книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

Более важной является высота минимума затухания. Наиболее изменя­ емым из всех минимумов будет первый при jy = 1,14. Ниже приводится расчет изменений, при у = 1,14.

Если у = 1,14, то-- ^	— =		2,1,
У У - 1
т = 0,58,	“	=	7 =	0,931,	_ L	- =	7I5,
	Усо				1	(
т — 0,43,	Х	= т =		1>027,		—=	18.
	У со				— г

Отсюда находим, что допуск на резонансную частоту контура, состо­ ящего из Z.3 и Сз, возрастает почти в пять раз.

Изменения затухания фильтра нижних частот, приведенного на рис. 111, при /= 1 ,1 4 /с в десятых долях децибелла на элемент (при изменении резо­ нансной частоты на величину порядка 1,2%) приведены в табл. 43.

Таблица 43

Изменения затухания фильтра нижних частот, схема которого приведена на рис. 111, на частоте / = 1,14/с в десятых долях децибелла на элемент (при изме­ нении резонансной частоты на 1,2%)

Элементы		w'x или W x	Vx
Ci,	Съ	0,6	15
С2,	Cj	1,7	—
С3	’	0,9	36
С4,	Со	1,5	—
£ 2, £4		2,1	---

§ 3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ ЭФФЕКТОВ

1. Линейное сложение

Допустим, что мы имеем функцию Y от нескольких перемен­ ных Х и Х2, . . . Х п

Y = f ( X u X , }. . . X n).

Тогда, согласно теореме Тейлора, изменение dY функции вы­ званное изменениями Х и Х ъ . . . , если эти изменения достаточно малы, выражается равенством:

d Y =		m d x ‘+ m	dX^ + - - - + é , dX-
Данное выражение справедливо в том случае, если				первые
д/		стремятся	..	здесь
производные ^	не		к нулю. Мы ограничимся

только такими изменениями, при которых получим:

y = w lx l -\-w 2Xz-\- . . . + wmxm,

где

y = d Y , x — dX, ш= Й..

Следует различать два важных случая:

1. Величины и функция — вещественные величины,

2. Функция и (или) переменные — комплексные величины.

В интересующих нас применениях первый случай имеет место вследствие влияния изменений элементов на характеристическое затухание, а второй — вследствие их влияния на рабочий коэффи­ циент отражения, а следовательно, и на затухание, обусловлен­ ное рассогласованием.

2.Вещественные переменные

хи Х.2. . . представляют собой отклонения значений элементов от их номинальных величина у — результирующее изменение затухания. Будем считать, что хи л:2. . . могут принимать любое значение в пределах данного диапазона; вероятность того, что

значение величины будет находиться						в	пределах от х х до Xi-j-
-\-dx 1будет pi{xi) dxu			где		pifa) — функция			распределения хи
Предположим, что номинальные значения элементов										равны их
средним значениям так,			что средние значения					отклонений			вели­
чин хи л:2. . . будут равны				нулю. Вероятность				того,	что у		имеет
значение в пределах от у				до y -\-d y		будет P(y)dy,			где Р (у) —
функция распределения у.							р ^ ) ;	р2(л;2) . . .		не	носят
В том случае,		если	распределения
исключительного характера,					Р (у) становится			кривой		„нормаль­
ного" или	гауссового		распределения,				когда имеется много пере­
менных Хи Xi, . . . ,		хп.								тогда Р(у)
Если pi,	р2. ..	имеют закон распределения Гаусса,

тоже имеет гауссово распределение независимо от количества переменных. Уравнение такого „нормального закона" имеет сле­ дующий вид: '

_1___	I I
	2*з
Р(У) = а у г2п	9

где а— стандартное отклонение, т. е. среднеквадратичное откло­ нение. Оно вычисляется из стандартных отклонений ai, о2 . . . эф­ фектов переменных:

°2 = °î- b (32 + 0;H~ *• • ~Ьал>

где oj — среднеквадратичное значение ш2х2.

