книги / Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения

		Площадь поперечного сечения
Горные породы			образца, см2					Данные
	2	4	10	25	50	100
Песчаник шахты	54	—	—	50	—	, --	С.Е. Чиркова
им. Ем. Ярослав­
ского		—	—		—	—		II
Песчаник шахты По-	60			59
лысаевская-2		—	—		—	—		II
Сланец горючий При-	27			30
балтийского бассей­
на		—				—		II
Известняк Прибал-	44			39
тайского бассейна,
слой 1		—	—		—	—		II
То же, слой 3	46			50
То же, слой 5	53	—	—	55	—	—		II
То же, слой 6	55	—	—	53	—			II
Диабаз	293	—	—	309		—		1»
Липарит	236	—	—	263	—	—		II
Тешенит	134	—	—	104	—	—		II
Габбро-норит	188	—	—	178	—	—		II
Лабрадорит	93	—	—	116	—	—		II
Гранит Токовского	175	—	—	181	—	—		II
месторождения							B.	И. Карпова и
Тырны-Аузское мес­
торождение:		—	—	72	—		C.	Е. Чиркова
мрамор	56
скарн	396	—	—	334	—	—
гранитоид	285	—	—	222	—	—
роговик	208			181			Р.И. Тедера и
Соколовское н Сор-
байское месторож­							Е.С. Ватолина
дения:	150	—	—	168
сиенит-порфир
скарн скаполи­	190	—	—	207
товый	149	—	*—	137		—
бедная магнези­
товая руда		—	—	123	—	’
скарн оруденелый 145
известняк гли­	144	—	—	125
нистый	195			150
туфовый порфи­		‘
рит				136
	170	—
туффит			—'
богатая магнези­	274	—		180
товая руда (I)	185			179
альбнтофнр
песчаник кварце­	166			157
вый	269	—	—	285
скарн гранатовый
мартит пористый	73	*—		95

			Площадь поперечного сечения
	Горные породы			образца, см?			Данные
		2	4	10	25	50
							100
	диорит-порфи-	200	—	—	150	—	—
	рит (I )		—	—	236	—	—
	магнетит мелко-	237
	зернистый		—	—	256	—	—
	сиенит-порфир	190
	скарн гранатовый	214	—	—	100	—	—
	с магнетитом		—	—	150	—	—
	эпидото-актиноли	180
	товая порода		—	—	268	—	—
	диорит-порфи-	270
	рит (П)		—	—	271	—	—
	роговик	272
	диорит-порфи-	232	—	—	243	—	—
	рит биотизирован-
	ный		—	—	205	—	—
	пироксено-грана- 163
	товый скарн		—	—	86	—	—
	известняк мра-	67
	моризованный	130	—	—	135	—	—
	диорит-порфи­
	рит (III)		—	—	42	—	—
	пироксено-эпидо- 94
	товый скарн		—	—	110	—	—
	богатая магнети-	87
	товая руда (II)		—	—	152	—	—
	туф альбитофира	168
	Ангидриты	209	163	156	108	т/фут2	В.Д. Скайнер
	Туфы Армении:						Г.Б. Кочаряна*
	Анипемзенского		17,7	17,5	16,7	15,4	—
	месторождения,		16,5	16^2	15,0	14,8	14,1
	верхний слой
							—
	то же, нижний слой		12,3	11,1	10,8	11,7
			11,0	9,6	10,8	11,8	10,2
	Артикского место­		2,6	2,9	3,2	3,6	—
	рождения, верхний
	слой						—
	то же, нижний слой	—	11,4	16,8	13,5	11,7
			—	—	------ *	11,3	11,0
			18,5	16,7	13,4
	Маяковского место­		.20,4	27,7	26,3	21,5	—
	рождения, верхний		29^5	25Д	24,5	21,0	19,7
	слой
	Ахтанакского место­		12,4	18,0	17,8	15,2
	рождения, верхний		20,9	17,6	17,0	14,9	14,1
	слой

'* В числителе дана прочность, определенная на цилиндрических образцах правильной формы, в знаменателе — на образцах полуправильной формы.

