книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

близкий к оптимальным по остальным критериям, чем при усло­ вии, если за основной критерий выбирать D -оптимальность.

В большинстве же случаев приходится выбирать один из критериев основным, жертвуя чем-то с точки зрения других. Математически строго задача построения планов, близких к опти­ мальным сразу по нескольким критериям, пока еще не решалась. Поэтому из имеющегося набора планов (наиболее полным катало­ гом является [28], см. также 1132]) для данной модели простым сравнением приходится чисто эмпирически выбирать план, удо­ влетворяющий возможно большему числу критериев.

На примере полного факторного эксперимента 22 (см. табл. 2.3)

рассмотрим теперь структуру матриц и вид расчетных формул. Итак, строим модель

у=.■=b0 1- h1x1 -\- Ь2х2.

Вматричной записи

				Х В =		Y ,
	* 0	X 1	Х 2			ь0
	+ 1	+ 1	+ 1	;			;	Ух
	-1 - 1	— 1	+ 1		в =			Y = Уз
	-! 1	+ 1	— 1					Уз
	+ 1	— 1	— 1			^2		УА
Найдем последовательно					матрицу		Хт:
				Н-1	+ 1	-и	Н-1
		х т =		- | - 1	- 1	н -1	- 1	,
матрицу	ХТХ:			н-1	+ 1	- 1	- 1
	+ i	+ 1	+ 1	-и		+ 1	н- 1	+ 1	4 0		0
						+ 1	- 1	+ 1
х тх =	+ 1	— 1	+ 1	- 1					0	4	0
						+ 1	+ 1	- 1
	н- 1	+ 1	— 1 — 1						0	0	4
						+ 1	— 1	— 1

T v \ - l

обратную матрицу (ХТХ)

					1/4	О
		( х тх ) - ‘		=	О	1/4
	матрицу XTY:				О	О
					+ 1	Ух
	+ 1	- И	Н	1
	XTY = 1 + 1	— 1	- 1-1		- 1	Уг
	-I 1	+ !		1	— 1	Уз
			—			УА

о

0 ,

1/4

Ух I Уг Л Уз I Уа Ух — Уг Н~ Уз — Уа ■ У\ + Уг - Уз - Уа

81

Далее, по формуле		(2/16):
Ь0	1/4	0	0	у
h 1~	0	1/4	0	У 1- Уч Ь Уз \- Vi
				. Уу — Уу V Ун — Уа ,
м	0	0	1/4	Уу-г Уг - Уя - Уу

откуда

и __	Уг + Уч + У'л + У\	1
о{) —	---------- 4----------
и _ -----------^1 Уз 41------------Уа — У\		1

I)— У*4~ У2" У'л— у*

т.е. то же, что было получено ранее.

По формуле (2.28) каждый из рассчитанных коэффициентов имеет одну и ту же дисперсию S)JN.

Важно еще раз отметить, что только использование определен­ ного плана эксперимента (в данном случае ортогонального полного

факторного 22 — табл. 2.3) превратило матрицу (ХТХ) в диаго­

нальную. Если бы были взяты условия любых других четырех опытов, не расположенных симметрично относительно центра, т. е. был бы выполнен «пассивный» эксперимент, все элементы

матрицы (ХТХ) не были бы равны нулю, оценки коэффициентов пришлось бы находить из решения системы нормальных урав­ нений и они не были бы независимыми друг от друга. Понятно,

что если в диагональную матрицу ( х тх ) добавлять или вычер­ кивать строки и столбцы (менять степень уравнения), значения остальных коэффициентов меняться не будут.

Итак, определены все коэффициенты линейной модели (2.4). Рассчитанные коэффициенты в данном случае указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффици­ ента, тем большее влияние оказывает фактор. С увеличением фак­ тора величина отклика увеличивается, если коэффициент имеет знак плюс, и уменьшается, если коэффициент имеет знак минус. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину отклика при переходе фактора с основного уровня на верхний или нижний. Эти коэффициенты bt называют линейными

(главными или основными) эффектами фактора. Поскольку коэф­ фициенты оценены независимо друг от друга, величина любого эффекта не зависит от того, какие величины имеют другие эффекты.

Линейная модель построена. Однако после реализации опытов полного факторного эксперимента можно оценить некоторые члены

иболее сложной модели.

