книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

то сохранив в разложении этих функций лишь два члена, полу­ чим:

		Ф (р, > + Лхк) ="Ф (р, хк) +				Г (р, l k) Схк=
			— Ф (р. хк) + г (р, Ь			(х* — хку,
ф, [> (Р() +			Д*‘ (P i)l = Ф | [* (р,)] +			Г, (р,, 1^) ( ? -		?).
Подставив эти разложения в выражения (7.44), заменив неиз­
вестные	векторы		£fe, Ç*	векторами	хк, xï		и положив	х* ш хк+1,
xi хл+1	придем к следующей итерационной системе уравнений:
= З Г	=	[А +	Г (Р, хк)] x*+i + [В + ф (р,				Хк) - Г (р,	—*.
								хк) хк1;
{Ct +		T t l p t ,	? Ш	х к+ ' (Pi) +	{L,(pd + V i[?(P()J-
			— Гf[pi, xk (?i))xk(pi))=0
			(i ~	1, 2; k = 0 ,	1,	2,	...).	(7.39)

Отсюда видно, что при каждом k эта система уравнений будет

линейной. Символы Г(р, хк) и Г*(р;, хк) означают якобианы, ко­ торые необходимо вычислять при каждом приближении k (см. гл. 4). Для осуществления итерационного процесса необходимо задание

начального приближения х°. От того, как удачно выбрано началь­

ное приближение х°, зависит быстрота сходимости итерационного процесса. В задачах, где линейность выражена не сильно, в ка­ честве начального приближения берется решение линейной зада­ чи, т. е. в системе уравнений (7.35), (7.36) необходимо принят»

Ф =	О,	=	0.	пластины заданы линейные граничные условия,
Если на			краях
то в	(7.36)	4^ = 0		и вид граничных условий не зависит от номе­
ра k.	В этом^ случае итерационный процесс значительно упроща­
ется,	так как отпадает необходимость вычислять якобиан Г;(р,-,

хк).

Исходя из изложенного, рекурентная система нелинейных дифференциальных уравнений (7.39) деформации гибких круглых пластин переменной толщины для k -f-1 итерации запишется в бо­ лее обозримом виде:

	"Jf~~ у	Ê р-	+ - у - Tu —-р- AwtAwz—
	— w* + у (&*)2 + i f М У 2 +			(1 + V) ег;
dt]	jg__ 4-	2 (1 +	v) T n +	4-»Md
d p	P P '	t		P

S . - f c		12 (1 — v2)
	S - - f » + S H p « i H , + i Bc + (1 + , , . r i
dp	dp					^ 7^' . t •
dT\ |	f ►, f л	1	л	'	~
_ 1	= - г £ + 75Лч-	7	Л5		p	7 п + _ л сЛс

- £ И З * - Л - f . «

- £ * ' « * - j B U , - 4 ^ + £ ( A ; y +

+ -тАфс + T <*>+ ~ r eT — Pf,

£

c c + p D : +

a-0b

dp

= °зЛ + -~Я с + | ^

'

* P

- J №

4 - 4 OH,

P

в ь — ~ Т 1п — ^гВ м

2 (1 + Л p3.

M

12 3 (1 +

)

- JT * 4 , - 1 - л;вс -

^ B \l-

^ e*Sc - i; A \B \A '-

~ р Л А № Bt + -^b*AiA i +

p { A < : y b +

J

AlT\2 A-

+ 7 !”« * +

л;» +

£

*M , + j i »*« +

js Г» +

T"■M ''*

"i

v -

M

, r „

- b

^ " Л с Т 1is 4- p

- T 1I 2^4C —

~ 6 r ^

^ *

+ (1 + »)«гГ|, +

‘ ETBC+ 4(4cT Вс - 1

г;2Л,- -

4 T-'2,4' "

P

P

P

- j s W )s y + -,A\Bl - 4

VBl -

4 ГУ

- 4 у Лч'"

/

P

P

p2 ■* “

p2

v2\

P

2

P

12 (l —

2p4

2.

Jâ

■— Г м

M |

—i(üb + ^

l)*7 4 - й\щ — s +

r'r. Л - * *

ЛИ,

„ ,2

3 + v

2p2

'

12P2

л ____________

axl

__

Q/

_

Ло +

(3 + v) Л

dP

2 ( l+

v) p3

C

12 (1 +

v) p3

2 (1+ v) p^

(IA*»

I

r „

/3

1 — V T 7

3

г "—•—A

*

I2p2

6 (1 + *v) PВъ A -T i,t

где

=

| ц‘+1__ц<-1 j*+‘.

