книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfki |
*12 |
fin |
|
det[F - A^E] = det ^21 |
*22 “ |
f2n |
= 0. (2.2.2) |
fnl |
4 г |
4 n - * |
i |
Здесь fjj (i = l,n, j = l,n) - элементы матрицы F; E - единичная матрица; - собственные значения матрицы F, которые в общем случае представляются комплексными числами. Раскрыв по из вестным правилам определитель (2 .2 .2 ), можно получить характе ристическое уравнение n-ой степени относительно А*:
фМ =defF-XjE] =4*? +f1A.r1+f2xr2+...+VA+4 =
(2.2.3)
где f0...fn формируется на основании коэффициентов матрицы F. По уравнению (2.2.3) либо непосредственно вычисляют корни 7^ численными методами, либо проводят анализ, используя извест ные критерии устойчивости [60, 64].
При анализе систем небольшой размерности широко использу ется критерий Рауса-Гурвица. В соответствии с этим критерием из коэффициентов fj уравнения (2.2.3) составляется матрица, по оп ределителю
\ 1 |
4 1 4 1 f7 |
| |
o ' |
|
||
4 |
4 1 4 1 4 |
I |
0 |
|
||
0 |
4 |
u 1 4 |
1 |
0 |
(2.2.4) |
|
0 |
4 |
4 |
4j |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4. |
|
которой и анализируется устойчивость. Определитель (2.2.4) стро ится по следующему правилу. На главной диагонали сверху вниз размещаются все коэффициенты (2.2.3) в порядке возрастания но мера индекса, начиная с f*. Все столбцы относительно диагональ ных членов заполняют вверх коэффициентами fj в порядке возрас тания их номера, а вниз - в порядке убывания. На местах коэф фициентов с номерами i>n и i< 0 проставляются нули.
Для обеспечения устойчивости динамической системы (2.2.1) необходимо и достаточно, чтобы все определители диагональных
миноров низшего порядка, очерченных в (2.2.4) штриховыми ли ниями, имели знаки, одинаковые с f0. Сказанное означает, что при fo> 0 должны выполняться неравенства
ад 2 =
итак далее.
Дискретная система управления (1.4.17) считается устойчивой тогда, когда для любого момента дискретизации корни характери стического уравнения
(2 .2 .6)
где Zj - аргументы Z-преобразований, лежат внутри круга с еди ничным радиусом.
Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимо сти от характера изменения их параметров выходные сигналы мо гут изменяться неограниченно долго даже при постоянных вход ных воздействиях. Это объясняется тем, что параметрические це пи в отличие от линейных с постоянными параметрами обладают способностью «размножать» спектр входных воздействий. Появле ние в выходных сигналах новых гармоник, не содержащихся в спектре входных воздействий, и обусловливает неустановивпшйся характер выходных сигналов. Поэтому использование признаков асимптотической устойчивости для анализа нестационарных сис тем в общем случае теряет смысл. Существующие точные методы исследования устойчивости нестационарных систем довольно сложны [64]. Поэтому на практике пользуются приближенными методами.
Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициен тов [64], который применяется тогда, когда время работы системы ограничено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемые функции времени. Суть метода состоит в том, что весь временной интервал [0 ,tjJ работы системы разбивается на отдельные проме жутки At, в пределах которых параметры системы можно при ближенно считать постоянными. Затем для каждого из временных интервалов At используется любой из известных критериев устой чивости. Если условия устойчивости соблюдаются для всех выде ленных промежутков At, то нестационарная система управления считается устойчивой на всем рабочем интервале [0,Щ. Следует подчеркнуть, что полученные при этом результаты не вполне дос
товерны, поскольку сам метод замороженных коэффициентов не имеет математического обоснования.
Если исследуется ДС с известной динамической структурной схемой, позволяющей определить передаточную функцию замкну той системы, то для анализа устойчивости также можно приме нять критерий Рауса-Гурвица (2.2.5). Этот критерий применяется для характеристического полинома (знаменателя) передаточной функции замкнутой системы, который представляется в виде сте пенного ряда (2.2.3) с заменой в нем собственных значений опе ратором дифференцирования p=d/dt, либо аргументом в преобра зований Лапласа. Необходимо подчеркнуть, что в многомерных системах такие передаточные функции должны составляться от каждого входа к каждому выходу.