Рис. 112. Функции ошибок для нормального и квадратичного распределений. Ординаты дают вероятность наличия отклонения вне диапазона ± v . Кривые п — 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют распределениям, полученным добавлением этого числа элементов,имеющих (каждый) независимое „квадратичное* рас­

пределение (как на рис. 113) в том же диапазоне ± с . о = 0,578 суйг и равно стандартному отклонению кривой распределения. Кривая « = со яв­ ляется функцией нормальных ошибок. Кривая нормального распределения

1 J±

является функцией р(у) = У2к е 2з»

Обычно для нас больший интерес представляет функция оши­ бок Ф (г/), чем функция распределения Р {у); причем первая яв­ ляется интегралом второй. Существует различие в деталях в отношении определения этой функции различными авторами. Наиболее полезной формой является:

Ф,(!/) = 1 - ] Р (у) dy =	2 ^ P (у) dy.
—у	у

Эта функция представляет вероятность того, что произойдет отклонение числового значения, превышающее значение \у\.

На рис. 112 приведены кривые погрешности Ф (у) для нор­ мального и квадратичного распределений.

Рис. 113. Кривые распределения и отношения		а
		— для определения стандарт'
кого отклонения к допуску.
На рис. 113 приведен ряд возможных кривых			распределения
р (х) элемента.			распределение,
Одним из простейших является „квадратное"
приведенное на рис. 113, а. Здесь	любое значение		элемента рав­
новероятно в пределах допуска	± с ,	а вероятность выхода из

этих пределов отсутствует. Такое распределение можно получить, когда элементы выбираются из группы, имеющей более широкие допуски, или когда настройка элемента представляет собой более трудный процесс, чем его измерение и выборка.

Кривые ошибок Ф(#),	приведенные на рис. 112, дают распре­
деление результирующей	2,	3, 4	или 5 переменных, каждая из
которых имеет одинаковый		вес	и	квадратичное	распределение.
Из рисунка можно видеть,		с какой		быстротой	происходит при­

ближение к нормальному закону при увеличении числа элементов. Благодаря закону сложения среднеквадратичных отклонений, стандартное отклонение о распределения элементов, является бо­ лее важным, чем предельные значения dbc. Поэтому на рис. 113

приведены отношения — для различных форм распределения. Из

С

рисунка видно, что за исключением распределения, показанного на рис. 113, е, квадратичное распределение даст больший разброс в окончательном результате для данной предельной величины с, чем любое другое из показанных на рис. 113.

Рис. 114. Функция ошибок для			суммирования квадратичных распре­
делений	выбранных пределов	отклонения.			2:qi	равно		результи­
рующим	пределам отклонения составляющей				1;	равно результи­
рующим пределам отклонения составляющей 2; 2 q =						qi +	qn +	• • • +	<7я-
Кривые дают вероятность того,		что результат будет превосходить							ор­
динату по величине (каждая кривая				строится из шести точек н = 1 ,
	2, 3, 4, 5, оо с абсциссой у~л и ординатой
		сг	Y 3 'î	/ '
Значение	—можно определить из		рис.	112.	(Никакого		математического
	С

■обоснования ие найдено для оправдания наличия и использования данных кривых).

Вследствие важности стандартного отклонения на оси абсцисс

рис. 112 отложены отношения

где о— стандартное отклоне­

ние результирующего распределения. Например, для квадратич­ ного распределения при п — 4, о2=(0,578)2с2-4.

Предположение относительного равенства весов для различ­ ных элементов, на которых основано построение кривых, приве­ денных на рис. 112, является удобным для математического ана­

лиза, но редко пригодно практически. Если имеется много эле­ ментов, то окончательный результат окажется настолько близким к гауссовой кривой, что относительные веса уже не будут иметь значения до тех пор, пока не будет приниматься в расчет их влияние на стандартное отклонение. Для тех случаев, когда име­ ется сравнительно немного элементов с различными весами, сле­ дует пользоваться кривыми, приведенными на рис. 114.