ди*+]

Л£== duk+l

/„ Ж

„ i l

U

l

ôO

2X

dd

А щ- * й а

A _ ^

+l. д

ô&"+i.

A

dTÏ Ï k

*

1

ôT~*

Лс ~ 1ë~» Ло e 1Г*

л r = " de

(7.41)

(7.42)

В уравнениях (7.40) везде опущен индекс i. Как видно из обозначений (7.41), величины без звездочек обозначают векторрешение в (£-f 1)-ом приближении, а со звездочками —в /г-ом приближении. Заметим, что из системы уравнений (7.40) легко получить итерационную систему для осесимметричной деформации гибких круглых пластин. Для этого необходимо принять все ко­ эффициенты в (7.41) равными нулю, а в (7.42) ненулевыми будут лишь

При решении линейной системы уравнений на каждой (6+1).-ой итерации применяется метод дискретной ортогонализации [16, 30].

Алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном со­ стоянии гибких круглых пластин переменной жесткости реализован в комплексе программ на языке ФОРТРАН на ЭВМ БЭСМ-6 [29].

Программа построена в соответствии с модульным принципом, в основе которого лежит возможность представления решения всей задачи как совокупности самостоятельных частей, оформлен­ ных в виде подпрограмм.

Подпрограммы делятся на стационарные и нестационарные. -Стандартные подпрограммы осуществляют вычислительный про­ цесс той части задачи, которая является неизменной для всего класса рассматриваемых задач. Программа решения задачи состоит из головной подпрограммы, подпрограммы решения краевых задач методом дискретной ортогонализации, подпрограммы вычисления

элементов матриц А к и вектора Фл, подпрограммы вычисления коэффициентов, зависящих от геометрии пластины, поверхностной нагрузки и температурного поля, подпрограммы печати результа­ тов в определенном порядке, подпрограммы вычисления коэффи­ циентов систем уравнений левых и правых граничных условий,

подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений одновременно с несколькими правыми частями методом Гаусса с выбором главного элемента. К нестандартным программам отно­ сятся головная подпрограмма и подпрограмма вычисления коэф­ фициентов, зависящих от геометрии пластины, поверхностной нагрузки и температурного поля. Головная подпрограмма осу­ ществляет работу всей программы.

Пример 1. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины переменной толщины h (г,0), жестко защемленной по внешнему кон­ туру г«, под действием на внутреннем контуре /ч усилия Q0.

Для решения задачи примем (27, 28]:

h —йоЛ 1 = 1+ Кcos?'» Pï = “ = 0.4;	Ра = “	=
Qiro	Qoro	8.
v = 0,3; Рг = Pt — Pa = 0; Tin= ^ 7 ~	—

Граничные условия запишутся в виде:

и =	— Sj = 0, Q i= Qo при г = гц
и =	v = ai = ft* = 0 при т— г%,

или в безразмерной форме:

Ç= » =	Tia =	О,	Т;in	rpQ	Qoro	при р =	рх =	0,4}
					___
				Хп ~ е К
5=	il =	t =	ô	=0		при	р =	ра1. =

В силу симметрии по 0 задача решалась на интервале [0,к] при числе пря­ мых п = 6; 11; 16. Таким образом, в каждом из указанных случаев решалась система уравнений 48; 88 или 128 порядков соответственно. В двух последних случаях наблюдалось совпадение результатов до четырех значащих цифр.

В табл. 7.1 приведены результаты расчета для максимальных значений

безразмерного прогиба Ç и безразмерного момента Mi							при	р =	0,4		в-	зависи­
мости от номера			приближения k = Q, 1,		2, 3, 4 для f = 0,1. В				качестве				нуле­
вого приближения бралось решение линейной						задачи.	Данные		таблицы				пока­
зывают, что итерационный процесо сходится						достаточно быстро.				На		рис.		7.1
и 7.2 показано распределение С и Щ по окружности							для	трех		значений				fj
7 = 0,1;	7 =	0,2;	7 = 0 ,3 . 'Штриховой		линией показано			решение			линейной
задачи. На рис. 7.3 дана				зависимость Zmax(T\n)‘ Прямая линия						соответствует
линейной теории.
								Т а б л и ц а					7-1
Функ­	ь					k
			0	1		2		3					4
ция
г	0	0,7084		0,5640	0,5798		0,5797				0,5797
ч	я	1,1050		0,7458	0,7760		0,7757				0,7757
/кч	0	2,0242		1,6777	1,7143		1,7140				1,7140
	я		1,7563	1,3008	1,3342		1,3337				1,3337