Вчастности, в рассматриваемом примере с двумя факторами

полная квадратичная модель имеет вид

У = Ьо

Ь\Х\ -|- ЬоХо

Ь\оХ1*2

Ь\\Х[

Ь122Х2•

82

Уже получены оценки трех коэффициентов (ft„, Ьг и ft2), но

опытов сделано четыре (см. табл. 2.3). Какой же из квадратичных эффектов (ft12, ftn или ft22) можно оценить, пользуясь планом 2 2,

указанным в табл. 2.3?

Имея в виду формулы (2.11) и (2.12), составим по данным табл. 2.3 столбцы х\ и х\. Легко видеть, что эти столбцы включают только +1 и полностью совпадают со столбцом х(). Таким образом, коэффициенты ft0, Ь1Х и ft22 раздельно оценить нельзя. Этот факт

еще будет обсужден и использован далее.

Для расчета коэффициента ft12 составлен (перемножением эле­

ментов соответствующих столбцов) и записан в табл. 2.3 столбец XjX2. Этот столбец не похож ни на какой другой столбец матрицы,

а потому	по формуле (2 . 1 2 ) можно рассчитать коэффициент			ft12:
		U _	'/1—02—08+ 04
		:--------------4---------- *
По формуле (2.28) дисперсия этого коэффициента, как и опре­
деленных	ранее, равна S 2y/N.
Теперь	модель	выглядит следующим образом:
	У	—Ь0 +	bxXx + ft2* 2 + ft12^1^2 •
Здесь ft12	— эффект	взаимодействия двух факторов или, как		го­

ворят, эффект парного взаимодействия. Он показывает силу влияния одного из факторов в зависимости от уровня, на котором находится другой.

В общем случае, из полного факторного эксперимента для двухуровневых факторов можно оценить все линейные эффекты и эффекты взаимодействия факторов (двойные, тройные, четвер­ ные и т. д.), причем подчеркнем еще раз, независимо друг от друга. Общее число всех эффектов, включая ft0, равно числу опы­

тов полного факторного	эксперимента, т. е. 2 к.		по формуле
Число взаимодействий		порядка т определяют
			<2 -33>
Например, в задаче	с	четырьмя факторами (k	= 4) общее

число эффектов 2 4 = 16, из них четыре линейных эффекта, С% — 6

парных взаимодействий, С* = 4 тройных взаимодействия и одно четверное. Таким образом, реализовав 16 опытов полного фактор­ ного эксперимента 2 4, можно независимо оценить:

линейные эффекты ф а к то р о в ...........................

эффекты парных взаимодействий факторов

эффекты тройных взаимодействий факторов эффект четверного взаимодействия всех фак­ торов ...........................................................................

*ь *2, *3 и *4;

* 1 * 2 . * 1 * 3 . * 1 * 4 » * 2 * 3 » * 2 * 4

и *3*4;

* 1 * 2 * 3 . * 1 * 2 * 4 . * 1 * 3 * 4 И *2 *8 *4 *»

* 1 * 2 * 3 * 4 "

83

2 .2 . ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию, однако с ростом числа факторов число опытов в нем резко возрастает. Так, при трех факторах следует

поставить 23 =			8 опытов, при пяти — 25				= 32, а уже при восьми —
2 8 =	256 опытов.
В то же время, начиная эксперимент, исследователь часто не
знает заранее,			в какой части изучаемой				поверхности			отклика он
						находится. Поэтому,					естествен­
Т а б л и ц а		2.4. Полуреплика			23-1	но в начале нужно попытаться
						получить		некоторую,			хотя бы
Номер	*0	*1		*1*2 =	У	и не	очень		точную		информа­
опыта				= *3		цию при		минимальной затрате
1						труда	на	проведение			экспери­
	+	+	+	+	Ух	мента.
2
	+	—	+	—	У2	Именно из этих соображений
3	+	+	—	—	Уз
						на первых этапах				часто огра­
4	+	- -		+	У4
						ничиваются			построением лишь
						линейной		модели		локального

участка поверхности отклика. Но если ограничить задачу только линейным описанием, использование полного факторного экспе­ римента становится явно нецелесообразным, поскольку число его опытов заметно превышает число коэффициентов линейного урав­ нения. Возникает желание сократить число опытов за счет той информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов и которая для построения постулируемой линейной модели не существенна.