	Площадь поперечного сечения
Горные породы			образца, см2			Данные
	2	4	10	25
					50	100
то же, нижний слой		49,4	57,9	64,5	74,8	.
	—	—■	_	70,0	78,0	80,1
Бюраканского мес-		51,2	63,6
		24,6	33,0	41,5	—	—
сторождения, сред­		26,0	30,6	32,6	35,0	35,2
ний слой
Керплинского мес­		59,4	75,0	73,0	64,5	—
торождения, верх­		54,9	64,8	70,Q	67,5	62,2
ний слой
Породы Кавказа:						С.Е. Чиркова
аргиллит, проба	19,5	14,3		16,8	“ “ “	7,6
12
аргиллит, про­	26,4	25,5	” ”	—	—	—
ба 28
аргиллит, про­	21,0	17,1	“ “	18,4	—	5,9
ба 30
песчаник, проба	115,0	177,5	—	90,5	—	—
52	35,7	35,2		20,6
мергель, проба 60			—		—	—
мергель, проба 62	38,4	35,8		26,2	—

которых становятся соизмеримыми с размерами испытываемых об­ разцов. Теоретическое обоснование такому изменению прочности имеется в работе Б.В. Матвеева. С увеличением образцов поры и включения переходят в разряд ’’эффективной неоднородности” (по М.В. Рацу) и, подчиняясь законам статистических теорий хрупкой прочности, способствуют уменьшению пределов прочности.

4.5. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАСШТАБНОГО ЭФФЕКТА

Дискуссия о природе и роли масштабного эффекта, проведенная по инициативе акад. Н.Н. Давиденкова в журнале ’’Заводская лабора­ тория” (1960 г.), показала, что из всех теорий, объясняющих этот эффект, наиболее распространенными являются статистические.

В основу всех известных статистических теорий прочности поло­ жен принцип, по которому, прочность всего тела определяется проч­ ностью самого слабого места (дефекта). Дефекты внутреннего строе­ ния тела в соответствии с теорией Гриффитса можно представить в виде трещинок, расположенных внутри напряженного тела, а также пор, слабых минералов. Эти дефекты предполагаются статистически распределенными по всему объёму образца, поэтому все статистиче­ ские теории имеют одинаковые качественные выводы и следствия.

Основные из них следующие:

1.Рассеяние экспериментально замеряемых значений прочности закономерно.

2.Среднее значение прочности зависит от объема рабочей части нагружаемого тела. Вследствие этого прочность при переходе к более неоднородному напряженному состоянию при сохранении размеров тела повышается (например, при переходе от растяжения к изгибу).

3.Степень рассеяния характеристик прочности зависит от разме­ ров образцов (при испытании мелких образцов она всегда выше, чем при испытании крупных).

4.Зависимость среднего значения прочности от размеров образ­ цов имеет затухающий характер, т.е. чем крупнее испытываемые образцы, тем меньше изменение прочности, и, следовательно, мас­ штабный эффект проявляется в наибольшей степени у мелких образ­ цов.

Следствием первого и третьего выводов является большая чув­ ствительность к изменению размеров верхней границы зоны рассея­ ния данных и малая зависимость от размеров нижней границы зоны рассеяния.

Для описания проявления масштабного эффекта предложено не­ сколько уравнений.

Первой теоретической работой, объясняющей проявление мас­ штабного эффекта, является работа Гриффитса, посвященная явле­ нию разрыва и текучести твердых тел. В ней содержится вы вод, что ’’разрывная нагрузка тонкой пластины стекла, имеющей достаточно длинную, прямую трещину, нормальную к приложенному напряже­ нию, обратно пропорциональна квадратному корню длины трещины” .

В1939 г. В. Вейбулл предложил другую зависимость прочности от

размеров испытываемых образцов в условиях растяжения, кручения и изгиба:

R = o0I L V - 4 a,

(4.1)

где а0, а — константы материала; I — константа для данного напря­ женного состояния; L — нормирующий коэффициент; V — рабочий объем образца.

Постоянная а по Вейбуллу характеризует степень однородности материала. Чем больше величина а, тём меньше зависит прочность от объемов тел.

Т.А. Конторова и Я.И. Френкель, использовав нормальный закон распределения ’’дефектов” по опасности их в отношении величины прочности, предложили формулы для образцов больш ого объема

	(4.2)
и образцов малого размера
R = a + b/V,	(4.3)

где А, В, a, b, Л0 — константы, зависящие от напряженного состояния и природы материала.

