книги / Метрологическая обработка результатов технических измерений

	Команда		1
<		&	Индика­ ция
о
V		в*
в*
О .
00	П2	42
01	ХУ	14
02	П1	41
03	Сх	ОГ
04	П4	44
05	П5	45
06	П6	46
07	П7	47
08	П8	48
09	П9	49
10	С/П	50	0
11	ПО	40
12	ПЗ	43
13	КИП4	Г4
14	ИП4	64
15	С/П	50	1
16	ИП2	62
17	—	11
18	пв	4Ь
19	ХУ	14
20	ИП1	61
21	—	11
22	ПА	4 -
23	ИП5	65
24	4-	10
25	П5	45
26	ХУ	14
27	ИП6	66
28	”Ь	10
29	П6	46
30	ИПА	6-

Поскольку

	1
Адрес	Команда	Код	Индика­ ция
31	ипв	6Ь
32	X	12
33	ИП7	67
34	+	10
35	П7	47
36	ИПА	6-
37	Рх2	22
38	ИП8	68
39	+	10
40	П8	48
41	ИПВ	6Ь
42	Рх2	22
43	ИП9	69
44	+	10
45	П9	49	-
46	РЬО	5Г
47	13	13
48	ИП7	67
49	ИП5	65

Адрес	Л	Код	а-
	§		Индик
	га
			1
62	Рх2	22
63	ИПЗ	63

6413

65— 11

66ИП9 69

67ИП6 66

68	Рх2	22
69	ИПЗ	63
70	-	13
71		11
72	X	12
73	р /	21
74	ИПА	6-
75	ХУ	14
76	•	13
77	ПС	4С
78	ИПЗ	63
79	р /	21

	50	ИП6	66	80	X	12
				81	1	01
	51	X	12	82	ИПС	6С
	52	ИПЗ	63	83	Рх2	22
	53	:	13	84	__	11
	54	—	11	85	•	13
	55	ИПЗ	63	86	п д	4Г	К ,
	56	1	01	87	С/П	50
	57	—	11		ИПЗ	63
	5а	X	12	88
	59	ПА	4-	89	1	01
	60	ИП8	68	90	_ .	11	к=п—\
	61	ИП5	65	91	С/П	50
							'

корреляционной зависимости между выбор­

ками «й» и «/» нет.

При необходимости находим также

5	ин. = 2,48;
ИПС = Д = 0,327 910 15; ИП5 = ^
1=1	1

ИП6 = Х 1 */, = 2’49;

0	Организация		циклов		7	2 % ип
1	Сн				8	% <
2	С1				9	Е Ч
3	п '				А	ин.;	числитель Я
4	Косвенная индикация				В	ич
5	I	«*,			с	я
6	Е	ч			д	« я
	5				5
	ИП7 = Я и* а,		- 1.2506;		ИП8 =	и* =	1,6114;
	1=)				1=1
		И П 9 = 2		и)	1,3345,
			1 —	\

Программа № 16 (обработка косвенных измерений; две выборки п — любое; У = Х%Х%)' Исходные данные — две выборки по п на­

			блюдений. С целью уменьшения операцион­
	Таблица 51		ных погрешностей			в расчетах используются
								пересчет хс в		ав­
1	%	ХЧ	томатический.	До		начала вычислений с кла­
			виатуры вводятся				с1У	с21	а, Ь, п и вруч­
			ную очищаются регистры-сумматоры и ре­
1	75,10	25,41	гистр-счетчик. Сначала вычисляются для дан­
%	75,32	25,70	ного уравнения			связи			вспомогательные
3	75,90	25,50	параметры
4	75,67	25,58	л	и	«2		;	о . - *
5	75,49	25,30	°1 =	=- 5 7
			хг		Х1				ч

О»: р \"™ =- Ог,

чх2

а затем

= У Р\ +

*эф - (* - 1)

+ 0 гУ*/(0 ? + 0 \).

