книги / Составные стержни и пластинки
..pdfи
r(L ) = T0 A s h H + $ j A ( t ) c h A ( L - i ) £ t t = 0 .
о
Отсюда
Т0 = - $ / ( A s h A L ) l ‘& ( t ) c h A ( l ' - t ) c L t .
О
Подставив это значение Т0 в первую формулу (26.1), получим:
$ ch Ах |
Г |
|
Т= —A sh A L J A ( t ) c h A ( L - t ) d t + |
|
|
|
О |
(28.5) |
|
|
|
+ "Г“ J |
A ( t ) s h A ( L - t )cLt. |
|
Наконец, вычислив значения интегралов, входящих в правую часть выражения (5) при:
А |
= - |
P (L -a) |
сх |
(О< х <а), |
|
Ь |
Z.E3 |
||||
|
|
|
|||
А |
= - |
Ра |
C ( L - х ) |
( а < л< L )J |
|
L |
Z E J |
||||
|
|
|
получим для левого участка балки:
Рс |
|
Г |
ch\(L-a)ch\x . |
L ~CL |
c h A ( L - x ) |
{ |
||||
7* 7ГЕЕЗ |
Г |
AshAL |
|
|
AL |
|
S AAL |
|
||
|
|
|
(LchAx |
. L - CL |
1 . |
|
|
|||
|
|
------------- — -f---------x |
I ? |
|
|
|||||
|
|
|
A L sh A L |
|
L |
|
J |
|
|
|
Pc |
[ chA (L -a)shA x |
|
L -CL |
sh A (L -x) |
f |
|||||
Т ~2Г£ЕЗ L |
.уЛЛА |
|
~ L |
^A AL |
|
|||||
|
|
|
|
а |
s h A x |
I ' d |
1 |
|
||
|
|
|
+ |
L |
shAL |
|
b |
J |
|
|
и соответственно для правого участка балки: |
|
|
||||||||
Pc |
f |
ch A a e AA(L-x) f |
|
a. |
|
|
|
|||
Т = ? Е Е З |
L |
|
AshAL |
+ |
|
AL |
|
|
|
|
|
(L~o,)ch A (L -x) |
|
g |
|
|
|
||||
* |
XL • sh XL |
|
|
Ь |
|
|
|
|||
Pc fc H A a |
■shA(i~x) f |
a |
shAx |
(L-a.)sbA(L-x)_ J i 1 |
||||||
^ 7 Z E 3 1 |
|
shAL |
+ AL |
sh \L ~ |
L ~ s h A L |
L \ |
Эпюры T и t для этого случая показаны на рис. 51, б, в. Как видим, они значительно отличаются от соответствующих эпюр при свободных торцах балки. Отличие это состоит в том, что сдвигаю щие усилия, которые передаются на связи сдвига, намного умень шаются в результате передачи сил T(0)K T(L) на жесткие торцевые устройства, препятствующие сдвигам по шву.
Значение7ДОдля рассмотренного случая
г , . Pc |
[ |
ChA(L-a) |
Ь-а. chAL |
а |
|
, { *~дГ£ЕЭ1 |
AshAL |
AL ShAL |
ALshAL J |
||
_ |
|
Pc |
-LchA (L -a)-h(L -a)chALta |
||
" |
V Z E J |
|
ALshAL |
|
Линия влияния T0 имеет вид, показанный на рис. 52,г.