Полученные результаты свидетельствуют о существенном отличии решений по нелинейной и линейной теориям. Графики позволяют определить также, как влияет переменность толщины в окружном направлении на неравномер­ ность прогиба и момента в окружном направлении.

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Пример 2. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины а толщиной, изменяющейся в двух .направлениях по закону |27, 28)

2

h —Ло(1 + Кcos0) (l — g-r)

под действием распределенной нормальной нагрузки

= д0 при жестко защем­

ленном внутреннем гх и свободном внешнем гй краях. Для решения задачи примем:

- о * Л - 2 - 1 Л - Р . - 0 ! Я - ^ - а д

V— 0,3; ïj* '— s'j' — 0«

Граничные условия запишутся в виде:

и=о=to=ôj =0

,N\ = 5j = Q, = AI, = 0

или в безразмерной форме:

Ç= T) = t = &=0

** ^12 = Tin ~ МЛ—0

При Г = Г||

при г *= г2;

при р = р, = 0,5} при р = р2 = 1.

7*

195

В табл. 7.2 приведены значения прогиба С на внешнем контуре (р = 1) и момента Mj на внутреннем контуре (р = 0,5) при Р7 = 2,5 в зависимости от

номера приближения k итерационного процесса Ньютона. Усматривается доста­ точно быстрая сходимость итерационного процесса. На рис. 7.4 показана зави­ симость максимального прогиба Ç на внутреннем контуре пластины (р = 1) от значения поверхностной нагрузки Р^. Прямая на рисунке отвечает решению

задачи в линейной постановке.

						Т а б л и ц а 7.2
К					0
к
в
ы	k
в		0	It	2ÎI	3ÏC	4ît	IC
>*
в			T	5	~	5
	0	0,9167	0,9640	1,1042	1,3179	1,5328	1,6272
У	1	0,7669"	0,7889	0,8583	0,9615	1,0654	1,1089
	2	0,7812	0,8037	0,8816	0,9960	1,1018	1,1253
Ç	3	0,7810	0,8032	0,8805	0,9935	1,1043	1,1133
	4	0,7810	0,8032	0,8805	0.993G	1,1040	1,1144
	5	0,7810	0,8032	0,8805	0,9936	1,1040	1,1143
	0	—0,4569	—0,4561	—0,4537	- —0,4500	—0,4462	—0,4446
Т/Г.	1 —0,4063 —0,3994 —0,3842 —0,3677 —0,3570 —0,3534
	2	—0,4105	—0,4032	—0,3896	—0,3744	—0,3618	—9,3519
Mi	3	—0,4104	—0,4029	—0,3891	—0,3736	. —0,3624	—0,3486
	4	—0,4104	—0,4029	—0,3891	—0,3736	—0,3623	—0,3489
	5	—0,4104	-0,4029	—0,3891	-0,3736	—0,3623	—0,3489

Пример 3. Рассмотрим деформацию гибкой круглой пластины переменной толщины, жестко защемленной по внешнему контуру, под действием на внутрен­ нем контуре перерезывающего усилия Q0, находящейся в неравномерном темпе­

ратурном поле Т (г, 0).

196

v = 0,3; Р, — 0,4;	Рг=	I; Г?„ - - ^ г -
Р, = Рг = Р3 = 0;		«г - 0;
Еу. = 0, 1, 2,	3;	/ == I -)- 0,2cos 0.

Граничные условия имеют вид:
Ç= $ = Г12 — 0,	Т 1п =	Т°1п = —8	при Р -	0,4;
Ç=	7)=C =	{y = 0	при р в	1.

