книги / Составные стержни и пластинки

связей сдвига в точках возникнут разности продольных смещении, производные от которых равны:

М х Д х ' к

Г. =

ск ZEJ.

где М* —внешний изгибающий момент, действующий в плоскостиZx;££JK— суммарная жесткость всех составляющих стержней на изгиб в плоскости zx:

Л / Ьл Ъ х

разность координат центров тяжести сечений £-го и ^ -го составляющих стержней.

Аналогично, при изгибе стержня в главной плоскости инерции сечения всего составного стержня zy, получим

,Му Ь у 1к

г= — ------------ >

Ск

Z E U y

где

разность координат	by и by центров тяжести сечения L -го и /-го стерж­
ней.

Продольные внешние силы, приложенные к каждому состав­ ляющему стержню основной системы создают приращения разнос­ ти смещения в точках разреза связей сдвига:

r :k = N . / ( E F . ) - N t /<EFk ).

Суммируя влияние бимоментов, моментов и продольных сил, получим выражение для приращения смещений в месте разреза свя­ зи сдвига:

	t Вш Д ш к	М , Д х к М у Д у к	/Vt	(56.3)
	+	+ ZEJy	* Щ

Кроме внешней нагрузки к основной системе должны быть при­ ложены сдвигающие усилия, которые заменяют действие отбро­ шенных связей сдвига. Эти усилия будем считать приложенными в месте разреза связей сдвига. Единичное сдвигающее усилие в свя­

зи, соединяющей точку		сечения i -то стержня с точкой ^сече­
ния	/-го стержня, вызывает в		*-ом стержне растягивающую
силу	/V,- , равную единице, а в		/-ом стержне —силу /^.равную

минус единице. Кроме того, эти усилия создают бимомент отно­ сительно точки С , равный для всего стержня

Вы * и ? ( А и ) - и > к 1Аи ) ~ й и Ск.

и изгибающие моменты

Подставляя эти значения нормальных сил, бимомента и момен­ тов в формулу (3), будем иметь при сдвигающем усилии в связи

Г.'

(Деи*)* ^

(А*1*)2

{ А у Ч 1

1

1

(56.4)

ikfik

f

ZE3*

*

Ъ Е Э у * Щ ~ Т г к

ik

Единичное усилие Тд — I в связи, соединяющей

t -ый стержень с

I -ым стержнем, вызывает в основной системе:

В ы = А ы п ; М „ = & х П ; М х = Л у С г \ N . = 1 ) N k ^ 0 .

Поэтому значение Г!к , вызываемое усилием

= I , равно

A

i k

A

U

A x a A x U

A y LkA y il

f

л

. ■„

Ды

Асо

(56.5)

i--------------+ --------------- + ----- '

tkfLk

Z E J(о

«

J

,

E E Jy

ЕЕс

Единичное усилие

7^5

в связи, соединяющей

к -ы й и s

-ый стерж­

ни, создает в основной системе нормальные силы

/V- —0.

- 1 .

Поэтому

1

A x lkAx*J

A y UA kJ

1

(56.6)

+

Z E J X

+

Е Е Э Х

Усилие в связи, соединяющей

I -ый и

У-ый стержни, которые не

являются ни

L-ым, ни

к -ым стержнями, не вызовет в этих по­

следних стержнях нормальных сил, поэтому усилие ^ - = 1

дает

Ckf t j

A t J kA ioJ

А * кА х ^

^ Ау1кА у tj

(56.7)

£ E J y

Полное приращение разности смещения в точке

Г£к “ Г£к ^Lk,ik

1TU

8 . ..+ ё т . л . ..+ Z Z . 8 .

Tk jSik, к

/

Ij

Lk,t/®Lk,Q>

где

— число

связей

сдвигу, соединяющих

i -ый стержень с другими

стерж нями

(не считая

к.-го стержня) ; Ъ#.— число связей сдвига, соединяю­

щ их

<&-ый стержень с другим и стержнями (не считая

/-го стержня) ;

* а -

число связей сдвига, не примыкаю щ их ни к

*-му, ни к

к-му стержню.