После ввода значений / и у вычисляется доверительная гра­ ница ДА у случайной погрешности результата косвенного измерения.

Программа № 16 приведена в табл. 52.

Инструкция для работы с программой: 1. Ввести и проверить программу.

|	Команда
Адрес		|
00	по	40
01	КИП4	Г4
02	ИП4	64
03	С/П	50
04	ИП2	62
05	__	11
06	п д	4Г
07	ХУ	14
08	ИП1	61
09	__	11

Ю ПС 4С

11Рх2 22

12ИП8 68

13	+	10
14	ТО	48
15	ИПС	6С
16	ИП7	67
17	+	10
18	П7	47
19	ИПД	6Г

20Рх2 22

21ИПб 66

22	+	10
23	П6	46

24ИПД 6Г

25ИПб 65

26	+	10
27	П5	45
28	РЬО	5Г
29	01	.01

30ИП4 64

3113

32	ИП2	62
33	+	10

Индика­ ция

1

Адрес

Команда

1

34 ПД 4Г

35ИП7 67

36ИП4 64

3713

38	ИП1	61
39	+	10
40	ПС	4С
41	9	09
42	ПО	40
43	2	02
44	ПЗ	43

45 КИПО ГО

46 кипо ГО

47 Рх2 22

48ИП4 64

4913

50— 11

51ИП4 64

52Рх2 22

53ИП4 64

54— 11

55: 13

56КП{ ЬЕ

57РЬЗ 5-

■58	45	45
59	ипв	6Ь
60	ИПД	6Г
61	•	1о
62	X	12
63	П6	46
64	РВх	0
65	X	12

*СЭ

5

X В

	Адрес	Команда	•
			а
			к
			5

66 П9 49

67ИП7 67

68ИПА 6-

69ИПС 6С

70: 13

71	X	12
72	ТО	48
73	РВх	0
74	X	12

75ИП9 69

7610

77	Р у -	21
78	П9	49

79ИП8 68

80ИПб 66

81Ч” 10

82Рх2 22

83ИП8 68

84Рх2 22

85ИПб 66

86Рх2 22

87	ч*	10
88	ИП4	13
89		64
90	1	01
91	—	11
92	X	12	йэф
93	С/П	50
94	ИП9	69
95	X	12 •
96	X	12	&Ау
97	С/П	50

	2.	Установить		программу на нулевой адрес (В/О).		П1,	с2 =
=	3.	Ввести	о	клавиатуры	параметры выборок сх =
	П2,	а = ПА,		Ъ = ПВ. Очистить регистры: Сх = П4 =			П5 =
-	П 6 .= П7 =		П8.			значение
	4.	Установить		число циклов, набрать на клавиатуре
п; нажат ь С/П — на индикаторе					/ — Ь

5.	Ввести первую	пару	значений
		(*а)1	I	(*а)1 С/П;
на	индикаторе I =	2. Ввести			вторую пару	и т. д.
6. После ввода последней				пары	и нажатия	на С/П — на инди­

каторе значение /гЭф. Записать его, округлить и, задавшись довери­ тельной вероятностью у, найти в прил. 7 значение

7. Извлечь из регистров памяти средние значения для выборок;

ИПС = хг\ ИПД = х2.

Вычислить вручную значение результата косвенного измерения:

Ау = 1/ = ~IX,.

8.

Набрать на клавиатуре

У I

С/П;

на

индикаторе — значение ДА у.

операции

по

9. Для

обработки

следующих

выборок — повторить

пп. 2—8.

регистров

адресуемой

памяти

указано

10.

Использование

в табл.

53.

Таблица 53

0

Организация циклов;

7

косвенное

адресова­

2

««;

й

ние

1

С1

8

и1{'

@1

2

сг

9

П '

V ''

3

Организация циклов

А

а

4

Косвенная

индика­

В

Ь

ция; п

5

С

ии \

*1

6

У] М2/» ^2

Д

и2(1

х2

Пример 20 (вычисления по программе М

16).

