книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6

сопротивления тонкой пленки в зависимости от А и р был про­

веден Зондхеймером [143], Соффером [45] и Брэндли и Котти[46]; результаты показаны на фиг. 2.

Если тонкая пленка получена путем напыления на подлож­ ку, две поверхности пленки, по всей вероятности, будут разли­ чаться и параметр зеркальности будет иметь разные значения для двух поверхностей. Юречке [47] и Лукас [48], используя

Ф иг. 2. Приведенное удельное сопротивление р/р0 тонкой пленки в зависи­ мости от приведенной толщины k = d/l при различных значениях параметра зеркальности р.

подход Фукса, вычислили проводимость пленки с различными поверхностями, характеризуемыми параметрами зеркальности р и q. Юречке [49] получил формулы для предельных случаев

толстой и тонкой пленки:

0/<го= 1 — (3/8*) [l - 4 (р + ?)], * » 1 , (16)

o/o0 = [3(;l+pUl + q)/4(l-pq)]kln(W ),	k C L	(17)
Если две поверхности одинаковы, то р = q и эти	формулы	пе­
реходят в (13) и (14) соответственно.
3. ТОНКИЕ ПРОВОЛОКИ

Анализ Фукса был также применен для расчета электропро­ водности тонких проволок круглого [50], квадратного 113] и прямоугольного сечений [51]. Точные выражения оказываются

сложнее соответствующих формул для тонких пленок, но в пре­ дельном случае толстой проволоки они принимают вид

о/а0= 1—3/4/г, k > 1	(18)
для круглого и квадратного сечений, где	k — отношение диа­

метра круглого сечения или стороны квадратного сечения к длине свободного пробега в массивном образце. В предельном случае тонкой проволоки для круглого сечения имеем

o/o0 = k,	k < 1,	(19)
а для квадратного сечения
0/сто=1,1& ,	1.	(20)

Проводимость проволоки прямоугольного сечения размерами а и Ъ имеет значение, промежуточное между проводимостью

тонкой пленки и проводимостью тонкой проволоки; она сводится к проводимости пленки при а[Ь = 0 и к проводимости проволоки квадратного сечения при a/b = 1. Из сравнения формул (8) и (18) следует, что при больших k ограничение движения электро­

нов в двух измерениях вызывает вдвое больший размерный эффект, чем в случае тонкой пленки. Однако проводимость в слу­ чае тонкой проволоки убывает при уменьшении толщины гораздо

Фиг. 3. Приведенное удельное сопротивление р /р о тонкой пленки и тонкой проволоки в зависимости от приведенной толщины к = dfl.

толщина пленки или диаметр проволоки,

i —тонкие проволоки; 2 — приближение тонких проволок, формула (23); 3 —тон

быстрее, чем в случае тонкой пленки. Соответствующие кривые приведены на фиг. 3. Если определить эффективную длину сво­ бодного пробега для проводимости тонких образцов /афф равен­ ством

o = n e4 ^lm vF,

(21)

то формулу (19) можно переписать в виде

oho==d/l = lm ll.

(22)

Из (22) следует, что в предельном случае очень тонкой про­ волоки эффективная длина свободного пробега электрона ста­ новится равной диаметру проволоки.

Формула для проводимости проволоки, наиболее часто используемая при анализе результатов, получается в предполо­ жении, что рассеяние электронов поверхностью не зависит от других механизмов рассеяния, так что 1/4фф = 1/1 + 1М Это вы­

ражение, часто называемое формулой Нордгейма [52], можно записать в виде

р/р0= 1 + 1 / £ = 1 + / М

(23)

Приведенная формула значительно отличается от формулы Дингла для толстых проволок (18), однако при всех k она дает

значения сопротивления, которые с точностью до 5% совпадают с результатами расчета по формуле Дингла (фиг. 3).

Если рассеяние электронов поверхностью частично упругое и описывается параметром зеркальности р, то для приближен­

ного вычисления проводимости проволоки можно воспользо­ ваться формулой (12). Для тонких проволок круглого сечения получаются следующие предельные выражения:

о/а0= 1 — [3(1 — p)/4k],	k > 1,	(24)
o/o0 = (l + p)kl{l — p),	k < l .	(25)

4. ПАРАМЕТР ЗЕРКАЛЬНОСТИ

Параметр зеркальности, введенный в разд. 11,2 и 11,3, пред­ полагался постоянной величиной, не зависящей от дебройлевской длины волны электрона и от угла падения электрона на поверхность. Другая формулировка была предложена Пэрротом [53] и Брэндли и Котти [46]. Они рассматривали отражение электронов от поверхности по аналогии с оптическим отраже­ нием, при котором вклад зеркального отражения возрастает при переходе к более длинным волнам и к скользящему падению. Параметр зеркальности предполагается равным единице, когда угрл падения (отсчитываемый рт нормали к поверхности)

Ф и г. 4. Приведенное удельное сопротивление р/р0 тонкой пленки в зави­ симости от приведенной толщины k = djl при различных значениях критиче­ ского угла ■&.

