книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость
..pdfния до этой точки, равны 2 Ае*р, то компонент полной деформа
ции в направлении оси х в точке Р |
|
|
||||
_осТ” |
^ |
[ |
о |
Дбп |
+ |
; (2.22) |
|
|
|
И м 'хр ' |
[ох — |
||
здесь оР — эквивалентное |
напряжение, соответствующее |
компо |
||||
нентам о>, ау и. сгг |
в точке Р, определенное по уравнению (2.3), |
|||||
а Дер — эквивалентная деформация, связанная |
с соответству |
|||||
ющими |
компонентами ЛеХр, М ур |
и Де2р уравнением (2.4), видо |
измененным для прямоугольной системы координат х, у, г. 2.5.4. Процесс приращений. Поскольку каждый шаг процесса
дает приращение пластической деформации при переходе мате риала последовательно от одного напряженного состояния к дру гому, этот метод назван методом приращений. После определения пластической деформации в точке Р можно рассмотреть изменение напряженного состояния вблизи нее. Например, изменение ком понентов напряжений, увеличивающих эквивалентное напряже ние до с0 в точке О на рис. 2.8, должно дать новые компоненты пластической деформации, которые можно определить непосред ственно из уравнения (2.22), заменяя Р на О. Приращения ком понентов пластической деформации между О и Р, вычисленные ранее, входят в уравнение под знаком суммы с пределами О н ? .
Анализ применения уравнения (2.22) в случае увеличения эквивалентного напряжения вследствие увеличения компонентов напряжений, отношение которых поддерживается постоянным, показывает, что здесь можно не рассматривать серию приращений деформации, а использовать только окончательные напряжения. Это заключение вытекает из эквивалентности деформационной теории и теории течения при простом нагружении. Чем больше нагружение отклоняется от простого, тем больше оснований для применения теории течения. Кроме того, использование этой теории существенно для описания процессов деформирования, включающих разгрузку в какой-либо точке тела.
2.5.5. Основы численных решений. Если член со знаком суммирования перенести в левую часть уравнения (2.22), то оно оказывается аналогичным уравнению (2.7). Выражение гх —
— 2 Мхр — есть компонент полной деформации в направлении х, вызванной температурой и напряжением. Назовем это выраже ние «скорректированной составляющей полной деформации». Оче видно, что эквивалентная скорректированная полная деформация может быть выражена через компоненты деформаций по уравне
нию (2.9) и эта деформация может |
быть |
связана уравнением |
|
(2.10) с приращением пластической деформации. Этот |
вывод де |
||
лает возможным выполнение любого |
расчета |
тем же |
путем, что |
и расчета по деформационной теории. |
|
|
|
Решение состоит из нескольких самостоятельных расчетов, каждый из которых отражает определенную стадию истории механического и термического нагружения тела. В пределах одного расчета последовательность остается той же, что и для де формационной теории, при этом могут быть с успехом использо ваны специальные приемы, развитые для решений по этой теории. Отличие состоит только в том, что в каждой точке кривая дефор мирования различна, но известна заранее и зависит от пластиче ской деформации в этой точке, полученной из предыдущего рас чета.
Рассмотрим плоский круглый диск, подверженный тепловому удару с известной историей изменения распределения температур. Расчеты обычно проводят для распределения температур, возни кающих в некоторые моменты времени, отсчитываемые от момента •удара. Уравнения равновесия и совместности остаются теми же, что и при упругом расчете. Полная деформация в каком-либо расчете должна включать все пластические деформации, получен ные из вычислений, проведенных для предыдущих моментов вре мени.
Этот метод полных эквивалентных деформаций, как отмеча лось, может быть применен на каждой стадии решения задачи как метод деформационной теории с переменной диаграммой деформирования. При этом может быть использован метод, опи санный в разделе 2.4, как это сделал Хансон при анализе охла ждаемого диска и цилиндра [2.31. Описанный здесь подход изло жен в работе [2.7 ] в связи с задачами ползучести и пластичности.