С.Д. Волков, анализируя масштабный эффект с позиции ’’интен­ сивности масштабного эффекта” , подтвердил выводы Вейбулла, а Л.Г. Седракян теоретически вывел формулу

Д шах	fylg	(<£)] dy.	(4.4)
Д = Д т1п+ /	е »	' d o ,
•^min

где i?max, R min — соответственно верхние и нижние значения местной прочности; иГп, (с,- ) — вероятность разрушения стренги при решении

вспомогательной задачи о прочности каната; а — постоянный множи­ тель.

Для растяжения формула (4.4) принимает вид

R = R min+ A / V - ' la,

(4.5)

где А, а — константы материала.

А.П. Александров и С.Н. Журков для описания зависимости проч­ ности стеклянных нитей от их диаметра предложили формулу

R = а + b/d,	(4.6)
где a, b — константы; d — диаметр нити.
Для небольших зерен минералов М.И. Койфман [4]	получены сле­
дующие зависимости:
для кварца
F ** 1,8 *10"3 d + 8,8*10“ 7 d2,	(4.7)
для кальцита
F = 0,95* 10"3 d + 0,91«10"7<i2,	(4.8)

где F — разрушающая нагрузка, даН; d — линейные размеры, мкм. Для одноосного сжатия кубиков угля различного размера Иване,

Померой и Биренбаум получили зависимость

R = A'd~n,

(4.9)

где А, п — константы; d — длина ребра кубика.

Холланд для углей предложил формулу Гриффитса R = Afy/d (при d не более 200 см).

М.М. Протодьяконов для математического выражения проявле­ ний масштабного эффекта предложил уравнение смещенной гипер­

болы:
R = RM (d + mb)l(d + b),	(4.10)

где R M — прочность трещиноватого массива, Па; т — коэффициент трёщиноватости, показывающий, во сколько раз прочность нетрещи­ новатого материала выше прочности массива; d — диаметр образцов, см; b — постоянная трещиноватости, см.

В работах Р.А. Муллера, Л.Г. Седракяна и В.В. Болотина, посвя-

шенных статистическому исследованию прочности, показано, что использование кривой нормального распределения для описания раз­ броса пределов прочности материалов (как это было использовано Г.А. Конторовой и Я.И. Френкелем и широко используется иссле­ дователями в настоящее время), является мало обоснованным, поскольку нормальный закон допускает изменение признака в пре­ делах от — до +°°, тогда как прочность является величиной суще­ ственно положительной, нижний предел которой не может быть мень­ ше нуля. Поэтому, чтобы учесть физические и статистические пред­ положения хрупкого разрушения, следует использовать третье пре­ дельное распределение наименьших значений, функция вероятностей которых имеет вид

F {R ) = 1 — exp [ - (	^ ^min а		,
	jj---------	П
			(4.11)
О < R < 0 0 , jRmin <	R ,	а > 0,	0 > 0.

Основываясь на третьем предельном распределении наименьших значений вариационного ряда в соответствии со статистической тео­ рией прочности, В.В. Болотин [17] дает наиболее общие формулы зависимости среднего предела прочности от объема образцов :

-	Г0 i/o	1
* = * m m + P ( — > Г ( 1 + — );
Д =	у/ F (1 +	) — f 2 (1 + -“ ) ;	(4.12)

0 ( т г ) ,/а
я Иш + Р ( - ^ ) 1/ а г ( 1 ^ )
где а, 0, R min — параметры функции распределения; V0	— некоторый
эталонный объем образца; Г (1 + ) — гамма-функция.

Для использования уравнений (4.12) необходимо знать величины параметров а, /3, которые можно получить из статистической обработки массовых испытаний образцов типового, фиксированного объема на основе плотности вероятности распределения. Оценка ука­ занных параметров распределения может быть осуществлена методом моментов. Суть этого метода состоит в требовании совпадения теоре­ тической и эмпирической кривой с точностью до момента третьего по­ рядка.

