книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Г Л А В А I

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Основные понятия и обозначения

Предполагается, что читатель знаком с некоторыми основными понятиями теории меры (см. [174] и [133]), в частности с поня­ тиями a-поля (называемого также а-алгеброй или борелевским по­ лем), измеримого пространства (пары, состоящей из абстрактного

пространства и о-поля на нем)

и

измеримого отображения.

Если

S — топологическое пространство,

то минимальное

о-поле $ (S) на

S, которое содержит все открытые множества, называется тополо­

гическим о-полем, а элемент

/

J (S)

называется

борелевским

множеством

в S. Отображение

топологического

пространства S

в

другое

топологическое

пространство

S',

которое является

&&(S)/$(S')-измеримым (т.

е.

f~l(B) =

{x: /( i ) G f i ) e J ( S ) )

для

всех В е '© (S'), называется

измеримым по Борелю. Любая

о-адди-

тивпая неотрицательная мера Р на измеримом пространстве

(Q, SF)

такая, что Р(£2)=1, называется

вероятностью на

(£2, &"), а тройка

(£2,

Ф~,

Р) — вероятностным

пространством. Если

Р — вероятность

на

(£2,

9Г),

то ^ f = W e Q :

3 Bv Bz^ ^ ~

такие,

что

В ^ А ^ В г

и Р(В1 = Р(Вг)} является о-полем на £2, содержащим

ST. Вероят­

ность Р можно естественным образом продолжить на @~р, и про­

странство		(£2, $FP, Р)		называется			пополнением			пространства
(£2,	Р). Вероятность Р на					(£2, &~), для которой					назы­
вается полной,			а пространство			(£2,	Р) в этом случае называется
полным		вероятностным		пространством. Если				S — топологическое
пространство, то мы полагаем
				<r(S) = n ^ W \							(l.i)
						в
где р пробегает все вероятности на							(S, &(S)).	Элемент из			& (S)
называется универсально измеримым множеством в S, а отображе­
ние	/ из	S в	другое топологическое				пространство			S' называется
универсально			измеримым,		если оно		& (S) /$ (S') -измеримо.				Пусть
	— семейство с-полей				на	£2. Обозначим через			V	а наимень-
шее	о-поле, содержащее			все		&~а. Если % — класс			а
									подмножеств £2,

то через offi] обозначаем наименьшее		о-поле на £2, содержащее 9 .
Кроме того, если	{Ха}оел — семейство	отображений	£2	в	измеримое
Пространство (£2',	& "), то наименьшее о-поле		на	£2	такое, что

12		ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
каждое	Х„	является f F /^ '-измеримым,	обозначается	через
о [ Х а: a e i ] ,		В частности, о[Х ] = Х _1(^"') для каж дого X: Q-*-£2'.
Пусть	(Q,	&r, Р) — вероятностное пространство и (S, $l(S)) —
топологическое пространство с топологическим			a-полем	Ото­

бражение X из Q в S называется случайной величиной*) со зна­ чениями в S, если оно &~/3!(S) -измеримо. Если, в частности, 5 = R, S = С, S — Rd, то X соответственно называется действительной случайной величиной, комплексной случайной величиной, d-мерной случайной величиной. Если X — случайная величина со значения­ ми в S, то равенство **)

PI (fi) = P [X -1(B )] = P [o );X (a )s B ] = P [X e B ], B^38(S), (1.2J

определяет вероятность на (S, $I(S)). Мера Рх называется вероят­ ностным законом (или распределением вероятностей) случайной величины X. Ясно, что Рх — не что иное, как мера, индуцирован­ ная измеримым отображением X, или же мера-образ при отобра­ жении X.

§ 2. Вероятностные меры на метрическом пространстве

Пусть

S — сепарабельное метрическое

пространство

с метрикой

р, a 38{S) — топологическое о-поле.

на

(S,

38(S)).

П ре д л о ж е н и е

2.1.

