книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

•Левые части этих выражений легко можно подсчитать по опера­

торам (8.9) — (8.11). Смешанные производные в произведениях
w Э2/	дЦ
типа 2	аппроксимируем выражениями

o i l	**+	— d\d2fi, k • d\difyi, k4 -	d\Ô2Îi, k • didÿ^i, *.	(8*,4 >
& МГЫ	dÇdtj (i.k)
' dÇcfr)
Введем также		следующие обозначения для производных:
		d i/= Д, d2f = /V), d if= Д,	d2/ = /-,

a,/=/Af a2/=	fA, a,ai/.= /e0		d2a2/ = f -,
Ç	TJ			1*
d\d2f = д-, â,a2/ = /5V					(8.i5>
Тогда для внутренних	точек	области	Gx (1 <	i < М — 1,	К
< /г < N — 1) система уравнений		(8.6) с точностью 0 (X2 + X?)			ап­
проксимируется разностными уравнениями
а4<РСШ + 2a2(P&w	Т ( рТ^го+		+	т ( Сг£л +

_____
[24 (1 — V2)
х	(Чб *		"Ь					н». *1“ 32		А*	(8,16>
Если		расписать		систему		уравнений для всех внутренних точек*
то в них войдут также значения функций								С и <g в	законтурных
точках	с	индексами			( — 1,	к), (М +	1, k),	(t,.— 1),	(г,	TV4-1), а
также	их	значения		в	точках контура		(вида	(0, k),	(М,	k),	(i, 0),

(i, N). Эти точки необходимо исключить с помощью разностных

аналогов	граничных	условий.			В	случае			шарнирного опирания
контура	из (8.7) имеем:
	Со, а =	CAI. а= 0;				срм+ i. к — ? м—i, ь\
	C_l,fe——		Cl. а;			Ср—I. ft =		— tpl.feî
	См-И, k~		— CM—i. ft*. <po. ft =					<рм. ft= 0
		(k=		1,	2,	... ,	N);
	Zi, 0 =	Cf. N =		0;		tpï, 0	= <?f, N = 0;
	Ci.-i =	— Ct-, i;				«p*.—i — — ?i. r»
	Cf. W+ 1	= — Cf, N - Г.				?i. N+l =			— <?i,N-l
			(t =	1,	2,	. . . ,	M).		(8Л7)-

Если контур оболочки жестко заделан, то из граничных условий:

и =	V— w = 0 при х — 0, х — 2а,				у = 0, у — 2Ь;
^ =	0	при х =	0, х =	2а;
ах
0 = 0		при у =	0, у =	26	(8,18)

находим соотношения:

С о ,* = С л м = 0 , С1—,й — C i,kt С м + i . f t = Сл1—I.л »

«ро, ft — îpÀl.Aî =		О , < Р1-, А =			C p M + l ,f t = срм- l . f t
	(k =		1, 2.........JV);
Cf, 0 =	Ci, N =	0 ,	C i,—1 =	Cf, ь	Cf,N+ 1 =	C*. W—1>
«pf,0 =	«Pc. N =	0,	Cpf, _1 =	(pf.i; cpf, N+1=		T*. W—l
		(i =	1, 2......... M ).			(8.19)

Могут быть сформулированы и другие граничные условия, в частности, составленные из комбинаций условий (8.17) и (8.19). Нелинейные члены в уравнениях (8.6) можно аппроксимировать также обычными центральными разностями. Тогда придем к уравнениям:

+

2*2П&) +

«Рчччч+ Т (77

^

С« ) +

а2

ê

—

С д л Т л л J I

= 0 ;

{ 24(1 — V2)

( а4С^

Е+

2аК ' ^ +

Cî w )

~

ТГ ( т г

%

+

*Pü^ —

Т

^ ч ч

^

С е — ^

ç

{

)

J

k)~

"32

ft*

(8,2°)

Исключив из уравнений (8.16) с помощью граничных условий контурные и законтурные точки, придем к нелинейной системе алгебраических уравнений вида

L M = Д,

(8.21)

где их — вектор размерности 2N\ = 2M N \ N\ — число внутренних точек прямоугольника <л;

м х = (<рх, Сх)т = [(ср, C )kf), T = lOpi. ь		T i2, ,	, . . , <рл!,//)» (C i, î ,
Ci, .............. С л	Ы	Г ;
L\ = L\\ +	L2X;		(8 .22)
Lix — квадратная матрица размерности			2ЛД; Ln — разностный

аналог нелинейной части: Д — известный вектор.

