книги / Основы прикладной теории упругих колебаний
..pdfМоменты инерции масс дисков |
|
|
|
||||||||
|
г |
и |
Я£*1 |
V |
|
о |
3 ,1 4 -3 0 * . |
0 ,0078 |
1,2о2 кгсм*секг\ |
||
|
U = |
frt--------- - = |
|
2 |
—1---------------------— |
||||||
|
1 |
|
32 |
g |
|
|
32-981 |
|
|
||
/ 2 = |
я d |
|
— = 1,5 3,14 - 204 - 0,0078 |
-—0,1 S7 кгсм•сек2. |
|||||||
Ь2 —— |
|
||||||||||
|
|
32 |
|
g- |
|
' |
32 - |
981 |
|
|
|
Полярный момент инерции поперечного сечения вала |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Л<+ |
3,14 - I4 |
0,0981 см4. |
||||
|
|
|
|
Jp — |
|
|
32 |
= |
|||
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
||
Коэффициент |
жесткости |
|
вала при кручении |
|
|||||||
|
|
|
с — |
GJP |
|
|
0,8 • 10е •0,0981 |
|
|||
|
|
|
I |
|
|
80 |
|
= 981 кгсм. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Собственная частота по |
|
формуле (15) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
981 (1,262 + 0,187) |
78 сек 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,262 -0,187 |
|||
Узел |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
||
колебаний |
располагается вблизи |
большего диска; по формуле (16) |
|||||||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|||
а - - |
0,187 |
|
............................. |
|
1,262 |
||||||
|
|
|
80 = |
10,3 см; b = |
0,187 + |
80 = 69,7 см. |
|||||
|
0 ,1 8 7 + |
1,262 |
|
|
|
1,262 |
Приближенно можно считать вал неподвижно защемленным в большем диске; тогда по формуле (13) найдем собственную частоту р с ошибкой око
ло 7%.
|
Важное |
практическое |
зна |
|||||
|
чение имеет задача |
о колеба |
||||||
|
ниях |
маятника, |
находящегося |
|||||
|
в поле центробежных сил. |
|
||||||
|
Рассмотрим |
диск, |
равно |
|||||
|
мерно вращающийся |
с угло |
||||||
|
вой |
скоростью |
со |
(рис. |
20). |
|||
|
К точке Л этого диска при помо |
|||||||
|
щи |
невесомого |
стержня |
АВ |
||||
|
прикреплен груз В. Пусть ма |
|||||||
|
ятник АВ отклонен от положе |
|||||||
Рис. 20 |
ния равновесия на малый угол |
|||||||
ср. Определим частоту |
колеба |
|||||||
|
||||||||
|
ний |
груза, |
происходящих око |
ло положения равновесия АС. Груз В участвует в двух движе ниях — переносном вместе с диском и относительном — вокруг центра качания А. Угол, составляемый направлением ОВ с на правлением ОА, обозначим через -ф, расстояние от центра диска О до центра качания А через R, длину маятника АВ через /, расстояние ОВ через L, массу груза В через пъ.
Тогда
Y |
В +■ / COS ф |
L — |
; . |
|
cos ф |
32
При анализе относительного движения маятника АВ необхо димо учесть переносную и кориолисову силы инерции. Перенос ная сила инерции направлена вдоль прямой ОВ и равна
Р = moPL = тш2 . ff-Heosq) |
и 7) |
cos Ч» |
|
Кориолисову силу инерции, направленную вдоль прямой АВ, определять не будем, имея в виду составление уравнения момен тов относительно точки А. Дифференциальное уравнение относи тельного движения маятника имеет вид
— PR s\nty = ml2ц>.
Подставив сюда выражение (17), получим |
|
|
|
maPR (R + Icos <p)tg ф + mlhp |
= 0, |
(18) |
|
Так как |
|
|
|
tg^ = |
R / cos ф |
|
|
где x — расстояние точки В от прямой ОА, |
то уравнение |
(18) |
|
можно записать в виде |
|
|
|
GPRX + |
/2ф = 0. |
|
(19) |
Если колебания достаточно малы, то можно принять ф ~ у - ,
иуравнение (19) примет вид
х-f-------- х = 0.
Здесь, как и в рассмотренных выше случаях, достаточно довет сти выкладки до стандартной формы дифференциального урав^ нения, после чего по коэффициенту при координате (в данном случае при координате х) сразу определяем собственную ча стоту
р = т у Г т - |
(20) |
Заметим, что собственная частота пропорциональна угловой скорости вращения диска.