2.5.6. Порядок операций при проведении вычислений. Порядок расчета, как это следует из предыдущего, состоит в следующем:
1. Упругие расчеты выполняются в ряде последовательных моментов процесса нагружения (термического или комбинирован ного механического и термического, если имеется механическая нагрузка), при этом определяют условия, при которых эквивалент ные напряжения а 1 в месте наибольших напряжений превышают предел упругости. Первый расчет должен быть сделан при усло вии, что пластические деформации возникают в одном или не скольких местах. Упругие напряжения и деформации представ^ ляйт собой исходные данные для первой серии расчетов. По зна чению а1 в каждой точке вычисляют значение Де(.р. Затем в пред положении упругого состояния по компонентам напряжений и эквивалентному напряжению сгг из уравнения (2.6) ( 3 , рис. 2.9) получают первые оценки Дегр и Де0р.
2. Остальные операции представлены блок-диаграммой на
.рис. 2.9. Используя значения Дегр и Де0р! и уравнение (2.5)— лоз. 2 вычисляют деформацию Де(Р, по которой с помощью кри вой деформирования 1 определяют а ь (в первом приближении этот расчет является повторением проводившейся операции). Одновременно и независимо от этого по вычисленным Дегр и Де0р с помощью кривой.деформирования и пр уравнениям равновесия
102
и совместности 4 определяют аг и сг0. Решение может быть полу чено методом конечных разностей или любым другим способом в зависимости от требований задачи. Величины аг и ав, вычислен ные таким образом, в сочетании с независимо определенным напряжением о., подставляют в уравнение (2.22) для получения новых значений Аегр и Аевр. Эти величины, указанные на рис. 2.9 в блоке В, передают в блок А, и процесс повторяют до тех пор, пока последовательные значения пластических деформаций не перестают изменяться (например, в четвертой или пятой значащей цифре).
3.Переход к новым условиям нагружения и температуре.
Как и прежде, исходное приближение является упругим, но
Рис. 2.9. Блок-диаграмма дли решения задач пластичности
достигнутые ранее пластические деформации учитываются как остаточные. В этом расчете используют соотношение (2.22) между; напряжением и деформацией и учитывают член суммирования, который представляет собой пластическую деформацию из пер вого расчета; член, соответствующий последующей пластической деформации, в первом приближении опускается. Новые значения' упругих напряжений являются исходными для определения при ращений пластических деформаций во втором приближении и т. д. Операции счета проводят в порядке, указанном в п. 2.
2.5.7. Пример. На рис. 2.10 показан результат расчета диска; нагреваемого индукционным способом [2.3]. Из примера видно существенное различие, которое можно получить при расчете по теории течения (методом приращений) и по деформационной теории. Диск был нагрет до заданной температуры на. ободе за 72 с, при этом температура обода была выше комнатной на 260? С, в то время как температура в обширной зоне центральной части диска заметно не отличалась от комнатной температуры. Затем нагрев был прекращен и началось остывание обода, в то время как центральная область постепенно прогревалась в результате теплопередачи от обода. Спустя 40 мин после начала испытаний
весь диск охладился до температуры на 18,7° С выше комнатной, а затем охлаждение до окружающей температуры проходило очень медленно.
