книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

а)

			З а т у х а н и е					ЭХО Вj,
0)	2	1,9 18	1,7	1.6	1.5	14		1,3		1.2		1,1				1,0
	V^-Л-!.'		i ' J_i!		I w	l ' -Vi1»1!1»1 I				Н Ч	1IJ	1 11ЧЧ 111■111
& Ц5 0,4			0,3	0,2		0,1*	■		0 05			0,010,002 Одб
		x *	f
	№			I1! , . I			I		{',w			vtUf		VfUUt,		и
		Г I I1. I I I			I'l I ■I ,■■■.!			f l‘l I |>!		I	\ if f ! 1*1'■				\ 11, 1		у
	as		0,6		0 , 7			0,8				0,9	*,/*»			1,0
в/	2	1 ,9 1 .8	1.7	1,6	1 .5	1 ,4		1 ,3 .		1 ,2		1 J R i (			R>	1 ,0
							.,1
	U	, l .i i , i	I , i	. l , i	] и у <| n			I ,,»	I , I	^		2.5		30	4006
	10				15				20
	I*T ^ < | 11 i I | 11 I ‘ I 1 1 *i I I I T i lr i ‘ |t i ' » ^									| * r H ‘T [V i, M f H ' l i -l
	0 ,5		0 , 6		0 ,7			0 , 8				0 ,9 R / R				1 ,0

Рис. 46. Графики для расчета; а— затухания или усиления взаимодей­ ствия; б — затухания вследствие отражения между сопротивлениями Ri и Rs; в — возвратного затухания между сопротивлениями Ri и R2. Эти кривые охватывают диапазон, обычно необходимый для полос пропу­ скания и непропускания (для меньших, затуханий см. рис. 45).

взаимодействия, определенное по кривым, приведенным на рис. 46, оказы­ вается равным 0,12 дб.

В результате:

затухание	вследствие отражения. . . .	0,062*2 = 0,124 дб;
затухание	взаимодействия...................................	0,12 дб
рабочее затухание....................................		0,244 дб.

Если необходимо этим методом определить рабочее затухание на частоте среза, следует учитывать потери в элементах или пред­ положить произвольно, что они очень малы. В противном случае затухание вследствие отражения и коэффициент взаимодействия стремятся к бесконечности. Расчет может быть произведен также для двух частот, близких к частоте среза и расположенных с обеих сторон от нее.

Пример 16. Для фильтра, рассмотренного в примере 15, определим рабо­ чее затухание на частотах, расположенных на 1% выше и на 1°/о ниже ча­ стоты среза. Все расчетные данные для фильтра нижних частот (прене­ брегая потерями в элементах) сведены в табл. 17.

Таблица 17

Расчет рабочего затухания фильтра нижних частот (потерями в элементах пренебрегаем)

			х =	0,99		л: = 1,01
Значения	Из рис.			Величина		Из рис.	Величина
Ве	17		от= 0,44 0,7 R			18		j 0,7	R
	17,	46		15 дб		37		0 ■< 70°
Вг	17,	46		0,14 дб		18, 41		— 2,8 дб
Вс				0		8, 9, 10	0,44	2,9 дб
						от =
							66	1,9
							1,00	1,2	12 дб
								6,0 х 2
<*с		от =	0,44 72е				3 X 180е
			0,66	78°
			1,00	82е
Р (эквив.)			232 X 2 464°				140°
				152°
Bh	46			30 дб				24 дб
Bt				0,25	дб	46	0,42 дб
				0,53	дб		6,82 дб

Очевидно, что затухание на частоте среза увеличивается на­ столько резко, что необходимо производить вычисления значи­ тельно ближе к частоте среза, чем это было сделано в предыду­ щем примере. Однако это связано с некоторыми неудобствами,

поэтому, если требуется точный расчет затухания		на частоте
среза,	следует пользоваться методом, описанным в	этой главе
ниже.

§ 2. ФОРМУЛА, СОДЕРЖАЩАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Уравнения четырехполюсника в значениях характеристических сопротивлений и характеристической постоянной передачи при обозначениях, указанных на рис. 47, будут иметь следующий вид:

{Set

Z C2

Рис. 47. Принятые обозначения величин, вхо­ дящих в уравнения четырехполюсника.

V Z j t = V Z a U < h g£+ - ^ s h & ,

- ± . Ü i = - ^ L c h g c + y Z T , U sh g '.

Отсюда рабочая постоянная передачи g„ определится как:. 1

eg?	_ £	л Г г > - У ï			+ V *
	2Û3	У	Zi		2
+ V ^ + V * « s h e - y L £ ï .
где			__Zcl y		Zç
		~
					Z, ’
			eSei :	1 +	Z j

1— Zl ’

eSt2— 1+ z» ® ~ 1- 2Г

Если характеристическое затухание равно нулю, то chgc= cos ас\ shgc = j sinac и мы получаем формулу для расчета рабочего затухания в полосе пропускания:

Вр= 101g[l + Sin4(17г^г,)' + cos4 (^ r ] .