Разность смещений Гц можно считать пропорциональной сдви­ гающим напряжениям t^k в связи сдвига, которая соединяет точки А .И^ :

Л .	= Г . .	^1к*
ск	t k '‘

где 4ц — коэф ф ициент жесткости этой связи.

Усилие же Т-^ представляет собой интеграл

т.к - j r it d z,

взятый по длине шва от начального сечения до рассматриваемого. Кз последних трех уравнений получим

			а .		bik	cik
Г ' f k	= Т	5	+ i b r	д	+ Т . Т 6	+ Z T # +S .(56.8)
Lk Lk	ik	ik'lk	z = f i l	ikti l	j- 1 kj UtkjIJ-1 lJ ‘■klj iktO

Составив такие уравнения для каждого шва составного стержня, получим полную систему дифференциальных уравнений, из кото­ рых можно определить сдвигающие усилия во всех швах.

Учтем теперь влияние сен-венановских крутильных жесткостей

GJ'tp составляющих стержней, которые		создают дополнительный
крутящий момент, равный Е G3Крв \		что следует из уравнения
кручения тонкостенного стержня:
	Z G J kpQ " ^ h i,
где ш — погонная крутящая нагрузка.
Интегрируя это уравнение два раза, будем иметь:
K E ^ e u= z G 0 4 e - B u .
Здесь Вш— бимомент,	создаваемый внешней нагрузкой;		0 —д о ­
полнительный бимомент,	возникающий вследствие крутильной жесткости
25Г GЭ$ср •	о

Этот дополнительный крутящий момент можно внести в сво­ бодные члены уравнений (8 ) и написать вместо формулы (3 ):

ik Z E ^	ZEVk	л . а . ^ ^ 5 6 . 9 )
		Z E J y £F£ EFk Z E ^

Так как в систему (8 ) вводится дополнительно неизвестное зна­ чение в , то к этой системе следует добавить еще одно уравнение, которым может служить равенство

ZE3U в " - -Bu - S T .k А и * * ZG Jtp в .
Вся система уравнений для определения неизвестных	и & полу­
чит вид:

та	= Т*	6*	. У	£ ТЛ	V
. r r	j .	. X	i*,o	-	g .
t,J=r	ik.tj			Z E J,to	(56.10)

Z E 3 B " = - Z T . A b > ik- B + E B d			xp	8.
to	tk	to

5 7 . О ДИ Н О ЧН Ы Й ТОН КО СТЕН Н Ы Й СТЕРЖ ЕНЬ О ТКРЫ ТОГО ПРОФИЛЯ СО С В Я ЗЯ М И С Д В И ГА

Поперечное сечение такого стержня (рис. 96) можно назвать упруто замкнутым. Будем считать, что податливость связей сдвига намного больше податливости на сдвиг стенок самого стержня; тогда сдвигами стенок можно пренебречь и считать, что стержень работает согласно закону секториальных площадей. Уравнения для расчета такого стержня могут быть получены из уравнений (56.10), как частный случай. Необходимо лишь отбросить знаки суммиро­ вания, положить А х Ск— A y ik — 0, а 4д/*обозначить через Аи>, что является разностью секториальных координат сечения в месте раз­ реза по связям сдвига. Учтем также, что нормальная сила в стержне от действия усилий Т равна нулю, а внешняя нормальная сила и внешние изгибающие моменты не вызывают сдвига по линии свя­ зей.

Согласно (56.3) и (56.4), получим:

^	= $	= Я	й ы / ( Е З	) if.	= £	* ( A c j f / ( E 3	).
i к,0	0	ы	> со' tk'Lk		7	'	^
Таким образом, вместо (56.10)
	Г "	^ (А и )г		Аси	0 JKp А и/
—-т1 Лъ+в“ -щ:— щтв;

сьаы в " = - т й ш - в ы * е З ' Р 9

ИЛИ

Ц Асо т"~ т& и ) + ви -6 Э крв ,

(57.1)

ЕЗЫ в"= - тлш - ви + езхр о .

