книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf§ 5] |
ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА |
181 |
||||
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
S (q>)So2 (ф) = |
inf |
1/2 J Л—1/2vj)p>. |
|
||
|
Т е о р е м а |
5.1. Пусть |
X? — случайный |
процессt |
||
определяемый уравнением (5.1). Функционал SQT(ф) являет |
||||||
ся |
функционалом действия для семейства |
процессов Xе |
||||
в |
пространстве |
С ог(#г); |
нормирующий |
коэффициент |
№= 8-2.
До к а з а т е л ь с т в о . Так как оператор Вх непре
рывно действует из LOT(R1) в СотСЮ» а функционал
действия семейства eS в LlT{Rl) имеет вид (5.2), то в силу теоремы 3.1 гл. 3 функционал действия семейства процес
сов |
X е = |
Вх(г£) |
ПРИ в -►О в |
пространстве |
|
C0T{Rt) |
за |
|||||||
дается формулой |
5*т(ф) = |
inf 1/21А~1/2ф||1». |
|
|
||||||||||
|
П р и м е р 5.1. |
Пусть |
ВЖ<Ф>=-Ф |
и система |
|
(5.1) |
||||||||
|
г = |
J = 1 |
|
|||||||||||
имеет вид X® = |
— arctg (X® — eSj), |
X® = х. |
Оператор |
|||||||||||
Вх в этом случае имеет обратный: |
Вх (cp) =tg ф +q>. |
|||||||||||||
Функционал |
действия |
для |
семейства |
процессов |
X* за |
|||||||||
пишется |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5ог(ф)= 4 - j M |
1/2 (tg Фа + |
Фа) |2*, |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
о |
оператор процесса |
Si- |
|
|
||||
А — корреляционный |
|
|
||||||||||||
|
Например, если St — винеровский процесс то |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
||
$от(Ч>) = |
4 J |-я - (tg Фа + Фа) Рds |
Фа |
|
+ Фа |
ds. |
|||||||||
COS2 ф |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Зная функционал действия, можно находить скорость |
|||||||||||||
стремления |
к |
нулю |
вероятностей |
различных |
собы |
|||||||||
тий, связанных с возмущенной системой |
на конечном |
|||||||||||||
отрезке |
времени, |
получая |
результаты, |
аналогичные |
||||||||||
теореме |
1.2 |
(см. Н г у е н |
В ь е т |
Ф у |
|
[1], [2]). Ес |
||||||||
ли |
возмущения |
носят |
стационарный |
характер,; |
можно |
надеяться также получить результаты о наиболее вероят ном при малых е поведении траектории Х\{х) возмущен
182 |
ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ |
[ГЛ 4 |
ной системы на растущих с уменьшением е или бесконеч ных отрезках времени, аналогичные результатам §§ 2, 4.
Например, пусть О — асимптотически устойчивое по
ложение равновесия системы xt = b(xt), к которому при тягивается область Z), на границе которой поле Ь(х) направлено строго внутрь области. Рассмотрим момент
тр(я) = min {t ^ |
0 : Xf (х) D} первого |
выхода |
из D. |
Мы можем попытаться доказать аналог теоремы 4.1: |
|||
lim е2 In Мте (л:) = |
У0 = inf { S QT (ф ): ф0 = |
О ч |
|
е->0 |
Фг е dD; Т > 0}. |
(5.3) |
|
|
Однако сразу становится ясно, что это не так-то просто. Прежде всего, анализ предполагаемого плана доказа тельства показывает, что на роль предела е2 In МтД.г) с тем же основанием может претендовать и
Уо = inf {S - оо,г(ф): фt = # , — оо < t < 0, фг е dD; Т > 0}.
В случае марковских возмущений У0 и Уо очевидным об разом совпадают, но в немарковском случае это может быть не так. Далее, при доказательстве теорем 2.1, 4.1, 4.2 использовалась конструкция с циклами, разбивающая
траекторию марковского процесса Xf на участки, зависи мость между которыми легко учитывалась и оказывалась достаточно мала. Для произвольного стационарного воз мущения е£* ничего подобного, разумеется, не будет; необходимо наложить на стационарный процесс £* те или иные условия ослабления зависимости с течением вре мени. Так как речь идет о вероятностях, стремящихся к нулю (вероятностях больших уклонений^ условие силь ного перемешивания
8ир||Р(Л П В )-Р (Л )Р (В )| :
^ ос (t — s) 0 (t — s —>■оо)
оказывается недостаточным; нужны более тонкие усло вия. Эти вопросы рассматриваются в работах Г р и н я [1], [2]; в частности, для определенного класса процес
сов Xt нижние грани У0 и VQсовпадают, и выполнено (5.3).
