книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Квадрат собственной частоты по формуле (36)

т	48£7	EJ
р 2 = 1,4636т/3		32,79
		ml3 *
Следовательно,
Р =	5,726	EJ
	I	ml

Лучшие результаты получатся, если воспользоваться вторым вариантом и принять в формуле (34) за фиктивную нагрузку си­ лы веса балки q{x) = m(x)g, а вместо сил Pi — действительные веса mig сосредоточенных грузов. Этот вариант соответствует предположению о том, что форма колебаний совпадает с формой статического изгиба, вызываемого весом самого стержня и свя­

занных с ним грузов. При	этом	формула		(34) записывается
в виде
i
J	mfdx - f	2	mifi
Рг =--ё~г--------------------------- .				(39)
J mf4 x +		2	mif2
О

При пользовании этой формулой функцию f(x) уже не выби­ рают; она представляет собой вполне определенную кривую ста­ тического изгиба, поэтому последняя редакция формулы Рэлея обладает полной определенностью, но, как и формула (36), ни­ когда не может дать точного значения частоты р.

	Пример 4.	Определить собст­
	венную частоту по формуле Рэлея
	(39) для балки, изображенной, на
	рис. 23.
	В данном случае формула Рэ­
	лея имеет вид
P* — g 2/П//2Zmifi	g

Найдя статические прогибы под грузами (рис. 25)

48EJ ’ Ti	53mge
	1296£7

вычислим числитель и знаменатель выражения для р2:

S

mgl3

/

1

53

1

'

107mgР

EJ

\ 48

+

1296

+

48

/

“

1296£/ ’

У

f 2 =

(Л Ш А)2 [7 _ L \ 2

,

|/ _ЁЗ_ \ 2 , (А Л ] = 4267mag al«

^

Ti

\ EJ

I [\ 48

/

i

\ 1296

/

* V

48

/J

1296а£ а/ а '

Квадрат собственной частоты

Р2= -

107 . 1296 EJ

4267 ml3

откуда

5,701 EJ

Р=

/ml '

Внекоторых практических случаях (турбинная лопатка, ло­ пасть воздушного винта и т. д.) стержень, совершающий попе­ речные колебания, испытывает одновременное действие распре­

деленной продольной нагрузки. В этих случаях потенциальная энергия обусловлена не только деформацией изгиба балки, но и

продольными силами (рис. 26)’: i

Пш„ = \ \ т п г + л г № .

о

где N = N(x) — продольное усилие в сечении стержня. К этой задаче вернемся ниже (стр. 50—52).

Полезное видоизменение энергетического метода было пред­ ложено Граммелем в следующем виде. Пусть f(x) — задаваемая форма свободных колебаний стержня; тогда интенсивность соот­ ветствующих максимальных сил инерции определяется выраже­ нием mp2ft где по-прежнему т = т(х) — интенсивность рас­ пределенной массы.

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии из­ гиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции

	*2
Цmax -И	М&г<1х
	(40)
	EJ

Здесь Миаг = Миаг(х) — изгибающие моменты, вызываемые на­ грузкой mp2f. Обозначим через Миаг изгибающий момент, «ы-

43

зьиваемый условной нагрузкой mf (т. е. нагрузкой в р2 раз меньшей, чем силы инерции); тогда Миэг = р2Ми3г и выражение (40) можно записать в виде

Пшах —	Р*	Г	Мц3гйх	(41)
	2	J	EJ
		о
Наибольшая кинетическая энергия определяется, как и выше,
выражением
				(42)
		о
Приравнивая выражения (41) и (42), приходим к формуле
Граммеля		i
		J mf-dx
Р2=		I I --------•		(43)
		CMLadx
		i	EJ

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией f(x), стремясь возможно лучше отразить ожидаемую форму свободных колебаний и заботясь об удовлетворении граничных условий. После этого, путем умноже­ ния функции f(x) на известную по условиям задачи функцию т(х), определяется условная нагрузка mf и, затем, известными методами сопротивления материалов находятся вызываемые ука­

занной условной нагрузкой изгибающие моменты Мизг. Теперь остается вычислить выражения, входящие в числитель и знаме­ натель формулы (43).