Найденный результат может быть использован для определе ния собственной частоты колебаний маятника с двойным подве сом (рис. 21, а). Подвес осуществлен при-помощи двух роликов диаметром d2, вложенных в несколько большие отверстия диа метром d\, которые имеются в теле маятника и вращающемся диске. При таком способе подвеса относительное движение ма ятника (по отношению к вращающемуся диску) является посту пательным и все его точки описывают дуги окружностей одного
2 Заказ 685 |
33 |
и того же радиуса. Этот радиус равен разности диаметров |
от |
|
верстия и ролика, т. е. / == d\ — d2. Кроме того, расчетный |
раз |
|
мер Я в данном случае составляет Ri — I, |
где Ri — расстояние |
|
от центра вращающегося диска до центра |
тяжести маятника. |
Таким образом, собственная частота колебаний маятника опре деляется формулой
(21)
Здесь полезно вспомнить, что при выводе формулы (20) пред полагалась малость отношения смещения х к длине I маятника.
В рассматриваемом случае расчетная длина маятника сама мала; это на кладывает особенно тесные ограниче ния на величину амплитуд колебаний маятника, и если отношение х : I нель зя считать малым сравнительно с еди ницей, то приходится вообще отказы ваться от применения линейной тео рии.
Энергетический способ; формулы Рэлея и Граммеля
Если не считать простейшей системы, изображенной на рис. 1, во всех остальных рассмотренных выше случаях выкладки были доведены только до составлениядифференциального уравнения движения системы. После приведения этого уравнения к стан дартному виду, сразу — по выражению коэффициента при коор динате — записывалась формула для собственной частоты коле баний.
В некоторых случаях целесообразнее иной способ определе ния собственной частоты; он основан на энергетических сообра жениях и сводится к следующему. Полагая, что движение, опре деляемое координатой у, является гармоническим и описывает ся выражением
у = a sin (pt + ос),
можно определить скорость
у = ар cos (pt + а).
Максимальная потенциальная энергия П Шах системы дости гается в момент наибольшего отклонения системы от положения равновесия и определяется этим отклонением, равным а. Соот-
34
ветственно максимальная кинетическая энергия Ттах определяет ся наибольшей скоростью итах = ар, которая достигается в мо мент прохождения системы через положение равновесия.
Если отсчет потенциаль ной энергии вести от поло жения равновесия, то дол жно выполняться равенство
Птах = Тшах*
из которого определяется собственная частота р.
Приведем два случая оп ределения собственной ча стоты, в которых наиболее удобен энергетический спо
соб. В первом случае |
вос |
|
станавливающая |
сила |
соз |
дается упругой |
пружиной (см. рис. 2, н), во втором — весом |
цилиндра (рис. 22).
Рассмотрим колебания массивного цилиндра, который может свободно катиться по горизонтальной плоскости без скольжения (см. рис. 2, н). Пусть радиус цилиндра г, его масса пг, радиус инерции р и жесткость пружины в.
Максимальная потенциальная энергия |
|
Пт ах = - у - . |
(22) |
Кинетическую энергию следует вычислять с учетом вращения:
|
Тmax — |
mo,max |
mP ° w |
|
|
|
|
|
|
||
Заменяя |
шmax |
°max |
|
|
|
|
; t w = ap, |
|
|||
получим |
ma2p" , |
ma2p2p2 |
|
||
Тmax |
(23) |
||||
2 |
2r2 |
|
|||
|
|
|
Приравняв выражения (22) и (23), находим собственную ча стоту колебаний
(24)
"/-('♦'■so
35
Из формулы (24) видно, что вследствие инерции вращения цилиндра собственная частота колебаний уменьшается.
Если цилиндр однородный, то р2 = 0,5г2 и собственная часто та на 18% меньше, чем в случае поступательного движения та кого же груза без вращения.
Теперь обратимся к рис. 22, где изображен массивный ци линдр, который может свободно катиться по цилиндрической по верхности радиусом R\ радиус цилиндра г. Пусть при колебани ях ф — наибольший угол отклонения отрезка ОЛ, проведенного из центра кривизны О в центр сечения цилиндра Л. Тогда наи большая высота h, на которую поднимается центр тяжести ци линдра,
h — (R — г) (1 — cos ф).
При малых углах ф можно принять |
|
|
cos ф ^ 1 — |
ф2 |
|
т. е. |
|
|
h = R - r |
ф2 |
|
2 |
|
|
и наибольшая потенциальная энергия |
|
|
П тт = ^ R ~ |
r) ф2, |
(25) |
где G — вес цилиндра.