Рассмотрим вновь полный факторный эксперимент 22 (табл. 2.4).

Мы уже видели,	что	с	его помощью	можно построить модель
у	=	Ь0	-f- ЬхХх -f- Ь2Х2	-f- ЬХ2ХхХ2.

Однако, если есть основание предполагать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной

моделью,	то	достаточно	определить всего	три коэффициента:
6 0, Ьх и	Ь2\	квадратичный	коэффициент Ьхг	должен быть малой

величиной. Это предположение позволяет включить в схему эксперимента еще один новый фактор xs. Для этого припишем знаки столбца ххх2 (влияние которого, как мы предполагаем, должно быть малозаметным) новому фактору х3 (табл. 2.4). Эта процедура записывается так: х3 = ххх2. Теперь получилась ма­

трица планирования уже для трех факторов. В первом опыте все

факторы должны находиться	на верхнем уровне, во втором х2 —
на верхнем, а хх и xs — на	нижнем и т. д.

По результатам опытов приведенного планирования (табл. 2.4) можно построить линейную модель уже для трех факторов:

У = bо + Ьххх + Ь2х2 bsxs.

84

Коэффициенты этой модели также рассчитывают по формуле

(2 . 12).

Планы дробного факторного эксперимента, точно так же как и планы полного факторного, обладают свойствами симметрич­

ности (2.1), нормировки (2.2), ортогональности (2.9) и	ротата­
бельности (2.32).	от пол­
Наиболее важное отличие описанного планирования

ного факторного эксперимента заключается в следующем. Уже из табл. 2.4 легко видеть, что величина коэффициента bs в точности совпадает с величиной коэффициента Ь12 (знаки столбцов х3 и хгх2

одинаковы). Если в дополнение к столбцам, указанным в табл. 2.4, построить столбцы xxxs и x2xs, они в точности совпадут соответ­ ственно со столбцами х2 и хи и, следовательно, коэффициенты Ьхз и Ь23 совпадут соответственно с коэффициентами Ь2 и Ьх. Таким

образом, здесь уже нельзя получить раздельных, независимых оценок коэффициентов, как это делалось при полном факторном эксперименте. В данном случае говорят, что линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это

записывается	следующим образом:
Ьх	P i + р23*	^2 ” *■ р2 +	р13» ^3	Рз + P l 2>
где bt — вычисленные		выборочные	оценки	коэффициентов; гре­

ческими буквами, как принято в математической статистике, обозначены неизвестные истинные значения коэффициентов.

Приведенную запись можно прочесть следующим образом: например, вычисленное значение коэффициента Ьх является со­ вместной оценкой коэффициентов $х и р23, т. е. величина Ьх сви­ детельствует как о влиянии фактора хи так и о совместном влия­ нии факторов х2 и х3. Итак, в рассматриваемом планировании нельзя отделить линейное влияние факторов хи х2 и х3 от их пар­

ных взаи модействий.

Сказанное, разумеется, свидетельствует о значительной потере информации по сравнению с полным факторным экспериментом. Но это — естественная плата за сокращение числа опытов. Дей­ ствительно, полный факторный эксперимент для трех факторов должен был бы содержать 2 3 = 8 опытов, а в данном случае (см. табл.*2 .4) опытов поставлено вдвое меньше. Поскольку они нужны

и проводятся для построения только линейной модели, парными взаимодействиями факторов можно пренебречь, предполагая, что линейные эффекты существенно более значимы по сравнению с эффектами взаимодействий.

Указанные в табл. 2.4 четыре опыта, поставленные для оценки влияния трех факторов, представляют собой половину фактор­ ного эксперимента или дробную реплику. Составляют дробные реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми

независимыми переменными.		Эти реплики условно обозначают
2	где р — число линейных эффектов,		приравненных эффектам
взаимодействия. Тогда, если,		например,	полный факторный экс­

85

перимент 2‘5 включает 04 опыта,				то его V2 — реплика		(полурей*
лика)	содержит	2 6" 1 = 3 2	опыта, V4 — реплика		(четверть-реп­
лика)	— 2 6" 2 =	16 опытов,	V8	— реплика — 2 6_3	= 8	опытов.