Пусть Р — вероятность

Тогда для каждого B^38(S)

Р(В)

=

sup

P(F) =

inf

P{G).

(2.1)

{F c B .F

замкнуто)

{B cG ,G открыто)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

и

выполнено

(2.1)). Если B e ? 1, то, очевидно, и В° (дополнение В)

принадле­

жит <ё>. Если Впе 'g>,

в =

1, 2, ...,

то и 0 В„ е

<&.

Действительно,

для заданного е > О мы можем выбрать открытое множество

Gn и

замкнутое

множество Fnтак, что Fnс: Д, с

в P (6r„\F„)<е/2п+‘,

я — 1, 2, ... Положим G =

оо

»'*

Р„,где

л0 выбрано так,

(J Gn и F =

(J

71=1

П~1.

ч т о р (

(J

F \ [j

Fn j < е/2. Тогда

G открыто,

F

замкнуто,

В с

\ и = 1

\Т7=1

/

*

{

°°

\

°°

и

< е / 2 +

d U Bna G

P ( G \ F ) < S P(Gn\ F n

+ Р

U

Fn\ F

71=1

сю

71=1

\ Л—1

/

+ е/2 =

е.

является о-полем,

Поэтому U Впе с€ . Следовательно,

Если G открыто,

71=

1

Fn = {x: р(х, С?с) >

1/п) замкнуто, Fnс: Fn+1

то***)

*) Вообще,

случайная величина — измеримое

отображение

из

(Q,

SF) в

измеримое нространство.

**)

В дальнейшем мы часто опускаем аргумент се.

***)

р {х, А) = inf р (х, у).

USA

	§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ	13
В U F„ = G.	Так как Р (G) = lim Р (Fn , получаем G s g 5, Следо-
П	П-*оо
пательно, Ф =	98(S) .

Обозначим через С*(5) множество всех ограниченных непрерыв­ ных действительных функций на S. Множество Cb(S) является ба­

наховым пространством с обычной нормой |/|| = sup |/ (ж) I *eS

/е С 4(5).

Пр е д л о ж е н и е 2.2. Пусть Р и Q — вероятности на (S, 98(S) ).

Если	J / (ж) Р (dx) = | / (х) Q (dx) для			всех функций / е С ь(5)',
	s	s
то Р = Q.			Согласно предложению 2.1		достаточно по­
Д о к а з а т е л ь с т в о .
казать,	что	P(F) = Q(F)	для каждого	замкнутого	множества F.

Если мы положим /п(ж) = ф(яр(ж, F)), где

(1,	i < 0 ,
чр(г) = 1 — *,
1о,	* > 1 ,

to lim fn(х) = I F(ж) для каждого ж<=S. Следовательно, по теореме П-»00

омажорируемой сходимости,

Р {F) = lim [ fn(ж) Р (dx) = lim [ /„ (ж) Q (dx) = Q (F).

71—*COQ	П-*00 Q
П р е д л о ж е н и е	2.3. Предположим, что S полно относительно

метрики р, т. е. каждая р-фундаменталъная последовательность схо­

дится. Тогда каждая вероятность Р на							(S, 98(S) ) является			внут­
р е н н е р е г у л я р н о й в том смысле,							что для каждого В е			38(S)
			Р ( В ) =		sup		Р(К).			(2.2)
				{КсВ.К компактно)
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Сначала докажем для каждого					е > 0 су­
ществование	компактного				множества		K<=S такого, что		Р (К) >
> 1 — е. Так	как S сепарабельно, то для							заданного 6 > 0	S можно
покрыть счетным числом шаров радиуса б. Пусть б , ! 0									е	пусть
дли каждого я		0/tn), /с =		1,	2, ...,— последовательность замкнутых
шаров радиуса б„, покрывающих S. Тогда
			i = P(S) = lim Р (				U	о(А
					1-*оо	\ k=l		I
и, следовательно, мы можем найти такое 1п, для которого
			Р ( ;;У1^ П)) >			1 -	е/2П-			(2-3)
ПОЛОЖИМ К =		оо	гп
		П	U Ол . Очевидно, что для каждого б > О К можно
		п=1 й=1

14	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЙ
покрыть конечным	числом шаров радиуса	6, и,	следовательно,
К вполне ограничено. Поэтому полнота S влечет за собой компакт­
ность множества К. Из (2.3) мы заключаем, что Р{ К) > 1 — е.
Далее, пусть B^3S{S). Согласно предложению 2.1 мы можем
выбрать замкнутое	множество F<=B такое,	что	P{B)^P{F) + г.

