книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

(1.44)

1.4.3. Плоские пластины с прямоугольным контуром. Задачи такого типа подробно рассмотрены в связи с приближенными ме­ тодами, развитыми в разделах 1.5—1.16. В большинстве случаев эти задачи не имеют замкнутого решения, исключение составляет, например, длинная пластина, в которой температура изменяется вдоль короткого размера:

/	+6	+ь	\
ох = Е * [ - Т + ± \ Т ( 1 у + ^ \ Т у < 1 у ) ,				(1.45)
\	- Ь	—6	/

где 2Ь — высота пластины; у — расстояние, измеренное от центра пластины. Эта формула справедлива только для сечений, удален­ ных (на расстояние, равное нескольким значениям 2Ь) от края пластины. Она может быть получена методами теории упругости или из рассмотрения пластины как балки, нагруженной одно­ мерной системой сил по аналогии Дюамеля, как описано в раз­ деле 1.6.

Напряжения вблизи краев пластины могут быть определены из рассмотрения бигармонического уравнения, как показано в раз­ деле 1.7 и в других разделах гл. 1.

1.4.4. Тонкая цилиндрическая оболочка с изменением темпе­ ратуры вдоль оси. В этом случае решение в конечном виде может оказаться довольно сложным и зависит от характера изменения температуры. Решение задачи сводится к решению дифференци­

ального уравнения [1.25]:
* * + 4 а , = - 4 й х 7 \ _	(1.46)

где го — радиальное перемещение точки на срединной поверхности оболочки; х — отношение осевой координаты оболочки к харак­ теристической длине I. Характеристическая длина

	Я2Я 2 и 'п	(1.47)
	. 3(1- Ц 2) .

где Я — средний радиус; Я — толщина оболочки.

Если температура Т задана в виде простой функции, напри­ мер, полиномиальной или экспоненциальной функции х, то ре­ шение этого дифференциального уравнения не представляет ни­ каких трудностей и сводится к общему решению однородного

уравнения
= ^ 1 соз х соз Нх + С2 соз х з т Нх +	С3 з т х соз Нх +
-)- С4 з т х з т Нх	(1-48)

Плюс частное решение Щ2» которое может быть принято в той же форме, что и функция температуры (например, если температура —

полином,		то ш берется в виде полинома). Из полного решения
т =	+	се>2 определяют	все компоненты	деформаций по фор­
мулам		т	1 (12ю . ,, ,	ч гг,

е* —	----- / г ” 5^22 +		(1 +
		ш	(1.49)
	е8 —	я

где г — радиальная координата оболочки, измеряемая от средин­ ной поверхности; в2 и е0 — осевая и кольцевая деформации, соот­ ветственно. Напряжения могут быть определены из деформаций:

--	2_^2 К6*	Н- I1 (е9	а ^')]>
ст0 =	Це0— аТ) + р, (гх— а Т)];			(1.50)

аг = 0.

Если Т — сложная функция х или определена в численном виде, то частное решение может быть получено с использованием функции Грина [1.10]

.V

к»2 = —Я | а Т (I) [з т (х — |) соз к (.V — |) —

— соз (х — ^) з т к(х — \) I

(1-51)

Таким образом, решение в замкнутом виде может быть получено для наиболее общего распределения температур. Константы С1—С4 в однородном решении [уравнение (1.48)] определяются из граничных условий. Например, если край заделан, то на краю

ш= о»' = 0.

1.4.5.Сфера, температура которой зависит только от радиуса. Хотя в этом случае напряженное состояние является трехмерным,

очевидно, что вследствие симметрии два напряжения (в двух меридиональных плоскостях) равны. Решение получается методом, очень близким к тому, который рассматривался в предыдущих за­ дачах для симметричного распределения температур [1.38]. Для сплошной сферы радиуса Ь

° ' = Т

-

—

(1. 52)

=

+

(1-М )

и для полой сферы внутреннего радиуса а и наружного радиуса Ь

		2Еа	г3— а3	1	1г $ТгЫг ;	(1.54)
		1 — |х I	Ъ3• у	" И Г'* ‘(г~
сга—	2Еа /	2г3 + аэ	±1] Т г Ч г + ± 1		Т г Ч г - ^ - т ) .	(1.55)
0	1 — р. I	2 (63 — о3)

1.5.РЕШЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫХ МЕТОДОВ

Как следует из аналогии Дюамеля, задача определения тем­ пературных напряжений эквивалентна задаче определения на­ пряжений в теле подобной формы, нагруженном системой поверх­ ностных и объемных сил. В двумерном случае она эквивалентна задаче решения неоднородного бигар'монического уравнения (1.28).