В табл. 7.3 приведены значения максимального прогиба С и изгибающего момента Мх на внутреннем (р = 0,4) контуре пластины при четырех значениях

ет на различных прямых. Из таблицы видно, что о возрастанием ет прогиб С

и момент Му увеличиваются. На рнс. 7.5 и 7.6 приведены распределения со. ответственно прогиба Ç по радиусу при 0 = ic и изгибающего момента Му на внутреннем контуре (р = 0,4) для различных значений ёг . Пунктирная линия отвечает решению задачи в линейной постановке. Из графиков видно, что с уве­

личением ет существенно увеличивается различие между	решениями задачи
в линейной и нелинейной постановках.	г2
В данной задаче можно также исследовать влияние	= JL хт на напря-
	- Л0

женно-деформированное состояние пластины. В табл.		7.4 приведены результаты
вычислений Çmax	и Му при различных значениях х г = 0; 1; 2 и 0 = * . Резуль­
таты вычислений	показывают, что величины 6, Туу,	С практически не «авн-

функ­

ция

£щах

Mi

Р

0,4

0,6

0,8

1,0

1°	№при­	0=0	0|2к	0,4*	0,6п	0,8л
т	бли­
	жения
	0	0,5849	0,6327	0,7816	1,0291	1,3051	1,4354
0	4 -5	0,4982	0,5269	0,6097	0,7292	0,8413	0,8886
1	0	0,6389	0,6971	0,8843	1,2154	1,6134	1,8119
	4—5	0,6602-	0,6967	0,7996	0,9418	1,0684	U196
2	0	0,6927	0,7628	1,0070	1,4682	2,1092	2,4610
3	4 - 5	0,8701	0,9122	1,0273	1,1782	1,3051	1,3555
	0	0,7312	0,8053	1,0873	1,7930	3,0855	3,9449
	4—5	1,1035	1,1478	1,2648	1,4113	1,5302	1,5777
0	0	2,1595	2,1161	1,9923	1,8230	1,6778	1,6215
	4—5	1,8822	1,8130	1,6268	1,3919	1,2023	1,1315
1	0	2,2834	2,2496	2,1507	2,0109	1,8883	1,8407
	4 - 5	2,3456	2,2460	1,9810	1,6509	1,3891	1,2911
2	0	2,4027	2,3843	2,3342	2,2701	2,2221	2,2049
	4 - 5	2,9210	2,7903	2,3807	1,9148	1,5611	1,4314
3	0	2,4698	2,4620	2,4910	2,6406	2,8690	2,9852
	4 - 5	3,5265	3,3095	2,7677	2,1501	1,7023	1,5419

					Т а б л и ц а 7.4
при-		С			Mi
бли-	%т= 0	1	2	t j = 0	1	2
ження
0	1,4354	1,4255	1,4156	1,6215	1,5538	1,4861
4—5	0,8886	0,8837	0,8801	1,1315	1,0682	1,0056
0	1,0016	0,9940	0,9864	0,3398	0,2750	0,2103
4—5	0,6132	0,6092	0,6062	0,1680	0,1045	0,0420
0	0.3223	0,3196	0,3168	—0,3804	—0,4394	—0,4984
-4—5	0,2039	0,2023	0,2020	—0,2040	-0,2647	—0,3253
0	0	0	0	—0,8997	—0,9521	—1,0045
4 - 5	0	0	0	—0,6217	-0,6761	—0,7320

сят от у. т, а изгибающий момент /Wj с возрастанием г.т уменьшается. В таб­

лице приведены также данные нулевого приближения (линейной задачи). Рассмотренные примеры показывают также, что для получения точности до

четырех значащих цифр достаточно пяти-шести приближений в методе Ньютона.

0.МЕТОД ВЛАСОВА—КАНТОРОВИЧА СВЕДЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ

КОДНОМЕРНЫМ

Метод Власова—Канторовича, как и метод прямых, дает воз­ можность свести двумерную задачу теории оболочек к одномерной задаче. Основная идея метода заключается в следующем [11, 48, 49, 62].

Решение разрешающей системы уравнений в перемещениях или в смешанном виде, предварительно приведенной к безразмерной форме, представляют в виде конечного ряда по каким-то функ­ циям. Любой член ряда состоит из произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты. Функции по одной из координат задаются заранее в зависимости от краевых условий, а функции от второй координаты подлежат определению. Далее применяем процедуру метода Бубнова — Галеркина. В ре­ зультате приходим к 3п или 2п нелинейным обыкновенным диф­ ференциальным уравнениям соответственно для уравнений в пере­ мещениях или в смешанном виде, где п — число аппроксимирую­ щих функций.