Для частного случая приложения груза в середине пролета
(л=А/2 = А ) : |
|
|
|
|
Т |
Рс |
Г - ch A x . c h A U - x ) |
У I |
|
/ = |
ГЕЕЭ |
[ Z A s h A l |
Z A s h M |
Z J ” |
|
_ Pc |
Г - s h A |
j ) |
5 |
|
|
|
+ x \ |
|
|
~ ZarZEJ L Xzh (At12) |
|
Z T f Z E J
,(28.6)
Pc |
x= 4 Z), |
к** г< г£Еэ Lh(ll/2> = |
29. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ В ШВЕ СОСТАВНОЙ БАЛКИ
Если составная балка устроена без прокладок, как это часто бывает в деревянных конструкциях, то силы 5 прижатия одного бруса к другому создают добавочные препятствия сдвигу по шву в виде трения. При абсолютно жестких поперечных связях получа ем сосредоточенные усилия 5 , которые прижимают составляю щие стержни по концам. Ограничимся (для простоты) рассмотре нием симметрично составленной балки из двух брусьев. В конце п. 8 было установлено, что для такой балки усилия в поперечных связях при абсолютной жесткости последних равны полуразности поперечных нагрузок, приложенных к каждому из составляющих стержней. Следовательно, сосредоточенные усилия над опорами балки будут равны половине опорной реакции балки (при отсут ствии сосредоточенного груза над опорой). Далее при более точном решении, учитывающем податливость поперечных связей, будет по казано, что значения усилий s, максимальные над опорами, быстро падают в пролете балки. Таким образом, общее усилие, близкое по величине к половине опорной реакции, передается с одного составляющего бруса на другой лишь на небольшом участке длины составной балки. То же самое можно установить и в других местах приложения сосредоточенных грузов. Поэтому будем считать, что силы трения, прямо пропорциональные давлению одного бру са на другой, сосредоточены в точках приложения опорных реак ций и сосредоточенных грузов, действующих по направлению к шву составной балки, т.е. прижимающих брус к другому. Трение, противодействующее сдвигу,
|
Т |
= S v |
(29.1) |
|
' тр |
~ J |
|
где |
— коэффициент трения, зависящий от материала |
трущ ихся брусьев |
|
и состояния их поверхностей. |
|
|
Эти предельные усилия трения могут и не возникнуть, если сосредоточенное усилие Тл , которое появилось бы в абсолютно жесткой связи против сдвига в данной точке при данной нагруз ке, оказалось бы меньше значения Г Тр, определенного по форму ле ( 1 ). Поэтому вначале следует предположить наличие в местах сосредоточенных сжимающих усилий •? абсолютно жестких закреп
лений против сдвига и рассчитать на них балку. Если же окажется, что усилия в этих закреплениях превышают Sy>, то рассчитать балку вторично в предположении постоянного усилия 7' в закреп лении,равного
Для примера рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой # . Сосредоточенные усилия S возникнут в такой балке над опорами и будут равны
V * « - * * / * .
Предполагаем, конечно, что балка положена на опоры нижним брусом, а не подвешена за верхний брус. В противном случае уси лия SA и SB были бы растягивающими и не вызывали никаких до бавочных сил трения. В п. 28 установлено (28.4), что при наличии у опор абсолютно жестких закреплений против сдвига в несдвигающихся торцах равномерно загруженной балки, возникают уси лия
фс
cth Alj.
В случае если эти усилия окажутся меньше по абсолютной величине или равными ( 1/2 )^ IЧ*, т.е. при коэффициенте трения, удовлетворяющем условию
2с |
1( л1 ч |
c t h M \ |
2. t S f 1 |
M X i \ |
||
Z E E J |
x |
) |
o M |
A 't |
) |
сдвига на торцах балки не будет, и к ней будут полностью примени мы формулы п. 28. При
if< I ^ |
V X I |
Аь______1___)1 |
1 3 * |
\ Ч 2 Л |
следует исходить из решения для балки со свободными торцами (25.2), дополнив его решением для стержня, нагруженного по торцам продольными усилиями ± 7^,, приложенными по обеим сто
ронам шва. Это дополнительное решение, согласно формуле (18.3), выражается так:
* 1 * |
( |
ch Ляг |
) |
w |
г |
\ s b k x |
|
|
г |
V |
ch-кг |
/' |
|
щ Г |
|
|
|
Общее решение для балки: |
|
|
|
|
|
|||
-Ч'С |
|
|
9 |
|
(г |
сИАх |
\ |
q,l4> |
Т= 2ZEEV(хг ~1г ) - |
Z A Z .E U |
c h \ l |
i |
~ r ~ x |
Максимальные напряжения Т действуют в точке, абцисса кото рой определяется из уравнения
V s " . 9 ^ ) eh Ах 2. J ' c h A l
или
ChXx = |
Z S n c h X l |
Вслучае балки, составленной из неодинаковых брусьев, сосре доточенное усилие £ нельзя принимать равным половине опорной реакции (1/2) с^Ь и приходится определять ее по формуле (8.4). Последующий ход вычислений остается без изменений.
