книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§ 5]	ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ	61
этому	Lu(Xs) = f(Xs) — c(Xs)u(Xs), и значит,	при t = т

два последних члена в правой части равенства, получен­ ного с помощью формулы Ито, взаимно уничтожаются. Случайная величина т является марковским моментом от­ носительно а-алгебр j f t. При сделанных предположениях

относительно области и процесса Мхт< К <			оо. Отсюда
следует, что
М* | (eY$Vu (* .),		О (Xt) dw$) = 0.
Учитывая эти замечания, получаем, что
X			в
Мж«(Х х)е°	- u ( x )	= Mx \f(Xs)e°	ds.
		о

Отсюда вытекает наше утверждение в случае, когда и(х) можно гладким образом продолжить на все пространство Rr. Чтобы получить доказательство в общем случае, сле­ дует аппроксимировать область D расширяющейся после­ довательностью областей Dn a D с достаточно гладкими границами dDn. В качестве граничных функций следует выбирать значение функции и(х) — решения задачи Ди­

рихле в Z), на dDn.				с(х)	= 0,
Отметим некоторые частные случаи. Если
ф(з) = 0 и f(x) = —1 , то и(х) = М*т. Функция				и(х)	есть
единственное решение	задачи
Lu(x) = —1	при ж е О ,		и(х)\dD = 0.
Если с(х) == 0, f(x) =	0,	то для и(х) = M3C'i))(X1)		получаем
задачу
Lu(x)	=	0, x e f l ;	и(х)\dD = ф(.г).
Если с(х) > 0, то, как известно, задача Дирихле может
«выйти на спектр»; решение уравнения Ьи +				с(х)и = 0

с нулевыми граничными условиями может быть в этом

случае не	единственным.	Однако если с(х) ^ с0	< оо,
и МхеСоХ<	оо при i e f l ,	то можно доказать, что	реше-

62 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. 1

ние задачи Дирихле единственно и для него сохраняются формулы, дающие представление в виде среднего значе­ ния функционала от соответствующего процесса (X а с ь-

м и н с к и й	[2]).	Доказывается, что sup {с:	Мхесг <
< оо } =	— наименьшее собственное значение		задачи:
— Lu = Хги, и\д1) =		0.

Представление в виде среднего значения функционала от траекторий соответствующего процесса можно дать для решения смешанной задачи для параболического уравне­ ния. Например, решение w(t, х) задачи

=Lw,	t > 0 ,
w (0 , х) = / (z), i e Z ) ;	w (t, x) |t>o,*saD = ^ (*)

при некоторых предположениях о регулярности коэффи­

циентов оператора,	границы области D и функций f(x)
и ф(х) представимо	в виде

w{t, х) = Мж{т>г; f(Xt)} + гК* т) }•

На приведенные в этом параграфе формулы, связыва­ ющие средние значения некоторых функционалов от диф­ фузионного процесса и решения соответствующих крае­ вых задач, можно, с одной стороны, смотреть как на способ вычисления этих средних значений путем решения диф­ ференциальных уравнений. С другой стороны, с помощью прямых вероятностных методов можно изучить свойства функционалов и их математических ожиданий, чтобы затем использовать эту информацию для исследования решений краевых задач. В нашей книге будет преобладать вторая точка зрения.

Представление в виде математического ожидания функ­ ционала от траекторий соответствующего процесса можно дать и для решений ряда других краевых задач, например

для задачи Неймана,	третьей краевой задачи ( Ф р е й д -
л и н [3], И к е д а	[1]).

