
* 8 |
1 |
= |
|
1 2 |
) |
biy и |
& 3 4 |
|
= |
■ад>*в |
|
|
13) |
^1 8 » b24 и |
b5B |
|||||
* |
I 4 |
X5 T* 8 |
1 |
= |
|||||||
|
X |
* |
|
|
14) |
6 2 3 и |
^78 |
|
|||
ее |
X ^ X ^ X s |
1 s |
|
||||||||
|
*3*4*6*8*7*8 1 |
15) |
626 и 645 (эффект |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
ортогонален) |
Vie-реплика
&29"4
хв = |
— х±хг |
Ху н |
хгхгхъх^ |
х& = |
*2*3*6 X |
* 9 = |
*i*3*4*5 |
Vir реплика |
Vie-реплика |
V = 3/и- |
1 = |
|||
|
|
29-4 |
|
29-4 |
реплика |
ЕЕ |
*в = |
— *1 * 3 |
*е = |
— х^з |
от 2 9 |
= |
|
*7 |
= |
*!*2*8*4 |
Ху = Х±Х2Х3Х4 |
|
== |
|
*8 |
= |
х2х3х6 |
х8 = |
— х2х3х5 |
|
|
Х9 = — Х !Х 8Х4Хб Х9 = — Х ^ з Х ^
=
=
=
=
=
“
*1 *3 * 6 I |
|
|
|
96 |
1) |
b i |
и |
636 |
|
*1*2*3*4*7 1 = |
|
|
2 ) |
6 3 |
и |
6le |
|
||
*2*з*5*8 | |
= |
|
|
|
3) |
bB и |
613 |
|
|
*1*3*4*6*9 | |
= |
|
|
4) |
^ 2 3 |
и |
b58 |
|
|
x2 x4 xex ,| |
= |
= |
|
|
5) |
6 2 4 |
и |
^ 6 7 |
|
X i X 2 X 5 X eX 8 | |
|
|
6) ^25» ^38 и ^79 |
||||||
x4 x5 xex9 1 = |
|
|
|
7) |
6 26 |
и |
^4 7 |
|
|
X iX 4 X 5 X 7 X 8 |
1 = |
|
|
8 ) |
b2yt Ь49 И 659 |
||||
X 2 X 5 X 7 X 9 | |
= |
|
|
|
9) |
ь28 и |
635 |
|
|
X I X 2 X 4 X 8X 9 1 = |
|
|
1 0 ) b29 и 6 5 7 |
|
|||||
W s ^ % |
l |
= |
|
11) |
637 |
и |
b 89 |
|
|
X iX 2 X 3 X 5 X eX 7 X 9 | = |
|
1 2 ) |
639 и |
b1% |
|
||||
Л'2 Х 3 Л'4 Л'0Л'8 Л' 9 |
! |
= |
|
13) &4Б и bB9 |
|
||||
*3*7*8*»l |
= |
|
|
|
14) |
649 и Ььв(эффек |
|||
X iX 3 X eX 7 X 8 X 9 | |
|
|
ты b0, b2, b4, b§, |
by, |
|||||
|
|
|
|
|
^ 8 > ^ 9> ^ 12i ^ 1 4 > ^ 1 5 > |
||||
|
|
|
|
|
^ 1 7 * |
^ 18* ^ 19» ^ 34t |
^48 |
Линейные и парные эффекты
и 6e8 ортогональны)
из табл. 2 .8 , она включает 1 2 опытов и получается объединением следующих трех регулярных реплик 2 4-2:
1 ) |
* 3 |
= |
—хгх2; |
х4 |
= —х4х2\ |
2 ) |
х 3 |
= |
—хгх2; |
х4 |
ее хгх2; |
3) х3 = |
хгх2\ |
х4 |
= —х4х2. |
Естественно, что для факторов хг и хг в каждой из этих регуляр
ных реплик должен быть записан полный факторный экспери мент 2 2
Построенная таким образом 3/4-реплика для четырех факторов, варьируемых на двух уровнях, приведена в табл. 2.9.
С помощью этого плана можно теперь построить модель (2.43), включающую линейные члены и все парные взаимодействия. При k = 4 число членов модели (2.43) равно 11, и 12 опытов нерегуляр
ной реплики (табл. 2.9) достаточно для оценки всех коэффициен тов этой модели. Отметим, кстати, что ту же модель можно построить и за 16 опытов полного факторного эксперимента 2 4, но не с по мощью полуреплики от него 2 4"1, включающей только 8 опытов.
Т а б л и ц а 2.9. Нерегулярная 3/4-реплика от факторного эксперимента 24
Н о м е р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о п ы т а |
|
* 2 |
* 3 |
* 4 |
П р и м е ч а н и е |
|
|||
1 |
+ |
+ |
|
_ |
1 / 4 - р е п л и к а |
2 4 ” 2 |
|||
|
|
||||||||
2 |
— |
+ |
+ |
+ |
* 3 |
= |
— |
* 1 * 2 |
|
|
|
||||||||
3 |
+ |
— |
+ |
+ |
* 4 Н |
— |
* 1 * 2 |
||
|
|||||||||
4 |
L-— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ |
+ |
_ |
+ |
х / 4 - р е п л и к а |
2 4 “ 2 |
|||
|
|||||||||
6 |
— |
+ |
+ |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
+ |
— |
+ |
— |
* 3 |
= |
— |
* 1 * 2 |
|
|
|
|
|||||||
8 |
|
|
|
+ |
* 4 |
= |
* ! |
* 2 |
|
9 |
+ |
+ |
+ |
_ |
1 / 4 - р е п л и к а |
2 4 ” 2 |
|||
|
|||||||||
1 0 |
— |
+ |
----- |
+ |
* я |
= |
* i |
* 2 |
|
|
|
||||||||
1 1 |
+ |
— |
— |
+ |
* 4 = |
— |
* ! * 2 |
||
|
|||||||||
1 2 |
|
|
4 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы рассматриваемых нерегулярных реплик неортого нальны, а потому линейные эффекты факторов и эффекты взаимо действий оцениваются частично смешанными друг с другом. В табл. 2.8 для каждой нерегулярной реплики указаны группы частично смешанных эффектов. В каждую такую группу должно входить не более трех эффектов. Если их оказывается больше, приходится предполагать, что некоторые из них незначимы. В ряде
100