Радиальное распределение температур в диске оказалось достаточно сложным и измерение его в соседние моменты времени
О^нгс/миг |
|
п |
|
|
дало возможность рассчитать тем |
|||||||||
|
' |
|
пературные |
напряжения, |
основы |
|||||||||
|
|
|
|
|
ваясь на обеих теориях пластич |
|||||||||
20 |
|
|
|
|
|
ности — теории |
течения |
и |
де |
|||||
|
; |
г |
|
|
формационной. Расчет |
по дефор |
||||||||
10 |
|
|
|
и |
|
|
мационной |
теории |
выполняется |
|||||
—— |
|
|
|
|
только для |
распределения темпе |
||||||||
|
|
|
К ; |
|
|
ратур в данный |
момент времени |
|||||||
|
|
|
I |
> |
|
и не учитывает |
пластические |
де |
||||||
-10 |
|
|
л |
|
|
формации, |
происшедшие |
за |
пре |
|||||
-20 \ |
/ |
|
|
|
|
дыдущие периоды. Расчет по тео |
||||||||
|
|
|
|
|
рии течения учитывает все пла |
|||||||||
|
|
|
100' |
юоо |
|
стические |
деформации, |
|
которые |
|||||
Ч 10 |
|
|
произошли до того |
момента, для |
||||||||||
Рис. 2.Ю . Изменение тангенциаль |
которого сделан |
расчет |
напряже |
|||||||||||
ных напряжений во |
времени |
(с) в |
ний. В период монотонного увели |
|||||||||||
двух выбранных точках на радиусе: |
чения нагрузки результаты обоих |
|||||||||||||
/, 2%4 — центр |
при |
нагреве (теория |
расчетов совпадают, как видно на |
|||||||||||
течения — метод приращений и дефор |
рис. 2.10. |
После разгрузки |
раз |
|||||||||||
мационная теория) и при охлаждении |
||||||||||||||
(деформационная теория 2 н теория те |
личие оказывается существенным. |
|||||||||||||
чения 4); |
3, 5 — обод |
при охлаждении |
||||||||||||
(теория течения) |
и при нагреве |
(тео |
Эрудированный |
инженер-расчет |
||||||||||
рия |
течения |
и деформационная); |
6 — |
чик, разумеется, не будет слепо |
||||||||||
обод |
при |
охлаждении |
(деформацион |
|||||||||||
|
|
ная |
теория) |
[2.3] |
|
применять расчет по деформацион |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ной теории, |
не учитывая |
предва |
рительного пластического деформирования. В рассматриваемом случае расчет должен быть прекращен к моменту, когда на ободе
начинается разгрузка. |
|
|
Расчет |
остаточных напряжений по |
методу, приведенному |
в работе |
[2.8], в большинстве случаев |
дает результаты, очень |
близкие к результатам расчета по теории течения. Однако реше ние в приращениях избавляет от необходимости анализировать остаточные напряжения и дает возможность проводить расчет при непрерывном пластическом деформировании в некоторых зо нах тела, в то время как в других областях происходит разгрузка.
2.6.ПОЛЗУЧЕСТЬ
2.6.1.Основные положения. Задачи ползучести во многом подобны задачам пластичности. При решении таких задач выпол
няют серию расчетов для последовательных моментов времени от начала нагружения. Каждый расчет определяет увеличение деформации ползучести за соответствующий интервал времени по сравнению с предыдущим расчетом. Сначала необходимо по-
104
стулировать два важных соотношения: 1) зависимость между напряжением, деформацией и временем при сложном напряжен ном состоянии; 2) зависимость, определяющую изменение дефор мации ползучести в случаях действия напряжений, меняющихся во времени.
2.6.2. Зависимости напряжение—деформация—время. Возмож ность расчета не связана с формой кривой ползучести, поэтому для иллюстрации метода можно выбрать какое-либо частное соотношение для ее описания. Для трехосного напряженного состояния эквивалентное напряжение <т, определяют по соотноше нию (2.3), а эквивалентная деформация ползучести г1с может быть вычислена при известных компонентах вхс, еус и ггс по фор муле (2.4). Предположим, что эквивалентное напряжение, экви валентная деформация и время т действия постоянных напряже ний связаны степенной зависимостью
е,с = /Са"'т'1. |
(2.23) |
В интервале времени Ат приращение эквивалентной деформа ции ползучести равно Аг1с. Дифференцируя (2.23), получаем
Де,с = пКаТт"-1 Дт. |
(2.24) |
Предполагается, что приращения отдельных компонентов де формации ползучести связаны с компонентами напряжения, эквивалентным напряжением и приращением эквивалентной де формации такими же соотношениями, как и в теории течения. Для цилиндрической системы координат, например,
(2аг— ое — стг);
|
|
А е , |
а г); |
(2.25) |
|
ДбОс = ~2^ Г (2а6 — °г ~ |
|||
|
Авде= |
Аегс |
|
|
2.6.3. |
Зависимости, |
определяющие изменения деформации пол |
||
зучести. Рассмотрим сначала случай одноосного напряженного |
||||
состояния, |
когда напряжение изменяется |
в процессе испытаний. |
Если оно изменяется после достижения некоторой деформации ползучести при заданном постоянном напряжении, возникает вопрос о том, как будет выглядеть кривая деформация — время. На этот вопрос пока не может быть дан окончательный ответ, но даже при произвольной зависимости последовательность рас чета может не меняться. Три гипотезы ползучести, рассмотренные в работе [2.7], показаны на рис. 2.11.