Естественно, что минимальная дробная реплика для построения линейной модели должна включать не менее (k + 1 ) опытов, где k — число факторов. Дробный факторный эксперимент, указан­

ный в табл. 2.4, представляет собой полуреплику 23~*. Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых

определяющих контрастов. Полуреплика 23 - 1 (табл. 2.4) построена после приравнивания х3 к хгх2, т. е.

*3 = Х&-

Это выражение*называют генерирующим соотношением. Оно в общем случае показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект (эффект х3 смешан с эффектом ххх2). Умножим обе части генерирующего соотношения на х3:

х\ = Л*1*2*3-

Столбец ххх2х3 (как и х2) состоит из одних -fl. Поэтому можно

записать

1 = ххх2х3.

Символическое обозначение произведения столбцов, равное + 1 (или —1 ), называют определяющим контрастом.

С помощью контраста можно определить систему смешивания эффектов. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если 1 = ххх2х31 то для

хг имеем х\ = xfx2x3			= х2х3у	так	как всегда х] ее		1.	Находим
для х2: х2 =		ххх\х3 =	ххх3,	для	х3:	х3 ее? хгх2х1 =	ххх2.
Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут
оценками	bt	-|- р.23, р2		р2	+	Р13, р3 — рз +	Р12,	т. е. по-
лучено то	же,	что и	ранее.

Если существует какая-либо априорная информация об эффек­ тах взаимодействия, то ее следует использовать при выборе реп­ лики. Если никакой предварительной информации нет, стремятся выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффек­ тами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Послед­ нее связано с тем, что очень часто основные эффекты сильнее парных взаимодействий, парные сильнее тройных, тройные — четверных и т. д.

Рассмотрим различия в оценках влияния эффектов факторов, даваемых дробными репликами с разными определяющими кон­ трастами. Предположим в задаче четыре фактора. Решено поста­ вить дробный факторный эксперимент типа 2 4'1, включающий 8 опытов. В этом случае можно составить несколько матриц пла­

нирования,	т. е. несколько	полуреплик. Две из них приведены
в табл. 2.5	и 2.6. Восемь	опытов представляют собой полный

86

факторный эксперимент 23. Поэтому для первых трех факторов хъ х2 и х3 в табл. 2.5 и 2.6 записана матрица 23. Фактор хАв одном случае (табл. 2 .5 ) приравнен тройному взаимодействию хгх2х3, в другом (табл. 2 .6 ) — двойному хгх2.

Т а б л и ц а		2.5. Полуреплика			24"1	Т а б л и ц а		2.6.	Полуреплика		21”1
с определяющим				контрастом		с определяющим				контрастом
		1 =	x1x2x3x4i					I =	х1х2хА
					£						*
Номер	*0	X1	*2	X*	*	Номер	Хо	*1	X*	Ха
опыта					£	опыта					(1
					1
					>7						**
1	+	-1	+	+1	+	1	+	+	+	+	+
2		—				2			+	+
	+	-I-	-I-	~г	—		+	—			—
3	+		—	+	—	3	-1-	+	—	+	—
4	+	■—	—	+	+	4	+	-1-	—	+	+
5	+	+	+	—	—	5	+		+	—	+
6	-1-	—	+	—	+	6	+	—	+	—
7	+	+	—	—	+	7	+	+	—	—	—
8	+					8	+				+

Таким образом, генерирующие соотношения для первой полу-

реплики (табл.	2.5)				*4	=	*4*2*3.
для второй (табл.		2 .6 )
					*4	”	Х хХ 2.
Соответственно,		определяющие						контрасты:
для первой	полуреплики					1	= хгх2х3х^у
для второй полуреплики 1 = хгх2хх.
Следовательно, для первой, полуреплики эффекты смеши­
ваются следующим образом:
		P i		Ь	Р 234»		^12		P l2	+	Рз4»
	^2	Р 2			Pl34»		^13	^	P l3	+	р24*>
	Ь 3	Рз		+	P l2 4 ’		^14		Р 14	+	Р 2З’
для второй:	^ 4	Р 4		+	P i 23’
	* I - > P I +			Р * ;			^33		P l3	4 “	Р ‘234»
	^2 '	' Р-2 +		P u l			^23 ~		> Р23 4 '		Р ш ‘»
	^ 3 '> Рз		Ь	р1234»			^34		* Рз4 4 ~		Р123*
	b x	>р4	1	P 12I

