книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

Если пик затухания расположен выше полосы пропускания,

т ! > т 2,

т?_ у2_ Л

» h ~ Xl— f a’

„1—ml л

*« 2— 1_,„2 Х-2>

								--jr3
						__ Лсо2			л2
						îlt^---■		-_	У‘
						v*-
						л оо 2			1
					Проверка расчета
	Для L3C3 или				tf3F3 резонансная частота					равна / ь
для	LtCi	или	H\F1 резонансная				частота равна До2»
для	(t, +	t ,	)	^	или	я х//3	(Fi -f- F3)			резонансная	частота
						HL+ Ii3
равна Д.		4. Трехэлементные полузвенья (см. рис. 30)
Трехэлементные звенья являются частным случаем четырех-
элементных,			у	которых		пик затухания,				расположенный	ниже
а)		2сТ			У>сп		б)		2/71	%ст Zen
Z/n
Г1	1гг« ^ Г-							I	'"о оcTi—| | —о
	h	с3							h	с3

Of

Рис. 30. Значения элементов для трехэлементных полузвеньев. а— пик рас­ положен ниже полосы пропускания, б — пик расположен выше полосы про­ пускания.

полосы пропускания, стремится к нулю, а расположенный выше полосы пропускания, стремится к бесконечности.

т __F	р __	1
L,r\ ------,	---
"да		Rum

Для полузвеньев с пиком затухания ниже полосы пропускания, 1

m i= x l,'		m.2= l ,
z ;=	ffl==•t>+ д:,’
и .	Fs	xi
и	Со	— A'i }
Çs__Ha__ _..
L>o	L 0

1 См. сноску на стр. 58.

Для L3C3 или ЯзП резонансная частота равна /2,
для	(I3-f-Li) С3 или ( Л + Я 3) # 3 резонансная частота						равна Д.
Для		полузвеньев с пиком затухания выше полосы					пропуска­
ния,			т1= 1 ,		т% =	х\,
			Cx==Hi =		1
			Со	U	ха	Xi *
			i s ===^ a = = _ l			_
			Lo	Со	XQ—Хх *
			Co__Но__ Xs —Xi
			Со	Lo	Xi
			Проверка расчета
Для		LSC3 или Яз^з резонансная частота равна Д,
Для	CiCo г		HiHo	т?			р
	Ci + Са		или 'Hi 4- Но	резонансная частота равна Д.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ТРАНСФОРМАЦИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Существует два совершенно различных способа трансформации полных сопротивлений, в основу которых положено использова­ ние:

1) взаимной индуктивности и

2) чисто реактивного трансформирующего четырехполюсника. Преобразование по первому способу основано на использова­ нии обычных трансформаторов и применимо для всех типов фильт­ ров. Преобразование по второму способу применимо только для по­

лосовых фильтров.

В результате преобразований, сделанных по первому способу, могут быть получены практически удобные значения элементов, входящих в фильтр; пользуясь же преобразованиями второго вида, также можно получить удобные величины элементов и, кроме того:

а) ввести в фильтр схему, эквивалентную схеме трансформатора с коэффициентом трансформации, отличным от единицы;

б) уменьшить число элементов.

§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХОБМОТОЧНОГО ТРАНСФОРМАТОРА

В том случае, когда относительная ширина полосы мала, то в параллельно производных полосовых фильтрах или в антирезонансных плечах звеньев фильтров постоянной К- расчетные вели­ чины индуктивностей оказываются очень малыми, а величины

емкостей очень большими. Конденсаторы больших емкостей гро­ моздки и дорого стоят, а катушки с малой индуктивностью для получения достаточно высоких добротностей должны быть намотаны

лицендратом. Кроме		того,	индуктивность,		как правило,	регули­
руется	числом витков, что		при	малом числе витков определяет
точность ее настройки.			быть	устранены,	если фильтр	выпол­
Эти	затруднения	могут
нить по схеме, приведенной			на рис. 31. .			выби­
Индуктивность первичной обмотки трансформатора

рается такой же, как индуктивность, рассчитанная для нормаль­

	ной схемы			фильтра.			Индук­
	тивность вторичной						обмотки
	трансформатора					L9	разме­		ЛЛП--------
	щается		на	одном		и	том же
	сердечнике			и	значительно
	больше		индуктивности					Lt.
	Резонансная частота контура,
	состоящего			из	элементов			£а
	и	С2,	может регулироваться						Рис. 31. Использование трансформато­
	очень точно изменением числа
									ров для получения более удобных зна­
	витков		катушки			индуктив­			чений емкостей и более высококачест­
	ности L2. Как				отмечается			в	венной настройки резонансной частоты.
	гл.	10,	такая		регулировка