Теперь F' = F ПК		компактно и Р (F) — Р (F') < Р{Ке) < е. Поэтому
P(B)<;P(F') + 2е,		из	чего	следует	справедливость (2.2).		{Рп
	О п р е д е л е н и е		2.1.	Последовательность вероятностей
на (S, &I{S)) называется				слабо сходящейся к вероятности Р на
{S,	<%{S)), если для каждой функции /<= Cb(S)
	lim		j" / (х) Рп(dx) =		j' /	(х) Р {dx).
	n -»o o		g		g
	Согласно предложению 2.2 P однозначно определяется последо­
вательностью {Р„},		и мы		пишем	Р =	ц ;-Н тР п илиРп-*-.Р	при
п	°о.					71- » СО
			2.4.	Следующие пять условий эквивалентны:
	П р е д л о ж е н и е
	(I) Рп^Р .
	(И) Н т j / (х) Рп {dx) =			( / (х) Р {dx)		для каждой равномер-
	g			g
но	н е п р е р ывно й		ф у н к ци и / е С Д З ) .
	(III) lim Рп {F) ^ Р {F)			для каждого замкнутого множества F.
	П-*оо

(IV) lim Рп(G) ^ Р (G) ft-»00

(V) lim Рп(Л) = Р (Л)

п~*оо

для каждого открытого множества G.

для каждого А е <#(£) с Р{дА) = 0 *).

Д о к а з а т е л ь с т в о . (1)=*-(Н) очевидно. Чтобы показать (II) =*- ( Ш ) , заметим, что использованные в доказательстве предло­

жения 2.2 функции fk{x)		равномерно непрерывны. Тогда из (II)
следует, что
lim Рп {F) <	lim	[ fk{х) Рп {dx) =	[ fk {х) Р {dx),
П -»оо	71—*00 Q		g

и, устремляя к к бесконечности, получаем (III). Беря дополнения, получаем (III)■<=►(IV). Далее покажем (Ш)=^(1). Пусть / е С 4(5). Применяя линейное преобразование, мы можем предположить беа потери общности, что 0 < / < 1 . Тогда

h
2J {i — 1)/к-Р {x\ {i — 1)/k<	/ {x) < i/к} <
i=l
< f / (*) P (<&)<	s j/* •P (ж; (i - 1 ) /* < /( * ) < i/fc). (2.4)

*) ЗЛ = Л\Л — граница множества А, А — замыкание А ж А — внутревность А.

§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ

15

Если

положим

Fi = {z: i/k ^

f(x ) },

то

правая

сторона

(2.4) будет

ft—1

А—1

равна

S

Р (Pi)/&, а левая

2

Р (Рд/к — 1/к.

Из

(III)'

следует,

ЧТО

i—О

1=0

П т J / (х) Рп (dx) <

lim 2

Рп (F^/k <

2

Р (Р%)!к <

n-юо g

n->oo i=*0

i=Q

< l/f t

+

f

f(x)P(dx).

s

Так как к произвольно, заключаем, что

П“

\f(x)Pn(dx)<

f f(x)P(dx).

n->“ s

s

Заменяя в предыдущем рассуждении / на 1 — /, получаем

И т

]*/ (х) Рп (dx) >

j

f(x) Р (dx).

?г-»оо S

S

Следовательно,

Нш

[ / (х) Рп (dx) =

f / (х) Р (dx).