Оператор

L \ \

не самосопряжен из-за

наличия

слагаемых,

со­

держащих

параметры

кривизны

1/pi

и

1/рг.

Когда

рГ* =

рГ1=

s= 0

(пластина),

оператор

Lix будет

самосопряженным.

Для

ре­

шения нелинейной системы уравнений (8.21)

применяются

итера­

ционные методы [12, 35, 36, 32J.

в

уравнениях

(1.117)

Уравнения

в перемещениях. Положив

D M — const,

D N =

const,

h

=

const,

R \

— const, R

2 = const,

Sf = V.T — o,

qi — Ç2 — O и

перейдя

к

безразмерным

координатам

(8.5), придем

к системе уравнений в перемещениях:

2 д 2и

д 2и

d 2 v

1

1 ( a 2 i м Ш _ I д

~ а af

+

а

açac

Т I f - Й Г +

+

’ &

Vl an

dzatj_ =

0,

\_d_

d 2 v

о иd 2v

2

д2 и

^

4 Vp2

■2'

de

(f+

a-ij2

di2

dèdt)

pi i9'11

2

дц

via4*—-0-----V ТГ74—

v<r

fdO

— via' ae

=

0;

,а4с

дЧ

ËÜ ,

J L

-

( -

+ — W

— (— - b — \

c -

a4 £ 4 + 2 a 2

____ +

di2dr\2^

5 )4 +

4

Pl yPl

P2/

P2 y P2

Pl J

T

ac42

-

2\Pi + i ) $

f

-

4

-+Щ

+

$

+

i

* 2(

I

)

+

f d Ù 2

iopt»

,

2du

+

v a 2

X

+v 1* 1)

a;8

12k

+ vct

Ж

x

|

[at,2дЧ +

W £ +

| +

l ^ )

â

=

T (

1 - v V ( ^

) .

/QC

(8.2Я)

где

vl s=

1 . ( 1 — v);

v2 =

- g - ( l + v ) .

(8.24)

, Переходя в этих уравнениях к центральным конечным разно­

стям, получим
— а2и	ViU- — VonAЛ -,---- .
[	1 щ	2УИ	^ 4 1Pl	Р2/	е
		■VI	СлСл л	=	0;

V 5 ч./п (i. k)

Граничные условия шарнирного		опирания
u = v — w — Ot —- = 0 .при х — 0, х = 2а,
	дх
u — v==w= 0,	Э2ю		при у= 0, у—2Ь	(8.26)
	- ^ - = ,0
или жесткого защемления (8.18) записываются в виде:
ир. /.■= им, k= ÜO. k = VM,k —Co, k —См. k= Q;
C—i, k— aiCi, k\		CM+I, k= сцСм —\,k
(Л -1 ,		2 /	IV);
Ut,0 = «i, W=	Ui,0 =	Vt,N= C», 0 = Cf, W— 0;
Ct,- 1=	aiCf, 1,	Ci. w+i — <*iCi, N—1
(i = 1» 2.........iW).				(8.27)

Здесь ai = 1 для граничных условий заделки и aj = — 1 для шарнирного опирания. После исключения из уравнений (8.25) с помощью граничных условий (8.27) контурных и законтурных точек придем к системе 3М .= 3MN нелинейных уравнений отно­

сительно переменных Щ, к, vt, k, Ci, k вида

		U t h	= fx,					(8.28)
где Lx =	£ix + Z-гх, L\\ — квадратная				матрица размерности 3ЛД;
Ык — разностный		аналог нелинейной			части		уравнений;	Д — из­
вестный	вектор	размерности	3N\',	ЛД— число точек				сеточной
области	Сх,				будут		рассмотрены ниже.
Методы решения задач вида (8.28)
При p f 1 = pi-1 — 0 имеем -уравнения					гибких		пластин.
3; МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
Выше приведены разностные уравнения						для пологих оболо­
чек в перемещениях и в смешанном				виде		с погрешностью Rn —■

crO (X2 + Xi). Для получения большей точности решения можно идти двумя путями: либо увеличивать количество узлов сетки, либо применять метод конечных разностей повышенной точности. Увеличение количества узлов (уменьшения шагов X и Xi) при­ водит к значительному увеличению количества уравнений, а, значит, и к увеличению вычислительной работы. Более эффек­ тивным в этом случае является метод сеток повышенной точности.