позволяет обеспечить точность настройки в пять или даже в де­

сять раз выше, чем при помощи катушки индуктивности L			Вблизи
резонансной	частоты доминирует только	добротность	контура,
состоящего	из элементов 12 и С2. В связи	с тем, что вторая об­

мотка содержит относительно большое количество витков, проще получить высокую добротность Q, причем диаметр провода также может быть выбран наиболее выгодным. Вдали от резонанса отно­

сительное изменение активных сопротивлений первичной							и вто­
ричной обмоток может быть определено из выражения:
Активное	сопротивление		первичной		обмотки	С?а Г 2 ( / —f m) ~р
Активное	сопротивление		вторичной		обмотки,	Qi |_ / т	J ’
пересчитанное		в первичную		обмотку
где Q2— добротность		вторичной		обмотки		(включая и	потери
в сердечнике),

где Ri — активное сопротивление первичной обмотки трансформа­ тора.

Следует отметить, что хотя по мере удаления частоты от ре­ зонансной относительное значение сопротивления первичной об­ мотки возрастает, однако влияние этого сопротивления на коэф­ фициент затухания цепей, резонирующих на частотах пиков зату­ хания, становится меньше.

Этот лее принцип может быть с успехом использован для того, чтобы сделать равными все или почти все величины емкостей, входящих в фильтр.

§ 2. РЕАКТИВНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР

Т- или П-образные четырехполюсники из чисто реактивных плеч ведут себя аналогично идеальному трансформатору с двумя дополнительными реактивными сопротивлениями. Эта эквивалент­ ность лучше всего иллюстрируется схемами, приведенными на рис. 32.

Z

al

Рнс. 32. Преобразование полного					сопротивления. Экви­
			валентные	схемы.
По существу		метод	расчета,	предложенный А. С. Гледвином
(A. S. Gladwin),		такой	же, причем преобразования по его методу
базируются	на	трансформации,		которая легче воспринимается,
чем те преобразования,			эквивалентные		схемы которых приведены
на рис. 32.
Применения этих эквивалентных схем многообразны, и они,
как правило,	рассматриваются в справочниках. Наиболее важные

и интересные случаи будут рассмотрены ниже.

1. Преобразования, используемые для получения наиболее удобных значений элементов

Преобразования этого вида можно наиболее удачно применить

к звеньям полосовых		фильтров		постоянной К • В узкополосных
фильтрах такого	типа,	особенно		при низкой средней частоте, ве­
личина емкости	поперечного		плеча оказывается очень большой.
В этом случае желательное			изменение значений элементов может

быть достигнуто только за счет введения дополнительных элемен­ тов. Из практических соображений в качестве дополнительных элементов всегда выбирают конденсаторы. В свою очередь, это

ограничивает	число	схем, к которым данное преобразование
может быть с	пользой	применено, до двух случаев, рассмотренных

ниже. Применение трансформаций иллюстрируется только на полу-

	звеньях.		Эти полузвенья					могут быть „.соединены парами каскадно
	так,	чтобы			получить		общий		а)	1/ш и>
	коэффициент				трансформации,
										о-—
	равный		единице.							R
	В	том случае, когда полные
	звенья получены из двух полу-
	звеньев		рис.		33,	б,	соеди­
	ненных		каскадно со стороны их
	Т-образных			входов,		или из двух
	полузвеньев			рис.		33,	в,	сое-

n2R

Рис. 33. Преобразование сопротивле­ ний: а — полузвеньев постоянной 1C, б и в — два варианта преобразования. Схема (б) применяется, если исходное звено было П-образным. Схема (г) применяется, если исходное звено было Т-образным. Схема (г) получается из схем (б) или (в) при предельном зна­ чении коэффициента трансформации

п — 1 А------?. Если п больше указан-

ного, емкости Ki и С» становятся от­ рицательными. Положим

Со— Lo— 1

для схемы (а)

Тт

В) о—t/W

R

о

a7R

f2

t t

Tl7R♦

w — относительная ширина полосы пропускания.