Обратимся теперь к поведению диффузионного процес­ са при t — о о . Будем для простоты считать, что матрица диффузии и вектор переноса состоят из ограниченных, удовлетворяющих условию Липшица элементов и

гг

2	к > 0, при х <= Rr и всевозмож-

i,j=l

%51	ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ	63
ных вещественных	%г. Такой невырождающийся

диффузионный процесс может иметь траектории двух ви­

дов:	или траектории X t((o),	уходящие на бесконечность
при	оо с вероятностью	Рх = 1 при любом х е	Rr;
или траектории, которые с вероятностью Рх = 1, х ^			Дг,

после произвольно большого t возвращаются в фиксиро­

ванную ограниченную			окрестность,		хотя Px{lim	|Х*| =
= оо) = 1 .					t—юо
Диффузионные процессы, имеющие траектории второго
типа,	называются	возвратными.		Процессы, у		которых
Px {lim	|Х*| = оо) = 1,		называются		невозвратными. Не-
t-ю о	доказать,	что	траектории	возвратного процесса
трудно
с вероятностью Рх = 1			при любом		ж е й г побывают в

в каждом открытом множестве фазового пространства. Обозначим т = inf {/: |Х*| <; 1} первый момент дости­ жения единичного шара с центром в начале координат;

для возвратного процесса Рх{т <		оо } = 1. Если М*т < оо
при любом х е Лг, то	процесс	(X t, Рх) называется поло­
жительно возвратным;	в противном случае — возвратным

нулевым. Примером возвратного нулевого процесса слу­ жит винеровский процесс в R1 или в R2. Винеровский процесс в Rr при г ^ 3 невозвратен. Если проекция пере­ носа Ъ(х) на радиус-вектор, соединяющий начало коорди­ нат с точкой х, отрицательна и ограничена снизу по абсо­ лютной величине равномерно для всех точек х е Rr, лежащих вне некоторого шара, то процесс (Х ь Рх) будет положительно возвратен. Можно дать и более сильные достаточные условия возвратности и положительной воз­ вратности в терминах так называемых барьеров — неотри­ цательных функций V(x), х ^ # г, для которых LV(x) имеет определенный знак и которые специальным образом ведут себя на бесконечности. Возвратность и невозврат­ ность диффузионного процесса тесно связана с постанов­ кой краевых задач для оператора L в неограниченных областях. Так, например, внешняя задача Дирихле для оператора Лапласа в /?2, где соответствующий процесс возвратен, имеет единственное решение в классе ограни­ ченных функций, а чтобы выделить единственное решение внешней задачи Дирихле для оператора А в Я3, необходи­ мо задавать предел решения при \х\ -» оо.

[i(dx)P(t} х, Г) = И'(Г). Эта мера имеет плотность

64	СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	ГГЛ С
	Доказывается, что если диффузионный	процесс

(X*, ?х) положительно возвратен, то он имеет единствен­ ное стационарное распределение вероятностей ц(Г), Г <= <Г,т. е. вероятностную меру, для которой С/*ц(Г) =»

■=* J

R r

т(х)1 которая есть единственное решение задачи
Ь*т (х) =	0	при i s	Rr, т (х) >	О, J* т (х) dx =	1.
				R r
Здесь L* — оператор,			формально	сопряженный	с L:
	V	92	(ai; (х) т (я))	г
L*m (х) =				(b'(x)m(x)).
2		д х 'д х }

Для положительно возвратных диффузионных процессов справедлив закон больших чисел в следующей форме:

г	Г
РX- lim 4 r [ f ( X s) ds		= 1
Г-юс 1	t)

при а ; е й г для любой ограниченной измеримой функции f(x) на Rr.

Процесс X?, t е [0, Г], определяемый стохастическим дифференциальным уравнением

* ? = Ь(Х?) + а (Х?)ш(, Хх0 = х,

так же как и всякий случайный процесс, индуцирует не­ которое распределение вероятностей в пространстве тра­

екторий. Так как траектории процесса							X*	непрерывны
с вероятностью			1 ,	то это	распределение			сосредоточено
в пространстве Сотнепрерывных						функций,		обращающих­
ся в	а: при	t =	0.	Обозначим		\ix меру	в	пространстве
Сот,	соответствующую процессу					X Р а с с м о т р и м			вместе
с процессом		X?	процесс		У?,	удовлетворяющий			стоха­
стическому дифференциальному уравнению
	YГ =	Ъ(У?) +		а (У?) щ +		/ (f,	YQ = *.