Г Л А В А 5
ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ
КМАРКОВСКИМ ПРОЦЕССАМ
§1. Преобразование Лежандра
Вэтой главе мы будём рассматривать теоремы об асимптотике вероятностей больших уклонений для мар ковских случайных процессов. На такие процессы можно смотреть как на обобщение схемы суммирования незави симых случайных величин; конструкции, которые исполь зуются при исследовании больших уклонений для марков ских процессов, обобщают конструкции, встречающиеся при изучении сумм независимых слагаемых.
Первые общие предельные теоремы для вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных вели
чин содержатся в статье К р а м е р а 11]. Основное пред положение в этой работе — предположение о конечности экспоненциальных моментов, а результаты можно сфор мулировать в терминах преобразований Лежандра некото рых выпуклых функций, связанных с экспоненциальными моментами случайных величин.
Семейства случайных процессов, которые рассматри ваем мы, являются аналогами схем сумм случайных вели чин с конечными экспоненциальными моментами, так что преобразование Лежандра оказывается существенным и для нашего случая. Рассмотрим сначала это преобразова ние и его применение к семействам мер в конечномерных пространствах.
Пусть Н(а) — выпуклая вниз полунепрерывная снизу функция от г-мерного векторного аргумента, принимаю
щая |
значения из (~ оо, |
+оо] и |
не равная тождествен |
но |
+ оо. (Заметим, что |
условие |
полунепрерывности — |
и даже непрерывности — автоматически выполняется при
184 |
Ма р КОВСЖЙЁ в о з м у щ е н и й |
[ГЛ. 5 |
|
всех а, |
за исключением границы множества |
{а: Я(а) <С |
|
< оо}.) |
Преобразование |
Лежандра ставит этой функции |
|
в соответствие функцию, |
определяемую формулой |
||
|
£(P) = sup[(a, Р) — Н (а)],; |
(1.1) |
a
где (a, Р) = 2 a iP — скалярное произведение.
г=1
Легко доказать, что L — опять функция того же клас са, что Я, т. е. выпуклая вниз, полунепрерывная снизу,, принимающая значения из (— оо, оо] и не равная тождест венно +°°* Следующие свойства преобразования Лежанд ра можно найти в книге Р о к а ф е л л а р а [1]. Преоб разование Лежандра обратно само себе:
Я (a) |
= s u p [ ( a , P ) - L ( P ) ] |
(1.2) |
|
(3 |
|
( Р о к а ф е л л а р |
[1], теорема 12.2); функции |
L, Я,, |
связанные соотношениями (1.1)—(1.2), называются сопря* женными, что мы будем обозначать так: Н(а)++ Ьф). В точках а0, внутренних для множества {а : Я(а) < о о} относительно его аффинной оболочки, функция Я суб дифференцируема, т. е. имеет (вообще говоря, не единст
венный) субградиент — вектор |
ро такой, что |
при всех а |
Я (а) > Я(а0) + |
(а — а0, р0) |
(1.3) |
( Р о к а ф е л л а р [1], теорема 23.4; говоря геометри чески, субградиент — это угловой коэффициент неверти кальной опорной плоскости к множеству точек над гра фиком функции). Неоднозначное отображение, ставящее
всоответствие точке множество субградиентов функции
Яв этой точке, обратно такому же отображению для функции L; т. е. выполнение (1.3) для всех а равносильно выполнению для всех (3 неравенства
|
Щ ) > Щ о) + |
(a0f Р - |
Ро) |
(1.4) |
||
( Р о к а ф е л л а р |
[1], |
теорема |
23.5, |
следствие |
23.5.1). |
|
Функция L(p) |
оо |
при |
|р |—> оо тогда и только |
тогда,; |
||
когда Я(а) < |
оо в |
некоторой окрестности точки |
а = 0. |
§ И |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА |
185 |
Для гладких внутри своей области конечности функ ций //, L нахождение сопряженной функции сводится к классическому преобразованию Лежандра: находится
решение а = аф) уравнения V //(а) = |3, и £ф) |
находит |
ся по формуле |
|
L(P) - (аф), (3) - Я(аф)); |
(1.5) |
при этом аф) = VZ/ф). Если одна из сопряженных друг Другу функций непрерывно дифференцируема п ^ 2 раз,; и матрица вторых производных положительно определе на, то столь же гладка и другая, и матрицы вторых про изводных в соответственных точках обратны друг другу:
П р и м е р |
1.1. |
Пусть Н{а) = г(еа — 1) + 1(е~а — 1), |
|
а е R1; |
г, |
I > 0. |
Решаем уравнение Н'(а) = геа + |
+ 1е~а = |
р, находим |
] / p 2 + 4r/ + r + 1
Оказывается, грубая асимптотика семейств вероятност
ных мер в Rr может быть связана с преобразованием Ле жандра логарифма экспоненциальных моментов. Следую щие две теоремы заимствованы с некоторыми изменения ми у Г е р т и е р а [2], 13].