1 В оригинале книги в последующей формуле имеется ошибка, которая здесь исправлена. Не следует путать используемые в этой главе обозначе­ ния z, Zi и z2 с модулями z, Zj и Zj полных сопротивлений z, Zi и zs, исполь­ зуемых в других главах книги (Прим, ред.)

тогда как рабочая фазовая постоянная ар может быть определена из выражения:

1	Z \Z o
tg aP= Z i +	Za tgfle-

Дальнейшие упрощения этих выражений будут рассмотрены ниже.

§ 3. КОМБИНИРОВАНИЕ ЗАТУХАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, ЗАТУХАНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ ОТРАЖЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫХ ТЕОРЕМ

Приведенное выше выражение для рабочего затухания, когда характеристическое затухание равно нулю, очевидно, представляет собой волнистую частотную характеристику с огибающими, под­ чиняющими следующим законам:

					( 1	- \ - Z t Z a) a
				Æenvi — Ю lg		4ztza
При	COSflc =		0,
и					( Z t + Z		S)*
				Benva— Ю lg		4ziza
при	sinac=		0.
Если затухание мало, то
				Вря» BenVlsin \ - f BellVaco s4 ,
				B e „ „ ^ l,1 7 (l		-	[дб],
				Bern,™ 1,17 — g		—	Ш
Симметричные и антисимметричные окончания. Говорят, что
фильтр		имеет		симметричные сопротивления на зажимах, если
zl =	zi,	т. е.		если оба	конца идентичны, и антисимметричные
сопротивления				на зажимах, если zlzi= l , т. е. если одно характе­
ристическое сопротивление типа Zcnm» а второе								типа Z cтт при
одинаковых			значениях т и при # = # г .					нулевой,	а дру­
В любом случае одна огибающая становится
гая	будет определяться				по формуле:
				B .n v = 1 0 1 g ^ 4 ^ - [3 6 ],
которая		равна		затуханию вследствие отражения				между z	1 ,
									и — и

приблизительно равна четырехкратному затуханию вследствие от­ ражения между характеристическим сопротивлением и сопротивле­ нием нагрузки на одной из пар зажимов.

Для симметричных и антисимметричных характеристических сопротивлений оконечного звена рабочее затухание может быть определено из следующих выражений:

а) для

симметричного

В о &

Æ env sin8ас,

б) для

антисимметричного

В р

B e n v

COS Ctç.

Фаза. Фаза приближенно может быть определена из следующего

выражения:

г

а — а 4 -

Bp„„t — В0—« .

«

* ie

” envl

genv2 sin

2а.

« р —

“ с “ Г

17,4

с

1.6

или

(радиан),

, ,

d p

—

d c - j -

3 , 3 ( 5 env l

—

в en v2)

S in

2ac (градусы).

;

Очевидно,

что поправка

на

0.9

фазу

обычно несущественна,

о.в

> ° * * * \ *

Геометрическое место то­

7

/

О*

чек огибающей

(env).

fie n v 2 =

Ю lg

=

( - + 1)9

as

0,6

OJ 0,60.9!

1,2 1,4

1,61.8 2

R,

=

ю i g & - —L

4Ь

Рис. 48. Граница значений рабочего за­

Тогда

Zi

тухания фильтра, не

имеющего

потерь

в элементах (в полосе пропускания).

В env2

Затухание

принимает

значения

между

=

в 4

) ’

^envi и ^envg•

где

•®envl---&г (zlz2)»

Вг( г ) = т & Ц ^ ,

и равно затуханию вследствие отражения.

построенные в лога­

Следовательно,

величины В епЧ2

и

В еПч\,

рифмическом масштабе (по логарифмической

шкале)

в плоскости

zu z2, представляют собой прямые линии с наклоном + 1

и — 1

соответственно.

графически

представлен

на

рис.

48 и является

Этот случай

основой для

расчета согласования сопротивлений

в тех случаях,

когда характеристические сопротивления на обоих концах совер­ шенно различны, т. е. одно из них — характеристическое сопро­ тивление прототипа, а другое m-производное. Э т о т вопрос будет еще рассматриваться в гл. 7.

