книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfний, а сани они ограничены видом выражения (1.2.18). Рассмотрим равновесие линейной упругой среды и предпо
ложим, что возможнее перемещения и возможные деформации являются, соответственно, вариациями действительных пол ных перемещений и деформаций:
g- = С(е - eQ), u = Su, е = 5е
В этом случае вариационное уравнение Лагранжа (1.2.17) примет вид:
JseTCedV = |
JseTCe0dV + |
JsuTqdS |
+ JsuTfL |
(1.2.19) |
V |
V |
S |
L |
|
|
|
<1 |
|
|
С учетом симметрии можно уравнение (1.2.19) представить в виде:
(1.2 .20)
Левая часть уравнения (1.2.20) представляет собой вариа цию энергии деформации W^, а правая часть - вариацию по
тенциальной энергии внешних нагрузок We Следовательно,
принцип возможных работ привел к принципу равенства нулю вариации полной потенциальной энергии П, т.е.
5П = 0 , |
(1.2 .21) |
|
где. |
|
(1.2 .22) |
П = W. - WA |
||
д. |
е |
|
Это означает, что полная |
потенциальная |
энергия П. системы |
в положении равновесия имеет стационарное значение. Можно доказать, что стационарное значение соответствует миниму му полной потенциальной энергии.
Условие (1.2.21) представляет собой принцип Лагранжа, согласно которому из всех кинематически возможных векто ров-функций перемещений действительным будет такой, кото рый сообщает полной потенциальной энергии тела минималь ное значение.
ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО. Этот принцип основан на рассмотре нии возможного изменения напряженного состояния конструк ции. Предполагается, что в объеме тела обеспечивается совместность деформаций. Приравнивая вариацию дополни тельной потенциальной энергии деформации вариации допол-
SW* |
я 5W* , |
(1.2.23) |
1 |
е |
' |
мы приходим к условию равенства нулю вариации полной дополнительной энергии системы:
5П* = SW* + (-5W?) = 0 , |
(1.2.24) |
или
Jfio^edV - J$qTudV -JspTudS = 0 |
(1.2.25) |
Здесь Su -часть поверхности, где заданы перемещения.
В соответствии с функционалом (1.2.23) из всех стати чески возможных напряжений дополнительная энергия прини мает tстационарное значение. Рассматривая вторую вариацию от П ,можно убедиться, что она существенно положительна, и поэтому условие (1.1.23) есть условие минимума полной дополнительной энергии. Этот принцип был сформулирован Кастильяно. И в частном случае для линейно-упругого тела, когда отсутствуют вариации объемных и поверхностных сил при заданных перемещениях, носит наименование начала наименьшей работы:
SW? = 0 . |
(1.2.26) |
Принципиальное различие рассмотренных выше двух вариа ционных формулировок состоит в том, в функционале Лаг ранжа варьируются параметры деформируемого состояния при неизменном напряженном состоянии, в то время как в функ ционале Кастильяно варьируется напряженное состояние при неизменном значении параметров деформируемого состояния системы.
Следует отметить, что функционалы Лагранжа и Кастилья но представляют собой так называемую несвободную вариа ционную постановку задачи теории упругости, т.к. до варьирования этих функционалов необходимо предварительно удовлетворить дополнительным условиям, которые связывают между собой варьируемые параметры.
В вариационном исчислении показано, что вариационной задаче соотсветствуют эквивалентные дифференциальные уравнения Эйлера. Рассмотрим переход от вариационной за дачи к эквивалентным дифференциальным уравнениям Эйлера на примере некоторого функционала, выраженного через две независимые функции p f z ^ z ^ z ^ и и их первые
J = |
| F ( Z 1 / Z 2 , Z 3,<P,<P'Z r<p'zf<Pz |
'K rV'z)dV, ( 1 . 2 . 2 7 ) |
||||
|
Y |
|
1 |
2 |
3 |
1 . 2 3 |
|
|
dtp |
|
dTf |
1=1,2,3. |
|
где |
(p'z = |
—— ; 7}'z |
= |
3zi |
||
|
i |
dz |
i |
|
|
Тогда условие стационарности функционала можно запи сать следующим образом:
5J = J « F ( Z 1, Z 2 , Z 3,<pr<Pfz,<P'Z,<P'ZrV,V'z,VZ,V'Z)dV = |
||||||||||||
.. |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
^z |
|
V |
Sip+ |
|
|
|
_ — |
|
SK + |
dF |
|
z3 |
fill + |
|
9F |
|
|
|
|
|
9F |
||||||
|
9F |
|
|
9F |
|
|
|
|||||
|
|
Эу' |
Z1 ap' |
1z2 |
|
|
— |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Z1 |
|
z 2 |
|
z3 |
|
|
|
|
9F |
57)' |
_ |
|
9F |
V ' |
|
9F |
ч |
|
|
(1.2. |
|
_ --- |
1 |
---- |
5 |
_ ---- |
571' dv. |
|
|
|||||
dv'. |
|
|
97)' |
|
2 |
97)1 |
3J |
|
|
|
Используя правило интегрирования по частям для каждого из слагаемых и применяя формулу Остроградского-Гаус'са** получим:
5J |
|
9F |
Э 9F |
9 |
9F |
8 |
9F |
г) |
|
а<р |
azxd(p'z |
a |
|
az3 |
а$ |
||
- 1 4 |
|
|
|
|
|
|
dV + |
|
|
|
z2 |
a?)' |
|
>2 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
*Описываемые далее процедуры нетрудно обобщить на случаи, когда функционал зависит более чем от двух функций и их производных более высоких порядков.