больше критического угла Ф, и равным нулю, когда угол паде­ ния меньше Ф. Численный расчет сопротивления пленки в зави­ симости от ■&и k был проделан Брэндли и Котти [46]; резуль­

таты приведены на фиг. 4. При уменьшении толщины пленки сопротивление стремится к постоянному значению в отличие от монотонного возрастания сопротивления, которое имеет место при р — 0 для всех углов падения (•&= 90°). Критический угол

при котором параметр зеркальности меняется от нуля до еди­ ницы, будет зависеть от дебройлевской длины волны электрона и шероховатости поверхности. Шероховатым поверхностям и коротким длинам волн соответствуют большие значения угла ft.

Зависимость параметра зеркальности от угла и длины вол­ ны изучалась также Грином [54, 55], Грином и О’Доннелом [56], Займаном [57] и Соффером [58]. Грин рассмотрел ряд специфи­ ческих поверхностных механизмов рассеяния и показал, что феноменологический параметр зеркальности р нельзя отожде­

ствлять с вероятностью зеркального отражения в кинетической теории. Однако введенные им более сложные граничные усло­ вия в случае металлов сводятся к простым условиям Фукса [54]. Займан описал влияние геометрической шероховатости на за­ висимость параметра зеркальности от длины волны при нор­ мальном падении. Соффер обобщил его результаты и распро­ странил их на более важный случай наклонного падения. Ис­

пользуя статистическую модель отражения плоских волн от поверхности с математически хорошо определенными неровно­ стями, Соффер нашел компоненту в виде плоской волны, рас­ пространяющуюся в направлении зеркального отражения, и диффузную компоненту, зависящую от тангенциальной корре­ ляции неровностей поверхности. При отсутствии корреляции по­ лучается следующее выражение для параметра зеркальности:

р = ехр [— (4яЛ/Л,)2 cos2 ft],

(26)

где h — среднеквадратичное отклонение, % — дебройлевская

длина волны электрона, ft — угол падения, отсчитываемый от нормали. Пользуясь этим параметром зеркальности, можно из интегральной формулы Фукса [58] получить удельное сопротив­ ление тонкой пленки. Зависимость этого сопротивления от тол­ щины оказывается промежуточной между найденной ФуксЬм и той, которую получил Пэррот, причем разница становится более заметной в предельном случае тонких пленок. В отличие от мо­ дели Фукса получается насыщение сопротивления, однако оно наступает при меньшей толщине, чем в модели Пэррота. В пре­ дельных случаях сильно шероховатой и очень гладкой пленки все три модели совпадают.

5.АНИЗОТРОПИЯ МОНОКРИСТАЛЛА

а.Тонкие пленки. Теория проводимости тонких пленок, со­ зданная Фуксом, относится к случаю идеального металла со сферической поверхностью Ферми и изотропным временем ре­ лаксации или к случаю поликристаллического металла со слу­ чайным угловым распределением кристаллитов, размеры кото­

рых предполагаются малыми по сравнению с длиной свободного пробега электрона. Эту теорию нельзя прилагать к проблеме проводимости монокристаллических пленок, в которых необхо­ димо учитывать ориентацию кристаллографических осей относи­ тельно поверхностей образца. Наличие поверхностей приводит к анизотропии проводимости, даже если объемная проводимость изотропна, как, например, в кристаллах кубической симметрии.

Каганов и Азбель [59] впервые вывели формулы для прово­ димости тонких монокристаллических металлических пленок и показали, как можно из результатов измерения проводимости получить сведения о поверхности Ферми. В случае сферической поверхности Ферми их результаты переходят в формулу Фукса для диффузного рассеяния электронов поверхностью.