Устойчивость оптимальных ДС, содержащих оптимальные фильтры, идентификаторы и оптимальные регуляторы, зависит от устойчивости как фильтров и идентификаторов, так и регулято ров. Принимая во внимание, что в процессе проектирования ДС оптимальные фильтры, идентификаторы и регуляторы достаточно часто синтезируются независимо друг от друга, устойчивость кон туров фильтрации, идентификации и управления (регулирования) будет рассматриваться раздельно.
2.2.2.Устойчивость И РАСХОДИМОСТЬ нестационарных фильтров
Линейный оптимальный фильтр представляет собой нестацио нарную динамическую систему с обратными связями по наблю даемым фазовым координатам (§1.4). В связи с этим устойчивость фильтров Калмана можно оценивать по любому из критериев, применяемых для линейных нестационарных систем. Для опреде ленности в дальнейшем будем полагать, что процессы состояния и наблюдения характеризуются соответственно уравнениями (1.9.8) и (1.9.11), регулятор функционирует по закону (1.11.10), а фильтр - по закону (1.4.3). Подставляя (1.11.10) в (1.4.3), будем иметь модель контура фильтрации в виде векторно-матричного уравне ния
к= Fx - BK'1BTQ1x + Кф(г - Нх) = Fxx + Кфг, |
(2.2.7) |
в котором
Fx = F- BK-1BTQ1 - КфН |
(2.2.8) |
- динамическая матрица собственной фазовой траектории, а Кфг - внешнее воздействие. Подставляя (2 .2 .8) в (2.2.2), получаем
(2.2.9)
Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (2.2.7) необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени кор ни уравнения (2.2.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении условия наблюдаемости (1.9.23) фильтр Калмана будет асимптотически устойчив [56, 68]. В таких условиях фильтр теоретически обеспечивает получение сходящейся оценки х , для
которой характерно уменьшение во времени дисперсий |
(1.4.5) |
ошибок фильтрации от их наибольших первоначальных значений D|i(0) до наименьших в установившемся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калмана, для которых тео ретически выполняется условие наблюдаемости, может иметь ме сто явление расходимости. Под расходимостью понимается значи тельное превышение реальными дисперсиями ошибок фильтрации того их уровня Dii, который был предсказан теоретически соотно шениями (1.4.5).
Основными причинами расходимости являются: неточности исходных моделей (1.9.8) и (1.9.11), используемых при синтезе фильтров; отсутствие точной априорной информации о законах распределения и спектральных плотностях возмущений, сопрово ждающих оцениваемые процессы и наблюдения; отсутствие точ ной информации об априорной статистике х(0) и D(0) начальных условий, используемых при реализации алгоритмов оценивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Кф (1.4.4), (1.4.5) и реализуют сам процесс фильтрации.
На примере аналогового линейного оптимального фильтра проанализируем особенности функционирования, которые непо средственно влияют на его устойчивость и могут привести к рас ходимости формируемых оценок. При этом будем полагать, что имеют место все перечисленные причины, способствующие появ лению расходимости. Следует отметить, что полученные при этом выводы имеют смысл и для дискретных фильтров.
Упомянутые особенности функционирования обусловлены: на личием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зави симостью корректирующего влияния невязки z - Н х на оценку х от точности фильтрации; усилительными свойствами и точностью устройств, формирующих наблюдаемый процесс; формой прини маемых радиосигналов; размерностью фильтра и продолжительно стью его работы. Первая особенность предопределяет тенденцию
фильтра к расходимости, когда число ш наблюдаемых параметров меньше числа N оцениваемых координат. Отсутствие в фильтре N- m ООС при наличии ошибок вычислителей может привести к не устойчивости.
Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим гипотетиче ский фильтр, предназначенный для оценки расстояния Д между двумя движущимися объектами, их радиальных скорости Vp и ус корения jp. При этом будем полагать, что взаимное перемещение объектов соответствует модели равноускоренного движения, т.е.