Формула Граммеля требует выполнения несколько большего объема выкладок, чем формула Рэлея, но зато дает лучшее при­ ближение при одном и том же выборе формы колебаний f(x). В этом можно убедиться на простейшем примере свободных ко­ лебаний консольно закрепленного стержня постоянного сечения. Пусть левый конец стержня закреплен (совместим с ним начало координат), а правый — свободный. Примем в качестве формы колебаний функцию

f(x)= ах*,

где х — координата сечения; а — постоянная (ее значение несущественно, так как в окон­

чательных выражениях сокращается).

Эта функция удовлетворяет геометрическим краевым услови­ ям и может быть положена в основу вычислений как по формуле Рэлея, так и по формуле Граммеля.

44

Для того чтобы воспользоваться формулой Рэлея, предвари­ тельно находим:

1	\
f BJ (ffix = iaHEJ-,

(44)

Теперь по формуле (30) определяем квадрат собственной ча­

стоты колебаний

2Ш

Р2 =	ml*

Заметим, что этот результат заметно отличается от точного значения

12,36£/

ml*

Для вычисления собственной частоты по формуле Граммеля принимаем условную нагрузку в виде max2 и находим соот­ ветствующие изгибающие моменты от этой нагрузки

мааг= - ^ ( х * - ы * + щ .

Теперь определяем знаменатель выражения (43)

п М2и3гйх _ migip

(45)

J

EJ

62,31 EJ

6

Числитель указанного выражения нами уже найден в виде (44). Разделив второй из результатов (44) на (45), находим

-12,46£/

р2 =	ml*

что значительно ближе к точному результату, чем результат, вы­ численный по формуле Рэлея.

Более высокая точность формулы Граммеля является следст­ вием того, что она не требует операции дифференцирования, — операции, всегда усугубляющей ошибку приближенных вычис­ лений.

Энергетический способ позволяет не только сразу получить удовлетворительные результаты, но и сколь угодно уточнить их путем последовательных приближений. Остановимся на случае изгибных колебаний и положим, что имеется балка, несущая п

масс т ь т 2, —,	Закон колебаний любой точки имеет вид
	у( = atsin{pt а).

45

Соответствующие силы инерции

— т(у1 = т ^р2sin (pt + а).

В крайнем отклоненном положении эти силы примут значения

Pi = т ^р2.

Состояние крайнего отклонения, когда скорости равны нулю, можно рассматривать как результат статического действия сил Fi. Если бы эти силы были известны, можно было бы совер­ шенно точно найти форму колебаний, а затем и собственную ча­ стоту. Однако эти силы, как видно из формулы, сами зависят от частоты и заранее неизвестны; однако решение задачи воз­ можно путем последовательных приближений по одной из сле­ дующих схем.

Первая схема вычислений. Принимая кривую статического изгиба за форму колебаний, находим по формуле (34) первое приближение для собственной частоты pi. Затем подсчитываем силы инерции первого приближения:

FiT= mianpi.

Принимая их за нагрузку, можно определить соответствую­ щие перемещения сцп, а затем по формуле (34) найти второе при­ ближение для частоты

^Fnan

Smt-a2il

Так как все силы Fn могут быть одновременно изменены в любое число раз (это не повлияет на значение р2), то их можно принять равными опуская общий для всех сил Fn множи­ тель р2 . Затем процесс повторяем вновь, определяя силы инер­

ции второго приближения:

Fill = miaill

(величина pflt как и раньше, может быть опущена), затем соот­

ветствующие перемещения аци и третье приближение для ча­ стоты

Ш°Щ1

Рш =

2шгаШ1

Выкладки такого рода продолжают до тех пор, пока два по­ следовательных значения не окажутся достаточно близкими.