§ 5]	ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ	65
Процессы	У? и Xf совпадают при t =* 0;	отличаются

они вектором переноса /(£, Y t). Пусть р,у —мера в Сот, соответствующая процессу У*. Весьма важным для нас будет вопрос о том, когда меры \хх и цу абсолютно не­ прерывны друг относительно друга и каков вид плотности одной меры по другой. Предположим, что существует r-мерный вектор <р(£, х) с ограниченными по абсолютной величине компонентами такой, что а(х)ф(^, х) = f{t, х). Оказывается, что в этом случае меры \ix и ру абсолютно

непрерывны друг относительно					d\iy
				друга и плотность ^—
имеет вид
		т*		т
			( ч > ( < . х а , & - , ) - Н 1ф ( ' . ат) р л }
( Г и р с а н о в		[1],	Г и х м а н	и С к о р о х о д	[11).
В	частности,	если	матрица коэффициентов диффузии
а(х)	= о(х)о*(х)	равномерно не вырождается при х е			R\

то меры \ix и jiiy будут абсолютно непрерывны друг отно­

сительно	друга	при	любом ограниченном			измеримом
f{t, х).	Если	X* =	х	+	wt — вннеровскии	процесс и
У? = х + wt +		j* f(s)ds,		то
		о
		[ т			т	ч
SJIJ = exp j |			(/ (s),		dws) - 1 j |/ (s) I**J.

T

Последнее равенство справедливо, если J |/(s)|2ds<; <х>. oJ

3 А. Д. Вснтцель, M. Ц. Фрейдлщ*

Г Л А В А 2

МАЛЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ

§ 1. Нулевое приближение

Рассмотрим в пространстве Rr систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Xf = b(X ?,egt),	Хо = х.	(1.1)
Здесь £t{со), t ^ 0 ,— случайный	процесс	на вероятност­

ном пространстве {Q, ST, Р}, со значениями в Rl\е — ма­ лый числовой параметр. Мы предполагаем, что траекто­ рии процесса Et((o) непрерывны справа, ограничены и имеют не более чем конечное число точек разрыва на

каждом отрезке 10,	П ,	Т < оо.	В точках	разрыва
где уравнение (1 .1),	как	правило,	не может	быть выпол­

нено, мы налагаем требование непрерывности Xf. Вектор­ ное поле Ь(х, у) = (Ъ\х, у), . . br(z, у)), z e i? r, yei?*, предполагается непрерывным по совокупности перемен­ ных. При этих условиях решение задачи (1.1) существует при почти всех соей во всяком случае на достаточно малом отрезке 10, Т] , Т = Т(со).

Пусть Ь(х, 0) = Ь(х). Мы рассматриваем случайный

процесс Xz как результат малых случайных возмущений системы

	xt = b(xt), х0 =		х.		(1.2)
Т е о р е м а	1.1.	Предположим,	что	векторное	поле
b(x, I/), х е Яг,	у е	R1, непрерывно, и		уравнение	(1.2)

имеет на отрезке [04 Т] единственное решение. Тогда при

в И

НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

67

достаточно малых е решение уравнения (2 .1) определено при t е [О, Т] и

Этот результат, собственно говоря, не носит вероят­ ностного характера и относится к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем приводить подробное доказательство, заметим только, что сущест­

вование решения Xf на всем отрезке [О, Т\ следует из анализа доказательства теоремы Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения (см., например, К о д д и и г т о н и Л е в и н с о н [1 ]), а сходимость вытекает из теоремы Арцела о компактнос­ ти множеств в С0т, если учесть, что решение уравнения (1.2) единственно.

Рассмотрим теперь в пространстве RT стохастическое дифференциальное уравнение с малым параметром

Xt = b{X^ + sa{X^)wt, Хе0 = х.