При гипотезе старения основным фактором, определяющим скорость ползучести, является время пребывания при данной температуре, независимо от истории нагружения. Если, например, напряжение 28 кге/мм2 действует в течение 5 ч, то кривой на чальной ползучести является кривая ОА (рис. 2.11, а). Пусть
затем напряжение внезапно изменяется до 24,5 кгс/мм2 и сохра няется на этом уровне 20 ч. В этом случае процесс непрерывной ползучести изображается кривой А'В, где точка А' расположена ниже А по вертикали. Если далее напряжение вновь падает до 21 кгс/мм2, то новая точка В' лежит на вертикали под В , и пол зучесть протекает по линии В'С и т.*д.
V
Если через т 0 обозначить время начала соответствующего интервала ползучести, то уравнение (2.24) можно разрешить относительно стг, заменив время т на среднее время (т + Дт/2) интервала Дт. Таким образом получим
= |
<2-26> |
По гипотезе упрочнения предполагается (рис. 2.11, б), что главным фактором, определяющим скорость ползучести, яв ляется деформация, независимо от истории изменения напряже ния, вызывающего соответствующую деформацию. Следовательно, в процессе действия ступенчато изменяющихся напряжений соот ветствующие точки на кривых ползучести при новом уровне на пряжения можно получить путем продолжения горизонтальных линий (постоянная деформация), как показано на рисунке. Чтобы получить зависимость между напряжением, деформацией и при-
106
ращением |
деформации, исключают время из уравнений (2.23) |
и (2.24). |
Так, если &.с0 эквивалентная деформация ползучести |
в начале интервала времени Ат, в течение которого напряжение изменяется до сг(., а Де*с — приращение эквивалентной деформа ции ползучести за время интервала, то результирующее соотно
шение имеет |
вид |
' |
|
О, |
- |
К - '" ( $ § ) " " ( « „ + |
(2.27) |
Гипотеза относительной долговечности является сочетанием гипотезы старения и гипотезы упрочнения. Если, например (рис. 2.11, в), при напряжении 24,5 кгс/мм2 ползучесть разви вается до уровня деформации, соответствующего точке В, а затем напряжение уменьшается до 21 кгс/мм2, то точка В’ распола гается так, что время, соответствующее достижению этой точки, составляет ту же часть общей долговечности до разрушения при постоянном напряжении 21 кгс/мм2, что и время, соответству ющее точке В при постоянном напряжении 24,5 кгс/мм2. Таким образом, если, например, время, соответствующее точке В, со ставляет х/4 полного времени испытаний при постоянном напря жении 24,5 кгс/мм2, то точке В' соответствует время, составля ющее х/4 долговечности при напряжении 21 кгс/мм2.
