книги / Прогнозирование долговечности и диагностика усталости деталей машин

Известные значения неварьирующих параметров уравнения кривой усталости и функции распределения значений предела выносливости дают возможность вос­ произвести:

зависимость числа циклов до разрушения от величи­ ны напряжения с любой вероятностью разрушения или неразрушения;

зависимость вероятности разрушения или неразруше­ ния от числа нагружений в широком диапазоне значений напряжений;

зависимость вероятности разрушения или неразрушеиия от величины напряжения в широком диапазоне фиксированных значений числа нагружений.

В случае нормального распределения значений пре­ дела выносливости

— 1	—1
	7
о
где G r p = M ( o r) +tS(or) — частное значение	предела вы­
носливости, соответствующее вероятности	Р; М(ог) и

5 (сгг) — математическое ожидание и квадратичное от­ клонение значений предела выносливости совокупности

деталей; t — квантиль нормального		распределения, со­
ответствующая вероятности Р.		построение вероят­
В качестве	примера рассмотрим
ностной диаграммы усталости для		совокупности дета­
лей, имеющей	значения неварьирующих параметров

уравнения кривой усталости Q= 8,9-108 МПа-цикл, и0 = =46,2 МПа и функции нормального распределения зна­ чений предела выносливости М(ог)= 411 МПа, 5(а,) = = 30,4 МПа.

На рис. 1.30 представлены кривые усталости при раз­ личных значениях вероятности разрушения. Их назы­ вают кривыми равной вероятности разрушения. При прочностных оценках семейство кривых равной вероят­ ности разрушения или неразрушения (Р = 1—Р) дает возможность решать задачи выбора допускаемых напря­ жений, оценки вероятности разрушения или неразруше­ ния и назначения срока службы деталей. Например, в рассматриваемом случае:

обеспечение вероятности	неразрушения 0,9999 (Р =
=0,0001) в течение срока	службы, соответствующего

71

2 • 107 нагружений, требует, чтобы действующее напряже­ ние не превышало 299 МПа;

вероятность неразрушения при напряжении 390 МПа в течение срока службы, соответствующего 166 циклов, равна 0,99 (Р=0,01);

можно допустить не более 2-106 нагружений при на­ пряжении 329 МПа в том случае, когда условия эксплуа­

тации ограничивают возможное число разрушений 0,1% от общего числа нагружаемых объектов.

На рис. 1.30 показана зависимость вероятности раз­ рушения от числа нагружений. Штриховыми линиями ограничены зоны экспериментальных значений вероят­ ностей разрушения для случаев испытаний 20, 200, 2000 объектов. За предельные значения вероятностей прини­ мали 0,5/п и 1—0,5/я при п = 20, 200, 2000. Из графика видно, что форма кривой, характеризующей зависимость

72

вероятности разрушения от числа нагружений в полу­ логарифмической системе координат, определяется фор­ мой кривой усталости, уровнем перегрузки (отношением действующего напряжения к среднему значению преде­ ла выносливости), величиной дисперсии значений преде­ ла выносливости и числом испытанных объектов. Имен­ но этими факторами, а не наличием порога чувствитель­ ности по циклам [148, 149] объясняется отклонение экс­ периментальной зависимости вероятности разрушения от числа нагружений в логарифмически нормальной си­ стеме координат от прямой линии, особенно четко наблю­ даемое при низких значениях степени перегрузки и при больших объемах выборки.

Из рисунка также видно, что при небольших объемах испытаний и высоких уровнях перегрузки для описания экспериментальной зависимости вероятности разрушения от числа нагружений может быть использована логнор­ мальная функция распределения долговечностей.

Число объектов, которое может быть доведено до раз­ рушения при испытаниях в условиях действия фиксиро­ ванного напряжения, зависит от уровня перегрузки, чис­ ла нагружений и количества нагружаемых объектов. Так, при уровне перегрузки 1,4 на базе 106 циклов наибо­ лее вероятно, что до разрушения будут доведены все из 20, 200 и 2000 нагружаемых объектов, а при уровне пе­ регрузки, равной единице, на базе 2 -107 (или 108) циклов независимо от объема выборки будет разрушено около 50% объектов.. В случае испытания 20 объектов при сте­ пени перегрузки 0,8 на базе 2-107 (или 108) циклов наи­ более вероятны случаи неразрушения объектов, а при увеличении выборки до 200 или до 2000 объектов можно ожидать разрушения лишь незначительной части нагру­ жаемых объектов.

Зависимости вероятности разрушения от числа нагру­ жений могут быть использованы для оценки предельной базы при испытаниях на усталость. Так, для рассмат­ риваемой совокупности деталей достаточной базой испы­ таний является 107—2-107 нагружений, так как испыта­ ния до большей базы, например 108 нагружений, не да­ ют дополнительной информации.

Кроме того, на рис. 1.30 представлены зависимости вероятности разрушения от величины напряжения при фиксированных числах нагружений. Вид зависимостей

7S

определяется в основном функцией распределения зна­ чений предела выносливости. От параметров уравнения кривой усталости зависят только значения напряжений, соответствующие вероятности разрушения 0,5, и неболь­ шое уменьшение дисперсии напряжений с уменьшением фиксированного значения числа нагружений.