** В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса интег рал по объему может быть преобразован в интеграл по по верхности:
гг |
Э |
а |
а8 |
-| |
J |
"—Р ( /Z2 fZ3) |
Q ^zi,z2#Z3 ^ |
dz.^ ^ZlfZ2'Z3^J |
|
V |
azl |
|
|
|
=J^P(z1,z2,z3)l+Q(z1,z2,z3)m+R(z1,z2,z3)njdS.
s L
г |
f dF |
|
dF |
|
dF |
|
d |
|
dV + |
|
4 5 T J ---- |
|
|
|
|
|
|
|
— |
||
J |
l An |
ezL |
dn'z |
|
az2 дК. |
dz. |
) |
|||
v |
an |
|
dni > |
|||||||
|
dF |
|
dF |
|
№ |
|
1 |
г |
f |
dF |
|
|
1 + |
|
m + |
n |
aF |
||||
iM |
1 — |
|
---- |
dS |
+ 5u |
|
---- 1 + |
|||
|
°K. |
|
dtp1 |
|
J |
J |
v яш*dn1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF |
+ |
dF |
dS |
= |
0. |
|
|
(1.2.29) |
|
|
m |
|
|
|
d71'z. an
Здесь l,m,n*- направляющие косинусы нормали к поверхности S.Интегрирование осуществляется по той части поверхности (Se), на которой заданы функции <р я п-
Поскольку функции чр и ч независимы, а их вариации
произвольны, из (1.2.29). можно получить следующие урав нения Эйлера:
3F |
а |
3F |
|
3F |
|
3F |
= 0 е V , |
(1.2.30) |
||
dtp |
azi |
дК |
az2 d<p' |
3z3 a<p' |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
zi |
|
Z2 |
|
|
Z3 |
|
||
dF |
a |
dF |
a |
3F |
a |
|
dF |
|
|
|
ЭТ1 |
azl a v |
8H |
an' |
azз |
^ |
; |
|
|||
|
zi |
Z2 |
|
|||||||
естественные |
граничные |
условия: |
|
|
|
|||||
|
3F |
3F |
aF |
п |
= |
0 |
€ S. |
(1.2.32) |
||
|
--- 1 + --- ш |
+ --- |
||||||||
|
ак, |
дК |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3F |
3F |
dF |
п |
= |
о |
е S. |
(1.2.33) |
||
|
|
1 + |
ш |
+ --- |
||||||
|
д< |
д71г. |
|
|
|
|
|
|
Полученная система уравнений (1.2.30) - (1.2.31) при граничных условиях (1.2.32) - (1.2.33) позволяет опре делить функции р и т)г реализующие стационарное значение
функционала (1.2.28).
В силу независимости функций tp и п изложенная поста
новка носит |
наименование |
свободной |
вариационной задачи |
или задачи на |
безусловный |
экстремум |
функционала. |
В случае, когда функции <р и у оказываются взаимо зависимыми, имеет место несвободная вариационная задача. В этом случае для перехода от вариационной задачи к экви валентным дифференциальным уравнения Эйлера в рассмотре ние вводится новый функционал:
J* - J(F + XG)dV , |
(1.2.34) |
V |
|
G(z |
|
К |
'V* |
fK |
r^rК |
'К |
’К |
0 - |
урав |
|
1,Z2'Z3,<P' Z1 |
Z2 |
Z3 |
21 |
Z2 |
Z3 ) |
|||
нение связи X(z1,z2,z^) - некоторый множитель. |
|
||||||||
Функция |
А, носит наименование |
множителя Лагранжа. |
|||||||
Для реализации |
вариационной |
задачи используют |
так на |
зываемые прямые методы. Остановимся на одном из этих ме тодов - методе Ритца. Согласно этому методу подынтег ральные варьируемые функции, входящие в функционал, пред ставляют в виде линейных комбинаций. Например, функцию перемещений записывают в форме:
|
п |
|
|
|
= X |
0Ci^i^zl,z2,Z3^ г |
(1.2.35) |
|
i= |
1 |
|
где |
- некоторые постоянные величины; |
- базисные не |
прерывные функции, удовлетворяющие заданным кинематиче ским граничным условиям. При помощи (1.2.35) функционал J становится функцией коэффициентов
Условие экстремума функционала определяется в этом случае из системы уравнений:
дЗ
---- = 0 , (1=1,2,...,п) (1.2.36)
Ограничиваясь несколькими членами ряда, можно получить приближенное решение задачи, которое при п-*« будет стре миться к точному решению. Необходимое число членов ряда, позволяющее получить необходимую точность решения задачи, зависит в значительной степени от выбора базисных функций.