W

Ki = 1— («— 1) wa 1 1

п(п — 1) W

1 1

п W

Ci = w п —п 1

1

				•для схемы (в)
	W
	С3 4Г	w
	Fi-		а;а
		1+
	F3	w3		для схемы (г)
		\-\-w
	» = 14		1

диненных каскадно со стороны их П-образных входов, то ре­

зультирующие три конденсатора				Kzj в продольных вет­
вях схем рис.	33, б	или	три	конденсатора	(Сь 2С2, Cj)
в поперечных	ветвях	схем	рис.	33, в будут	иметь одина­

ковые емкости того же порядка, что конденсатор продольной ветви полузвена прототипа, если положить:

2. Преобразования, используемые для исключения из схемы фильтра лишних элементов

Следующий метод, который предложил В. Белевич (V. Belevitch), применим для цепи из каскадно соединенных чётырехэлементных фильтров с несимметричными характеристиками. Четы-

Рис. 34. Удаление лишних элементов с помощью преобразования полных сопротивлений: а, б, в, — эквивалентные четырехполюс­ ники, в, г ,— дуальные четырехполюсники.

Два четырехэлементных звена со смежными пиками затухания на рисунке ус­ ловно обведены пунктирным кружком.

рехэлементные звенья с частотами пиков затухания, расположенными в области высоких и низких частот, соединенные каскадно, содержат 10 элементов. Эквивалентное такому соединению шести­ элементное звено содержит 8 элементов. Таким образом, оказы­ вается, что в первом случае будут два лишних элемента. Однако

шестиэлементные звенья нельзя выполнить с двумя частотами бесконечного затухания, расположенными в одной и той же части полосы непропускания; в этом случае, как правило, необходимо применять метод преобразования сопротивлений для того, чтобы исключить лишние элементы в фильтре. На рис. 34, 35 показан процесс преобразования сопротивлений и типы схем, которые при этом могут быть получены.

а )

н

- л

Г

б)	в
о—{ К ~ о о о 1 | ^ - Я	8 1 -j^ lK fln O j— j - -о

r v

6 )

В

L r

f -

г)

с р

ф

Рис. 35. Удаление лишних элементов в многозвенных фильтрах с несимметричными характеристиками о, б, в — типовые фильтры и их характеристики затухания, г — часть фильтра с несиммет­ ричной характеристикой до преобразования.

Число элементов. Допустим, что s — число полных шестиэле­ ментных звеньев, k — число звеньев прототипа, a d — число четы­ рехэлементных звеньев.

Если характеристические сопротивления со стороны внешних зажимов будут такими же, как характеристические сопротивления звена постоянной К, то общее число элементов, входящих в фильтр, будет равно:

2 '+ 4 é + 6s + 4d.

Их число может быть уменьшено до

2 ——4Æ-f—6s —}—(1 —|—3d'),

если четырехэлементные звенья с пиками затухания, расположен­ ными в области верхних и нижних частот, соединены парами так, что пара имеет пик ниже полосы пропускания и выше этой по- '

лосы, а остающиеся четырехэлементные звенья à! (имеющие пики затухания, расположенные в области только верхних или только нижних частот) соединены по методу, описанному здесь.

К приведенным выше выражениям следует добавить еще один элемент, если одно из характеристических сопротивлений со сто­ роны внешних зажимов будет таким же, как характеристическое сопротивление фильтра постоянной /С, а другое т-производного звена, и следует добавить два элемента, если оба характеристиче­ ских сопротивления со стороны внешних зажимов такие же, как m-производного звена.

Следовательно, можно спроектировать фильтр с весьма несим­ метричной характеристикой, который будет иметь на один элемент больше, чем фильтр с симметричной характеристикой с таким же числом пиков затухания и с такими же характеристическими сопротивлениями со стороны внешних зажимов..

Соединение двух звеньев. Для схем рис. 34 все элементы звеньев определяются в значениях величин т, составляющих фильтр

звеньев. Для	двух	звеньев с		пиками затухания в области верхних
частот
			П = Т 2---—7 .
				1 — т2та
1 а является	сопротивлением			емкости,
ZB является	сопротивлением			индуктивности.3
	Ц	— к — 1 . \ т			1 l — mî		1___п	3
	Со	U	W	V 1	'	»h	2
	Lo	Со	1	I	. 1	m2
	fix
						m2
		L o	C o			l — m l’
		Co __Lo				Ml
		F3	L»			1 — m\ ’
	F ±	L o	tn i +	m [	1	_ n h m [ — m 2m'a
	F0	Lo	WI /HJ		*n-w	1	— m2m2	'

Для элементов справа от Zа или ZB используются выражения для соответствующих элементов, расположенных слева и меняются местами ти т'х и т 2, т 2,

	т. е.	F*	И т. д.
		Со

Для звеньев с пиками затухания в области нижних частот надо взаимно заменить mi и т 2, а также т[ и т'^ в приведенных

выше выражениях, причем здесь ZA — сопротивление индуктив­ ности и ZB — сопротивление емкости.