Реализация опытов первой полуреплики (табл. 2.5) позволит оценить коэффициенты линейной модели (основные эффекты),

87

смешанные с эффектами тройных взаимодействий. Ни один из парных эффектов раздельно оценить нельзя. Тройные взаимодей­

ствия, как правило,	дают достаточно слабые эффекты,	поэтому
с помощью данного	планирования можно надеяться	получить

хорошую линейную модель.

Реализация опытов второй полуреплики (табл. 2.6) позволит оценить основные эффекты Ьъ Ь2 и Ь4, смешанные с парными взаимо­

действиями. Парные эффекты, как правило, сильнее тройных, поэтому в этом смысле вторая полуреплика хуже первой. Вместе с тем эффект фактора х3 можно оценить смешанным только с взаимо­

действием порядка большего, чем третий. Поэтому, если априор­ ная информация свидетельствует о возможном сильном влиянии одного из четырех изучаемых факторов, его можно поставить на место xs и оценить его эффект в более или менее чистом виде. Кроме

того, вторая полуреплика дает возможность оценить некоторые эффекты парных взаимодействий того же фактора х3 с остальными (й13, Ь23 и Ь34), правда, смешанными с тройными эффектами.

Таким образом, если с помощью первой полуреплики (табл. 2.5) можно построить только линейную модель типа

У = b0 + bxxx + b2x2 + b3x3 + b 4х4,

то с помощью второй (табл. 2 .6 ) можно попытаться в случае не­

пригодности линейной модели построить уже нелинейную модель, например, типа

У = Ь0 + Ьххх +	Ь2х2 +	Ь3хз -|- b4x4 -|- bl3xxx3 +
~f"	b 2 3 ^ 2 ^ 3	“Ь & 24*8*4-

Выбор той или иной полуреплики, естественно, зависит от конкретной постановки задачи.

Разберем более сложный случай. Предположим, изучается влияние на параметр оптимизации шести факторов. Решено реали­ зовать 1/8-реплику 26_3, включающую 8 опытов. Одна из возмож­

ных матриц планирования для этого случая представлена в табл. 2.7. Для первых трех факторов хх— х3 вновь записан пол­

ный факторный эксперимент 23. Фактор х4 приравнен взаимодей­ ствию xxx2x3t фактор хъ — взаимодействию хгхъ фактор — вза­ имодействию х2х3.

Таким образом, генерирующие соотношения выбранного пла­ нирования

х4 = ХхХ2Х3, Хь = ХхХ2,

х б ЕЕ Х2Х3.

Следовательно, определяющие контрасты

1 = xxx2x3x4t

1 — ХхХ2Х$у

1 ;= X2X3XQ.

88

	Т а б л и ц а 2.7. ^-реплика				2“	а
				ч	ч	ч
				*
	*0	*1	х2 *8	ч	04	ч
Номер опыта					ч
				*	X	III
				1	1
					1Й	«
1	+	+	+	+	+	+
2	+	—	+	—	—	+
3	+	+		—	—	—
4	+	—	—	+	+	—
5	+		+	—	+	—
6	+	—	+	+	—	—
7	+	+		+	—	+
8	+				+	+
Получим
=	* 1*2*3*4		= X1X2X5 = X 2X SX Q = xsx±xb

Теперь, для того чтобы определить систему сме­ шивания эффектов, необ­ ходимо записать так назы­ ваемый обобщающий опре­ деляющий контраст. Он включает в себя все ука­ занные выше определя­ ющие контрасты, а также их произведения вначале по два, а затем и по три (напомним, что столбец xt

в любой четкой степени равен единице, а в лю­ бой нечетной — самому себе).