Вторым примером рассмотрим балку, нагруженную сосредо точенной силой в середине пролета (рис. 52). Сосредоточенные усилия трения, которые могут возникнуть над опорами, здесь будут равны в случае одинаковых брусьев
рф .
Вбалке с несдвигающимися торцами при той же нагрузке уси лия на торцах равны (28.6)
Г (О) = [ р $ ы / ( 2 J M A)] ih (A I f 2).
Формулы (28.6) действительны при Ттр Z-T(O) , т.е. при
V ъ [ZSM / ( J MA ) H h ( A t / 2 j .
В противном случае следует исходить из решения (26.7), добав ляя к нему решение для балки сжатой или растянутой силами
_ |
|
s h A x |
|
\ |
РЧ> Г eh A f t - А) |
1 |
|
г = Ч |
- 1 7 7 П |
Г ) + — |
1 - Ш - г --------- 1\ ’ |
||||
ъ Г |
{1- |
ch Ах |
)^ |
- |
РЧ>А |
's h A (i - x ) |
|
М |
|
ch Aа lг |
/ |
|
4 |
сллг |
|
Напряжения в связях сдвига на опоре
t(0)=1rMi h M t h ~ - ~ U M .
Максимальные напряжения Ттах возникают в точке, положение которой определяется из уравнения
Г '= 0 ; - r MA $ h A x + - £ p - c h A ( t - x ) * 0
или
pifA ChA(j-x) РУ А |
|
x - * b n > r , |
|
l ± ^ ^ ( c h A t - c t h A |
|||
*г>м |
|
2SM |
|
- i h |
At + UM4>]AchAl |
||
c t b A x ^ U M * P YA chA l |
Напряжения в связях сдвига, вызванные трением, значительно уменьшаются к опорам балки. Это явление неоднократно под тверждалось экспериментами.
30.КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
ИНАГРУЖЕННАЯ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Подставляя в дифференциальное уравнение (23.2)
Т n~ A ZТ+ Мс$ / ( Е Е J)= О
выражение для изгибающего момента
А* =
получим
т" Si r . 9 * 2с $ |
J C A * X Z |
|
2 Z E 1 |
(ЗОЛ) |
|
ZtTZ- Е З |
||
|
Интеграл уравнения ( 1) имеет |
|
9 е / x z . 4 \ |
(30.2) |
T = C i S h b x +Сг сЬЬ*~ г ± £ й \ Т * ~ 1 ? ) ’ |
что нетрудно проверить подстановкой его в уравнение ( 1) . Рассмотрим четыре схемы закрепления концов консольной
балки. В первой схеме (рис. S3) оба конца балки не закреплены против сдвигов. Граничные условия при этом будут
Т (0 ) - Т (1 )= 0-
Из них получим: |
|
|
|
|
|
|
|
9 е |
|
|
|
|
С* " |
V AZZ £ J ' |
|
|
|
. |
4 е |
|
9 е |
f 11 1 |
\ |
Ci s h * ?Л *Е £ й ch* X ~ |
а гГ Е З |
\ ~ Т * ~ л у =0' |
|||
ус |
/_ |
4 |
г г |
1 |
\ |
°л~ 2TZBJ |
\ Az th А* * |
Zs hXl |
* AzshAt ) |
||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
$c ( -2cb№ |
s h to + *Zl 2shbxt2$hte+2shXlchXx |
||||
Г= 2TZE3 l |
|
|
2A*shM |
|
|
x z |
1 \ |
ЦгС |
Zsh Л ( l~x)+Azt 2ShAx +2sh\x~\ Zx2shXl-2shXL |
|
2 Т Г/ = TZEJ |
2Az s h M |
; |
,$c -2chA(l-x)+Az t zchAx + 2 c h A x - 2 A x s h M
r= T = ^ Z £ J |
2 A shA l |
|
, „ |
fyc |
2 sh A {l~ x)i- A z t zshA*+2shAx~2shAl- |
r " T=1? £ E J |
I S h H |
|
В точке |
ж - 0 |
касательная к эпюре Т горизонтальна, так как |
Г '( 0 ) = 0 .