Просумм1Д>уем уравнения (1):

т"/($Лы)1-8"=0;

(57.2)

и, подставив (2 ) в первое уравнение ( 1 ), продифференцированное два раза, получим

Рис. 96

Ё Зри	т	TV	+ й ш Т +	G *7 кр	п
§Аси				%Дсо	Г + ВU) = О
или
Е й	Т Ш- [ В й + Н (Дсо)г]т"+$Ди} В ’^ ~ О.
UJ			дг

Если подставить т"=-$Дь>в" в продифференцированное два раза второе уравнение (1), то получим уравнение для углов закручи­ вания:

. JY - Л	. ,	.2	п	и
Е йи>&	й*Р + § (Ди>) ] в		~ ВUJ =0.

Задачу можно обобщить на случай нескольких распределенных связей сдвига, соединяющих различные точки поперечного сечения стержня (рис. 97). При этом будем иметь несколько неизвестных

сдвигающих	усилий 7} и несколько коэффициентов		Дсо., пред­
ставляющих	собой	разность секториальных координат	в ‘местах
разреза связей А.		Получим систему уравнений

Е й 9	н	- В + G J	(57.3)
	~ ~ И Т ,А с о .		9
W	k=i	' *р

и

где fb—число связей сдвига в сечении стержня.

Разделим первое уравнение (3) на				А ^ и сложим со вторым
уравнением. Тогда
Т ."/(к.А со . ) + &'=0;				4-	(57.4)
L	U	о	’ с.	с с
		Л		_ г/
Следовательно, все Т. пропорциональны значению 9 .
Подставив	(4)	во второе уравнение (3), продифференцирован­
ное два раза, получим

f j / - [£	$.•* GJ ] в	в”= О.	(57.5)
U)	L L КР	Ш

Например, для двутавра, усиленного планками, приваренными к концам полок, как показано на рис. 98, имеем

A&Jf - A

0, 5bh,

и уравнение (5) становится:

Е й	9 W- (0,5bZh Z$ + £ й Кр)& "- &" =0.
UJ	г

		ь
	I	I Л
	X	X
Рис. 97	4 о)2|	I
	1
Рис. 98

58. СЛУЧАЙ ДВУХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ

Положим сначала, что стержни соединены только одной распре­ деленной по длине связью. При этом система уравнений (56,5) при­ обретает вид (лишние индексы отбрасываем):

Т " / $	= Т 6 '	*■S	- У °	кг	-	А ш в -
' ^	11	ю	Z E 3	ш		J

(58.1)

£ Е Э и в " = - T & w - Q u +ZGJK/} в ,

где, согласно (56.4) и (56.3):

*	(Ли)2	(Ах)г	( Ду ) г	4	4
	ЕЕЭи	+ 2ЕЭХ +	£ £ Jy *	EFi +	EF2 ;
л	Ви Лы	Мх Ах	MyAy	Ni.	N2
°ло~ 5ГЕЭ„ + £ E J X 4			ZEJy *		’

Если стержни соединены несколькими связями, то в отношении изгиба и продольной силы эти связи можно рассматривать как одну обобщенную связь с приведенным коэффициентом жесткости 4при с одним суммарным сдвигающим усилием 7 = ZI тк (л—число свя­ зей) . При наличии кручения так поступать нельзя, ввиду того, что разность Л и зависит от пути перехода по связи от контура сечения одного стержня к контуру сечения другого (тогда как значения Ах и Ау от точек прикрепления связей не зависят). Поэтому систему уравнений ( 1) для нескольких связей следует писать в виде:17

71 _	(А и к )г	\	Г (А х)2-	(Ау)2 4
~ * = Л Г*		)	L Z E J X	2 Е З / E F i
ш	ZG D		Д ы . 9	( £ = 1	,2 , ... ,ft) ;
	Тк ~ ZED ,
Z E J „ B " = - j r (Tk A » k ) + Z G J K p 6					- do>

[нетрудно произвести аналогичное обобщение уравнений (56.6) для стержня с любым числом составляющих стержней].