1. Влияние потерь

Если характеристическое затухание имеет конечное значение, то затухание взаимодействия уменьшается, а общее затухание увеличивается. Теперь синусоидальный характер изменения рабо­ чего затухания (см. рис. 49), рассчитанного по описанному выше методу, обусловлен исключительно изменением коэффициента взаимо­ действия, вызванного изменением фазы. Увеличение характеристи­ ческого затухания на 3 дб приведет к увеличению затухания эхо на 6 дб и к уменьшению затухания взаимодействия или усиления

Рис.	49. Влияние характеристического затухания		Вс на
	затухание	в полосе пропускания.
в отношении	2 :1 . Обычно	в полосе пропускания	характеристи­

ческое затухание не превышает 1 дб (за исключением полосовых фильтров), поэтому затухание взаимодействия уменьшается весьма незначительно и эффект в основном заключается в добавлении характеристического затухания.

Затухание огибающей порядка 0,2 дб достигается сравнительно легко. Когда характеристическое затухание около 1 дб, колеба­ ния кривой уменьшаются незначительно.

2. Рабочее возвратное затухание (в полосе пропускания)

Под этим затуханием подразумевается возвратное затухание между действительным входным сопротивлением фильтра и сопро­ тивлением источника, в то время как характеристическое возврат­ ное затухание определяется характеристическим сопротивлением. При отсутствии характеристического затухания рабочее возвратное затухание одинаково для обоих концов фильтра и соответствует рабочему затуханию передачи согласно соотношениям для затуха­ ния, рассогласования, которые приведены на рис. 40.

В фильтрах с симметричными или антисимметричными окончани­ ями рабочее возвратное затухание как минимум на 6 дб меньше характеристического возвратного затухания. Это соответствует отражениям от обоих концов фильтра, сложенных в фазе, и имеет место на тех частотах, на которых рабочее затухание передачи достигает максимума.

Если потери в элементах отсутствуют, то по кривым, приведен­ ным на рис. 40, можно определить, что рабочее возвратное зату­ хание, равное 14 дб, соответствует затуханию передачи, равному 0,18 дб, тогда как рабочее возвратное затухание, равное 20 дб, соответствует затуханию передачи меньше 0,05 дб. Влияние потерь приводит к улучшению рабочего возвратного затухания до тех пор, пока при большом значении характеристического затухания оно не будет равно характеристическому возвратному затуханию.

3. Рабочее затухание на частоте среза

На частоте среза характеристическое сопротивление очень вели­

ко или очень мало и имеет фазовый сдвиг

а характеристи­

ческая фазовая постоянная отличается от той величины, какую

она имеет при отсутствии потерь (о или dt-J- на полузвено|, на

величину коэффициента затухания (в натуральных единицах). Поэтому выражение для определения рабочей передачи при­

нимает вид:

				Я
				ьс / ± - г
			2 У & Г	/ 2*1*;
где г' — —		если оконечное звено имеет характеристическое сопро-
1	Ri ’	тивление, аналогичное		сопротивлению со стороны
z'__		Т-образного	входа;
	Zcl '	если оконечное звено имеет характеристическое со-
1		противление,	аналогичное сопротивлению со стороны
Индексы		П-образного	входа.		к концам фильтра 1
		1 и 2 относятся соответственно
и 2, причем		имеется в виду, что нагрузки Ri			и R$ безреактивные.
Если	характеристические сопротивления				оконечных звеньев

типа характеристических сопротивлений звеньев с постоянной т,

т. е. 2стт или	гспт (за	исключением характеристических сопро­
тивлений производных		полосовых	фильтров с	несимметричной
характеристикой), то получим:
_£•„	Мя т/~£а I	Щ 1 Г Pi	^ -\ГГ~Г	*с
	mi У Pi	И*а У ps _4_
е р=	-------------- 2---------------—		Pipa •	у~=Г »

с*

' =

где	Шх и	т 2— коэффициенты т для оконечных полузвеньев,
a 8' = 8i-j-Sc — для				фильтров верхних или нижних частот;
(о£-{-8с) -		/^1	— для	полосовых фильтров;
'	Х%^
	Pi =	^ r — для		зажимов со стороны Т-образного входа;
	Pi =	О
		^ — для зажимов со стороны П-образного входа;

При малых значениях коэффициента потерь У характеристи­

ческое затухание Ъс пропорционально Y	Для полузвеньев с по­
стоянным т
ьс __JLy_L
/ 2В7 2 jLm »

для полузвеньев четырехэлементного полосового фильтра на ниж­ ней частоте среза

ье —	1	V 1
/2 8 '	2 (^9+ ^ ! ) ^ [I ’

для звеньев четырехэлементного фильтра на верхней частоте среза

ьс __	1	у
/28'	2 (Ха XÎ)	^

где

Для фильтров с постоянным т с р1= ра= р окончательный результат будет:

	nii	. Wa
£ р= 10 lg	то	2 mi	+(«.m*4 2 !ïr)*дб.
В том случае, когда		=	т. е. в случае симметричного

или антисимметричного фильтра

Заметим, что в сумме 2 йГ имеется слагаемое для каждого

полузвена схемы.

mt указывает на величину т для оконечных характеристи­

ческих сопротивлений. Фазовый сдвиг	ас тогда определяется из
выражения
tg a'	»

где

ас = ± {т — а!).