При х=0 |
|
|
|
|
_ |
, 4 е |
'-ZchAl +A2 l z+2 . |
|
|
Т Е £ 2) |
2Ash A t |
при x - t |
|
|
|
Г (г . |
4 е |
- 2+Аг 12ehАI +2chA l ~ 2 M s h A l |
|
|
2TZEJ |
2Ash At |
Эпюры T и Г для этого случая показаны на рис. 53, где, как и на последующих рисунках, пунктиром даны также эпюры и tw опре деленные по формулам сопротивления материалов для монолитной балки.
При больших значениях \1 можно положить
chM = s h A U 0,5 е Хк
0 |
Дv |
и членами без множителей е |
пренебречь. Тогда будет: |
_
2 T A E E J '
4 с
2 T A Z E J (Аг 1г +2-2А1).
Во второй схеме (рис. 54) не закреплен против сдвига свобод ный конец консоли, а в месте заделки сдвиг отсутствует. Гранич ные условия здесь:
T (0)-Q \ T (t) - 0 .
Этим условиям удовлетворяют решения: |
|
|
||
Т" 2ГА zZEJ l(ch АI |
U A ljsh A x + chAx — |
" fJ" |
||
_ Vе |
Г A l s h A x + c h A (t - x ) |
Az xz |
1- |
|
TAzZEJ L |
chM |
Z |
“ 7 Г |
|
|
|
Ш |
" |
______ _______ |
— / |
|
1 |
= |
|
|
---- |
/ |
|
|
|
|
|
||
|
----------------------------------- |
= |
1 |
х |
' |
I |
*------- |
. |
|
|
|||
- с |
|
г |
* |
|
ь -------- |
1 |
--------- |
|
|
|
д с |
Г |
X t c h A x - s h X ( i - x ) _ _ x X |
|
~ TXEE J |
L |
ChXl |
J |
На концах стержня имеем: |
|
||
T(0)=0; |
T ( D = |
Vе |
(M sb\l+ 1 |
ГЛ Z£ E J |
V chAl |
||
$ c t |
|
|
|
l(0b |
f J |
~~ihAt z ( i ) = 0 . |
|
r J F |
|
|
В третьей схеме (рис. 55) сдвиг отсутствует на обоих концах консоли и, следовательно:
Т(о) =Т(г)=В.
Дифференцируя (2 ), получим |
|
q,c |
|
2Г(х)= Cf AchAx +CZ Ash Ах - y Z E j Л ' |
00.3) |
|
р
- Г : Ь ©
|
/ |
/ / |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
^ . |
© |
З |
Е |
М |
и |
ш |
Й |
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
Р и с . 5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из граничных условий следует: |
|
|
|
||||||
Т(0)= Cf As Oy |
С^Оу |
|
|
|
|
||||
|
|
|
. |
|
9rc t |
|
|
|
У |
T ( i ) - C 2 A sh M - ________л. ^ |
Г£Е* |
||||||||
|
|
|
|
ГЕЕ1 |
~ ’ Сг * |
з~sh At |
|||
« ./ 1 |
4е |
( t s hAx |
\ |
|
Я с |
I s h A x - x s h A l . . |
|||
* + |
Ш |
э Ы |
м |
- - Т |
Г ZED |
ShAl |
|||
|
|
»<• |
[ |
M chXx |
2 |
2 |
\ |
|
|
|
|
Дглг |
|
||||||
T'‘F |
AlzrZ£3\ |
shAl |
Z |
~ 1JA |
h z |
||||
T(0)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
г Н |
' ™ |
тAzfZE7\й г ( |
ihAt* |
г |
||
|
А 1Ш Э \$ hAi |
|
|
|
|
|
Четвертой схеме (рис. 56) - свободный сдвиг в месте заделки и отсутствие сдвига на свободном конце —соответствуют гранич-
ные условия
Т(0)у Г(г?=0.
При этом, согласно (2)
по