59. НЕЗАКРУЧИВАЮЩИЕСЯ И СИММЕТРИЧНЫЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ

Если жесткости EGoHpнастолько велики, что в пределах требуемой точности расчета их можно положить равными беско­ нечности, то вместо (56.3) — (56.7) можно написать:

г	Мх А х и	M y & y i k	N c	N k
	Г'яЬх" +	Z E J y	+ ~~ЁРС	£ Гк	'
л	( Д х £к)г	( Д у Ск) г	1 .	1 .
Lktik~	Z E J X	Z E U y	* £FC	E Ft	1
/?	A xikA x tl	А у	<		у	(59.1)
		Z E U y

i

ik,4	г е з ,	1h
=	A x ckA * iJ	*
	Z E J X

Z E J y	EFt '
A у £kA у	J
Х Е З у

и тогда с этими обозначениями остается в силе система уравнений

(56.8).

При наличии одной оси симметрии сечения стержня внешнюю нагрузку можно разложить на симметричную относительно этой оси и на обратно симметричную. Симметричная нагрузка не будет вызывать кручения и изгиба стержня в направлении, перпендику­ лярном оси симметрии. Следовательно, здесь надо положить рав­ ными нулю все Ли и Ау, а также 4, и При этом:

М ж й х £к

6
° i k , o		E J X
S		( A	x i k ) 2
	~
° C k , i k		z e	j ,
Ui k , i t	-		Е Е 7 Л

&XLkA x kj £ Е Э Х

	1	l	E F k
	Е Е , -
j	1	t	-	*
		E F k		>
l	~
	/i
	£ F , - '		'	A x U * * lJ
	;	s ik . и
ЕЕ				I E J X

В данном случае получаются уравнения плоского изгиба составного стержня. Вместо использования условия симметрии к этим урав­

нениям можно	прийти, устремляя в бесконечность жесткости
£ £ 3 ,,2 £ j * ,	и к а з кр .

Обратно симметричная нагрузка не будет вызывать смещений вдоль оси симметрии. Уравнения для этого случая можно получить, устремляя в бесконечность жесткость £ Е З л ; выражения коэффи­ циентов S выписывать не будем, ввиду очевидности их получения.

При наличии двух осей симметрии сечения внешняя нагрузка разлагается на четыре части:

1 ) симметричную относительно обеих осей симметрии;

2 ) симметричную относительно первой оси симметрии и обратно симметричную относительно второй;

3)симметричную относительно второй оси симметрии и обратно симметричную относительно первой;

4)обратно симметричную относительно обеих осей симметрии. Для второго и третьего случаев загружения имеет место плоская

деформация стержня. Для первого случая получим:

	=Л/.	- "к		;	<>.,>=	H E F+	'•
* и . и ~ 11ар.		'				^ Л Г ° -
а для четвертого случая —кручения без изгиба:
	_			/У,-	Nt
° i k , 0	Z E 3 U * E F -				E F t	’
_ ( А ы ‘* )г		-t		-f	,	A U ^ A w 1' .
	+	EFt	*	EFk '		ZEJ^	'
и ,и "	Z £ j „ +	EF^	'			~	ЕЕ к

Для первого случая следует использовать уравнения (56.8), а для остальных — уравнения (56.10). Симметричные и обратно симмет­ ричные составляющие стержни попарно обозначаются одинаковы­ ми индексами.

60. ПРИМЕР ПЛОСКО ДЕФОРМИРУЕМОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Для примера возьмем симметричную систему (с одной плос­ костью симметрии) из шести составляющих стержней, соединенных связями сдвига так, как показано на рис. 99, и нагруженную сим­ метричной нагрузкой. Учитывая симметрию, ограничимся рассмот­ рением одной половины сечения.

Обозначим площади сечений составляющих стержней эквива­ лентной системы через 0,5Ff / Fz l F3 и 0,5 FM. Знаки усилий в связях сдвига Т12, Тгз f T3lf и 7 ~(1принимаются такими, что стержень,номер которого стоит в индексе первым оказывается этим усилием рас­ тянутым, а стержень, номер которого в индексе стоит на втором месте, — сжатым. Расстояния между центрами тяжести сечений составляющих стержней считаются положительными, если переход от первого этого расстояния ко второму происходит в положи­ тельном направлении оси х .