Пусть рЛ — семейство вероятностных мер в Rr; по ложим
Hh(а) = In J exp {(а, х)} р,л (dx).
Функция Hh выпукла вниз: в силу неравенства Гёльдера при 0 < с < 1
Hh(сах + (1 — с) а2) =
= In j exp [с (аи х)} exp {(1 — с) (ait х)} цА (dx) < йг
186 |
МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ |
[ГЛ. 5 |
= cHh(с^) + (1 — с) Нк(аг)-
она полунепрерывна снизу (легко доказывается с по мощью леммы Фату), принимает значения из (—оо, + 0°]
и не равна тождественно + оо, так как Яh(0) = 0 . |
* |
Пусть K(h) — числовая функция, стремящаяся к |
+оо |
при h 1 0. Предположим, что при всех а |
существует |
предел |
|
Н (а) = lim X(h)~'Hh (X (h) а). |
(1.6) |
h 10 |
|
Эта функция также выпукла вниз, и Я(0) = 0; потре буем, чтобы она была полунепрерывна снизу, нигде не обращалась в —оо и была конечна в некоторой окрест
ности точки ос = 0. Пусть |
L (р)-^Я (а). |
|
|
|||||||
Т е о р е м а |
1.1. Для семейства мер р/1 и функций К |
|||||||||
и L выполняется условие (II) § 3 |
гл. 3, |
т. е. для любых |
||||||||
8 > |
О, |
у > О, |
S > 0 |
существует h0> |
0 |
такое% что при |
||||
всех |
h |
h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|ifc{У: Р(У, |
Ф(«)) > 6} < ехр |
{-Х(Л)(5 - |
у)}, |
(1.7) |
|||||
где |
Ф(я) = {р: Щ ) < s}. |
Множество |
O(s) |
представ |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||||
ляется |
в виде |
несчетного |
пересечения полупространств |
|||||||
|
|
Ф(5) = |
П {р: (а, |
Р) - |
Я(а) < |
*}. |
|
|
||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Это |
множество |
компактно, |
потому что функция L полу |
|||||||
непрерывна снизу и стремится к |
+ « |
на бесконечности. |
||||||||
Рассмотрим границу 6-окрестности 0(.s) |
|
|
|
|||||||
|
|
дФ+6(«) = {у: р{у, Ф(я)) |
= |
6). |
|
|
Для каждой точки у этого компактного множества сущест
вует ос |
такое, что |
(ос, у) — Н(у) > 5. |
Итак, |
открытые |
полупространства |
{у: (ос, у) — Н{ос) > |
s} |
покрывают |
|
компакт |
дФ+ь («)• |
Выбираем из этих |
ос конечное число |
|
оСц . . |
ссп; получаем, что выпуклый многогранник |
|||
|
.П |
{у- (аа г/) - # ( a * X s} |
|
|
|
i= l |
|
|
|
§ 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 187
содержит Ф($) и не пересекается с 5Ф_|_fi(s). Отсюда выте кает, что этот многогранник целиком лежит в 6-окрест-
ности множества |
Ф(я). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пользуясь экспоненциальным неравенством HeebnneBaj |
||||||||||||
получим |
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ {г/-*Р (2/хФ И )> 6}< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
< V>h( .и1 |
{у- (а„ у) - |
я (а,) > |
s})< |
|
|||||||
|
|
< |
2 |
|
{у- («i, у) — |
н |
(«0 >«} < |
|
|
||||
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