Наконец, покажем, что

8

то в пред­

(III)- « - (V ). Если Р(дА) = 0,

положении (III) (-« -(IV )) имеем

Р (Л) = Р (Л) <

Iim Рп(А) <

iim Рп(Л) <

Р (Л) =

Р (Л),

П-юо

П-*оо

откуда

видно,

что

lim Рп(А) = Р(А).

Обратно, предположим (V ).

Пусть

п->00

и

положим

Ft =

(я: р(х, F )< б).

F — замкнутое

множество,

Тогда

dFi<={x: р(ж,

F) = б)

Л«,

и так как Л* не пересекаются

при различных б, то множество тех б, для

которых Р(Лв) > 0, не

более

чем

счетно. Следовательно,

можно

выбрать 6i 1 0

так, чтобы

Р (^Sj) =

0 и поэтому P(c?F6;) = 0. Отсюда получаем

Р (F) = lim Р (F0 ) = lim lim Рп(Р(,Л^ .lim

JP„(F).

2—>00

1->оо п-*оо

П —»оо

П р и м е р

2Л. Если 5 = R,

то существует взаимно

однозначное

соответствие между

вероятностью

Р

на

(S, 98(S))

и

ее

функцией

распределения

F(x) —Р ((—<*>,

ж]). Тогда

_

го

эквивалентно

«Рп~^Р»

<tFn(x) -*■ F(x)

в каждой точке

непрерывности х функций F». Вто­

рое

предложение

следует

из

первого

согласно

(V)

предложе­

ния

2.4, а обратная

импликация

легко

доказывается

посредством

0 9

9 0

аппроксимации интегралов

J / (х) dFп (х)

и

J f(x)dF(x)

суммами

— 0 9

— 00

Гммава.

16	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
П ре д л о ж е н и е	2.5. Слабая сходимость вероятностей являет­

ся метрическим понятием. Точнее, можно определить метрику d на

совокупности вероятностей 9*(S) на (S, &(,S)), для которой Pn~*~Р эквивалентно условию d(P„, Р)-*- 0 при п -*• <».

Д о к а з а т е л ь с т в о . Такой метрикой является хорошо извест­ ная метрика Прохорова, которая представляет собой обобщение метрики Леви в случае 5 = R (см. [145]). Здесь мы приводим экви­ валентную метрику следующим образом (см. [9]). Если S — сепа­ рабельное метрическое пространство, то можно выбрать эквива­ лентную метрику, при которой S станет вполне ограниченным*). Тогда множество всех равномерно непрерывных функций имеет счетное всюду плотное подмножество относительно равномерной нормы, и мы полагаем

d (р , (?) = Д		2_j j 1 А ( ] U (*)Р № ) - 1 Ь (*) Q (dx)			j j
Нетрудно проверить, привлекая предложение 2.4				(II),	что d —
метрика, удовлетворяющая условиям теоремы.				на (S, $l(S) )
Таким	образом,	совокупность &(S)	вероятностей
является	метрическим пространством		относительно	слабой сходи­

м о с т и . Теперь нам желательно охарактеризовать относительно ком­

пактное**)		множество в		&(S). Введем	для этого	следующее оп­
ределение.			2.2. Семейство A <=H?(S) называется плотным,
О п р е д е л е н и е
если	для каждого		е > 0	существует компактное		подмножество
KczS	такое, что		Р(К)>\ — е для		каждого	Р ^ А ,	т. е.
inf Р (К) ^		1 — е.
Рел		2.2. Если S полно относительно метрики р, то					каж­
П р и м е р

дое конечное множество Л плотносогласно предложению 2.3. Вооб­ ще, если At и Л2 — плотные семейства, то таково и Л( U Л*.

Те о р е м а 2.6. Пусть A

(1)Если А плотно, то А относительно компактно в !P(S).

(2)В случае, когда S полно относительно метрики р, справед­

ливо обратное к (1) утверждение: если А относительно компакт­ но в ^(S), то А плотно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Для доказательства (1) заметим сперва,
что если S — компактное	метрическое пространство, то &(S) ком­

пактно и, следовательно, каждое Л с^ > (5 ) относительно компактно.