Косвенное

изме­

рение производится по формуле V =

Х гХ 2\

совокупности

резуль­

татов наблюдений при прямых измерениях аргументов

представ­

лены в табл. 54.

сг = 10 =

П1;

с2 — 20 =

П2;

а =

Вводим

параметры выборок:

1 = ПА; 6 = 1 =

ПВ. Очищаем регистры

памяти: Сх =

П4 =

= П5 = П6 = П7 = П8.

5;

С/П — на

цндикаторе

ь =

1.

Набираем на клавиатуре п =

10,1

\

20,6

С/П

*ч

хн

и т. д.

Время каждого вычисления 8 с. Пос­

ле

ввода

последней пары

(10,5

и 20,5)

время

вычислений

35 с, на индикаторе

1

10,1

20,6

значение /гэф = 7,

190 691

6.

2

10,4

20,7

Округляем ^Эф « 7; из прил. 7, задав­

3

10,2

20,9

шись

у =

0*95, находим

=

2,365.

4

10,3

20,8

Находим хх

и

х2: ИПС = хх = 10,3;

5

10,5

20,5

ИПД = Хп = 20,7.

Вычисляем у

(вручную):

ИПС

ИПД

х

на

индикаторе

у =

213,21.

Поскольку значение у уже в регистре X,

набираем /

= 2,365;

С/П — на

индикаторе

АА =

3,866 539 8.

измерения:

у

213 ± 4;

у

Записываем

результат

косвенного

у =

= 0,95.

Можно найти также

ИП5 =

51

=0,005;

ИП7 =

52

=0,005;

х,

ИП9 =

8 ~!у =

0,007 668 029 6.

Программа № 17 (обработка косвенных измерений по резуль­

татам прямых;

=

кХ ^Х ^Х 3...).

Исходные

данные — результаты

обработки

прямых

многократных

измерений:

средние значения А..

и доверительные границы общей погрешности

каждого из них АА;.

Число сомножителей в формуле связи не ограничивается. Вычис­ ляется среднее значение косвенного измерения:

Ау = кА\А\А‘

и доверительная граница его общей погрешности ДАу = Ау У а* (ДА М г + ** (ДА М * + . . . .

Поскольку операция Рху при некоторых значениях аргументов выполняется неточно, вычисления производятся по формуле

ху в еу\пХ'

Программа № 17 приведена в табл. 55.

Инструкция для работы с программой:

1.Ввести и проверить программу.

2.Возвратить программу к началу (В/О).

3.Набрать на клавиатуре значение коэффициента А, нажать

С/П — на индикаторе	1 = 1.
4. Ввести первую	группу параметров:

Ах | а | ДЛ1;

нажать С/П — на индикаторе » = 2.

Адрес	Коман­	Код	Инди­	Адрес	Коман­	Код	Инди­	Адрес	Коман­	Код
	да		кация		да		кация		да
00	ПА	4-		13	X	12		26	п о	40
01	Сх	о г		14	Р ех	16		27	БП	51
02	ПО	40						28	04	04
03	П4	44		15	ИПА	6-		129	к н о п	54
04	К И Ш	Г4		16	X	12		30	ИПА	6-
				17	ПА	4-
05	ИП4	64		18	и п з	63		31	С /П	50
06	С/П	50	/	19	. ИП2	62
__								32	ИПО	60
07	ПЗ	43		20	X	12		33	р /	21
08	РО	25		21	ИП1	61		34	ИПА	6-
09	П2	42		22	:	13		35	X	12
				23	Рх2	22
10	XV	14		24	и п о	60		36	п д	4Г
11	П1	41		25	+	10		37	С /П	50
12	Р 1п	18

