книги / Основы прикладной теории упругих колебаний
..pdfВ случае зонтичных колебаний прогиб w не зависит от коор динаты 0 и последнее выражение запишется в виде
П = |
д%уо + |
± |
. * t |
y _ |
2(li—р) |
д% |
(256) |
12(1 |
~5F |
г |
dr |
I |
г |
дг* |
|
Из-за изгиба диска всякий его элемент несколько прибли жается к оси вращения и благодаря этому накапливает некото рую дополнительную потенциальную энергию, так как вследствие вращения диска изгиб происходит в поле центробежных сил. Подобное явление рассмотрено выше в связи с изгибными колебаниями растянутого (в частности центробежной силой) ■стержня. В данном случае элементарной массе phrdQdr соответ ствует центробежная сила со2phr2dQdr. Дополнительная энергия •составит u®2phr2dQdr, где и — радиальное смещение элемента, которое выражается через прогиб следующим образом:
Тх
Таким образом, общая потенциальная энергия поля центро- ■бежных сил
п * = т ^ |
] ] [ |
] f f i |
drY h m r - |
|
|
ог, |
Тх |
|
|
В случае зонтичных колебаний ввиду независимости w от 0 |
||||
эта формула примет вид |
|
|
|
|
П* = 7tpa>2 j1[j* (~^г)2 ^Г\г2^ Л |
(257) |
|||
Зонтичные колебания |
Гх |
Тх |
|
|
|
|
|
|
|
В случае свободных зонтичных колебаний прогиб w не зави- |
||||
-сит от полярного угла 0 и может быть представлен в виде |
||||
|
w — R(r) sinpt. |
(258) |
||
Согласно формулам |
(255) |
и (258) |
максимальная |
кинетиче |
ская энергия |
|
|
|
|
Тmax = гсрР2JRzhrdr. |
(259) |
|||
|
|
г1 |
|
|
Максимальная потенциальная энергия деформации согласно выражениям (256) и (258)
В max — 12(1 hrdr. (260)
152
При помощи выражения (257) найдем
Г% Г |
|
П*тах = тфш2 j* [ j {R')4r\ r2hdr. |
(261) |
f t ft
На основании закона сохранения энергии можно записать1
подставляя сюда выражения (259)— (261) и решая полученное уравнение относительно квадрата частоты, находим
(262)
Подстановка сюда подходящей функции R(r) позволит без больших затруднений вычислить приближенное значение низшей частоты. Такая функция должна, по крайней мере, удовлетво рять геометрическим граничным условиям при г = гх
Я = 0; Я' = 0. |
(263) |
Сопоставление результатов использования четырех различ ных вариантов выбора функции R(r) дано для диска постоянной толщины А. В. Левиным. Все рассмотренные им варианты удов летворяют условиям (263) и соответствуют простейшей форме колебаний без узловых окружностей.
Первый вариант: R — (г — гО2 дает для р2значение, на 49%
превосходящее точное.
Второй вариант: R = (г — гх)8содержит один неопределенный параметр; его значение подобрано с таким расчетом, чтобы полу чилось -наименьшее значение р2. При этом оказалось s = 1,35 и ошибка найденного квадрата частоты составила 7,6%•
Третий вариант:
* = ( / ■ — |
+«<»•— ' Л |
также содержит неопределенный параметр а. Условие минимума частоты дает значение а = —0,463 и приводит к ошибке для р2, еще меньшей, чем по второму варианту (6%)-
1 В более точном решении нужно учесть также работу, совершаемую цепными усилиями (действующими в срединной поверхности диска) при изгибных колебаниях.
153
Перечисленные варианты имеют один общий недостаток (хо тя н в различной степени): отвечая кинематическим условиям на внутреннем контуре, они не удовлетворяют силовым условиям на внешнем контуре.
Резкое улучшение достигается при помощи четвертого вари анта
R = ( r — /*i)2 [ 1 -fa (г— /Д -f 6(г — г г) 2] ,
где коэффициенты an b подбираются так, чтобы были удовлетво рены условия и на наружном контуре. При этом ошибка резуль тата составляет всего 1,6%.
Этот пример показывает важность удовлетворения возможно большему числу краевых условий при пользовании не только методом Бубнова — Галеркина, но и методом Рэлея.