Пример 86. Имеется фильтр, состоящий из пяти катушек индуктивности и пяти конденсаторов. Каждый из этих элементов настроен (подогнан) с точ­ ностью ± 2 л/о. Влияние 2«/0 изменения каждого элемента на затухание на данной частоте приводится во второй колонке табл. 44. Определим крити­ ческие (испытательные) пределы для одного из двухсот случаев отсорти­ ровки (rejection). Предположим «квадратичное» распределение величин эле­ ментов.

						Таблица 44
	Суммарное		влияние	2%		изменения
	элементов на затухание
	Э ле­	Влияние (q) при
		2% изменении .				q Z
	менты
			дб
	Ci		0,010			0,0001
	cs		0,021			0,00044
	C z		0,052			0,0027
	Ci		0,008			0,00006
	c 5		0,019			0,00036
	II		0,020			0,0004
	U		0,030			0,0003
	l a		0,062			0,0038
	1.1		0,05			0,0025
	U		0,004			0,00002
		S q = 0,276			Etfs = 0,01128
Находим С = У % <7f =		0,105 дб.
Необходимо вычислить V 2 ® î = a) однако известно, 1 что								для	квадра­
тичного распределения а1==0,578 С, тогда
	а = 0,578 • 0,105 =				0,061 дб.
Используя	кривую нормальной ошибки (рис. 112), находим							2 для	одного
случая отсортировки из двухсот:
		у =	± 2,8а =	±	1,6С.
Поэтому критический предел будет равен
	±2,8-0,061 =		1,6.0,105 =		±0,17 дб.
1 В книге	ошибочно указано a! = 0,578gi.
2 Для этого проводим горизонтальную прямую от пометки на оси орди­
нат, равной ^ - = 0,005 до точки пересечения						с кривой нормального			распре­
деления. Этой точке на оси абсцисс соответствует у/а =							2,8. Для случая 1 из
1000 поступаем также, но		проводим горизонтальную					прямую	от	пометки
= 0,001 на	оси ординат. (Прим. ред.).

Для одного из тысячи случаев предел будет	равен ±0,2 до.	Эти пре­
делы до некоторой степени слишком велики, так	как из таблицы	очевидно,

что только примерно четыре из десяти элементов значительно приближаются

к стандартному		отклонению.
Используем		рнс. 114, чтобы установить требуемую поправку
Мы имеем:
		Ц ? =		0,276:
		/ 2	7	=	0,105,
а их	отношение	равно jfïQg = 2,5 .
Из рис. 114 находим, что для			1/200		случаев
		1,55- 0,105 =			0,16(76,
а для	случаев 1,77-0,105 = 0,19 66.

3. Комплексные переменные

Будем здесь предполагать, что изменения элементов нормаль­ но распределены или что имеется так много элементов, что точная форма их распределения не имеет значения.

Предположим, что мы рассматриваем изменения 1 в входном сопротивлении (или любой другой комплексной величины) филь­ тра, обусловленные изменениями элементов. Тогда имеем:

	Z = Z i ~ \ - Z i - \ - . . . - j - z „ ,
где zu z.2 , ... »	zn влияния изменений отдельных элементов,	при­
чем эти величины комплексные. Предположим, что средние		зна­
чения всех величин равны нулю.
Разложим	на вещественные и мнимые части Z = /? + jX,
так что	tf = 2(zi) cos ви
	X = S ( 2i)sin0!.

При ограничениях, указанных выше, R и X будут нормально распределенными со стандартными отклонениями <sR и ах .