2.6.4. Последовательность расчета. Рассмотрим последователь ность расчета на примере вращающегося диска. Пусть егС0 и е0(ГО— компоненты деформации ползучести в момент времени т 0, вычис ленные в некотором предыдущем расчете. Определим приращение деформации ползучести Дегс и Де0с за приращение времени Дт. Если е, и е0 — полные деформации за средний интервал времени, и сг и а0 напряжения, действующие в это время, то
ег = ~ Ё |
(а г — М'Ое) + |
а Т |
+ |
егсО + ~2 |
^ ъгс\ |
|
||||||
ео~ |
|
( ° в — ^г) 4 |
~ |
+ Ч с о |
+ ~7г Де0с- |
(2.28) |
||||||
Запишем уравнение совместности, |
используя |
эти |
уравнения: |
|||||||||
|
4г \ |
Е |
Е |
\ |
г/Т \ |
г |
| |
^е8с \ |
_ |
|
||
|
+ |
^ |
+ |
е9«о + |
2 |
/ |
|
|
||||
__ |
1 |
И* |
. О’г — ^8 |
| |
Бгсо — &всО , |
АВ/ч? — Абдс |
(2.29) |
|||||
|
Е |
|
г |
' |
|
г |
|
' |
|
2г |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнение |
равновесия для диска |
имеет вид |
|
|
||||||||
|
|
-^ Г (гН а г) — |
йств + |
рсо2г2А. = 0. |
|
|
(2.30) |
Прежде всего необходимо иметь кривые ползучести при раз личных температурах и напряжениях и в уравнении ,(2.23) опре делить К, т и п для каждой точки диска с переменной по радиусу
107
температурой. Задачу можно существенно упростить, если ис пользовать предложение Дорна, согласно которому кривые пол зучести при заданном напряжении, но различных температурах,
совпадут, если |
деформация ползучести нанесена в зависимости |
||||
от те~д" / * г, |
где |
АН — постоянная |
материала; К — универсаль |
||
ная газовая |
постоянная, а |
Т — абсолютная температура [2.9]. |
|||
Таким образом, |
уравнение |
(2.23) |
приобретает вид |
|
|
|
е,-с = |
К а ? ( т е ~ АН1ПТ) п = |
( Н е Г п АН/НТ) аГтп. |
(2.31) |
|
Постоянные т и п одинаковы для всех точек диска, |
но коэф |
фициент К' = Кё~ пАЯ/ЛГ изменяется от точки к точке, поскольку изменяется температура по радиусу. Коэффициент К' легко вычислить, если К, т и п определены из серии испытаний при одной температуре и АН получено из испытаний на ползучесть при постоянном напряжении и нескольких выбранных значениях температуры. Известную из эксперимента' зависимость К от тем пературы можно использовать непосредственно.
Упругие (или упругопластические) напряжения в диске перво начально вычисляют без учета ползучести, что соответствует распределению напряжений в момент приложения нагрузки т = 0. После этого можно перейти к первому интервалу времени. Дли тельность этого интервала зависит от конкретных условий задач. Одно из важнейших требований заключается в том, чтобы при расчетах приближения были сходящимися (если интервал вре мени принят слишком большим и приближения расходятся, то необходимо выбрать меньший интервал) и чтобы изменение на пряжений в каждом интервале сохранялось малым (например, 0,7 кгс/мм?).
Следующим шагом является сокращение приращения деформа ции ползучести за первый интервал времени, хотя это не очень существенно, так как последующие итерации быстро приводят к верным значениям. Однако поскольку процесс сходимости после довательных приближений зависит от исходного приближения, для задачи ползучести можно рекомендовать в качестве исходного для первого интервала времени предположение о том, что напря жения не изменяются в выбранном интервале. В этом случае [ап сг0 и а1 известны из упругих и пластических расчетов и значение а,- используется в интервале Ат в уравнении (2.24) для определения эквивалентной деформации ползучести Ае1С за рассматриваемый интервал времени. По этой деформации ползучести и по напряже ниям из уравнения (2.6) определяют деформации Деес и Дегс.