Инди­

кация

А у

ДА у

5.	Ввести
		А 2	\	Ь \	ДЛа и т. д.
6. После ввода		всех	N	групп	параметров		нажать на	С/П —
на индикаторе г = Л^+1. Набрать					БП 30 С/П — на индикаторе Л,л
Снова С/П — на индикаторе ААу.							регистров	памяти:
7.	Результаты обработки			можно вызвать из
		ИПА =		Лу; ИПД =		Ь А у .
8. Для обработки новых исходных						данных — повторить опе­
рации по пп. 2—7.
9.	Использование регистров				адресуемой		памяти	указано
в табл. 56.
							Таблица 56
0	2 0 ,.	5				А		Ау
1	А1	в				В
2	“ /	7				С
3	ДА,	8				д		ААу'

4	Косвен	9
	ная инди­

кация

В регистре 0 суммируются выражения Оу = а? (ДЛу/Лр2, где

а ;- = а, Ь, с. , ;	в регистре А наращивается произведение
N

П АУ-

Пример 21	(вычисления по программе М 17).						Определить	мощ-
ность постоянного тока по результатам						прямых	измерений'	напря­
жения и тока:	II =	120,5 ±		0,2 В; / =		5,240 ±	0,005 А.
Оба результата получены с доверительной вероятностью 0,95;
формула связи	имеет вид			Р =	VI.		Набираем
Вводим к = 1;		С/П =	на		индикаторе / = 1.
		120,5	ф	1	ф 0,2	С/П;

через 10 с на индикаторе — / = 2. Вводим вторую группу пара­ метров:

5,240 | 1 | 0,005 С/П.

На индикацию / = 3 не обращаем внимания; набираем

БП

30

С/П,

получаем

=

631,419 92.

Снова

С/П — на

индикаторе

ДАу =*

*=

1,208 846 4.

результат

косвенного

измерения:

Р =

631 ±

± 1

Записываем

Вт (у =

0,95).

Изме­

Пример

22 (округление константы в формуле связи).

рить площадь круга Р е точностью 0,1

%. Сколько значащих

цифр

следует оставить в числе п = 3,14159265...?

Формула

связи

у =

Р =

лсР/4,

где ^ — диаметр круга.

Найдем

частную

производную

от

у

по

С = я:

ду/дС =

дР/дп =

<22/4.

Пересчитаем

заданную

относительную

погрешность

в

абсо­

лютную:

ДА у =

0,001/7 = 0,001я<Р/4.

Погрешность округления

числа

я

не должна

превышать

ДАу

1

0,001 ш*2/4

0,001.

ду/дС

3

а2/4

Примем

я = 3,14.

Погрешность

округления

Дя =

3,14 —

— 3,14159... = —0,00159.

условие (3.26)

нарушается;

оставим

Так как

0,00159 > 0,001,

в числе я еще одну значащую цифру: п =	3,142. Теперь	погреш­
ность округления А Л = 3,142 — 3,14159...	±= 0,0041 и	условие

(3.26) выдержано. Следовательно, в данном случае число я, округ­ ленное до четырех значащих цифр, вполне удовлетворяет постав­ ленным требованиям, и нет необходимости^ брать в нем большее количество значащих цифр (это относится к вычислениям без при­ менения микроЭВМ, которые сохраняют в постоянной памяти число л с семью знаками после запятой).

Глава 4

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

9. МЕТОДИКА о б р а б о т к и

СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

спользование принципа Лежандра. В совокупных

и совмест­

Иных

измерениях величины

не

поддающиеся

непосред­

ственному наблюдению, определяются по результатам

измерения

других

величин

Уу,

которые

являются

их

функциями:

Ф/ (хь

....

*п) =

Уг

(4.01)

Здесь

*' =

1,

2,

...»

п — порядковый номер

неизвестных величин

X ;

/ =

1,

2,

...»

т — порядковый

номер

прямых

измерений вели­

чин

У.

У.