Таким образом, все методы расчета, развитые для решения задач теории упругости, могут быть применены к решению задачи о температурных напряжениях, аналогично могут быть исполь­ зованы все известные математические приемы для решения бигармонического уравнения (1.28). В большинстве случаев каждый метод постановки задачи приводит к одним и тем же математи­ ческим особенностям решения. Однако в некоторых случаях тот или иной метод может иметь определенное преимущество в~ отчет­ ливости формулировки задачи или в аналитической процедуре. Прекрасный анализ различных методов, особенно методов реше­ ния задач о температурных напряжениях, дали такие авторы, как Гудьер [1.10], Боли и Уэйнер [1.4], Хорви с сотрудниками [1.17, 1.18] и Гейтвуд [1.8]. Более общие методы, хотя и не специально относящиеся к температурным напряжениям, могут быть найдены в работах [1.38, 1.27, 1.33], применение их к зада­ чам о температурных напряжениях кратко обсуждается в работе

[1.22].

Хотя указанные методы являются точными в том смысле, что каждое из решений удовлетворяет гармоническому уравнению и общее решение может, по-видимому, быть получено суперпозицией достаточного числа таких решений, в некотором смысле они ока­ зываются приближенными, так как точно удовлетворить гранич­ ные условия достаточно сложно. Расчеты становятся громозд­ кими, особенно при использовании корней трансцендентных урав­ нений и сложных комбинаций комплексных чисел. Поэтому на практике результаты являются менее точными, чем полученные приближенными1методами, рассмотренными ниже. Одна из при­ чин этого состоит в том, что в то время, как дифференциальное уравнение всегда удовлетворяется, степень удовлетворения гра­ ничных условий заметно зависит от числа членов суммирования. Кроме того, именно граничные условия составляют специфику

данной задачи, а не бигармоническое уравнение, которое является общим для всех упругих задач. Поэтому лучшие результаты могут быть получены методами, в которых решения получены так, что граничные условия удовлетворяются точно, в то время как точ­ ное выполнение^дифференциального уравнения во всех точках не является строго обязательным. Такой подход описан в связи с рассмотрением энергетических методов, методов конечных раз­ ностей и коллокадии.

1.6.РЕШЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ БАЛОК

1.6.1Исходные положения. Как ранее указывалось, один из наиболее полезных результатов сформулированного метода, в ко­ тором задача о температурных напряжениях заменяется эквива­ лентной задачей с поверхностными и объемными силами, заклю­ чается в математическом упрощении решения. Кроме того, может быть получено простое физическое представление об эквивалент­ ной системе сил. Ярким примером применения такого подхода является использование теории балки.

Хорошо известная инженерная формула а = - ^ - + Му™?к -,

применяемая для определения напряжений в наружных волок­ нах балки, возникающих при действии осевой силы Р и изгиба­ ющего момента М, не строго соответствует решению в теории упругости. Вместо уравнений совместности здесь принята гипотеза плоских сечений. Поворот соседних плоскостей определяет рас­ пределение деформаций, а использование всего двух постоянных дает возможность найти распределение напряжений. Напряжения при этом вычисляют по соответствующим уравнениям равновесия. Несмотря на простоту гипотезы и упрощения в расчетах, к ко­ торым она приводит, теория балок дает очень точный анализ на­ пряжений для тел, длина которых велика по сравнению с любым размером поперечного сечения, и для сечений, относительно да­ леких от концов или мест приложения нагрузок. Причину удач­ ного применения теории балок можно понять при рассмотрении формулы Сивалда [1.311:

*М	М _ / X V ___	10 \	с ) \	(1.56)
йх2	I 2 \ с )

плюс члены, содержащие производные М четвертого или более

высокого порядка,		где Р---- суммарная			осевая нагрузка,	делен­
ная на	площадь поперечного		сечения		(среднее осевое	напря­
ж ен и е);-^ ---- напряжение от изгиба на расстоянии у от						центра'
балки,	изгибаемой	моментом	М в		рассматриваемом	сечении
с моментом инерции I. Очевидно,				что при постоянном или изме­
няющемся линейно по длине балки				моменте, общепринятая фор-

34

во второй и более высокой степени, то появляется погрешность. Если изгибающий момент изменяется постепенно, как это обычно бывает вне зоны непосредственного приложения нагрузки, ошиб­ ка будет малой, так как она зависит только от производных М высшего порядка.