Вторая схема вычислений. Другой вариант способа, предло­ женный Стодолой, состоит в следующем. Задаемся первым при­ ближением для изогнутой кривой ап и записываем соответствую­ щие силы инерции:

Fп =? tnianpi,

46

считая рз пока неизвестным. Находим прогибы ащ от сил Fu, уменьшенных в р? раз (т. е. от сил т*а{1) ; действительные проги­ бы от сил Fn будут в р\ раз больше, т. е. составят р\ аш. Оче­

видно, что кривая, определяемая прогибами ащ, будет подобна исходной кривой ац при точном задании формы последней; в этом случае должно выполняться равенство ац = pf ащ. Отсюда на­ ходим

2 ап pi = — •

ат

Однако, поскольку форма колебаний была назначена прибли­ женно, результат окажется также приближенным, причем отно­ шение ац : aui будет различным для разных точек i (вследствие приближенности задания a*i); поэтому за приближенное значе­ ние квадрата частоты обычно принимают значение, соответствую­ щее сечению с максимальным прогибом:

2 а 1 шах

pi = ------ •

шах

Таким образом, приближенное значение квадрата частоты равно отношению характерных ординат двух кривых: кривой про­ гибов ац (которой следует задаться) и кривой прогибов ащ, вы­ числяемой от нагрузок т\аи. Если отношения ац: ащ практиче­ ски постоянны для всех номеров i, то можно удовлетвориться полученным результатом. В случае, когда отношения ац: «ш заметно зависят от г, следует строить следующее приближение: принимая форму ат за исходную, определить силы /п*а*п, а за­ тем прогибы ami- Тогда второе приближение для квадрата ча­ стоты

_2 °II шах

Рп~ ----------

а1 П шах '

Процесс продолжают до тех пор, пока отношения аьтах : Ял+imar не станут с достаточной точностью одинаковыми.

Способы разложения на простейшие системы

Рэлеем не только предложен энергетический способ, но и дбказана важная теорема: получаемое при помощи энергетическо­ го способа значение собственной частоты всегда выше истинного.

В противоположность способу Рэлея настоящие способы да­ ют заниженные значения частоты. Поэтому они полезны в ком­ бинации с энергетическим способом; при этом для истинного зна­ чения частоты получают две крайние оценки.

47

рать и фиксировать точку приведения, чем обеспечивается пол­ ная определенность решения.

В случае, когда вместо сосредоточенных масс имеется распре­

деленная масса т = т(х), формула				(47) приобретает вид
_		i	m(x)dx
		р
Щ = с0 \ - у
		J	с{х)
и, следовательно,		о
		i
1	_
		Г т (х) dx
Р*	“	J	с(х)	’
		о
где с(х) — коэффициент	жесткости,			соответствующий точке с
абсциссой х.

Опираясь на теорему Рэлея, можно убедиться, что формула Донкерлея дает всегда заниженное значение для частоты.

Рассмотрим первую «частную» систему, содержащую единст­ венную массу ти и определим собственную частоту по формуле (31). Если в эту формулу подставить форму колебаний, соответ­ ствующую одномассовой системе, то получится точное значение частоты р\. Положим, однако, что в эту формулу подставляется форма колебаний заданной многомассовой системы; тогда фор­ мула даст результат, превосходящий истинное значение квадрата частоты р\,

\\EJ(n2dx]:m ia!>pl

Далее можно записать аналогичные неравенства для осталь­

ных «частных» систем:	i
i
[j EJ (f")“dxj: m2al > p i;	[J EJ (f'fdxj: tmal > p i---
о	о
Обращая дроби, находим

Сложим левые и правые части полученных неравенств: 2/п.а?