*1*4*6 = *1*3*5*6 “ *2*4*5*6-

Система смешивания эффектов оказывается здесь достаточно сложной (эффекты более чем третьего порядка опущены):

Ьх—>pi +		Р-25 +	?46 +	Р234 +	Рз56»
Ьа	>Р 2 “ Ь	Рх5 ~Ь	Рзб “ I" Pl34 " Ь		Р456^
Ih	Рз 4 ~	Рь26 ~Ь	Р45 Н "	P i24 4 ”	Pl66»
^4	Р4 4 ~	Рз5 +	Pie +	P i23 4 ~	Р-256»
^5 - “>Р 5 +		P l‘2 4 ~	Рз4 4" Pl36 “f		Р 246»
Ьц	Рб 4 "	Р‘23 4 ~	P l4 “ Г	Pl35 4 ~	Рг45^

^13 Pl3 4 " Р 24 4 ” Роб 4 " РгЗЗ 4 “ Pl26 “ Ь Pi45 4 ~ Рз46 И Т * Д'

Все линейные и парные эффекты смешаны между собой и с эф­ фектами тройных взаимодействий. Разумеется, эта реплика .дает не очень много информации, неизмеримо меньше той, которую можно извлечь из полного факторного эксперимента 26. Но ма­ трица плана 26 содержит 64 опыта, а ее 1/8-реплика лишь 8 , при­

чем по результатам этих опытов, постулируя в выбранных интер­ валах варьирования незначимость эффектов взаимодействия, можно построить линейную модель

У = b0 + M i + М 2 + М з + М 4 + М а + М б

и в случае пригодности этого уравнения пользоваться им. Планы дробного факторного эксперимента иногда различают

по так называемой разрешающей способности, которую оцени­ вают по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте реплики. Разрешающая способность будет тем больше, чем выше порядок взаимодействий, с которыми смешиваются линейные эф­

89

фекты. В планах с разрешающей способностью III, которые обозна­

чаются 2 к\пР (например, реплика	2 ?п[ с 1 = х хх2х^	приведенная
в табл. 2.4, или реплика 2 т 1 с 1 =	Х\Х«х^ приведенная	в табл. 2.6),

линейные эффекты смешаны с парными взаимодействиями. В пла­ нах с разрешающей способностью IV (2'?уР). одним из примеров

которых	является реплика 2\ у х с 1 = х\х%х3х^ приведенная в
табл. 2.7,	нет ни одного линейного эффекта, смешанного с ка­

ким-либо парным взаимодействием, но все парные взаимодействия смешаны между собой. В планах с разрешающей способностью V

(2 \ГР) линейные эффекты и парные взаимодействия смешаныстрой-

ными и т. д.

Рассмотрим еще несколько способов принятия решений при выборе и составлении реплик дробного факторного эксперимента на примере выбора планов, позволяющих оценивать независимо друг от друга все или некоторые линейные эффекты, а также ряд парных взаимодействий.

Здесь возможно несколько постановок задач [124].

1.	Изучается влияние	k факторов. Требуется		определить не­
зависимо друг от друга до линейных			эффектов (до <	k) и парные
взаимодействия d факторов из до, т. е. построить модель
	У= Ь0-f-	btXi	2] bijXiXj.	(2.34)
	1</<ш	1<!’</< d

Предполагается, что парные взаимодействия остальных (до — d) факторов, а также взаимодействия более высоких порядков k

факторов	незначимы.
Число	членов модели (2.34)
	/ = 1 +до + Й .	(2.35)

Для составления плана выбирают полный факторный экспери­ мент с числом опытов N ^ I, и эффекты взаимодействия этого пол­

ного факторного эксперимента заменяют дополнительными фак­ торами, но так, чтобы в генерирующие соотношения не входили парные взаимодействия, которые необходимо оценить.

Предположим, в задаче изучаются пять факторов (k = 5).

Из априорных данных известно, что влияние факторов скорее всего линейно, но весьма вероятно заметное влияние парного вза­ имодействия двух из них. Поставим в плане эксперимента эти факторы на первые два места и обозначим хх и х2. Итак, в данном случае до = & 5, d = 2 и надо построить модель

к=5
У= b0 -f- bfii -f- bX2xxx2.	(2.36)
i = 1

Число членов модели (2.36) / = 1 + 5 -f- 1 = 7. Выберем пол­ ный факторный эксперимент 23 с числом опытов N = 8 , что больше 7. Запишем его для факторов хъ х2 и х3. Факторам х4 и х5 в общем случае можно приписать взаимодействия: =£ххх2,

90