Так как задача о температурных напряжениях может быть заменена задачей с эквивалентными поверхностными и объемными силами, очевидно, что при рассмотрении тела, как балки, напря­ жения в ней могут быть определены по эквивалентной силе и мо­ менту в любом сечении вдоль балки. При этом возникают ошибки, зависящие от производных второго и высших порядков от тем­ пературы по длине балки. Эти ошибки малы, если температура вдоль оси изменяется медленно. Задача сводится к определению эквивалентной силы и момента и к внесению поправок.

1.6.2. Случай I. Балка без изменения температуры по оси. Для того чтобы получить полное представление о применении теории балок на основе аналогии Дюамеля, остановимся на простых примерах, относящихся к упругим системам, изменяющим длину с изменением температуры. Действительно, любая упругая си­ стема может быть рассмотрена как эквивалентная система дискрет­ ных масс и пружин, каждый элемент которой имеет постоянную жесткость Е (модуль Юнга); влиянием коэффициента Пуассона на сечение можно пока пренебречь. Рассмотрим сначала простую систему, показанную на рис. 1.11. Четыре длинные пружины свя­ заны по концам жесткими прямыми брусами. При начальной тем­ пературе (например, равной нулю) все пружины имеют одинако­ вую длину. Затем температура каждой пружины в отдельности увеличивается, как показано на рис. 1.11, а. Если брус, связыва­ ющий пружины справа, временно удален, то пружины могут удли­ няться свободно (рис. 1.11, б). В этом случае напряжения во всех пружинах равны нулю. Очевидно, однако, что это состояние упру­ гой системы не является окончательным, так как правые концы пружины не могут быть соединены прямым стержнем без допол­ нительной деформации. Присоединим их сначала к брусу таким образом, чтобы каждая пружина приняла первоначальное поло­ жение за счет соответствующей силы. Как видно на рис. 1.11, в, такая внешняя сила равна —ЕаТ, где Т — температура. Резуль­ тирующее напряжение в каждой пружине также составляет

—ЕаТ.

Если удалить внешние сжимающие силы и соединить концы пружин жестким стержнем, пружины растянутся до некоторого нового положения-, еще не известного, но удовлетворяющего тому условию, что их концы лежат на прямой линии. Задача заклю­ чается в определении этого положения правой части бруса. Для того чтобы решить эту задачу, поставим дополнительную, приво­ дящую к идентичному решению. Рассмотрим систему пружин в их

первоначальном положении до увеличения температуры, имея в виду, что оба конца пружин присоединены к жестким прямым

.стержням. Приложим к правому стержню систему сил, равных по величине, но противоположных по знаку системе, показанной на рис. 1.11, в. Пусть при этом стержень займет положение, по­ казанное на рис. 1.11, г, так что силы Ееи Де2, Яе3, Де4, сдержи­ вающие растяжение пружин, находятся в равновесии с приложен-

Рис. 1.11. К решению задачи о температурных напряжениях на основе аналогии с системой пружин

ными силами Е аТ и Е аТ 2, ЕаТ3 и ЕаТ^ т. е. дают ту же суммар­ ную силу и момент. Задачу можно легко решить, если учесть, что бх, е2, е3 и е4 связаны линейно. Эта задача по существу подобна задаче определения распределения напряжений в балке. Напря­ жения должны быть определены так, чтобы они уравновешивались известной результирующей силой и известным результирующим моментом при наличии линейного распределения деформаций (так как плоские сечения остаются плоскими). Система напряже­ ний, показанная штриховой линией на рис. 1.11,5, дает распреде­ ление напряжений, возникающих за счет действия системы внеш­ них нагрузок. Однако перед приложением этой системы внешних сил уже существовала система внутренних сил (рис. 1.11, в). Для получения результирующей системы напряжений (рис. 1.11,5) эти две системы напряжений необходимо сложить.