§EJ(n*dx	Pi	Р%	PI

49

Так как f(x) есть истинная форма колебания заданной много­ массовой системы, то согласно формуле (31) левая часть точно равна 1 : р%, где ро— истинная частота; следовательно,

2	^ 2 '	2	' " *" * 9
РЬ	Р\	р\	Рп
Сравнивая это	неравенство с		формулой (48), видим, что

р < ро, как и утверждалось выше.

Пример 5. Найти по формуле Дщнкерлея частоту для балки, изображен­ ной на рис. 23.

Рассмотрим данную систему трижды, учитывая каждый раз поочередно одну из масс. Для первой схемы (см. табл. 1) находим

2	3 . 1296EJ	EJ
Pl =	25т/3	155,5 ml3

Тот же результат относится и к третьей схеме:

EJ

р| = 155,5

ml3 ’

Для второй схемы

48FJ

р\ = ml3

По формуле (48) вычисляем величину, обратную квадрату частоты,

1	ml3	^ .	mF	ml3
Р2	155,5EJ *	^	48£7	0,03368
				EJ '
Следовательно,
P =	EJ		5,449
	0,03368ml3		/

этот результат отличается от точного на 5,5%и дает ошибку другого знака, чем все результаты, полученные по формуле Рэлея. Основываясь на результатах

двух заведомо приближенных расчетов по		формулам (31) и (48), можно ут­
верждать, что истинное	значение частоты	заключено		в сравнительно узких
пределах:
5,449	< Р <	5,696	f	EJ
I		I	у	ml ’

Способ, разложения восстанавливающих сил был предложен для случая поперечных колебаний стержня, нагруженного растя­ гивающими усилиями (см. рис. 26).

Приближенное значение собственной частоты можно получить энергетическим способом по формуле

(49)

50

Подставив сюда подходящее выражение ддя формы колеба­ ний, получим приближенное завышенное значение частоты. Одна­ ко формула (49) позволяет построить иное приближенное реше­ ние, дающее заниженное значение частоты.

Рассмотрим первое слагаемое правой части формулы (49). Оно определяет квадрат частоты колебаний в стержне без про­ дольной нагрузки р\ . Если в это выражение подставить истин­

ную форму колебаний балки, нагруженной продольными силами, то результат, как и всегда при пользовании энергетическим спо­

собом, будет завышенным:	i
i		(50)
[J EJ (f")*dx]: [ fmf-Л ] > pi.
о	о

Рассмотрим второе слагаемое правой части формулы (49), ко­ торое соответствует случаю, когда стержень не обладает изгибной жесткостью; это слагаемое определяет квадрат частоты ко­ лебаний нерастяжимой нити. Используя соответствующую точ­ ную форму колебаний, получим точное значение квадрата колебаний нити р|. При всякой другой форме f(x) частота полу­

чится с завышением; если в качестве такой формы опять-таки принять истинную форму колебаний заданной балки, то будет выполняться неравенство

[\N (rfdx]:H m pdx\>pi.		(51)
о	о
Подчеркнем, что в неравенствах (50) и (51) f(x)		есть одна и

та же функция — истинная форма колебаний в заданной систе­ ме. Складывая левые и правые части обоих неравенств, получим

i	i	i
Г Г EJ (f)*dx + \ N {f'fdx]:		[ fm f* ] > pi + pi.
о	о	0

Согласно формуле (49) левая часть неравенства равна ква­ драту истинной частоты р\ , поскольку f(x) есть истинная форма

колебаний. Поэтому pjj > р\ + р\. Сумму р\ + р| = р2 можно

принять за приближенное значение квадрата частоты; как видно, она меньше истинного значения.

Таким образом, вычисление собственной частоты растянутого стержня требует предварительного вычисления частот для двух частных систем: нерастяжимой балки и гибкой нити. Первая за­ дача может быть решена любым из изложенных способов; реше­ ние ©торой задачи очень просто, если учесть, что точной формой колебаний нити является прямая линия,

№ = а - у ,

где а — перемещение конца нити.

51