содержатся

Если в результатах прямых измерении величин

случайные погрешности, то они имеются и в результатах совокуп­

ных (совместных) измерений величин X		Очевидно, что при т < п
систему (4.01) вообще решить невозможно; при т =			п такое реше­
ние алгебраически	возможно, однако	погрешности	результатов
измерений величин	будут, как и при прямых однократных изме­

рениях, велики, и числовое значение этих погрешностей останется неизвестным. При т > п система снова станет алгебраически нераз­ решимой, так как эти уравнения несовместны, поскольку правые части уравнений (4.01) вместо точных значений Уу содержат ре­

зультаты их измерений 1/;. = Уу + ДУ^ со случайными погрешно* стями АУ-. Однако в последнем случае при нормальном законе рас­

пределения ошибок измерения величин у- (что							обычно		и	бывает)
можно найти такую совокупность				значений х		которая			с	наиболь­
шей вероятностью удовлетворяла бы исходным						зависимостям (4.01).
Эго может быть: осуществлено с				помощью способа				наименьших
квадратов (принципа Лежандра).							данных		при		сово­
Такой способ обработки		экспериментальных
купных (совместных) измерениях				особенно удобно				применять			при
линейном характере функций фу,				в	противном		случае		обработка
усложняется.			функции фу линейны:
Рассмотрим случай, когда
а 11*1 +	а 12*2 +	• * • “Ь		а 1пХ П —
а21ХТ 4" а 22Х 2 “Ь * " * + а 2ПХ П — У2 =										(4.02)
» • •		•		.
а ,„ Л +	ат2хз Н--------атпхп — ут = 0. ,
Эту же систему	запишем		компактно:
п			0,	/ =
V а -1х 1— ус =					1, 2, . . .	,	т.				(4.03)
1=1

Здесь индексы при коэффициентах а указываются в последователь­ ности «строка — столбец» (/ — <)'.

Уравнения (4.02) и (4.03) называются условными. Ввиду нали чня погрешностей правые части условных уравнений в действитель­

ности будут

равны

не нулю, а некоторым

(так

называемым «не­

вязкам», или

остаточным погрешностям

условных

уравнений):

п

а „х( — у^ = V ^,

1, 2,

,

т.

V

/ =

(4.04)

/=1

В соответствии

с принципом Лежандра

наиболее

вероятными

значениями неизвестных величии Х ( в этом случае

будут

такие,

при которых сумма квадратов остаточных погрешностей

1>у

мини­

мальна:

т

5]

=

пип.

(4.05)

/=1

Необходимым

условием такого

минимума является

равенство

нулю производных

т

т

а

у л

п = « V I

дх)*

-

‘ = 1 .

2,

(4.06,

/=1

/=1

Подставляя

в

выражение

(4.06)

значения

из

соотношения

(4.04), получаем после преобразований систему Нормальных урав­ нений:

п

1х1 = сн,

к = 1 ,

2,

,

п.

(4.07)

1=1

Запишем эту же систему

в

развернутом

виде:

Ь ц Х1 +

^12*2 +

• ' •

+

Ъ1пХп =

Сг ;

'

&21Х1 +

&22Х2 +

" • •

+

Ь2ПХП=

с2^

(4.08)

•

•

•

«

•

•

« « •

Ьп1Х1 "Ь ^П2Х2 4“ *' '

“Ь Ьппхп =

СП*

Здесь

индексы

при коэффициентах

Ь также

указываются

в

после­

довательности

«строка — столбец»

{Н — *)•

всегда

равно

числу

Поскольку

число

нормальных

уравнений

неизвестных, такая система алгебраически разрешима.

дела­

Хотя при обосновании способа наименьших

квадрато

лось

предположение о

нормальном

законе

распределения

погреш­

ностей, доказано,, что оценки, основанные на

этом

способе,

обла­

дают наименьшими ошибками й при любом другом законе

распре­

деления.

Методика

получения

нормальных

уравнений.

Общий

способ

нахождения системы нормальных уравнений заключается

в вычис­

лении частных производных от каждой

по каждой

из

неизвест­

ных

умножении этих

производных

на соответствующие значения

Оу и сложении

их для одной ,и той

же неизвестной х *:

(4.09)