Аналогично определяются напряжения в балке, температура которой постоянна по длине, но произвольна в плоскости попереч­

ного	сечения. Этот				способ определения, напряжений				(рис. 1.12)
заключается в следующем:
1.	Плоскость				поперечного
сечения		делят		на	некоторое
число	элементарных площадок
и к торцу каждого элемента
прикладывают внешнюю элемен­
тарную силу			ЕаТйА, где Т —
температура,				йА — площадь.
Определяют			суммарную				силу
и моменты			относительно				двух
главных		осей		инерции,			полу­	Рис. 1.12. Распределение сил.на торце
чающиеся		в	результате дейст­					лопатки с переменной	температурой
вия системы напряжений.								в поперечном сечении, но постоянной
2.	В любой			точке,		на	рас­	по длине
стояниях		уг и гх			от	главных

осей инерции, напряжения в стержне от системы сил опреде­ ляют по уравнению

а' =	{ ЕаТ йА +	| ЕаТу йА +	1 ЕаТг йА.	(1.57)
	А	У А	А
3. Зная а' и о" = ЕаТ		(Т — температура	в данной	точке),
окончательно	находят
	от	= ст' — о".		(1.58)

Эти результаты справедливы только в плоскостях, удаленных от концов балки. На концах балки осевые напряжения должны равняться нулю. Распределение напряжений вблизи торцов может быть изучено с помощью бигармонического уравнения на осно­ вании методов, изложенных ниже.

Приведенный анализ применим только в том случае, когда свободно осуществляются произвольные перемещения — осевые или изгибные, связанные с системой напряжений а' Если гранич­ ные условия таковы, что препятствуют этим перемещениям или вводят какие-то заданные перемещения, к системе напряжений а следует добавить напряжения, необходимые для получения задан­ ных смещений (см. раздел 1.1.5).

1.6.3. Случай II. Балка с изменяющейся по оси температурой. Когда температура изменяется в осевом направлении, решение становится более сложным, но общий вывод об использовании аналогии Дюамеля для балок сводится к тому, что для определе­ ния напряжений в каждом поперечном сечении могут быть исполь­ зованы уравнения (1.57) с приложением усилий от температур только в пределах рассматриваемого сечения. Осевые температур­ ные градиенты относительно слабо влияют на осевые напряжения.

Рассмотрение двуили трехмерной задачи может быть проведено

сиспользованием данных работы [1.221.

1.6.4.Применение упрощенных формул для балок. Приведен­ ные выше формулы получены без учета поправок на коэффициент Пуассона (1 — р, или 1—2|х), вытекающих из аналогии Дюамеля. Распределение напряжений рассмотрено применительно к одно­ мерным задачам, хотя учтено, что тело и распределение темпера­ туры трехмерно. Теоретического обоснования упрощенного метода нет, однако при сопоставлении его с точными решениями можно получить некоторые оценки. С. П. Тимошенко [1.371 в двумерной постановке рассмотрел случай, когда температура длинной пло­ ской пластины является функцией только поперечного размера у. При этом введена величина (1 — р.) и учтены объемные силы в на­ правлении у. Окончательное распределение напряжений в на­ правлении х оказалось таким же, как и при упрощенной одномер­ ной постановке, когда оба эти условия не учитывались.

Б.А. Боли [1.31 дал изящное решение для длинной плоской пластины, температура которой изменялась в плоскости пластины произвольно, но была, постоянна по ее толщине (размер г мал по сравнению с размерами х и у). Он нашел, что напряжения в любом поперечном сечении (х = сопз1) зависят, в первом приближении,

только от температуры в этом сечении, и окончательное выражение для 0 * согласуется с выражением для упрощенного одномерного анализа по теории балок. Он также вычислил поправочные коэф­ фициенты, зависящие от производных от температуры по длине второго и более высоких порядков, аналогичные тем, которые вытекают из формулы (1.56) Сивалда.

На основе сказанного можно сделать вывод о том, что осевые напряжения могут быть вычислены по уравнениям (1.57) и (1.58) с приемлемой степенью точности для любого тела, которое можно рассматривать как балку, нагруженную механической нагрузкой, даже в случае трехмерного распределения температуры.

1.7.РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ ИЛИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1.7.1.Основа метода. Задачи теории упругости часто рассма­ триваются с помощью методов, которые относятся к вариационным.