Предлагаемое решение задачи оценки зависимости вероятности разрушения от величины напряжения и чис­ ла нагружений в области многоцикловой усталости мо­ жет быть использовано и в тех случаях, когда нормально распределена не величина предела выносливости, а зна­ чения функции предел а,выносливости.

Необходимо также отметить, что для решения той лее задачи могут быть использованы и другие уравнения кривой усталости [90, 91] при условии достаточно точ­ ной сходимости расчетных и экспериментальных зависи­ мостей:

В области малоцикловой усталости для построения вероятностных диаграмм усталости может быть исполь­ зовано уравнение (3). Достаточно точным для практики инженерных расчетов является допущение, что характе­ ристика угла наклона кривой усталости v не варьирует в пределах совокупности деталей и рассеяние выносли­ вости деталей обусловлено рассеянием предела прочно­ сти и числа циклов до точки верхнего перегиба. При этом

S (In Н) =		V	»
где 5 (In Я), 5 (a )	и 5 (а в) — квадратичные отклонения
логарифма числа	циклов до точки		верхнего перегиба

кривой усталости, разрушающего напряжения на наклон­ ном участке кривой усталости и предела прочности. При равенстве квадратичных отклонений предела прочности и разрушающего напряжения квадратичное отклонение логарифма числа циклов до точки верхнего перегиба кривой усталости равно нулю. Рост величины In Я с ро­ стом вероятности разрушения будет наблюдаться при

5 (а) > 5 (ав) , а снижение — при 5 (а) < 5 (ав) •

В случае нормального распределения предела проч­ ности и разрушающего напряжения распределение ве­ личины In Я также описывается функцией нормального распределения.

74

При известных значениях характеристики угла на­ клона и параметров распределения предела прочности и логарифма числа циклов до точки верхнего перегиба кривой усталости (или разрушающего напряжения на наклонном участке кривой усталости) могут быть по­ строены зависимости числа циклов до разрушения от величины напряжения при фиксированной вероятности разрушения (или неразрушеиия); вероятности разруше­

ния (или неразрушеиия) от числа нагружений при фик­ сированных уровнях напряжений; вероятности разруше­ ния (или неразрушеиия) от величины напряжения при фиксированных значениях числа нагружений. Исполь­ зуется уравнение (3) в записи

о = Овр — v In

или

(Т = СТ„Я — v In

В качестве примера на рис. 1.31 представлена веро­ ятностная диаграмма в области малоцикловой устало-

75

сти для	совокупности объектов, имеющих характеристи­
ку угла	наклона кривой усталости ц= 86,9 МПа и сле­

дующие параметры нормальной функции распределения значений предела прочности: М(сгв)=800 МПа, 5 (а в) = = 20 МПа и значений логарифма числа циклов до точки верхнего перегиба кривой усталости: М(\пН) =6,91, 5(1пЯ) =0,115.

Штриховой линией показана зависимость In Я от ве­ роятности разрушения. Частные значения lntfp опреде­ лялись по формуле

In Яя = М(1п Я) + tS( In Я),

где t — квантиль нормального распределения, соответ­ ствующая вероятности разрушения Р.

1.3.2. Зависимость вероятности разрушения от числа нагружений

Распространен метод испытаний при фиксированной нагрузке партии (выборки) деталей до разрушения всех или части нагружаемых объектов. Полученные значения чисел циклов до разрушения располагают в вариацион­ ный ряд, для которого подбирают функцию распределе­ ния случайных значений и вычисляют ее параметры. Как показывает практика таких оценок, эксперимен­ тальные зависимости вероятности разрушения от числа нагружений достаточно хорошо аппроксимируются лога­ рифмически нормальной функцией и функцией Вейбулла. Исходя из значений выборочных параметров и-объ­ ема выборок, определяют доверительные интервалы для параметров распределения генеральной совокупности, причем размеры последних тем меньше, чем больше объ­ ем выборок.

Этот метод ранее был нами использован [150] при оценках рассеяния долговечностей образцов сталей 1Х18Н9Т, ЗОХГСА, 2X13 и сплава АМГ6. При высоких уровнях перегрузки (более 1,2—1,3) и небольших объ­ емах выборок (10—30 объектов) метод хорошо описы­ вает результаты экспериментов. С уменьшением уровня перегрузки и увеличением объема выборки при высоком уровне перегрузки экспериментальные значения долго­ вечностей существенно отличаются от значений, вычис­ ленных с использованием логарифмически нормальной

76

функции или функции распределения Вейбулла, что сле­ дует из рассмотренной ранее вероятностной диаграммы усталости (см. рис. 1.30). Для устранения наблюдаемых расхождений в функцию распределения случайных зна­ чений чисел циклов до разрушения вводят третий пара­

метр — порог	чувствительности по циклам,	рассматри­
вая в качестве случайной величины не число		циклов до
разрушения,	а разность этой величины и порога чувст­

вительности по циклам. Как математический прием об­ работки экспериментальных данных такой подход не вызывает возражений, но только до момента, когда это­ му действию начинают приписывать смысл определения числа циклов с нулевой вероятностью разрушения.