Д = УР Vp = jp jp = 0 |
(2.2.10) |
|
Наблюдаемый процесс |
|
|
Zfl(t) |
д + и > |
(2.2.11) |
где £ди - |
белый шум со спектральной плотностью G^, формирует |
ся РЛС в режиме автосопровождения. Будем считать, что задан ные распределения начальных условий (2 .2 .1 0 ) соответствуют тре бованиям, выполнение которых необходимо для корректного син теза фильтра. Начальные условия для матрицы D (1.4.5) задаются в общепринятом виде: Dn (0)*0, D22(0>K), D33(0)*0 , ^12(0)"0 2 1(0)=0, D13(0)=D3I(0)=0, D23(0)=D32(0)=0. Здесь D^, D22 и D33 - дисперсии ошибок оценивания дальности, скорости и ус корения, a Djj (i*j) - взаимные дисперсии ошибок фильтрации со ответствующих координат. С учетом (2 .2 .10 ), (2.2.11) и (1.4.4) все матрицы, необходимые для определения критерия наблюдаемости (1.9.23) и формирования характеристического полинома (2.2.9), имеют вид:
F =
0 |
1 |
0 |
О |
О |
ь-± |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
D 12 |
D 13 |
• н г = |
0 |
; о = |
D 22 D 23 |
|
» “ д |
||||
|
0 |
|
Р а ®32 |
Сзз. |
К .- К /о » D2 l/e* D81/ G4
где матрица D задана в общем виде. Тогда в соответствии с (1.9.23):
LГн Дт
|
'1 |
1! |
0 |
|
О |
1 |
00'
10 .
0-----1
(2.2.13)
Поскольку |
ранг |
|
||||
матрицы |
(2.2.13) |
ра |
|
|||
вен размерности |
оце |
|
||||
ниваемого |
|
процесса |
|
|||
(2 .2 .1 0 ) , |
то |
этот про |
|
|||
цесс |
является полно |
|
||||
стью |
наблюдаемым, а |
|
||||
синтезированный |
на |
|
||||
основе |
(2 .2 .1 0 ) |
и |
|
|||
(2 .2 .1 1 ) фильтр асим |
|
|||||
птотически |
устойчи |
|
||||
вым. |
|
Структурная |
Рис. 2.2.1. |
|||
схема этого |
фильтра, |
|||||
|
полученная на основе использования (2.2.12) в (1.4.3), приведена на рис. 2.2.1. Прове-
рим устойчивость фильтра, используя условие(2.2.9) с учетом того,
что в (2 .2 .1 0 ) отсутствует управление. |
Подставляя |
(2 .2 .1 2 ) в |
||
(2.2.8) и (2.2.9) получим: |
|
|
|
|
- D ll / Ода “ |
1 |
0 |
|
|
det[Fx - XjE] = det - D 21 |
/ 6 ди |
- * i |
1 = |
0. |
- D 31 |
/ |
0 |
- V |
|
Отсюда вытекает характеристическое уравнение |
|
|
||
+ D lA l / Оди + I>21^i / 0дИ+ D31 /«ДИ = 0 . |
(2.2.14) |
Принимая во внимание начальные условия D2i(0 )=0 и DS1(0)=0, на основании (2.2.14) можно утверждать, что, несмотря на выпол нение условия наблюдаемости (2.2.13), синтезируемый фильтр может быть неустойчивым, если в начальные моменты времени в результате ошибок вычислителей вместо D2x(t) > 0 и D31 (t)>0 бу дут иметь место значения D2i(t)< 0 и D31(t)<0 . Изменение знака D2I и D31 в первую очередь приведет к ошибкам оценивания jp и Vp. Отсутствие ООС по этим координатам (см. рис. 2.2.1) может сопровождаться существенными ошибками оценивания дальности за счет смены знака корректирующих сигналов, поступающих на сумматоры. В результате увеличится невязка гд-Д, ошибки оцени вания ускорения и скорости и т.д. Очевидно, что тенденцию фильтра к расходимости можно ослабить, увеличив число наблю даемых координат. Такой прием, приводя к увеличению числа об ратных связей, улучшает компенсацию погрешностей работы
фильтра, в том числе и обусловленных неточностью функциониро вания вычислителей.
Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, об ладающем наивысшей теоретической точностью в установившемся режиме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуще ствляется наименее действенная коррекция результатов прогноза Fx+Bu обновляющим процессом z-Hx. Это обусловлено тем, что в установившемся режиме коэффициенты матрицы Кф принимают свои наименьшие значения. Бели во время работы фильтра ошиб ки прогноза Fx+Bu, которые накапливаются в процессе интегри рования, начнут превышать поправки, вносимые невязкой, то ре альные ошибки фильтрации будут увеличиваться. Следовательно, фильтр может расходиться. Рассмотренная особенность проявляет ся в наибольшей мере тогда, когда в процессе синтеза не учиты ваются шумы в уравнениях состояния. Если Gx=0 , то при t-*x> коэффициенты матрицы D (а соответственно и Кф) стремятся к нулю, и фильтр вообще перестает реагировать на поправки обнов ляющего процесса. В структурном плане это адекватно размыка нию цепей ООС по наблюдаемым координатам. Данное утвержде ние может быть проиллюстрировано на примере уравнения (2.2.14) при Dn (oo)=0.
Из проведенного анализа следует, что тенденция фильтра к расходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициен тов tyj матрицы D (1.4.5). По времени это соответствует начально му этапу работы и функционированию в установившемся режиме. Наличие ошибок вычислителей при достаточно малых значениях коэффициентов матрицы D может привести к потере ее неотрица тельной определенности. В структурном плане это соответствует замене ООС на положительные, что и предопределяет возможность формирования расходящихся оценок. Необходимо отметить, что ошибки вычислителей особенно сильно сказываются при достаточ но больших шагах интегрирования (интервалах дискретизации), сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (2.2.7).
Еще одним последствием неточностей вычислителей, которое может привести к усилению расходимости, является нарушение симметрии матрицы D в процессе вычисления ее коэффициентов.
Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюде ния также существенно влияют на устойчивость фильтров Калма на. Неудачно подобранный состав измерителей (1.4.2), при кото ром не выполняется условие наблюдаемости (1.9.23), приводит к расходимости фильтра. Для иллюстрации этого утверждения рас смотрим еще раз пример (2 .2 .1 0 ) синтеза фильтра при условии,
что вместо дальности доплеровским измерителем наблюдается ско рость
= У + |
(2.2.15) |
|
Наблюдение сопровождается случайными погрешностями |
в |
|
виде белого шума со спектральной плотностью G^. В такой ситуа |
||
ции модуляционная матрица принимает вид |
|
|
Hv =[0 1 0]. |
(2.2.16) |
Учитывая (2.2.10) и (2.2.16), найдем матрицу (1.9.23) наблю даемости
0 0 0
1 0 |
0 , |
0 1 0
ранг которой меньше размерности вектора состояния (2.2.10). По лученный результат свидетельствует о том, что по наблюдению (2.2.15) нельзя получить оценки всех компонент процесса (2.2.10).
При использовании (2.2.10) и (2.2.16) матрица коэффициентов Еф (1.4.4) вырождается в вектор столбец
*4>v = [D12 / GVB D2 2 / GVH D3 2 / G VH]T>
а характеристический полином, вытекающий из (2.2.9), имеет вид
А+D22X? / GVH+ D32Xl / G™ = 0. |
(2.2.17) |
Наличие нулевого корня в (2.2.17) свидетельствует об отсутствии устойчивости синтезированного фильтра.
О влиянии усилительных свойств (Н) и точности устройств на блюдения (GH) на расходимость линейных оптимальных фильтров можно судить непосредственно по формулам (1.4.3) и (1.4.4). Из них следует, что увеличение коэффициентов матрицы Н и умень шение коэффициентов матрицы GHвызывают рост коэффициентов матрицы Кф, а соответственно, и корректирующего влияния не вязки на результаты прогноза Fx+Bu. Усиление коррекции позво ляет в большей степени компенсировать неточности моделей, ап риорной статистики и используемых вычислителей.
Если наблюдаемый процесс - радиосигнал s(t), то значения элементов матрицы Н будут определяться производной ds(x(t), t] / dx(t) (1.5.2). Тогда при прочих равных условиях кор ректирующее влияние обновляющего процесса будет возрастать
при уменьшении протяженности сигнала по оцениваемым коорди натам. Кроме того, при этом повышается точность наблюдения сигнала [68]. Данное обстоятельство также приводит к снижению склонности фильтра к расходимости. Однако уменьшение протя женности сигнала по оцениваемому параметру приводит к умень шению ширины [-AXjmax, Aximax] линейного участка дискримина ционных характеристик в следящих радиоэлектронных системах. Это обстоятельство усиливает вероятность потери устойчивости ДС из-за срыва сопровождения цели вследствие выхода рабочей точки за пределы линейного участка дискриминационной характеристи ки.