Применение вариационных методов при решении упругих за­ дач связано с некоторыми свойствами интегралов, описывающих, энергию, накопленную в упругодеформируемом теле. Накоплен­ ная энергия тела может быть выражена как интеграл (одинарный,

двойной или тройной в зависимости от того, одно-, двухили трех­ мерное напряженное состояние рассматривается). Внешние силы в процессе деформирования также совершают работу. По прин­ ципу сохранения энергии работа, произведенная ими, равна энер­ гии,- накопленной при упругом деформировании. В зависимости от того, какие переменные определены, а какие считаются неиз-

38

вестными, могут быть использованы различные формы записи урав­ нений для энергий и соответственно могут быть использованы раз­ личные разновидности принципа минимума энергии. При расчете температурных напряжений широко распространен принцип мини­ мума дополнительной энергии, который и будет применяться далее.

Принципы минимальной энергии описаны в работах [1.34, 1.61.

1.7.2. Определение дополнительной энергии. Когда элемент объема деформируется под действием напряжений, то в нем на­ капливается энергия. Эта энергия на единицу объема составляет

Га	и соответствует площади, ограниченной кривой напря-

Рнс, 1.13. Дополнительная энергия и энергия деформации как площади, {ограниченные кривыми напряжение — деформация

жение— деформация и осью деформаций (рис. 1.13). Величина, соответствующая площади, ограниченной кривой напряжение —

деформация и осью напряжений, равная |еЛг, также имеет

размерность энергии и может быть названа дополнительной энер­ гией. Как видно на рис. 1.13, сумма энергии деформирования и дополнительной энергии равна произведению конечных значений напряжений и деформаций. Это также следует из тождества

11 (ае) = е йа -(- а йе.

Для обычных упругих задач, в которых деформация пропор­ циональна напряжению, энергия деформации и дополнительная энергия равны (рис. 1.13, а). Целесообразность введения дополни­ тельной энергии, проявляется в нелинейных задачах, когда это равенство не соблюдается (рис. 1.13, б). Различие между этими энергиями значительно в случае температурных напряжений, даже если кривая напряжение—деформация линейна (рис. 1.13, в), так как она смещена вправо на величину аТ. Так, для одноос­

ного напряженного состояния энергия деформации равна

Г(Т6 а дополнительная энергия -^- + аа7\ Дополнительная энергия

широко используется для расчета температурных напряжений

в плоских пластинах при двухосном напряженном состоянии. Рассмотрим выражения для дополнительной энергии, если де­ формации равны:

е*	— №у	1
	Е	аТ-
	Оу — \шх	(1.59)
®у==
Уху	Х х у _ 2 (1	4 - р ) '•ху

После замены и группировки переменных для удобства диффе­ ренцирования получим дополнительную энергию на единицу объема

|	(е* Лт* +		бВу + Хху йуХу) =
= х	1	й° х+	° уйаи ~ ^	+
“Ь ЕаТй (ах оу) -)- 2 (1 -}- р) ххд йхху] =
= 2Ё "Ь ° у		1ЕаТ (<ух+ °у)		-(-2(1 4* р) т\у].	(1.60)
Общая дополнительная энергия во всей области тела
и = Ш Л	1а* +	°1 ~	2р<т,<ту+ 2ЕаТ (ах + ау) +
А	+	2(1 +	Р)т?Ху]<1ус1х,		(1.61)

где суммирование произведено по области А действия напряже­ ний ох, оу и хху. В двумерных задачах для односвязных областей, когда в граничные условия входят только напряжения и распре­ деление напряжений не зависит от коэффициента Пуассона, для простоты выражения можно выбрать произвольные значения р. При р = —1 выпадает член, содержащий хху. Тогда

V —	"гг |	{ 1(а* +	+	2ЕаТ (Ъ +	0^)1 йу Лх.		(1.62)
		А
Если р =	0, то	уничтожается		величина	ажау, в	результате
чего
и = ж	ПА [ ( 4 + ■ °$ +		2т« » + 2ЕаТ <■’ ’		+ » » )]	**■	'63>

1.7.3. Принцип минимума дополнительной энергии. Для ре­ шения упругой задачи необходимо решить уравнения равновесия и совместности, принимая во внимание все заданные граничные условия. Возможен, например, такой способ решения: выбрать ряды функций, каждый из которых удовлетворяет уравнениям

40