Для решения уравнений методом моментов находятся выбороч­ ные средние R, стандарт А и асимметрия А по формулам

-	1	я	R : ;	(4.13)
R =	—	S
	П : .		1’

Д = . --------Г		2 ( Л , - Л ) 4 1/а;		(4.14)
I «	- 1	i-i	J
Л =	я
	S	(/?,• - R y		(4.15)
n •Д3	»« 1
Приравнивая асимметрию ее теоретическому значению
■Г(1♦ - г ) - *Г( 1			* )г (1 * -А-) ♦ :гг•(1 * - f )	(4.16)
Л =			3/2
п олзаем нелинейное уравнение относительно а.
Решив уравнение			(4.16) и подставив значение а в условие равен­
ства эмпирического и теоретического стандартных отклонений
Д = /3[Г(1 + - | - ) - Г г (1 + - ^ - )],,г ,				(4.17)
определятся /3.
Значение i?min находится из условия
«rnh = Д	, - 0Г ( 1 + -^ -).			(4.18)

С помощью формул (4.16—4.18) составлен график (рис. 4.2), пользуясь которым по значениям выборочных характеристик и фор­ мулам

0 = Д.2?(а); Rmin = Д - Д - С ( а )

(4.19)

находятся неизвестные параметры распределения а, (3 и Rmin>

Для проверки этой статистической методики оценки масштабного эффекта б$>ша выполнена статистическая обработка данных о прочно­ сти ряда углей (приложения 2, 3, 4) и горных пород при сжатии (табл. 4.5).

Для сопоставления теоретического и экспериментально установ­ ленного проявлений масштабного эффекта построена табл. 4.6.

Большинство исследователей масштабного эффекта в горных по­ родах не приводят данных об асимметрии распределения показателей прочности, а говорят о, якобы, нормальном их распределении и при­ водят значения вариации этих показателей. При нормальном распре­ делении асимметрия равна нулю, а значение параметра однороднос­ ти а (см. рис. 4.2) равно 3,6. Однако, нормальная кривая может опи­ сать лишь. симметричные распределения, а кривые распределения прочности, как утверждает Р.А. Муллер, в большинстве своем, асим­ метричные или псевдосимметричные (по Э. Гумбель). Отнесение многими исследователями распределения показателей прочности к нормальным говорит о том, что величина асимметрии в большинстве своем незначительно отклоняется от нуля в стороны положительных или отрицательных значений. Величина коэффициента вариации, как и параметра однородности а, является, по существу, также характе-

Рис. 4 .2 . График для определения параметров распределения:

1 — параметр однородности а; 2 и 3 — вспомогательные коэффициенты В (а) и

С(а)

риешкой неоднородности горных пород. Для пород неоднородных коэффициенты вариации показателей прочности всегда выше, чем для пород однородных. Попытка установить связь между двумя этими показателями для пород, испытанных при одноосном сжатии, показала, что с увеличением коэффициента вариации показателей прочности асимметрия распределения увеличивается, а параметр од* нородности уменьшается. Однако теснота связи низкая. Результаты испытаний явно неоднородных горных пород показали, что для наи­ более однородных горных пород с коэффициентами вариации до 4 %, параметр однородности будет изменяться от 3,2 до 5,5. При этом

Таблица 4.5. Минимальные статистически вероятные значения прочности углей и горных пород

				Параметры
	Исходные данные			распределе­		О
Горные породы					ния
						Л Ш1П»
						% Л1I
	R,	А,	А	а	0 .	МПа
	МПа	МПа			МПа
Уголь марки Ж Улуг-Хемского бас­
сейна, пласт Улуг-2
нижняя пачка	9,2	0,95	0,51	—	2,24	6,5
верхняя пачка	10,7	2,73	0 , 6		6 , 0	4,7
Уголь марки К Кузнецкого бассейна	25,6	5,3	0,7	—	10,9	14,7
шахты им. Ленина, пласт XI				—		10,3
То же, пласт ХП	22,4	4,0	0,14		1 2 , 1
Уголь марки СС Кузнецкого бассей-	37,0	3,0	0,14	—	9,5	27,5
на, Красногорский разрез, пласт XXX	37,0	5,9	1,17			27,0
Уголь марки Г Донецкого бассейна,				____	1 0 , 0
гидрошахта ’’Пионер”, пласт				--	15,9
Уголь марки Г Львовско-Волынского	32,5	7,4	0,63			16,6
бассейна, пласт h7 Волынский-1			%
Туфы Армении:	17,5	2,3			5,3.	14,2
Анипемзенское месторождение, верх­
ний слой	16,8	2,7		4,4	11,3	5,5
Артикское месторождение, нижний			—
слой	27,7		0,25		5,8	21,9
Маяковское месторождение, верхний		2 , 0		2 , 8
слой	75,0	14,0		3,55	49,0	26,0
Керплинское месторождение, верхний			0 , 0 2
слой	157,0	6,3		3,6	22,4	134,5
Мрамор			0
Габбро	2 1 2 , 0	18,2	0	3,6	65,0	147,0
Каменные соли :	25,2	4,5		3,6	16,0	9,2
Прнереванского месторождения, скв. 1			0
То же, скв. 2	32,1	3,8	0	3,6	13,5	18,6
Лейковского месторождения	22,5	4,5	0	3,6	16,0	6,5
Месторождения Ходжа-Мумын	30,2	2 , 8	0	3,6	1 0 , 0	2 0 , 2
Аллагуватского месторождения	37,3	7,8	0	3,6	28,0	9,3