Последнее утверждение проиллюстрировано на ряде примеров решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек [45, 46]. Поскольку наиболее часто применяются центральные разности, то ниже разностные операторы будем аппроксимировать в основном такими разностями. Введем следующие разностные операторы, аппроксимирующие производные функции /(£, q) с

точностью до	О ( Х 4 +	X 4) :
à\U, k =	^ k= ^	(— ft f2, A +	8Д+i,k — 8/t-_i, л + f t - 2. A).;
difi, k = {f	=	— fi, A+2 +	8ft, ft+1 — 8Д, ft_l -f- ft, A-2);

â i =	t			Й (-/»+». *+	30ft. » +
			+	16Д_1,а — ft—2, A);
àifI. k =	( f . A		=	(—ft, а+2 + 16Д ft.|_i — 30Д-. * +
			+	Щ(, ft—I — ft. k—2);
d l d 2ft, ft = ^f л д | ^ =			щ	[Д+2, ft+2 — 8Д+2. ft+1 +	8Д+2. ft-1 —
—f t + 2. ft—2 +	8 (—Д+1, ft+2 + 8Д+1, ft+i — 8Д+1, ft_i -f Д+i,A—2)—
8 (—Д—1, A+2		+		8Д—1, ft+i —8Д—1, ft_i -f Д_1%ft_2) —
— Д—2, ft+2 +			8Д-2, ft+i — 8Д_2, ft_j -f Д _2>ft_2];

difi, k =		(/ Аллл)		=-■6X4 (—			3. * + 12/i+2. ft — 39/,-+1, k +
		\ 5 ÊSÊ/»• ft
		4- 56/,. k— 39f(—i, л 4- 12fi_2, it — fi—3, A);
dfo. k	IfА А А A\			n\4		(— Л\ ft+з + 12/i, A+2 — 39Д, /,+i +					56/,-, /, —
	\	I] 1)1)	1)/Л ft	0AT
			— 39/i, A—i +				12/,-, /,—2— /f. л—з)‘»
di dlfi	ft =	^/ллал^		ft=	1'44^2j[2]/i+2. ft+ 2 — 16/i+2, ft+ 1 + ‘30/,-(-2, ft—
	— 16/,-_f-2. ft— 1 4" f i + 2, ft— 2 +						13 (— /,\+l, ft+2 +		1 6/ 4 -1, ft+J —
3 0 / , ' + i , ft 4 ~			16/ , +	i , ft— 1		/ ,‘+ i , f t — 2) — 3 0 (		/г , ft+ 2		+ 16/ , ,	f t + i —
— 30/,-, ft 4- 16/t, ft_i					/г. ft—2) 4- 16 (— /,_1, ft+2 4~ 13/f_1, fe+i —
— 30/1*—1, ft 4- 16/,—1, ft—1						fi—1, ft—2) — (— f i —2, ft+ 2				4* 16/,—2, ft+ 1 —
			— 30/1-2. ft 4- 16/l—2, ft- 1 — f i - 2. ft—2)].								(8.29)
Расписав производные в уравнениях (8.6) и (8.23) по фор­
мулам (8.29)i придем к системам уравнений:
	{ <*4<Р«« + 2д2<рк™4- Ъ т + т (							7	;	Ск ) 4-
				4- <*2 [С&Стп — (CETJ)2] |((.t k)— 0;
( 2 4 ( 1		— v2) ^a4(*ÊKÎ +				2а2(*и ™	+	"g ( 4	^	+ J2	—
			2		“b		2CÇT)<P£V)) l	ÿ =	32Pi, k\		(8.30)
		-	а2и к -		п ищ —		v2pÇl) + 1 ^	4 -		Ce -
		— rg-(ot2Cf 4 - vC^îe — VI (CÇCT))TIJ(. fe)=							0;

[	- v2«^ + T		( ^ + т г ) ^ -
			(i. ft) - 0 ;
J ®4Ce«e 4- 2ьК&щ 4- Сцт 4"		g2/ a2 ,	J_/_L _i_vg2^	C—
		Pl l"P|	P2/ P2^P2 + p,

■3 J t ( Л Е+ VO,) _ £ (®, + ,«2Us) - 4 «2^ f + ^ Ç _

. *

[

- +

— ) С2 _

12а2

а2и5+ vüt,— -Ц”

+ ^

^ + Т (а?^ +

2\

?2

Pi / 1

+

vfj

CES— 12 |ач + va2üe —4 ^

+ —j С+ у (с? + va2Ce)JСгЛ4-

+

24via2 (мч + Щ+

С«СЧ) Cî^}(.( k)= 4 (1

— v2) Л . ft-

(8.31)

Здесь над символами производных

опущен значок « Д » .