J ехр {X (h) [(<*„ у) - |
н |
(а,) - |
|
s]> |
(dy) - |
||||||
|
i=>1 RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
2 |
exp (X (h) [X (h)~iHh(X {h) a,) - |
|
|
|||||||
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Я (a,)]] exp { — X(h) s}. |
|||||
Отсюда, принимая во внимание (1.6), получаем (1.7). |
|||||||||||||
|
Будем называть выпуклую вниз функцию L строго |
||||||||||||
выпуклой в точке ро, если существует |
а0 такое* |
что |
|||||||||||
|
|
|
Щ ) > |
L(p0) |
+ («о, |
Р - |
Ро) |
|
(1.8) |
||||
для всех |
Р =*£ РоДля того, чтобы функция L была строго |
||||||||||||
выпукла |
во |
всех |
точках, |
внутренних |
для |
множества |
|||||||
{Р: Цр) <С оо} |
по |
отношению |
к |
его аффинной |
оболочке |
||||||||
(в |
обозначениях |
книги Р о к а ф е л л а р а |
[1 ], |
§§ 4, 6, |
|||||||||
в |
точках |
из |
множества ri (dom L)), |
достаточно, чтобы |
|||||||||
функция Я, сопряженная к L, была существенно гладка, |
|||||||||||||
т. е. чтобы множество |
{а: Я(а) < |
оо} |
имело внутренние |
точки, функция Я была дифференцируема в них, и чтобы, если последовательность точек а* сходится к точке гра
ницы множества |
{а: Я(а) < |
оо}, то было бы |УЯ(а*)| -> |
-> оо (см. Р о к а ф е л л а р |
11], теорема 26.3). |
|
Т е о р е м а |
1.2. Пусть |
выполнены предположенияг |
наложенные ранее на рЛ, Hh и Я. Пусть, кроме того, функция L строго выпукла в точках, образующих в {р: Ь(р) < оо} всюду плотное множество.
188 |
МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ |
|
|
[ГЛ. 5 |
|||
Тогда для семейства мер |
и функций % и L выпол |
||||||
няется условие (I) § 3 гл. 3, т. |
е. для любых 6 > 0, |
у > |
О |
||||
и г е й г |
существует |
hQ> |
0 такое, что |
при |
h < |
Л0 |
|
^ { 1/: р(г/, х) < 6 } > |
ехр |
{ —Х(А)Щх) |
+ |
7 ]}. |
(1.9) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
Достаточно |
проверить ут |
|||||
верждение |
теоремы для |
точек х, в которых |
функция |
L |
строго выпукла. Действительно, выполнение утвержде ния теоремы для таких х равносильно его выполнению для всех я, той же функции X и функции Ь(х), определяе мой как Ь(х), если функция L строго выпукла в точке х,: и как + оо в противном случае. В тех точках, где L(x) <С
< |
Цх), |
нужно |
воспользоваться тем, что L (х) = Иш L (у)л |
||
|
|
|
|
у->х |
|
и замечанием, сделанным в § 3 гл. 3. |
|
||||
а0 |
Пусть в точке х функция L строго выпукла. Выбираем |
||||
так, |
чтобы |
L(p) > L(x) + (а0, |
(5 — х) при |
(3 Ф х. |
|
При этом |
|
|
|
||
|
н К ) = sup [(а0, Р) - L (Р)] = |
(а0, х) — L (х). |
(1.10) |
Раз Н(а0) конечно, то и Hh(X(h)а0) конечно при достаточ но малых h. Рассмотрим для таких h вероятностную меру
^ ,а°, определяемую соотношением
^•а° (Г) = f exp [l (h) (а0, у) - Hh (К(h) а0)) у* {dy).