Веерные колебания
В этом случае вместо выражения (258) должна быть принята для прогиба w такая функция, которая отражает зависимость прогиба также от полярного угла 0. Имея в виду периодичность этой зависимости, можно принять
w = R (г) cos л0 sin pi,
где п = 1, 2, ... есть число узловых диаметров, т. е. число диамет ров, точки которых не колеблются; каждой форме колебаний соответствует свое значение частоты.
Дальнейшее решение ведется в том же порядке, как и выше. В результате получится формула, подобная формуле (262), но содержащая также число п узловых диаметров. В этом случае применение различных вариантов функции R(r) приводит к весь ма близким результатам, хорошо согласующимся с точными (ошибка около 1%).
Это отличие от случая зонтичных колебаний не случайно. Де ло в том, что приближенная форма R(r) при зонтичных колеба ниях обеспечивает условия лишь в корневой и периферийной об ластях, а при веерных колебаниях, кроме того, вдоль всех узло вых диаметров.
12. ИЗГИБНЫЁ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
В общем случае переменной толщины |
пластины решение |
в замкнутой форме невозможно; для таких |
задач может быть |
использован энергетический способ. Если пластины имеют посто янную толщину, задача упрощается и при некоторых граничных условиях допускает сравнительно несложное решение.
154
Пластина постоянной толщины (точное решение)
Если пластина несет статическую распределенную нагруз ку q, то для малых •прогибов точек срединной поверхности w справедливо дифференциальное уравнение
d*w |
, 0 d*w |
. |
dlw |
(264) |
|
дх4 |
дх*ду* |
+ |
~ду* |
||
|
в котором цилиндрическая жесткость
D - — В№ .
12(1 — р2)
В задаче о свободных |
колебаниях |
нагрузкой являются |
силы |
|
инерции |
q = ~ph d2w |
(265) |
||
|
||||
|
|
<5/2 |
|
|
где р — плотность материала; |
|
|
|
|
h — толщина пластины. |
в уравнение (264), придем к ос |
|||
Подставив выражение (265) |
||||
новному дифференциальному уравнению |
|
|||
d*w , g |
д4ш |
d*w |
—- — рh |
|
дх* |
дхъдуг + ~ду* |
дГ- |
|
Представив, как и в предыдущих случаях, решение в виде
w = W{x,y)T(t),
получим дифференциальное урав нение для формы колебаний
W{x,y)
d*W |
2 |
dW |
I |
dW |
= |
рhP%ур. |
|
|
дх4 + |
1 |
дх*дуг |
' |
ду* |
~~ |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
(266) |
|
|
это дифференциальное уравнение |
Рнс. 73 |
|
||||||
в случае прямоугольной пластины |
|
|
||||||
с опертыми краями имеет частное решение |
|
|||||||
W = Amns i n s i n - ^ - |
(m - |
1,2,... п = 1,2...), |
(267) |
аb
где а и b— стороны пластинки.
Зависимость (267) иллюстрирована на рис. 73. Любая пря мая, параллельная оси х, при колебаниях превращается в сину соиду, содержащую в интервале (0, а) т полуволн (на рнс. 73 т = 4); точно так же прямые, параллельные оси у, превращают ся в синусоиды с п полуволнами (на рис. 73 п = 2).
155
Выражение (267) удовлетворяет граничным условиям на кон турах (равенство нулю прогибов и изгибающих моментов)
дш |
dzW |
= |
0 |
при х = 0 и х = а; |
|
W = О, |
— + р. |
<^а |
|||
дх |
|
|
|
|
|
dW , |
ааг |
= |
0 |
при у = 0 и у — Ь. |
|
W = 0, -------- Н Р |
д*а |
||||
&/а |
|
|
|
Подставляя выражение (267) в уравнение (266), получим
/ тл\* , 0 / « ш \ г / ля \2 . / ля \* рАд»а .