Из формул (8.29) видно, что если расписать уравнения (8.30)

или (8.31) для первого ряда предконтурных

точек,

то

в них

войдут по два ряда законтурных точек для

функций о и С в

случае

применения

разностных уравнений

в

смешанном

виде,

или по одному ряду законтурных

точек для

функций

и

и о и

два ряда для функции Ç

при

применении

разностных

уравнений

в перемещениях.

Последние

необходимо

исключить из уравне­

ний с помощью

граничных

условий.

Однако

при жестком

защемлении w — ~ =

0 или при свобод-

ном опирании w =

d2w

Л

краев

в сущности

для •.исключения

—-s =

0

дп

имеется

одно условие:

выра­

функции С в законтурных точках

жение первой или второй производной через центральные раз­ ности. Недостающие соотношения для исключения неизвестных

предлагается формировать, как это было			сказано в		первом пункте,
из конечно-разностных аналогов тех			же	самых производных
такой же точности,	выраженных через		те	же узлы с		помощью
формул несимметричной структуры.		В	качестве		таких	аналогов
могут быть взяты	левые, правые	или	другие		несимметричные

производные [7,30]. Так, в работе [45] использованы следующие дополнительные условия:

Ê!	Т2Х (— Д-3	+ 6Д- .2— 18ft_i -I- ЮД -f 3/i+i),
д1
t l		3 "Ь 4Д--2 + 6Д—i 20Д -j- .1 l/f+i).	(8.32)
Ô/2 i
Совместно G соответствующими производными в центральных
разностях
	Ж |£=	4 8^+| ~ ^ + 2)’
а	^ ( - Д-2 +	16Д-1 - ЗОД 4- 16Д+, - Д+2),	(8.33 )
д12 i

условия (8.32)- и (8.33) дают возможность выразить значения не­ известных функций в законтурных точках через контурные и внутриконтурные. При шарнирном опирании и жестком защем­ лении значения функций в''контурных точках известны. Исклю­

чая законтурные и контурные значения неизвестных функций» придем к нелинейной системе алгебраических уравнений вида

		L\U — %,				(8.34)
где	Lx= L\\ + Lu,	L w — квадратная матрица		размерности		2ЛД.
или 3ЛД соответственно для уравнений (8.28)				и (8.29); LÎX —
нелинейные части		тех же уравнений, Д — известный			вектор;
Л Д — число узлов области (?х,			и\ — вектор неизвестных функций.
Заметим, что матрица 1ц в			этом случае будет более заполнен­
ной,	чем аналогичные матрицы, рассмотренные во втором пункте.
При	рГ1= рГ1= 0 имеем конечно-разностные			уравнения	повы­
шенной точности для гибких			пластин.
Полученную систему нелинейных алгебраических уравнений
(8.34) решаем одним из известных методов [45,				36, 68, 12J.		При
получении нелинейных систем			алгебраических	уравнений	в	п. 2,

3 предполагалось, что в исходных дифференциальных уравнениях для оболочек жесткости D N и D M радиусы кривизны /?i и Я г постоянны. Такие уравнения применимы к цилиндрическим и

сферическим панелям,	изготовленным из изотропного			материа­
ла. Не представит принципиальных		трудностей	получение нели­
нейных уравнений для	ортотропных	оболочек	переменной жест­
кости с произвольными	радиусами кривизны. При этом			появятся

некоторые дополнительные члены, содержащие производные от радиусов кривизны и жесткостей.

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При применении к уравнениям теории пологих оболочек или пластин метода конечных разностей обычной или повышенной точности в итоге приходим к системе нелинейных алгебраических уравнений (8.21), (8.26) или (8.32), т. е. к уравнениям вида

	= Д,	(8-35)
причем L\ = L\\ 4- Ьги где L ц — матрица, соответствующая			ли­
нейной части;-	— конечно-разностный аналог нелинейных		чле-.
нов уравнений.		сеток задачах число уз­
Как правило, в решаемых методом
лов АД области GK достаточно велико.		Поэтому решить систему

нелинейных алгебраических уравнений означает: каким-либо методом найти приближенное решение этой системы, удовлетво­ ряющее заданному критерию точности.