Порядок действия дан блок-диаграммой на рис. 2.12. Значения Аегс и Де0с после их определения подставляют в уравнения равно весия и совместности (2.29) и (2.30). Указанные дифференциальные уравнения становятся линейными и разрешаются относительно <тг и ст0 в конечных разностях или каким-либо другим удобным спо собом. Одновременно АегС и Аевс подставляют в уравнение (2.5)
108
для получения эквивалентной деформации, по которой из уравне ния закона ползучести (2.24) вычисляют эквивалентное напряже ние сг(-.
По значениям ог, а0, а1 и Ав[с и уравнению (2.25) вычисляют новые значения Авгс и Ае0с. Если они не совпадают с первоначально принятыми значениями (они не совпадают, если ползучесть по влияла на напряжения), то их используют в качестве следующего приближения и расчет повторяется. В большинстве расчетов, проделанных автором и его сотрудниками, за критерий окончания
Рис. 2.12. Блок-диаграмма для задачи ползучести:
/ — закон ползучести, уравнение (2.24); 2 — соотношение между на пряжением и деформацией по уравнению (2.25); 3 — уравнение'равно весия, уравнение совместности; 4—соотношение между напряжением н деформацией для известной деформации ползучести
расчета принималось совпадение величин деформаций в пятой значащей цифре; такая точность, однако, в ряде случаев оказы вается излишней.
Исходные значения АвгС и Де0с во втором интервале могут быть получены на основе допущения, что скорость ползучести, достигнутая в первом интервале, сохраняется и во втором. Так что исходные величины деформации ползучести во втором интер вале вычисляют по скоростям деформации первого прямо пропор ционально времени интервала. Схема дальнейших вычислений идентична приведенной. Аналогична последовательность дей ствий для последующих интервалов времени, которые могут быть увеличены, если замедляется темп изменения напряжений.
Результаты расчетов, проведенных в предшествующих интер валах, могут служить руководством для выбора последующего интервала времени, за который изменение напряжений не превос ходит некоторой произвольной величины, например, 0,7 кгс/мм2. Если напряжения не изменяются, т. е. устанавливается стацио нарное состояние ползучести, то критерием временного интервала
может быть значение деформации ползучести за интервал. В дей ствительности в большинстве случаев дальнейшие расчеты не нужны, так как при установившемся напряжении скорость пол зучести стабилизируется. Только в том случае, когда вследствие ползучести происходит такое изменение размеров, которое ока зывает влияние на напряжения, необходимы дальнейшие расчеты. Примером может служить вращающийся диск, ползучесть ко торого в радиальном и тангенциальном направлениях вызывает уменьшение толщины.
°С |
б „ н г с /м н г |
Рис. 2.13. Изменение напряжения вследствие ползучести во вращающемся диске с радиальным перепадом температур:
а — распределение температур; б — изменение в процессе ползуче сти напряжений и профиля диска
2.6.5. Пример. На рис. 2.13, б показаны результаты расчетов ползучести диска с распределением температур, представленным на рис. 2.13, а. Закон ползучести принят в виде
о |
аг 1л 29 |
—0,0027- 3,28 |
|
8 = 3,45-10 |
-е |
«V т; |
|
рсо2/?2 = 101,2 |
кгс/мма; а |
= 18-10" 6 Ч°С. |
Кольцевые напряжения на ободе первоначально являются сжимающими из-за стеснения теплового расширения, но затем они быстро релаксируют вследствие ползучести. Температурные напряжения в центре равны 28,1 кгс/мм2, но постепенно релакси руют до напряжений около 14 кгс/мм2, поскольку деформации, вызванные температурными напряжениями и напряжениями от центробежных сил, более равномерно распределяются по всему диску за счет ползучести. На рис. 2.13, б в увеличенном масштабе показано также изменение контура диска. Вначале он имеет одинаковую толщину, но через 500 ч толщина в центре значи тельно уменьшается, а радиус увеличивается. Снижение несущей способности в результате уменьшения толщины и увеличения центробежных сил из-за увеличения диаметра приводят со време нем к состоянию неустойчивости, вызывающей разрушение диска,
по