Рассмотренная первоначальная расходимость, обусловленная ошибками формирования взаимных дисперсий, обычно проявляет ся лишь у фильтров высокой размерности с малым числом наблю даемых сигналов при наличии большой неопределенности априор ной статистики. На практике чаще приходится сталкиваться с расходимостью фильтров Калмана в установившемся режиме рабо ты, особенно при высокой размерности модели состояния с низким уровнем формирующих возмущений £х.
В заключение отметим, что все рассмотренные причины рас ходимости имеют смысл и для нелинейных оптимальных фильт ров, которые по сравнению с линейными обладают еще более вы сокой склонностью к расходимости, обусловленной, в частности, их способностью к самовозбуждению.
2.2.3.П ре д о тв р а щ е н и е ра с х о д и м о с т и ф и л ьтро в
Вобщем случае для уменьшения склонности оптимальных (квазиоптимальных) фильтров к расходимости необходимо повы шать точность используемых моделей и вычислителей, априорной статистики возмущений и начальных условий, увеличивать число наблюдаемых координат и уменьшать время работы.
Особенностью радиоэлектронных измерителей является их функционирование при высокой неопределенности априорных све дений о начальных условиях алгоритмов фильтрации (1.4.3)-
(1.4.5) или (1.4.19)-(1.4.23), имеющих место в момент обнаруже ния (первого наблюдения) сигналов. В простейшем случае х?(0) и
Вд(0) выбираются по правилам, определяемым соотношениями (1.4.9) и (1.4.10). Необходимо отметить, что выбор начальных ус ловий по этим формулам может привести к несоответствию на чальных значений функционально связанных переменных. Это
предопределяет наличие в фильтре дополнительных переходных процессов и усиление тенденции к расходимости. Для уменьшения влияния неопределенности априорной статистики на работу фильтров можно использовать в качестве начальных значений на блюдаемых координат результаты первых измерений Z j(0), пере считанных к хДО) на основе детерминированных связей уравнений наблюдения (1.4.2), (1.4.18). В такой ситуации значения Djj(O) для этих координат будут определяться пересчитанными значениями дисперсий погрешностей измерений. Значения xt(0) и D^O) для
остальных фазовых координат можно найти путём численного дифференцирования результатов измерений на первых тактах на блюдений с учетом моделей состояния.
Действенными способами ослабления влияния ошибок вычис лителей на сходимость процессов оценивания являются уменьше ние шага интегрирования (интервала дискретизации в дискретных фильтрах) и уменьшение числа уравнений (1.4.8), решаемых в процессе синтеза и функционирования фильтров.
При отсутствии других ограничений шаг интегрирования (интервал дискретизации) At целесообразно выбирать, исходя из условия Котельникова
At < 0.5тк |
(2.2.18) |
для процессов состояния с высоким уровнем шумов возмущений либо из правила
At < 0.5ТМ |
(2.2.19) |
для малошумящих моделей, где тк - интервал корреляции модели состояния, а Тм - период повторения максимальной гармоники, входящей в состав спектра процесса состояния.
Необходимо отметить, что уменьшение Ni (1.4.8) путем ис пользования более грубых исходных моделей (1.4.1) и (1.4.17) меньшей размерности может значительно ухудшить точность оце нивания и усилить тенденцию к расходимости из-за большого не соответствия выбранной модели реальным условиям функциони рования. Ухудшение точности фильтрации, обусловленное умень шением размерности вектора состояния, можно оценить по алго ритмам чувствительности, рассмотренным в [58, 67].
Число решаемых уравнений можно существенно уменьшить, применив метод декомпозиции, называемый иногда методом рас щепленного фильтра, т.е. разбить исходный вектор состояния (1.4.1) на несколько подвекторов Xj, для каждого из которых син тезируется свой оптимальный фильтр. Такой прием, не снижая
130