Таким образом, чтобы решить систему нелинейных уравне­ ний необходимо иметь два критерия [35]: критерий предпочте­ ния одного метода другому, критерий точности приближенного решения.

Критерий предпочтения должен учитывать характеристику системы, критерий точности — устойчивость метода к ошибкам округления, логическую структуру вычислительного алгоритма, индивидуальные особенности электронно-вычислительной машины и др. На практике в качестве критерия предпочтения выбирают количество арифметических операций К, необходимое для полу­ чения решения заданной точности.

Критерий точности состоит в указании некоторого прост­ ранства Я , числа е > 0 и требования, чтобы норма разности

точного решения		— ►	— ►
		и и приближенного решения w, в пространстве
Н удовлетворяла		условию	*
			||« — «Ё||< е ,
На практике	это	условие применить нельзя, поскольку неизве­
стно решение	и.	Поэтому	критерий точности заменяют другим,

который можно реализовать.

Для решения сеточных уравнений в большинстве случаев применяются различные итерационные методы. Они являются устойчивыми по отношению к ошибкам округлений. Как -извест­ но, при решении сеточных уравнений с N неизвестными итера­ ционными методами количество арифметических операций

К = О (Я2 In N • 1п 1/е).

Укажем лишь, что метод исключения неизвестных Гаусса при отсутствии округления приводит к точному решению через К —

— 0 ( N 3) арифметических операций. При решении задач итера­ ционными методами погрешность т-ой итерации

1т= и — *ит

часто можно выразить через погрешность начального приближения

	2° = к — и?
при помощи	соотношения
	> = Т т?,
где Тт— линейный оператор. В качестве		критерия точности мож­
но взять условие
	|| Тт Ц/У ^ 6»	(8*36)
Справедливо	утверждение [35]: если

ы — 5ж*+1)вв (Тт)к+'(и — ио) (k = 0, 1, ...) ,

||7,* | | w < e < 1,

то

И й - и « Х <	1\ит- и Ц н,

Ниже будем требовать, ч^обы выполнялось условие (8.36). Итерационные методы для системы нелинейных уравнений в

смешанном виде. Введем обозначения

Нх = (ср,Г)г= [(cpi, ср2,

<pWx), (Ci. Са, .... Слгх)]Т, (8.37)

где N\ = MN — количество узлов области (7Х. Узлы области ну­ меруем в определенном порядке: например, по строчкам слева направо. На линейном пространстве Ях функций, определенных на (?х, введем скалярное произведение

—>	—V	N	Ul'kVi. k<		(8.38)
(и,	ü)x=XX| 2
		i, k=\
- Основным гильбертовым	пространством			Я Х будет	служить
пространство сеточных вектор-функций			и\ =	и, определенных на
Gx, со скалярным произведением
(«. и') = (?» ?')х + (Г,		?)х, (Ях= ЯхХ #х}.			(8.39)
Для операторов

Л = Л‘ ° 1	лй=Гл ‘
_о A2J		[л 2
А	4 д4<р .	â4tp
Ajcp = ос4—Ц		-----■£,
	de4	дт\А

Л

cj

	А * - [ 2 4 ( 1			э4с	+ g ,) .	(8.40)
			- , » ) ] - ^
с граничными условиями (8.17)				или (8.19)	запишем	их конечно­
разностный аналог
‘Ац	0 '	VA?-f Af-		0
Лх =	Л2Х_	0	[24 (1 — V2) ] ”		1 (а4Д? -f-	Д|)
0
		л =	Лг > 0.			(8.41)
По двухступенчатому итерационному методу решение уравне­
ния (8.35) запишем в		виде
где	Вх (un+l — и") = — уп (Lun—Д),					(8.42)
				0 -
		Вхи	Bi
				<Р
В\ =		- [	о в 2J X .			(8.43)
	А\[Е — Тт,]~1\		Въ — Л2[Я —

Е — тождественный оператор в пространстве Ях; Tmv— оператор

сокращения погрешности за т итераций в методе переменных направлений при решении уравнения

AkixZk=gk (k= 1, 2);

(8,44)