В соответствии с равенствами (59.1) получим:

Рис. 99

5.5

T12 ^12" T1Z $12,12* T23 ^12,23 f T31t $12,

^12,Q‘

TZ3 /$23 ~ 1^2 $23,12* TZ3$23,lt^^23,3^ * ^ 7^23,41*^23,a J

r * / ^ - 4 ^ v / 7 A y ^ / т ; Л

л , +V

г" л « ' ^ ^ , * ^

Л

«

+5г W

5 Д

*

где

_

(Ax’2')2-

^

^

.

A x

г3

__________

2Jjr

'« ,«

г е л

+ ~ё я Г * Т г-z

9 ^ ,г з

ZED*

ft

_ A x 1zA x 3i> .

ft

_ AxiZAx4i

1W ~ ~ £ E J X ■9

1г•”

Z E 3 X

Е Ь

'

^

_

гЗлг34 /

2

7

$

= Л 3 * £3/

+

*

23,12.

ZED .

E F 2

J

23,23

г е

л

£ p ;

ft

_

A xz *dx3i‘

i

-

/9

•d*

г з 4 л * '

^

=~ E

j t

^ 3

г

г - 7,

ft

_ A x * 4Ax**

_

A r f > * 25

i

*4,12----------------- ■j

Л

, .

Z E J X

FFs

(60.1)

.

£F2

. 'f

~EF2

	ft_	( A x 3tf) z	i	7	-■ &	A x ^ d x 41	_	Z
	3i,‘*i'	Z E D X +	EF3 *
					J °34,4Г Z E J X ~

		A X H1A , 1Z			6 b J
	J9l,12 ~		_ £ ________ . 0		A x* < A x23
		Z E Dx
			EFf	J Ц23
	41,3*$	Ax” A X-'3*
		ZED.	EF.	; 441,41

При составлении формул для коэффициентов & можно руко­ водствоваться следующим правилом. Если все цифры в индексе различны, то выражение для коэффициента имеет один член, если одинаковые цифры индекса находятся по краям или в середине, то второй член имеет знак минус, если одинаковые цифры расположе­ ны в индексе через одну, то второй член имеет знак плюс [имеют­ ся в виду члены вида 1/ ( £ Fc ) , появляющиеся при двух одинако­ вых цифрах £, и в индексе при £].

Свободные члены уравнений ( 1 ) имеют значения:

X	МжА х 2			.!**	. л	. . Мх A		21	Ъ .
W	Z E J , + CFi			EFZ	3	2з,о Z E J X		+TF2 ~	EF3 3
,	Мжй х зм*	*	-			-			2N<
							£ Е Э Л ' f F ,
П '	Z E J X	^ 3		fFy	’	Цо			Ef=i

Подставляя численные значения размеров сечения, показанные на рис. 103, получим:. Дх1*= 2 м, А х 23— 8 -м, Дх3*= - 2

——8 м, Z 7. = 18,5 м4 —для половины сечения.

Коэффициенты жесткости связей сдвига принимаем обратно

пропорциональными расстояниям между соединяемыми	ими
стержнями
*„= < */*■

где (L — коэффициент пропорциональности, определяемый структурой и размерами сечений связей сдвига.

Для связи 4—1 берем половинную жесткость ввиду того, что она идет по оси симметрии сечения стержня. Усилие ъ при этом также относится к половинной толщине связи, т.е. в 2 раза меньше истинного усилия 7^ в полном стержне, не разделенном плоскостью симметрии.

В свободных членах (2) принимаем продольные силы пропор­ циональными площадям поперечных сечений соответствующих стержней; при этом из выражений для свободных членов продоль­ ные силы исчезнут и будет:

<?1 2>о = О.Ю8 Ш /£; <?2 3 j0 = 0,4324JV/£; ^ 3 4 ,0 = - 0,1081W/£; ^41,0 = - °.4324Л»,/£.

После подстановки всех числовых значений в уравнения (1) получим систему:

0,1818rfer"n =2,5495T 17 + 0,5315rr ,-0 ,2 1 6 2 7 V t - —2,8649Т41Ч о ,Ю 8 Ш Л;

0,25<Ш - 0,5315Т , 0 + 4,7928 - 1,8649 T~d _ —3,4595тлл + 0,4324

0,1818rf£724 = —0,21617^2— 1,8649Т23 + 1,4505 Т ^ -