Для определения максимальной кинетической энергии преж де всего найдем максимальную скорость центра Л цилиндра:
Ушах = фр {R — г)
и соответствующую ей максимальную угловую скорость враще ния цилиндра:
“ max = |
Ртах |
ФP(R -r) |
|
|
Следовательно, |
Г |
|
г |
|
|
|
|
|
|
Tn,n = - ^ lW (R - r )]* + - ^ |
ФP(R -r) I2 |
(26) |
||
2g |
|
2g |
|
|
где р — радиус инерции цилиндра относительно его оси. |
|
|||
Приравняв выражения |
(25) |
и (26), получим собственную ча |
||
стоту |
|
|
|
|
36
Если цилиндр однородный, то р2 = 0,5г2 и соответственно
Р = i / — а _ .
V Щ —г)
За счет изменения разности радиусов R — г частота может из меняться от наименьшего значения
р - л / 2 .
Уз *
(при исчезающе малом радиусе цилиндра) до бесконечности. Как уже указывалось, задавая форму колебаний системы с
распределенными массой и упругостью, приписываем ей таким образом одну степень свободы. Для определения собственной ча стоты колебаний такой схематизированной системы также весьма удобен энергетический метод (называемый в этом случае мето дом Рэлея) .
Разумеется, что при этом результаты будут зависеть от вы бора формы колебаний и решение уже не будет обладать той определенностью и однозначностью, как это имело место в двух предыдущих примерах.
Рассмотрим наиболее общую форму метода Рэлея примени тельно к задаче о поперечных колебаниях балки. Положим, что
перемещения точек оси балки описываются законом |
|
у = {х, t) = f (х) sin {pt + а), |
(27) |
т. е. что колебания всех точек оси происходят с одной и той же частотой и находятся в одной фазе (т. е. все точки одновременно проходят через положение равновесия, одновременно достигают наибольших отклонений и т. д .).
Функция f(x) представляет собой форму колебаний, т. е. функцию, описывающую конфигурацию изогнутой оси в момент, когда прогибы достигают максимума
Утах {х) — f (х).
Соответственно закону (27) скорости точек оси балки опре деляются зависимостью
v |
= ~ёг = Pf (*)cos (р* + *) |
|
01 |
и максимальные скорости (в момент прохождения системы через состояние равновесия)
|
0max(*) =Pf{x). |
|
|
Максимальная потенциальная энергия |
|
||
|
i |
i |
|
Птах = |
^ E J (уmax) |
dx ——— J* E J (f")*dx. |
(28) |
|
0 |
0 |
|
37
Максимальная кинетическая энергия |
|
|
/ |
i |
|
Тmax = - у J mv2mwLdx = |
- j - j tnfdx, |
(29) |
о |
о |
|
где tn — m(x) — интенсивность распределенной массы балки. Приравняв выражения (28) и (29), получим основную фор
мулу Рэлея для случая поперечных колебаний
J EJ (Г №
Р2 = — t----------- |
• |
(30) |
J mf*dx
о
Если, кроме распределенной массы, с осью балки в сечени ях Xi связаны также сосредоточенные грузы с массами mit то в выражении кинетической энергии появятся слагаемые типа
— rriifip2, где fi — значение функции f(x) в точке с абсциссой хр,
2
соответственно формула (30) приобретает вид i
J EJ Q")*dx
-------------------• |
(31) |
f mfdx+
О
Приведенные варианты записи формулы Рэлея дают точные результаты при условии, что в формулу подставляется истинная форма колебаний f(x). Но эта форма заранее неизвестна, и поэ тому при практическом использовании формулы Рэлея задаются формой колебаний, что и вносит некоторую неточность в резуль таты.
При выборе функции f(x) ее масштаб вообще никакой роли не играет; умножение f (х) на любое число не изменит результа та, как видно из структуры формулы (30). Необходимо стремить ся лишь к тому, чтобы возможно лучше отразить ожидаемую форму колебаний и, во всяком случае, обеспечить выполнение граничных условий, соответствующих заданным условиям за крепления концов балки (геометрических граничных условий).
Пример 2. Определить собственную частоту колебаний двухопорной бал ки, несущей три одинаковых груза массы тп (рис, 23).
Зададимся формой колебаний в виде
, . яде
f = a sin - у - ;
38
это выражение удовлетворяет всем граничным условиям (f = 0 и f" = 0) при х = 0 и х = /) и описывает симметричную кривую. Величина а остается неоп ределенной [с войдет множителем как в числитель, так и в знаменатель выра жения (31) и сократится, не повлияв на результаты вычислений].