(— ) + 2 h r ) ( — ) + ( — ) - — 1
отсюда находим собственную частоту
Ртп |
ЯаА |
Е |
|
2 |
З р (1 -р а) |
||
|
Частота зависит от чисел т и п , определяющих число полу волн, на которые подразделяется пластина в каждом из направ лений. Низшая частота соответствует случаю, когда пластина изгибается по одной полуволне в каждом направлении (т = 1, п — 1):
Ри = |
Е |
(268) |
|
Зр(1-Ра) |
|||
|
|
Если одна из сторон пластины значительно больше другой, одно слагаемое в скобках становится весьма малым по сравне
нию с другим и в пределе исчезает. Пусть, например, — |
оо; |
|||
|
|
|
b |
|
тогда формула (268) 'принимает вид |
|
|||
рц = |
— |
\ |
f ------- ------- . |
(269) |
* |
262 |
у |
Зр(1_И,2) |
4 ' |
В этом случае срединная поверхность пластины при колеба ниях имеет цилиндрическую форму; можно сказать, что пласти на состоит из множества одинаковых (и одинаково изгибающих ся) балок-полосок пролетом Ь. Если считать, что все такие балкиполоски совершенно не взаимодействуют одна с другой, то их собственную частоту можно найти по формуле (186а), подставив в нее момент инерции поперечного сечения / = № : 12 (ширину балки-полоски можно принять любой, например, равной единице) и интенсивность распределенной массы т — рh. При этом для собственной частоты получится выражение (269), но без делите ля 1 — ц2 под корнем. Это различие объясняется тем, что попе речные деформации балки-полоски, входящей в пластину, стесне ны соседними балками-полосками, тогда как изолированная балка-полоска такого стеснения не испытывает.
156
Простота приведенного решения связана не только с простой формой пластинки, но и с граничными условиями. При других краевых закреплениях для решения дифференциального уравне ния (266) приходится обращаться к приближенным способам.
Приближенное решение
Для применения метода Рэлея или Ритца необходимо исполь зовать выражение потенциальной энергии изгиба прямоугольной пластины, соответствующее мгновению наибольшего отклонения:
ГГ |
1 Г С П 17 d*W \2 . / d*W V I о |
d*Ww |
dW |
|||||
n"““T jjD1(-5 |
г)+ |
|
+2и^ |
ду- + |
||||
|
Оо |
|
|
|
|
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(270) |
|
|
+ |
2 ^ |
- ' с> [ - Ш |
} ‘1х<1у- |
|
|||
Максимальная кинетическая |
энергия элемента |
пластинки |
||||||
* 2 |
'после |
замены до = |
W sin pt |
приобретает вид |
||||
•— ^max- dxdy |
||||||||
Wdxdy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая кинетическая энергия всей пластинки |
|
|||||||
|
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
Т шах — |
РРВ J |
J VPhdxdy. |
|
(271) |
|||
|
|
|
|
2 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Приравняв выражения (270) и (271), получим |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d2W |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
дуг |
|
|
|
*<*!/} =Р [| fW*kdxdy] . |
|
|||||
+ 2 (! - и) |
|
|
(272) |
Задаваясь подходящим видом функции W(x, у), молено по формуле (272) получить приближенное значение квадрата собст венной частоты.
Г Л А В А III.
КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ
ИРОТОРОВ
13.ВАЛ С ОДНИМ д и ско м
При вращении несбалансированного вала всегда наблюдают ся более или менее интенсивные поперечные колебания. Ампли туды колебаний зависят от угловой скорости вращения и при определенных для данного вала критических значениях скорости возрастают настолько сильно, что нарушают нормальные усло вия эксплуатации и могут вызвать поломку вала. При этом кри тическое состояние не может быть устранено даже самой тща тельной балансировкой. Поэтому следует добиваться, чтобы эксплуатационные угловые скорости не совпадали с критиче скими.
Критическая скорость вращения |
|
|
Рассмотрим вал, на который с |
эксцентрицитетом е насажен |
|
диск массой т. Чтобы исключить |
влияние |
веса и рассмотреть |
явление в наиболее чистом виде, |
будем |
считать, что ось вала |
вертикальна (рис. 74). Вал имеет круглое сечение и вращается в подшипниках; диск расположен посредине между опорами *.
При вращении вала с угловой скоростью со центр тяжести диска будет двигаться по окружности и возникнет центробеж ная сила. Если обозначить прогиб вала, вызываемый этой силой,
через г, то результирующий эксцентрицитет окажется |
равным |
е + г и, следовательно, центробежная сила будет |
равна |
тш 2(е-{-г). Чтобы определить прогиб г, |
нужно центробежную |
силу разделить на коэффициент изгибной |
жесткости вала с: |
пт* (е + |
г) . |
' --- |
У |
С |
|
1 Последующие рассуждения остаются |
в силе и в более общем случае |
устройства опор при условии, что жесткость вала во всех направлениях оди накова и что при изгибе вала плоскость диска остается перпендикулярной к оси вращения.
158
отсюда находим, что прогиб вала пропорционален начальному эксцентрицитету:
тф-е
(273)
с — тсо2
Из формулы (273) следует важный вывод: если выполняется равенство с = mw2, то знаменатель правой части формулы (273)
, обращается в нуль, и прогиб становится бесконечно большим.