U	__С £ __ т 2 -|- т'3 ^		1	т2т'й— mtm[
Н ь	Сь	т«т'2	n-w ’	1 — mim[
Если данный	метод	применить к		звеньям фильтра с пиками

затухания, расположенными в области верхних и нижних частот, то оба элемента центрального параллельного резонансного контура будут исключены, а получившаяся в результате этого преобразо­ вания схема будет представлять собой схему обычного шестиэле­ ментного звена.

Окончательная схема после исключения элементов. На вопрос, чем будут оставшиеся в схеме фильтра элементы — индуктивно­ стями или емкостями, — легче всего ответить, если знать первона­ чальную структуру фильтра и на что более похожа его частотная характеристика: на характеристику фильтра верхних или нижних частот. Схемы, приведенные на рис. 35, ай в, по своим характери­ стикам ближе к фильтрам нижних частот и имеют соответствую­ щую структуру, тогда как схема, приведенная на рис. 35, б, походит на фильтр верхних частот. Схемы фильтров, подобные приведенным на рис. 35, а и б, очень часто используются на практике, так как они наиболее экономичны по числу применяе­

мых в них		индуктивностей.
Схема,		состоящая из числа звеньев больше двух. Вывод общей
формулы для этого				случая оказывается очень громоздким, и целе­
сообразно в			каждом отдельном случае обращаться непосредственно
к числовому			расчету.
Пусть схема состоит из 2k-\-l антирезонансных цепей и
аналогична			схеме,	приведенной на рис. 35, г. Преобразование
следует	применять			по очереди к каждому из контуров 2, 4, 6 ... 26
с таким	расчетом,			что при каждом последующем преобразовании

идеальный трансформатор будет перемещаться в правую часть схемы фильтра.

Пусть

Ур=1<‘С р + щ >

s p = LhP

Yp является полной проводимостью р-н цепи и пусть, кроме того,

Яй — U

* = 4 х '

1 1

У* «х *па’

1

1

1

••• ‘ V

где «i. щ ... пр следующие один за другим коэффициенты транс­ формации. После соответствующих преобразований полные прово­ димости будут равны:

Y'<>p=Ÿ'îpqp_lqp (т. е. продольные плечи);

Y 2р+1 ~Яр[Яр (У2.5 Н“ Y 2p+l ~\~ ^ 2р+з) Яр-тУър 7р+1^Зр+з]					(ПР°~
межуточные поперечные плечи),
У '== У! -f-Уд— qvY<i		(первое поперечное плечо),
Y ' i k + i — Я к [ Я к	(+У	мY 2/(+i) — Я к -i * » J	(последнее	поперечное
плечо).	к тому, чтобы общий коэффициент трансфор­
Обычно стремятся
мации был равен единице,'т. е. як — 1.			Проблема	расчета	тогда

сводится к тому, чтобы определить величины q{ ... qk_x так, чтобы индуктивности или емкости промежуточных поперечных плеч исключались. На основании выводов, сделанных раньше, прежде всего необходимо установить, исключаются ли из схемы индук­ тивности или емкости.

Арифметические выкладки в значительной степени упрощаются,
	Q
если обозначить емкость — , а индуктивность Lüw.
Тогда для поперечных плеч:
c2j3+i =	(mùp +	(mi)p+i	>
S'2p+1 =	(тч)р+	im<l)p+i — 2~ ^ ,
а для продольных плеч:
	_ !-(»*)$
		2 (т,)р	’

*р~ 2 (т2)р . *

Пример 9. В табл. 10 приведены значения коэффициентов m для четырех четырехэлементиых звеньев с пиками затухания, расположенными в области верхних частот.

		Нормализованные значения элементов				Таблица 10
	mi	(«i)p ”Ь (,ni)p+i	1 — mf	т2	(«s)p + (m2)p+i	1 — m|
			2mi			2nift
	0,346	1,061	1,272	0,28	0,86	1,646
	0,715		0,342	0,58		0,572
		1,110			0,90
	0,395		1,068	0,32		1,403
		0,914			0,74
	0,519		0,704	0,42		0,98

с*р+1

с,р

Slp+l

$Jp