Непреодолимые трудности при чисто статистическом анализе рассеяния долговечностей возникают и в тех случаях, когда уровни перегрузки меньше единицы. При этом до разрушения можно довести лишь менее 50% поставленных на испытания объектов, а данных такого неполного вариационного ряда недостаточно для оцен­ ки параметров функции распределения долговечностей.

В области многоцикловой усталости в качестве мето­ да обработки результатов испытаний при фиксирован­ ном уровне напряжений более универсальным является использование метода оценки параметров уравнения кривой усталости и функции распределения значений предела выносливости. Метод достаточно надежен для области испытаний, в которой справедливы как исполь­ зуемое уравнение кривой усталости, так и принятая функция распределения значений предела выносливости.

В качестве примера, иллюстрирующего использова­ ние уравнения кривой усталости (1) и функции нормаль­ ного распределения значений предела выносливости для воспроизведения зависимостей вероятности разрушения от числа нагружений в области многоцикловой усталости при фиксированных уровнях напряжений, рассмотрим обработку результатов уникального эксперимента Ф. Бастэнера с сотр. [54].

В условиях изгиба с вращением на уровнях напря­ жений 400, 420, 450, 480, 510 и 540 МПа испытывались гладкие цилиндрические образцы с шейкой 7,62 мм из хромистомолибденовой стали 35СД4, подвергнутой изо­ термической закалке и отпуску. На каждом уровне ис­ пытывалось по 100 образцов. Частота нагружений рав-

77

нялась 100 Гц. На уровнях напряжений 400 и 420 МПа до разрушения исследователи смогли довести только часть образцов. Результаты испытаний представлены на рис. 1.32 в логарифмически нормальной системе координат, где по оси абсцисс отложены значения логарифма числа нагружений, а по оси ординат — значения квантили нор­ мального распределения.

Среднее значение предела выносливости, равное 409 МПа, определено по результатам испытаний методом

Рис. 1.32. Зависимость вероятности разрушения образцов из стали 35СД4 от числа нагружений в условиях изгиба с вращением

вверх-вниз 21 образца. Так как при нормальном распре­ делении случайных величин среднее значение равно ме­ дианному, то найденное среднее (409 МПа) является параметром уравнения кривой усталости при 50%-ной вероятности разрушения. Используя среднее значение предела выносливости и медианные значения чисел цик­ лов до разрушения для всех уровней напряжения, кроме 400 МПа, были определены параметры уравнения кри­ вой усталости: и0=39 МПа; Q= 6,75-108 МПа-цикл.

Найденные значения неварьирующих параметров уравнения кривой усталости и экспериментальные зна­ чения чисел циклов до разрушения при вероятностях разрушения 0,1 и 0,9 позволили определить соответст­ вующие этим вероятностям значения предела выносли­ вости и его квадратичное отклонение 5 = 1 7 ,9 МПа.

Известные значения параметров уравнения кривой усталости и функции нормального распределения дают возможность воспроизвести зависимости вероятности

78

разрушения от числа нагружений при фиксированном напряжении по следующей схеме:

задаемся рядом значений вероятности разрушения в интересующем нас интервале;

для каждого значения вероятности разрушения из таблицы функции нормального распределения [152, 153] находим значение квантили /;

для ряда значений квантили по среднему и квадра­ тичному отклонению находим ряд значений предела вы­ носливости, соответствующий заданному ряду вероятно­ стей разрушения;

используя уравнение кривой усталости, неварьирую­ щие параметры этого уравнения, значение фиксирован­ ного уровня напряжений и ряд значений предела вынос­ ливости, определяем ряд значений чисел циклов до раз­ рушения, соответствующий заданному ряду вероятно­ стей разрушения.

Для всех шести уровней напряжения, в том числе и

для уровня ниже	среднего	значения предела выносли­
вости, расчетные	зависимости вероятности разрушения
от числа нагружений (рис.		1.32) хорошо описывают ре­

зультаты эксперимента, при этом не было необходимости вводить дополнительные параметры типа порога чувст­ вительности по циклам.

Следовательно, четыре параметра двух уравнений, полученные в результате обработки экспериментальных данных, позволяют получить зависимости вероятности разрушения от числа нагружений при любом фиксиро­ ванном напряжении во всей области многоцикловой усталости. Для воспроизведения зависимостей вероят­ ности разрушения от числа нагружений при фиксирован­

ном	напряжении	в области малоцикловой усталости
предлагается уравнение
	* = / o + p l g ( - ^		+ 1 ) .
где	to— квантиль	нормального	распределения, соответ­

ствующая вероятности разрушения		на первом цикле
нагружения; р= 2,3у/5(а);	НР— значение числа		циклов
до точки верхнего перегиба	кривой	усталости,	соответ­

ствующее вероятности разрушения на первом цикле на­ гружения.

При напряжениях переходной зоны между малоцик-

79