Если применяются четырехэлементные звенья,

заме-

У !

няется выражением— г -— или —У — (это видно из приведенных

Х1-Г-*8

выше в этом параграфе формул для таких звеньев).

Если имеются звенья полосовых фильтров как с симметрич­ ными, так и с ~несимметричными характеристиками, то можно пользоваться формулой для четырехэлементных звеньев, и тогда

каждая частота пика затухания будет добавлять к сумме по

одному члену на полузвено.
Пример 17. Фильтр нижних частот имеет								структуру
	1	,	«г, 1		С Шл =	0,51, «а =			0,64 и
	у	OTi +	/Г + у « j
			— =		0,798,		-	= 1,96,
							/71л	’	’
			— = 1,254				- = 1 ,5 6 ,
							ша
			2 =		2,052,	2 1		= 2,00,
		mi , та				2 5 - = W
							у	1
		И> 2 * ‘ =			1,026		^	= 2,76,
		(1,026)»= 1,052,				р/ЛлШа=			0,376,
			т±
			Ал т p/nIms = 1,04.
			tjh	,	щ \»
			ma ‘ mt \
	5 p ==101g
		=	10 lg [1,052 + (2,76 • 0,376)»] = 3 ,3 дб.
Пример	18.	Полосовой		фильтр		с	несимметричной характеристикой
(см. пример	28) имеет		^ = 0 ,8 ;		д* =	1,25;	одно		звено постоянной К, два

четырехэлементных звена и схему следующего вида

с рл = 0,38 и = 0,51, Коэффициент согласования для обеих оконечных на­ грузок взят равным р = 0,78. Характеристическое сопротивление оконечных полузвеньев равно ZcT.

В этом

случае

« / = 1 ,

т*р» =

(0,78)» = 0 ,6 .

Звено

постоянной

К.

соответствует

двум

четырехэлементным звеньям

с частотами

бесконечного

затухания

рл =

0,8 и

1,25, так что

1

t i

l

1

1

\ |

1

V

7

— становится

2

-----:----- /

—

2

Ал т

Ал у.

или

2(Xi+ x tу

лг,-j-л;, =

2,05, тогда эти

члены

становятся равными 3,24 и 1,43, а затухание

равно

,

10 lg [1 +

(0,6 • 3,24)»]

и

10 lg [I +

(0,6 • 1,43)*],

или 6,8 и 2,4 дб на частотах среза, расположенных ниже и выше полосы пропускания соответственно.

И—

0,38	2,63
0,51	1,96
0,80	1,25
1,25	0,8
£ = 2,94	6,64

Влияние потерь. Полученные выше результаты являются точ­ ными, когда характеристическое затухание равно нулю. При малых значениях Ьс увеличение рабочего затухания пропорциональ­ но Ы и, следовательно, прямо пропорционально коэффициенту

потерь 8 (так как ЬС= УЬ на частоте среза). По кривым, при­ веденным на рис. 50, можно рассчитать рабочее затухание на ча­ стоте среза симметрично и антисимметрично нагруженных фильтров.

По абсциссе отложено затухание В0, равное рабочему затуха­ нию при отсутствии потерь в элементах. По ординате отложено приращение затухания ДВ, которое следует добавить к характе­ ристическому затуханию для получения полного затухания.

		в »	=	1 0	! g	[ l + д б - ( m ! -J- 2 1 S ’) *
				( R =	R	r ) .
Т =	mi	=. mt — величина т-оконечного звена;
1		VQ	I	f
		f
-QT — {h				— Для полосового фильтра;

—и для фильтров нижних и верхних частот.

Вправой части рис. 50 кривые приближаются к асимптотам, которые соответствуют затуханиям вследствие отражения.

Для полосовых фильтров с несимметричными характеристиками

сумма	заменяется выражением
	£ fX
	или	X i - J - X s
	Х \ - | - Л Г з

на частотах среза, расположенных выше и ниже полосы пропуска­ ния соответственно. Следует снова подчеркнуть, что в каждой сумме на полузвено фильтра приходится один член.

Пример 19. В примере	18	предполагалось, что катушки имеют доброт­
ность Q = 160, что потери	в конденсаторах пренебрежимо малы и что					око­
нечные нагрузки равны R. Тогда имеем, что затухание В0 без					потерь равно
10,5 и 4,8 дб на частотах среза, расположенных			ниже и	выше	полосы	про­
пускания соответственно
T = —t	Q '	Q' =	1 6 0 ^ =	36.
mi V		6	2,05