Число разрешающих уравнений полученной системы увеличи­ вается с ростом п. Если в качестве функций, аппроксимирующих

решение	в направлении оси	а (а — одна из осей), выбрать систему
функций	sin(2£— 1) %а или	sinkna (k = 1, 2, ., п), то	в силу
ортогональности данных систем функций на сегменте [0,			1] полу­
чаемая система значительно		упрощается, -но полностью	система

не распадается на отдельные уравнения (как это происходит в слу­ чае линейной задачи). К полученной связанной системе уравнений может быть .применен метод линеаризации [62], метод конечных разностей или метод последовательных нагружений.

Заметим, что представление решений в предложенном виде при конечном п означает сведение рассматриваемой задачи к системе уравнений с конечным числом степеней свободы в одном направ­ лении при сохранении бесконечного числа степеней свободы в дру­ гом направлении.

Функции, которые задаются, могут быть выбраны самым раз­ личным способом, но они обязательно должны быть линейно неза­ висимыми и должны удовлетворять граничным условиям по этой переменной.

Предложенный метод сведения двумерной задачи теории обо­ лочек к одномерной известен в литературе как метод Власова — Канторовича. Получаемые этим методом уравнения называют ва­ риационными уравнениями метода Власова — Канторовича [49, 48].

Применим сначала описанный выше метод к уравнениям (6.96)

при L ( ... ) = О [49, 62]:
Ai&w.rt+i Н~ (А* + а*)	== 0;
— (Aft + д х) 8<pf,n+i + (voA? — АЛ &Cu+ i = Ърь		(7.43)

т. е. к^инеаризованным уравнениям с помощью метода последо­ вательных нагружений.

Искомые функции 8Ç и 8<р зададим в виде:

N	N
&С= S Сы(5)^2т(г});	8<р= 2 '|>1т(€)фгт(д)<	(7.44)
Я1= 1	т=1

Считаем, что функции Ci,n (£) и 4>im (?) известны. Для опреде­ ления искомых функций СгтЫ и ф2т0з) составляются уравнения метода Бубнова — Галеркина в форме

АГ N N п

П	2	^lm (£) ф2т (“fl) “Ь	Aft+* 2	Clm (S) С2т Cfl) I ^1/(?) = О,
aL	т =1		т =1		J
		АГ	N
		î| — Д*+х S . 1»1т (É) ф2т fa) +
		т= I
		N			C i/(É )^ = 0
	+	(voAlAl— A?) 2	Clm(Ê)C2mfa)— р
		т~1
		(/ =	1, 2,	N).	(7.45)

Пределы a, b являются пределами изменения координаты Здесь опущен индекс /, указывающий номер нагружения.

Уравнения (7.45) могут быть записаны в виде:

N	r	IV	п				*
S l_ûm/^2m 4“			bmj^2tn 4" £т/ ф2т 4" ^т/ Ой) С2т ““
т=1
N		fmj Cfl) ^2/п 4 ^т/ (^) ^2т]					= О*
	[—gmi (13) «hm + Sml fa)					Ьт “	Лн/ fa) <1>2т +
2
т==1
+ W v + ад»,(ч)С + и,ni (4)Ci™+ о™, (i) С] = О,Ы)
			( /= 1 ,2 ,			N),	(7.46)
где коэффициенты		этих	уравнений		определяются по формулам:
ъ			ь				ь
Qml^ p2f			bmj = 2 j* ÿlmÿl/^ËŸ				Cmi= P~2J
0			a				a
		■ ft		А/			&
*m/(я) = Г-î ClmflydE + 2						C*2/fa)JCÎ/Clm<|>I/dÊ;
		vla	V	1=1			о
				&
	Ы ч )-2Е c*û(4)fcU'i«.'M«;
			/=1	/>
		1		V		/;
A/n/fa)		ClmS|>l/d£-f- 2				fa) I CnClm^lm^Ç;
		“ 2 a		/=1		a
		b		N		b	u
gm/fa) =		7"f <hmCl{(ft +		J	С*2/ fa)J WlmCl/dfc
		“1Û		l=\		Q
			N	b
	smj(i) = 2 2 C2/ (13) J <|>I/ClmCl/6fêî
			1=1	a
Гт! fa) =		r i ^ImCi/dS +		2		(13) î CuCl/fimdÊ;
		^2 fl		/= J		a