Критическое состояние наступает при вполне определенном зна чении угловой скорости
шкр |
(274) |
которое, как видно, зависит от параметров системы. Такую ско рость называют критической скоростью вращения; она совпадает с собственной частотой р поперечных колебаний невращающейся системы вал — диск и тем больше, чем жестче вал и легче диск.
Из формулы (274) можно получить выражение для относи тельного прогиба вала
— = 1: |
-----О - |
(275) |
Кривая зависимости г : е от отношения — = — приведена на
(йкр Р
рис. 75. Анализ формулы (275) и рис. 75 показывает, что при медленном вращении прогибы г малы и возрастают с ростом угловой скорости; при этом центр тяжести диска 5 расположен дальше от центра вращения О, чем центр сечения вала W
159
(рис. 76, а). Если — = 1, то прогиб равен бесконечности (кри-
тическое состояние).
В закритической области, когда ю > юкР, прогибы вновь ока зываются конечными, но имеют знак, противоположный началь ному эксцентрицитету. На рис. 76, б показано соответствующее этому случаю взаимное расположение центров 5, О и W. При быстром вращении, когда ю > юКр, центр тяжести диска 5 ока зывается ближе к центру вращения О, чем центр вала W. Чем больше угловая скорость, тем ближе располагается центр тяже
сти диска 5 к центру вращения О; при |
диска |
центр |
тяжести |
||
|
неограниченно |
||||
|
приближается |
к |
оси |
||
|
вращения. Таким обра |
||||
|
зом, при весьма |
боль |
|||
|
ших угловых |
скоростях |
|||
|
происходит |
самоцен |
|||
о |
трирование диска. Поэ |
||||
тому, делая вал весьма |
|||||
|
гибким |
(т. е. добиваясь |
|||
|
малых |
значений |
акР), |
||
|
можно получить |
хоро |
|||
Рис. 76 |
шую |
сбалансирован |
|||
ность |
системы; |
этим |
|||
|
пользуются при проектировании валов быстроходных турбин, где гибкие валы оказы ваются рациональнее жестких.
Выше критическое состояние было определено как состояние неограниченного нарастания прогиба вала, если диск имеет на чальный эксцентрицитет. Возможна также другая трактовка кри тического состояния, которой будем пользоваться ниже. Из 'вы ражения (273) видно, что если е = 0 и в то же время с — та2, то прогиб г оказывается неопределенным. Это означает что при о) = (оКр полностью сбалансированный вал теряет устойчивость прямолинейной формы. Если эту форму нарушить (например, ударом), то вал не стремится ее восстановить; дело в том, что упругая реакция сг в точности уравновешивается возникающей при отклонении г центробежной силой tna2pr.
При всяком фиксированном значении угловой скорости (кро ме w = (оКр) вращение сопровождается определенной и неизмен ной во времени деформацией вала. Любое волокно в процессе движения остается одинаково растянутым (или сжатым) незави симо от времени. В этом смысле рассматриваемое явление вряд ли может быть признано упругим колебанием, хотя для непод вижного наблюдателя движение выглядит как колебания в двух направлениях.
160
Критическое состояние обычно считают недопустимым в экс плуатации, и вблизи (оКр выделяют запретную зону опасных зна чений угловых скоростей (например, 0,7(оКр — 1,4<в*р).
Свободные колебания около стационарного режима
Как было отмечено, в стационарном режиме движения
(о) ф о)*?) нет упругих колебаний в обычном смысле, так как напряжения и деформации в любой точке каждого сечения вала неизменны. Представляет интерес процесс свободных колебаний около этого стационарного режима.
тигг
Для исследования указанного процесса вернемся к простей шей схеме (см. рис. 74), но для упрощения положим е = 0. Тог да при со ф аКр стационарному режиму соответствует вращение прямого, недеформированного вала. Допустим, что вследствие какого-либо возмущения овал изогнулся, и определим последую щее движение в подвижной системе координат.
На рис. 77, а показано положение центра вращения О и мгно венное положение центра тяжести диска 5. Координатная систе ма yz равномерно вращается с угловой скоростью со, равной уг ловой скорости вращения диска; последнюю будем считать по стоянной (это всегда может быть обеспечено соответствующим изменением вращающего момента).
В процессе движения на диск действует упругая реакция ва ла, равная сг; на рис. 77, а показаны ее проекции на оси у и г,
6 Заказ 685 |
161 |