Необходимо отметить, что решение системы алгебраиче ских уравнений (1.2.36) в общем случае является сложной задачей. В частном случае, который имеет место при реше нии задач линейной теории упругости , когда вариационная постановка сводится к квадратичным функционалам относи-
тельно искомых функций и их производных, система (1.2.36) становится линейной, что существенно упрощает задачу определения коэффициентов а^.
.Выше отмечалось, что функционалы Лагранжа и Кастильяно относятся к несвободной вариационной задаче, поскольку получаемые на их основе уравнения Эйлера не охватывают полную систему статических, геометрических и физических уравнений с соответствующими граничными условиями. Для перехода от несвободной вариационной задачи с дополни тельными условиями к свободной вариационной задаче необ ходимо в качестве независимых варьируемых функций, харак теризующих напряженно-деформируемое состояние тела, рас сматривать перемещения, напряжения и деформации. Такой функционал называют полным. Он может быть получен в ре зультате обобщения одного из частных функционалов (Лаг ранжа или Кастильяно) с использованием метода неопреде ленных множителей Лагранжа.
Не останавливаясь подробно на этом вопросе, отметим, что в соответствии с теоремой преобразования вариационных проблем Куранта и Гильберта [65], могут быть получены различные виды частных функционалов: Рейсснера, ХуВашицу, функционалы граничных условий и другие смешанные функционалы.
Если в качестве варьируемых параметров принять все функции, характеризующие напряженно-деформируемое состоя ние тела - напряжения, деформации и перемещения, то можно записать полный функционал свободной вариационной задачи:
Пп (о;,е,и) =J ( e V -uTp +crT(Du -е) +ет (Сс |
-g;) )dV |
V |
|
+ J(N0£T)(Ug-u)dS - JuTqdS. |
(1.2.37) |
где N Q - матрица направляющих косинусов углов. |
Условие |
||
стационарности |
полного функционала: |
|
|
|
6Пп ( £ Г, е, и) |
=> 0 |
( 1 . 2 . 3 8 ) |
выражает общий |
вариационный |
принцип. |
|
Из этого общего вариационное принципа могут быть -по лучены известные принципы. Например, из полного функцио нала получается функционал Рейсснера, если ;В качестве варьируемых параметров принять перемещения и напряжения (либо перемещения и деформации), а в качестве дополни тельных условий - физические соотношения:
u
или |
|
(Du)V |
uTp )dV + |
Пр (£,ц) = J(-^£TC-12 + |
|||
|
V |
|
|
|
+J(Ug - u)TN0grdS - JqTuds. |
(1.2.40) |
|
|
u |
|
|
При решении динамических задач используется принцип |
|||
Гамильтона: |
. |
|
|
|
га |
= О |
(1.2.41) |
|
«J(Пл (и) - T(u))dt |
где Пл (и)- функционал Лагранжа; Т(и) - кинетическая энер
гия системы:
1 Г .т.
Т(й)= — JpuTudV.
Согласно принципу Гамильтона, на участке истинного движения системы в промежутке времени tgCbct^ функционал
(1.2.41) имеет стационарное значение.
Г л а в а 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МКЭ
2.1. МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА (МЖКЭ)
Рассмотренные выше вариационные принципы являются ос новой построения эффективных приближенных решений краевых задач МКЭ, в котором используется идея локальной аппрок-_ симации варьируемых функций в пределах КЭ.
Такое представление позволяет использовать относитель но простые координатные функции для описания физических
полей |
и, в частности, при |
использовании |
принципа Лагранжа |
|
- поля перемещений |
в пределах i-ro КЭ: |
|
||
|
|
и± = И. |
, |
(2.1.1) |
где |
- матрица |
координатных функций, |
аппроксимирующих |
|
поле |
перемещений; |
ос^ - вектор неизвестных коэффициентов, |
размерность которого равна числу степеней свободы всех узлов элемента.
Обозначим через - вектор обобщенных узловых переме
щений, а через f\ - вектор обобщенных узловых сил i-ro
элемента.