*) Действительно, как известно, сепарабельное метрическое пространствогомеоморфно подмножеству гильбертова куба [О, 1]N; см. [102).

**) То есть замыкание которого компактно; иначе говоря, из каждой бес­ конечной последовательности этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ	17
Действительно, по теореме Риоса*), ■!?(£) =	{ р е £ * (£ ); р(/)3*О
для /3*0 и р (1 )= 1 ), и так как C(S) = Cb(S),	то слабая сходимость

эквивалентна сходимости в слабой «-топологии на С*(£ ). Таким образом, &(S) компактно, так как оно есть слабо «-замкнутое под­ множество единичного шара в С* (5), и, как хорошо известно, еди­ ничный шар слабо «-компактен.

В общем случае заметим, что S гомеоморфно подмножеству компактного метрического пространства (фактически подмножеству куба (0 ,1]N), и поэтому можем предположить, что S является подмножеством компактного метрического пространства S. Мы хо­ тим показать, что для каждой последовательности {р„} из плотного семейства Л всегда можно выбрать сходящуюся подпоследователь­

ность. Для	вероятности	р на (S, $ ( S ) ) определим вероятность на
(S, &(§))	посредством	р(4) =	р(Я П5), A e ^ ( S ) , Заметим, что
принадлежит &(S) тогда и только тогда, когда Я = Я П£ для
некоторого	Я е ^ ? ( £ ) .	Далее,	{р„} — последовательность в 5я (£),

и поэтому, согласно вышеприведенному замечанию, можем выбрать

слабо сходящуюся к вероятности v на (S,

&(3)) подпоследователь­

ность, которую опять обозначим через {р„}.

Покажем,

что

суще­

ствует вероятность р

на

(S,

&I(S)), для которой p = v

и

р„

слабо

сходится

к р. Действительно,

для

любого

г =

1, 2, ... найдется та­

кое компактное подмножество Кг из S (и, следовательно, компакт­

ное

подмножество в S),

что

рп (/£>■)> 1 — 1/г для всех п. Очевидно,

что

Кгes <%(S)[\&(S)

и

р„(А!г) = р„(Я г).

Так как

p „ - « v

(слабо),

то

v (Кт^ lira р„ (Кг) ^

1 — 1/г.

Поэтому

ИKr= E<= S

принадле-

71—> OQ

и &(S).

Если

A ^&(S),

то

жит обоим о-полям и &{3)л

Я е

е &(S),

так

как 4 П £ = Л (1 5( 1 £ = Л П £

для некоторого

е J f(£ ). Мы

полагаем

р(Я) = у(Я (1Е)

для каждого A^3$(S). Те­

перь нетрудно видеть,

что р — вероятность на (S,

3S(S))

и

p = v.

Наконец,

мы

покажем,

что

р„

р слабо

в

^ ( £ ) . Пусть А замк­

нуто в^ £._ Тогда А —Я ПS для некоторого

замкнутого

множества

в S и рп(Я) =

р „(Я ). Следовательно, П т р„ (Л) = lim р„ (Я )^ р (Я)=

•=р(Я)

и

утверждение следует

П~*оо

71—* 00

(III). Мы

из

предложения 2.4

опускаем доказательство

(2)

(см. [6], [141]).

Рассмотрим случайную величину X со значениями в S, т. е.

&~l!%l(S)-измеримое

отображение

вероятностного

пространства

(Я,

Р) в 5. Вероятностный закон Рх величины X — это

мера-

образ отображения X: Я -*■ S.

*) С(S )— структура Банаха при естественном упорядочении всех дейст­ вительных функций на У и C*(S)— сопряженное пространство; 1 обозначает функцию }(х) гз 1.