Находим
Для нахождения знаменателя вычисляем прогибы под грузами:
я |
I |
|
а |
|
fi = /з — asm — |
6 |
~ |
2 |
’ |
я |
/ |
= |
а. |
|
h = a sin — |
— |
|
Знаменатель в формуле (31) состоит из одного второго слагаемого
3
■та*
Квадрат собственной частоты по формуле (31)
„2 — n*EJ 3тР
и собственная частота.
5,696 / EJ
р = ~ г У
Отметим, что этот результат ничтожно отличается от точного значения
5,692 , f~ E 7
р = " т - у
Весьма распространен особый прием использования формулы Рэлея, который состоит в том, что при решении задаются не функцией f(x), а некоторой фиктивной нагрузкой д(х); в фор мулу Рэлея подставляется кривая статического изгиба, вызывае мого этой нагрузкой q{x). Достоинство этого приема состоит в автоматическом удовлетворении граничных условий и, кроме того, в том, что вычисление наибольшей потенциальной энергии по формуле (28) можно заменить более простым вычислением работы статической нагрузки q(x) :
A = |
qfdx, |
(32) |
|
О |
|
39
так как величины А и Птах равны одна другой. При этом форму ла (31) приобретает вид
J яМх
Рг = -------------- |
• |
(33) |
jmpdx+y^mifj
о
Конечно, в состав фиктивной нагрузки можно включать так же сосредоточенные силы Р*;Lтогда формула (33) запишется так:
J Яfdx+^Pifi
Р2 = 7 ----------------------• |
(34) |
J mf2dx + ^ miff |
|
о |
|
Следует иметь в виду, что величины т* и Pi не связаны одна |
|
с другой; первые представляют собой массы фактически |
имею |
щихся сосредоточенных грузов, а вторые — силы, входящие в со став «придуманной» нагрузки; точно так же не связаны между собой функции т(х) и д(х).
Последние варианты записи формулы Рэлея принципиально равноценны формуле (31), но из-за отсутствия операции диффе ренцирования обычно дают большую точность. Так, в частности, если задаваемая нагрузка q(x) и Pi совпадает с распределением истинных максимальных сил инерции, то по формуле (34) мож но найти совершенно точное значение частоты р.
Чаще всего фиктивную нагрузку, определяющую форму коле баний, принимают согласно одному из следующих вариантов:
сосредоточенная сила, приложенная в какой-либо характер ной точке оси балки;
фактически действующие силы веса балки.
Остановимся на первом варианте. Пусть выбрана некоторая характерная точка и fo — прогиб этой точки («точки приведе ния»); тогда максимальная потенциальная энергия изгиба может быть выражена формулой
п -«• |
> |
|
ААгаах — |
п |
|
где с — коэффициент жесткости |
(соответствующий избранной |
|
точке приведения). |
|
(32) можно записать |
Следовательно, вместо формулы |
||
Р2 = |
*5 |
|
|
|
40
Обозначим
i
m0 = jm fdxifo, |
(35) |
о |
|
тогда получим знакомую запись: |
|
с |
(36) |
Р2 = т0 |
как если бы в точке приведения была сосредоточена масса т0; последнюю можно назвать приведенной массой.
Если, кроме распределенной массы, имеются еще сосредото ченные грузы, то выражение приведенной массы приобретает вид
тл= J mf2dx-\- ^ mifi |
(37) |
Определив по формулам (35) или (37) приведенную массу, затем по формуле (36) находим собственную частоту колебаний.
Конечно, в выражениях (35) и (37) f(x) уже нельзя выбирать произвольно; f(x) является функцией, описывающей прогибы оси от сосредоточенной силы (масштаб этой функции роли не играет, как это видно из структуры формулы для т 0) .
Понятие приведенной массы до некоторой степени устраняет произвольный выбор, о котором говорилось (правда, произволь ным остается выбор точки приведения), однако в отличие от фор мул (31) или (34) по формуле (36) никогда не может получить ся точного решения, так как кривая изгиба от сосредоточенной силы не совпадает с истинной формой изгиба при колебаниях.
Пример 3. Определить приведенную массу для балки, изображенной'на рис. 23, а затем найти собственную частоту колебаний. За точку приведения принять середину балки.
В данном случае формула (37) приобретает вид
т0 |
|
т — |
. (38) |
fo |
|
fо |
|
По схеме рис. 24 |
находим |
||
_39 |
’ |
|
Рис. 24 |
fl = Ы= gj |
fo'. f2 = |
fo |
(величина силы и соответственно масштаб fo не имеют значения). По формуле (38) получаем
т0 |
•2 -\-т = 1,4636т. |
Коэффициент жесткости системы (см. № 5 в табл. 1) 4 8 £ /
41