4 = 2 ( |z , |c o s 0 1)2,

° х = 2 ( 1г11sin0!)2j

где черта, проведенная сверху, указывает на среднее значение. Следовательно, вероятность того, что величина R лежит в пре­ делах от R до R~\~dR будет равна,

P(R)dR = -±r - ± e

У 2л

при условии, что изменения X не учитываются. Аналогично, веро­ ятность того, что величина X лежит в пределах от X до X -{- dX

будет равна:

					А'2
P { X ) d X = ~ • -				в	23^
	2*	GУ
при условии, что изменения R не учитываются.						от	(R -j- jX)			до
Вероятность того, что Z лежит в			пределах
R -j- dR -j- j (X -j- dX) не является, однако, произведением									P (R)X
X P {X) • dR • dX,					потому,			что	обычно
R и X зависят друг						от	друга.		Крите­
рием статистической						независимости бу­
дет:
				R X =		0.
Это условие			можно всегда					удовлетво­
рить	вращением				осей	координат.				По­
этому берем оси					V ,	V	наклоненными
под	углом		XF к		осям	R		и X.	Тогда
(см.	рис.	115)

Рис. 115. Вращение осей.

A

W = U jV = Ze hv.

При соответствующем выборе 6 можно получить UV — 0. Необходимый при этом угол вращения дается выражением

2 ¥ = L Z 1

При этих новых осях U, V распределения являются совер­ шенно независимыми и вероятность того, что W лежит в преде­ лах от U -j- jV до U -|- dU -j- j (V -j- dV) будет

1 1	-iSP. +XL
	iS'jj 25ак
P ( U V ) d U d V = ~ ^ - e	d U d V ,
X7Z ОцОу

где dU, dV есть элемент площади в плоскости U, V (или R, X). Кривые постоянной вероятности на .единицу площади поэтому будут эллипсы с

	и-	Щ ' — const.
	25?и
	Среднеквадратичные отклонения		и' 5 v даются выражениями
	2 S h = \ Z 12 + 1 ^ Ь
	2 < S v = | Z I2 —		\Z?\’

S v	называются принципиальными (главными) отклонениями
а оси U,	V — принципиальными (главными) осями.

Функции ошибок комплексных переменных

Пусть

S* = Sb + S V = | Z l * .

так, что 25у = (1 -|-р)5’2,
р__s h ~ 5 к	Z2	, 2 S V = ( I - p ) S I.
v - S y + s y	S2

Пусть для любого эллипса равных вероятностей полуосями

будут а п b ( ! = ÿ )

и пусть

2г2= а 2 + 62,

так что

а — г У 1 + (3,

Ь = г У \ — (3.

Тогда вероятность отклонения, представленная точкой за пре­ делами эллипса, будет

_ r j_

Ф,(г) = е

Однако это выражение теряет смысл, когда (3-> 1,0, а именно, когда распределение переходит в прямую линию. В этом случае следует использовать функцию нормальных ошибок.

Если (3 =	0,	то S v — S u и кривые становятся		окружностями
ФДг) дает тогда		вероятность	отклонения от числового значения,
превышающее г.
Довольно	часто требуется знать вероятность отклонения, пре­
вышающего	по	величине г,	для эллиптических	распределений.
Это представляет вероятность			того, что точка лежит за преде­
лами круга, имеющего радиус г с центром в начале.
На рис.	116 приводятся кривые, по которым молено рассчитать

для пределов 0< (Р < П -

Следует заметить, что 5 представляет собой стандартное откло­ нение результата для того случая, который имел бы место, если бы все влияния элементов были бы в одной и той же фазе, т. е. если бы мы имели дело с вещественными величинами. Величина, на которую Фс(г) оказывается меньше, чем кривая нормальных ошибок, представляет, таким образом, уменьшение области суще­ ствования результата, вызванное различием фаз среди нескольких составляющих (малая область дает большую плотность вероят­ ности вблизи начала, соответственно Фс меньше, чем нормальная функция ошибок только при больших значениях отклонений, при малых отклонениях фе наибольшее).

Рис. 116. Случай комплексной переменной: а — кри­ вые дают вероятность отклонения, превышающую по величине значение г. S есть (главное) отклоне­

ние, равное 5 = 1/ 1212, р есть эксцентриситет, рав-

нмй Zs\. б — геометрическое место точек распре­

S ’

деления. Для (3 = 0,6, Чг = 22°. Эллипс является гео­ метрическим местом точек постоянной вероятностной плотности. Общая вероятность того, что точка нахо­ дится за пределами эллипса или большего круга,

равна