(1.3)

Это уравнение можно было бы считать частным случаем уравнения (1.1) с Ь(х, у) = Ъ(х) + о(х)у, однако вместо у здесь подставляется процесс белого шума, траектории которого не только не непрерывны, но и вообще являются обобщенными функциями. В связи с этим вопрос о схо­

димости решения уравнения (1.3) к решению			уравнения
(1.2) , которое	получается при е =	О, нужно	рассматри­
вать отдельно.	1 .2 . Предположим,	что коэффициенты
Т е о р е м а

уравнения (1.3) удовлетворяют условию Липшица и растут

не	быстрее чем линейно:
2	[Ь*(х) -	Ь*(у)]2 +	2	[aj (X) -	о) (J/)]2 <	К* IX - у |«,
i			i,j
	2	[*>г (* )]2 +	2	Ы (х)]2 <	к* (1 +	1х р).
	г		i ,j

Тогда при любых t >> 0, б > О

3*

68	возмущения на конечном отрезке времени		(ЕЛ. 2
где	a(t)— монотонно	возрастающая функция,	которая
выражается через \х\		и К.
	Для доказательства нам понадобится следующая лем­

ма, которую мы неоднократно будем использовать и в

дальнейшем.	1.1.	Пусть	m(t), ( е [О,			Т],— неотрица­
Л е м м а
тельная функция*		которая		удовлетворяет соотношению
		t
m (t)^ C +			m(s)ds,		t е	[О, Г]*	(1.4)
		о
еде Сх а >> 0.	Тогда при ( е			[0,	Т]
		m(t) <		Ceat.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Из	неравенства		(1.4) по­
лучаем

Пропнтегрировав обе части от 0 до t, придем к следующе­ му соотношенпю:

In

In С at£

откуда следует* что

%

С + а [ m (s) ds ^ Ceai.

6

Из последнего неравенства и (1.4) вытекает утверждение леммы.

Переходим теперь к доказательству теоремы. Пока­

жем, что М|Х*|2 ограниченно равномерно по		е е	[0, 1].
Для этого применим формулу Ито (см. § 3 гл.		I)	к функ­
ции 1 +	|Х?|2. Из этой формулы, учитывая	обращение
в дуль	математического ожидания стохастического ии-

§ И	НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИИ	69
теграла,	получим
1 + М К	|2= 1 + И 2 + 2 f M {x Slb(x!))dse	+
	О
	+ е2| M 2	[o j(X sE)]2ds.

Так как коэффициенты уравнения (1.3) растут не быстрее чем линейно, то из последнего соотношения вытекает оценка

1 -(- М | Xt |2 ^ 1 + | х |2 -f-

+	2 ( M l/|Al|2X- (l		+ |A’3e|2)ds +
	О
	t
+	e*A'2 j’ (l + M |XE|2) d s < l + М 2 +
		(2К +	t	М | Х\ I2) da.
	+		е2Х 2) f (1 +
			О
Отсюда на основании леммы 1.1			заключаем, что
1 + М | Xet \2<		(1 + | * |2)		(1.5)

Теперь применим формулу и возьмем от обеих частей ожидание:

Ито к функции |Х* — xt \1 равенства математическое

м | х? - *, |2 = 2 f М (X е-	Ь(X е) -	Ъ(*,)) ds +
О
	+ е2 ( М 2 № (X.8)]2 da.
	е	i.j
Из этого соотношения следует, что
м | х ? - * , | 2<
t		t

< 2КI М I Xе - X, fds + е2Х 2 f (l + М 1Xе|2) ds,

70	возмущений на конечном отрезке времени			[Рл. 2
и	вследствие	леммы	1.1
	М |Xе, -	xt |2 <	еш •e2X 2 J (1 -Ь М |X? |) ds.
			о

Объединяя последнее неравенство п(1.5), получаем пер­

вое утверждение	теоремы:
		t
МI X? - X, I2 <	г2К2е2К>(1 +	|a f) J ***+VJP»ds< с2а (/).
		о
Докажем теперь второе		утверждение теоремы 1.2.

Из определения А® и xt следуем что max |А® —

t

<f |Ь(A®) — Ъ(xs) I ds + c max

о

Из неравенства Чебышева и первого утверждения теоре­ мы вытекает оценка первого слагаемого правой части (1 .6):

Г t	42
< 46“ 2М ^\b{Xea) - b ( x s)\ds		<
.0
t	*f12ds <
< AtКЧ~г J МI х; -
0
t
< AtK25~2e2 j a (s) ds = e2		(f). (1.7)

Оценка второго слагаемого в (1.6) проводится с по­ мощью обобщенного неравенства Колмогорова для сто-