Я С. Катанаев, Н. Икэда

18	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

О п р е д е л е н и е 2.3. Пусть Х„, п = 1, 2, . . и X — случайные величины *) со значениями в S. Скажем, что X* сходится к X по

распределению, если Р	X п	Y	слабо.
	п-*-Р				и	X определены	на одном,
Предположим, что	Xn,	га =	1, 2, ...,
и том же вероятностном пространстве (Q,						Р). Будем	говорить,
что Х„ сходится к X почти всюду				(или почти наверное),			если
Р{вк р(Х„(<й), Х(со))				0	при	=
и что Х„ сходится к X по вероятности, если для любого е > О
Р{ак р(Х„(а),		Х(со) )> е}			0	при п-+°°.

Хорошо известно, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности и сходимость по вероятности влечет за собой сходимость по распределению. Следующая теорема Скорохода утверждает, что если S полно относительно метрики р, то справед­

ливо в определенном смысле и обратное утверждение.								метриче­
Т е о р е м а 2.7. Пусть			(S,	р ) — полное сепарабельное
ское пространство, Р„, п — 1, 2,				...,	и Р — вероятности на (S, & (S))’
и^ Р п -^Р		при га-»-оо.	Тогда		на	вероятностном	пространстве
(Й, $ ,	Р)	можно построить случайные величины Х п,					га =	1, 2, ...,
и X со значениями в S такие, что
(I)	Рп = РХп, га = 1, 2,		. . . , u P		=	F ;
(И)	Хп сходится к X почти всюду.

Поэтому, в частности, сходимость по распределению случайных величин Х„ может быть реализована сходимостью почти всюду без изменения законов Хп.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Мы доказываем эту теорему для Q =			[0 ,1)’,
^ = SS([0,		1))	и P(d(a) = da) (мера Лебега). Каждой			конечной		по­
следовательности натуральных чисел (i,, it,					ik),	k=* 1,	2,	...,
ставим в соответствие множество					s & ($)	следующим
образом:
(1)	если (ih U, ...,			U, •••, /»)'. т0
(2)	^	*5j	*5 и	.....ift.j) — S(lvi2.....jfe)?
(3)	diamS(ll<ii....
(4)	Pn(dS{ivl2,...,ih)) =			0, ra = 1, 2, ..., и	P ( d S ^ .... ih)) =		0.

*) Они могут быть определены на разных вероятностных пространствах.

**)(ИатЛ= sup р(«,у).

в,уел

§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ	19
Поэтому, согласно (1) и (2), {^(ir ia.... i;i)l	образует для каж­

дого фиксированного к непересекающееся покрытие S, являющееся подразбиением покрытия для к' < к. Такую систему подмножеств

можно построить следующим образом. Пусть для каждого к От\

т = 1, 2,	...,— шары с радиусами < 2 -(к+1), покрывающие все про-
странствоIC T B O	S> и удовлетворяющие условиям Рп (дот) = О, Р ( дат )) = 9
для каждых п, к, т. Положим для каждого к						D[k>=o[k\ D00.
— n(h)\ nw		J . . . 1JJn	— nih)\ (nW и		и nw \	и <7 .	= ч—
u2			■	\ V®1 U •' •U Gn—1/? ••*		И
= D(il n		П•••П P'in •		Легко	проверяется, что	система	таким

образом определенных множеств обладает требуемыми свойствами.

Для фиксированного к упорядочим все

(U,

к,

...,

к)

лексикографи­

чески. Определим интервалы*)

А^г г2,...,гй),

в [0*

1] сле~

дующим образом:

(I)

|

.... к) 1=

Р (^(ЧЛ2.....*й))’ I

I =

( X l - V " 1’*))’

(II)

если

(U, к, ..., к )< (/i» h, •••, h)> то интервал

(A g ,i2.... lfc)) расположен

левее

интервала &(jvi2,...,ih

(соответствен­

но интервала

Д[”Х .... ,h));

(Ш)

и

д (.л .... . » ) - № ,

1),

и

с

* ......