Г
Пользуемся взаимной абсолютной непрерывностью мер
[ih и
|
р(у, х) < |
6} |
= |
|
= |
J |
ехр {— %(к)(а0, у) + Hh (X(h)a0)} |
(dy). |
|
|
{V-P(V,x)<6} |
|
|
|
|
|
|
|
(1. 11) |
Положим б' = |
б Д -у/3 |ot01 и оценим интеграл (1.11) сни- |
|||
8у |
произведением |
р,л-“ »-меры б'-окрестности |
точки х |
§ И |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА |
189 |
на нижнюю грань функции под знаком интеграла: |
||
{У’ Р (у, х) < |
6} > р'1'" 0{у- Р (у,, х) < б'} X |
|
X ехр (— X (^)[(сс0, х) — X (h) ~~lH (X (h) а0)]) |
X |
|
|
X ехр|— Х(/г)-|-|. |
Второй множитель здесь в силу (1.6), (1.10) при достаточ
но малых h не меньше, чем exp { —Я(/г)[£(;г) + |
у/3]. |
Если |
||
мы |
проверим, что |ih'a°{y: p(j/, х) < 6'} |
-> 1 |
при |
h | 0, |
то |
все будет доказано. |
1.1 |
в примене |
|
|
Для этого мы воспользуемся теоремой |
нии к семейству мер pA’a°. Вычисляем характеристики этого семейства:
(а) = In J ехр {(с*! у)} (dy) =
RT
= Hh(a + X(h)a0) - H h(X(h)a0,);
Яа° (a) = lim X (h)~lHh’ai>(X (h) a) = Я (a0 + a) - Я (au); h10
La« ( P ) = b ( P ) - [ ( a 0, P) — Я (a0)].
Функция La°(P) обращается в нуль в точке р = х и всю
ду неотрицательная (так как Я а°(0) = 0). Эта функция вслед за L(P) строго выпукла в точке х\ отсюда вытекает,
что La°(P) строго положительно при всех р Ф х, и
Yo = min (La° (р): р (р, х) > б'/2) > 0.
Пользуемся оценкой (1.7) с 672 вместо б, положительным у < у0 и s ^ (у, Уо)-* пРи достаточно малых h
p(ff, z ) > 6 ' } <
< { У: P (У, Фа° («)) > б'/2} < ехр { - X (h) (s - у)},
что стремится к нулю при h | 0.
Таким образом, если выполнены условия теорем 1.1—
1.2, то |
K(h)L(x) — функция действия для семейства мер |
|хл при |
h | 0. |
190 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
Следующий пример показывает, что требование стро гой выпуклости функции L на множестве, всюду плотном
в {(3: L(P) < |
оо}, |
нельзя |
отбросить. |
П р и м е р |
1.2. Для |
семейства распределений Пуас- |
|
[хл (Г) = ^ |
h^e—^ \ |
имеем: Нп(а) = А*(е* — 1). Ес |
|
— I |
ли мы будем интересоваться значениями h, стремящи мися к нулю* и положим %(h) = —In ht то получим
Н (а) = |
lim (— In h) 1 In Hh(— a In К) = |
||
|
h: о |
|
л_ а + 1 _ h |
|
|
= lim |
|
|
|
<= In A |
|
|
|
МО |
|
L(P) = |
+ °°i |
P < 0 « |
|
|
P, |
p > o . |
|
/ 0, |
а < 1 , |
1+ 00* а > 1;
Однако нормированная функция действия, найденная на ми в § 3 гл. 3, отлична от + оо только для целых неотри
цательных |
значений аргумента. |
|||
Другой пример: возьмем не выпуклую вниз непрерыв |
||||
ную |
конечную |
функцию S(x) такую, что S(x)/\x\ -> оо |
||
при |
\х\ -* оо, |
min S(x) |
= 0, и возьмем в качестве \ih |
|
вероятностную |
меру с |
плотностью C(h) exp { —X(h)S(x)}, |
||
где X(h) -> |
оо при h j, 0. Здесь нормированной функцией |
действия будет S(x)\ но преобразование Лежандра функ ции
Я (а) = limX (h) 1In j* exp {X (h) (a, z)} \ih(dx) /но
будет равно не S(x), а нижней выпуклой оболочке L(x) этой функции. В тех областях, где функция S не выпукла вниз, функция L будет линейна и, значит, не строго вы пукла.
Следующие примеры показывают .применение доказан ных теорем к получению грубых предельных теорем о больших уклонениях для сумм независимых случайных величин. Разумеется, их можно (по крайней мере в одно
мерном |
случае) вывести из точных результатов К р а |
м е р а |
[1 ]. |