Тогда, подставляя в (2.1.1) координаты узлов элемента, получим:
, |
(2.1.2) |
где А^ - матрица координат узлов.
Решаем систему (2.1.2) относительно компонент вектора ос^- Получим:
|
|
= A ^ v ^ |
|
|
(2.1.3) |
|
Из (2.1.1) и (2.1.3) следует фундаментальное |
представле |
|||||
ние поля |
перемещений |
через |
значение узловых |
перемещений: |
||
|
u. = M.A^v. = |
G.v. . |
|
(2.1.4) |
||
|
JL |
Ла Л |
«1в |
JL Л |
|
|
Здесь |
- так называемая |
матрица функций |
формы КЭ. |
|||
Входящие в матрицу |
функции формы в литературе обоз- |
начают через N^. Подстрочный индекс используется для
обозначения узла, к которому эта функция относится. Каждая функция формы характеризуется тем, что она об
ращается в единицу в ток узле, |
к которому |
эта функция |
|||
формы |
относится, и обращается |
в нуль в остальных узлах. |
|||
На |
основании |
(2.1.4) определяются |
|
||
- деформации |
|
|
|
|
|
|
|
= DiUi = DiGivi = ВЛ |
(2.1.5) |
||
и напряжения |
в пределах КЭ |
|
(2 . 1. 6 ) |
||
|
|
<Г. |
Ci-i = CiBivi |
||
|
|
-х |
|
Таким образом, все параметры, характеризующие напря женно -деформированные состояния КЭ выражены через его узловые перемещения. Приравнивая работу внутренних сил КЭ работе внешних сил и имея в виду, что в качестве внеш ней нагрузки выступают узловые силы, определяемые векто ром , мы получим следующее равенство:
|
vl ( W Bi c i Bi dvH = |
vl f i ' |
(2.1.7) |
|
|
V. |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Kivi * fi* |
|
(2.1.8) |
|
|
|
|
||
Здесь |
- матрица жесткости КЭ |
(МЖКЭ): |
|
|
|
= |
fJjBTCjBjdV. |
(2.1.9) |
|
Вектор |
f^ равен: |
Vi |
|
|
|
|
|
||
fi = J I K Ci-iOdV + Я |
К Р1аУ + J K qidS |
(2.1-Ю) |
||
V. |
v± |
|
|
|
х |
|
|
Первое слагаемое представляет собой вектор узловых сил от действия начальных деформаций (в частности, температур ных) ; второе слагаемое - вектор узловых сил от действия распределенных объемных сил (в частности, собственного веса); третье слагаемое - вектор узловых сил от действия нагрузки, распределенной по поверхности КЭ; четвертое слагаемое - сумма сосредоточенных сил, приложенных непос-
редственно к $злам элемента. |
является |
квадратной |
сим |
|||
Матрица |
жесткости |
КЭ |
(МЖКЭ) |
|||
метричной |
матрицей, |
порядок |
которой |
п равен |
числу |
|
степеней свободы узлов |
рассматриваемого КЭ: |
|
||||
|
К = |
11 |
12 |
In |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
п2 |
nn-1 |
|
|
|
|
|
п 1 |
|
|
Каждая компонента МЖКЭ k^j представляет собой реак
тивное усилие по i-му направлению, вызванное единичным перемещением по j-му направлению при условии, что переме щения по всем остальным направлениям равны нулю.
Следует отметить, что в общем случае МЖКЭ является особенной, поскольку компоненты узловых перемещений
содержат неопределенные значения перемещений КЭ как абсо лютно твердого тела. Неособенная МЖКЭ может быть получена путем исключения поступательного и вращательного переме щения КЭ как абсолютно твердого тела, т.е. путем наложе ния необходимого числа кинематических связей.
С этой целью осуществляется преобразование вектора уз ловых перемещений при помощи некоторой прямоугольной мат рицы Т, содержащей единицы и нули:
Tv^ |
(2 .1 .11) |
Здесь уГ -вектор узловых перемещений с учетом введейных кинематических связей, ограничивающих перемещение КЭ каф
целого. |
Таким образом, матрица |
Т переводит |
компоненты |
|||
в |
и |
дает |
нуль в |
по направлению введенных кинемати |
||
ческих |
связей. |
|
|
|
||
Вектору |
v. будет |
теперь соответствовать |
новый вектор |
|||
узловых |
сил |
■» |
|
|
|
|
t^ |
|
|
|
|||
Из |
условия равенства работ: |
|
|
|||
|
|
|
т |
* т |
• |
( 2. 1. 12) |
|
|
|
|
|
|
путем подстановки в (2.1.12) уравнений (2.1.8) и (2.1.11) получим:
(vi )TTTKiTvi = |
, |
или |
|