({||{21">Да)

(^1*г2’■■•’

Очевидно, что эти интервалы перечисленными свойствами оп­

ределяются

однозначно. Для каждого

(£4,

к,

...,

к), если

только

о

Ф 0 ,

мы выбираем точку

о

Для

‘5(<1л2.... гк

.... ih<= S(ivi2,-,ihy

й)^[0, 1)

положим

*<">

Хп((о) =

xivh.... ik,

если

©|

•ift)»

И

A (ir i2,

н

если

со <

A(«l>i2.... ife)>

для**)

к = 1,

2, ...,

ra =

l,

2, ...

Очевидно,

p (X й (со), Х й+Р (со)) <

1/2\

р (X й (со), Хй+Р (со)) < 1/2й,

и поэтому

существуют Х п(со) == Нш X й (со), X (и) =

lim X й (а)

из-за

/i—» оо .

ft-»oo

полноты

(5,

р).

Так

как

Pn(S(h’h.... к)) =

I А & Х .....к)\~*~

о

.... k)\ = P {S(h’h.....»*))•

т0

для

® е А

(*г*......к)

най"

дотся

такое

пк,

что

О .

V

ts....ih\ для

всех

п 5s nk.

Тогда

в е Д ™

*) Здесь под интервалами в [О, 1) мы подразумеваем только интервалы

вида [а, Ь)

(где а ^

Ъ \ ]Д| обозначает длину интервала А.

**)

Если

A(ii,,2..... ih) Ф

0

или

Ap>tli......ik)* 0

,

то

5 ^ , . . . , ^

Ф 0

*, следовательно, это опеределение корректно,

2*

2 0	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Хп (о>) = Хк(©) и, следовательпо,						р (Хп(ш), X (ш))< р(Хп (и), Х£(ш)) +
+ Р № . (®)i -X* 0й)) +				Р (Хк(to), X (to)) ^ 2/2й, если п 5* га*.Поэтому,
если	положим П0 =			^	U	^Д(г,,»2,...,»к)	то	X n((o)-j- Х(а>)
для щ е й , при п->-“				и, очевидно, Р(£20) = 1.
Покажем,		наконец,			что	■5^		= Р.	Так
						1Jn — Рп и Р
как	Р {<о; Хй+Р (со) е			5 (<lll	lft)} = Р {со; Х й+Р (со) е			5 (,l>t	ift)) =
= Pn		,ife)) и	так как		каждое открытое множество в 5
представимо		в виде счетного			объединения непересекающихся мно-
жеств	5( i i	,ifc),	то по лемме Фату имеем					«ч.
							Ига Р п ( 0 ) ^ Рп(0)
							р -»о о

для каждого открытого множества О в 5. Тогда, согласно предло-

жению	2.4, Р " слабо сходится к Рп		при р-*- <» и		тем	самым
Р *п =	Р ,1. Аналогично, Рх = Р.
§ 3. Математические ожидания, условные математические
ожидания и регулярные условные вероятности
Пусть X — действительная		(или комплексная)		случайная		вели­
чина, определенная на вероятностном пространстве				(Q,	Р). Две
случайные величины X и Y		отождествляются, если Р[ю: Х(а)¥ *
4t Y(«))] = 0. Случайная величина X			называется	интегрируемой,

если

[ [X (и) |Р (da) < оо.

я

Если

f| X (M)|pP (d to)< oo, р > 0 ,

Я

то X называется р-интегрируемой*). Пусть р$®1. Совокупность р-интегрируемых случайных величин, обозначаемая черев i?p(Q, 3~, Р), или 2р(Р), образует банахово пространство с нормой

||Х||р = Ц |Х((о)1РР ( ^ )

Через 3?^ (Q,		Р) будем обозначать банахово		пространство су­
щественно ограниченных случайных величин			с	нормой	II.X'IL=a*
=	ess sup |Z(©) 1.		X	число	Е (X) =
	Для интегрируемой случайной величины
=	|X (м) Р (<&о)	называется математическим ожиданием			X. Если
	я

*) Если р = 2, то X называется квадратично интегрируемой.