асимметрия распределения близка к нулю, и даже может быть отрица­ тельной. Минимальное значение параметра однородности наблюдалось у газовых углей Донбасса. По-видимому, для горных пород это зна­ чение следует признать близким к минимальному. Тогда значения па­ раметра однородности а для горных пород будут в пределах 1,54-5,5, что почти совпадает с симметричным распределением.

Теперь посмотрим, какую ошибку допустим в расчетах по уравне­ нию (4.12), используя нормальное распределение и известные нам коэффициенты вариации показателей прочности. Для этого уравнение (4.12) преобразуем следующим образом, подставив значения пара­ метров .распределения по уравнению (4.18, 4.19) :

Таблица	4.6. Экспериментальные R3K и расчетные Ярасч
по формуле (4.12), значения прочности горных пород
в образцах различного размера, МПа
		Объем			Ярасч		-^эк
		образ­	Ярасч	^эк
	Порода				П		1 0 0
		ца V,			л эк
		см3
Угли Улуг-Хемского бассейна, пласт		2 , 8	8,4	9,2	-8 ,7
Улуг-2, нижняя пачка		1 1 , 1	7,6	8 , 6	- 8 , 6
		31,2	7,5	7,8	-3 ,8
		125	7,2	6 , 1	-1 8 ,0
		350	7,1	3,9			82
То же, верхняя пачка		2 , 8	9,7	10,7	-9 ,3
		ИД	7,9	10,3	-2 3
		31,2	7,2	9,4	- 2 3
		125	6 , 6	8 , 0	—18
		350	6,4	6 , 6	- з
		1 0 0 0	6 , 2	5,0			24
Угли Кузнецкого бассейна, шахта		2 , 8	23,8	25,6	- 7
им. Ленина, пласт XI		1 1 , 1	2 0 , 6	21,3	-	8
		31,2	19,3	17,7	-	1
		125	18,4	16,2			1 1
		350	18,0	15,6			2 0
Угли Кузнецкого бассейна, шахта		2 , 8	2 1 , 6	22,4	-3 ,6
им. Ленина, пласт XII		1 1 , 1	18,5	19,2	- 1 4
		31,2	16,9	15,9	—15,5
		125	15,4	13,8			2,7
		350	14,7	1 2 , 8			1 1 , 0
		1 0 0 0	14,2	1 2 , 1			2 0 , 0
Угли Кузнецкого бассейна, Красно­		1 1 , 1	35,1	37,0	- 5
горский разрез, пласт XXX		31,2	33,8	32,6	+4
		125	32,7	22,7			44
		350	32,1	18,8			71
		1 0 0 0	31,7	16,4			93
Угли Донецкого бассейна, гидрошах­		2 , 8	38,6	37,0			4
та ’’Пионер”, пласт / 86		ИД	35,5	31,5			13
		31,2	34,5	26,2			32
		125	33,8	17,5			92
		350	33,6	13,0			158
		1 0 0 0	33,5	1 1 , 2			199
Угли Львовско-Волынского бассейна,		2 , 8	29,7	32,5	- 9
пласт h7	Волынский 1	1 1 , 1	25,0	24,0			4
		31,2	23,8	19,8			2 0
		125	2 1 , 6	15,4			40
		350	2 1 , 0	13,2			59
		1 0 0 0	20,7	1 1 , 0			8 8
Туф Анипемэемского месторождения,		12,5	15,9	17,7	- 1		0
верхний слой		53	15,0	17,5	- 1 4
		1 0 0	14,8	17,1	-1 3