В работах Инглмена и Зондхеймера [60] и Зондхеймера [61] модель Фукса для диффузного рассеяния электронов поверх­ ностью обобщается на случай монокристаллической металличе­ ской пленки с одноосной анизотропией, когда поверхность

Ферми представляет эллипсоид вра­ щения. В этих работах рассмотрены как однозонная, так и двухзонная модели. Если главная ось эллипсои­ да постоянной энергии образует угол 1]) с поверхностью пленки, то

сопротивление пленки оказывается зависящим от угла ф и от направ­ ления тока в плоскости пленки. В случае двухзонной модели анизо­ тропия оказалась подобной той, ко­ торая получается при расчете высо­ кочастотного поверхностного сопро­ тивления в условиях аномального скин-эффекта [32, 62]. Несмотря на то что аномальный скин-эффект с успехом использовался для опреде­ ления поверхности Ферми меди [32], алюминия [63], олова 64] и вис­ мута [65], не предпринималось ни­ каких попыток использовать для этого анизотропию статической про­ водимости. Поскольку поверхность

Ферми многих металлов известна, изучение анизотропии сопро­ тивления тонких пленок могло бы дать информацию об анизо­ тропии длины свободного пробега электрона вдоль поверхности Ферми.

Обобщение теории проводимости монокристаллических пле­ нок с учетом возможности зеркального отражения электронов от поверхности было выполнено Прайсом [66], Пэрротом [53, 67] и Горкуном и Рашбой [68]. Расчеты Прайса показали, что про­ водимость тонкой пленки при несферической поверхности Фер­ ми в общем случае анизотропна и меняется с толщиной даже при чисто зеркальном отражении (см. также статью Пиппарда [69]). Подробный расчет показывает, что проводимость па­ дает при уменьшении толщины и стремится к конечному зна­ чению при нулевой толщине. Пэррот [67] показал, однако, что такой размерный эффект исчезает при чисто зеркальном отра­ жении в случае металла с поверхностью Ферми в виде одного эллипсоида. Горкун и Рашба утверждают, что при чисто зер­ кальном отражении размерный эффект должен отсутствовать даже при более общих условиях, рассмотренных Прайсом. Во всяком случае, характер зеркального отражения в металле с несферической поверхностью Ферми довольно необычен, что показано на фиг. 5. Из графика видно, что углы падения и от­ ражения в общем случае неравны, поскольку вектор, изобра-

жающий изменение квазиимпульса электрона при отражении, должен быть направлен по нормали к поверхности пленки.

Пэррот [53] использовал метод Хэма и Мэттиса [70] для рас­ чета проводимости тонких пленок со сферической и эллипсо­ идальной поверхностью Ферми, когда параметр зеркальности является функцией изменения квазиимпульса электрона при зеркальном отражении. Как было указано выше, в разд. 11,4, эта теория приводит к выводу о насыщении проводимости при уменьшении толщины.

За последние 15 лет появился целый ряд теоретических ра­ бот, посвященных анизотропной проводимости металлических пленок; в то же время экспериментальных данных явно недо­ статочно. Недавно, правда, была опубликована эксперименталь­ ная работа Райнеса и Соллиена [70а] об анизотропии сопро­ тивления алюминиевых пленок. Их исследование охватывает область температур от 2 до 15 К и обнаруживает четкую зави­ симость сопротивления от кристаллографической ориентации пленок. Для объяснения анизотропии было выдвинуто предполо­ жение, что электроны вблизи границ зоны Бриллюэна не дают вклада в ток. Необходимы дальнейшие экспериментальные ис­ следования в этом направлении для проверки некоторых кон­ цепций и дальнейшего развития теории.

б. Тонкие проволоки. Проведенный Динглом расчет сопротив­ ления металлических проволок основан на тех же допущениях, что и вычисления Фукса для пленок: предполагаются сфериче­ ские поверхности Ферми и изотропные времена релаксации. Бэйт, Мартин и Хилл [71] и Александров и Каганов [72] обобщили теорию на случай монокристаллических пленок. В обеих рабо­ тах приближенное выражение для проводимости, когда длина свободного пробега электрона гораздо больше диаметра про­ волоки (А:«с1), приобретает следующий вид:

о (d) = ( d e W h ) J (cos2 fl/sin О) dS,

(27)

где d — диаметр проволоки, Ф — угол между осью проволоки

(которая предполагается совпадающей с главной осью тензора объемной проводимости) и нормалью к поверхности Ферми, а dS — элемент площади поверхности Ферми. В случае эллипсо­

идальной поверхности Ферми интеграл в формуле (27) можно выразить через эффективную массу электрона. Таким образом, измерения размерного эффекта в монокристаллических прово­ локах могут быть использованы для определения интеграла в [27] или для получения информации об эффективной массе эле­ ктрона. В условиях, когда длина свободного пробега электрона гораздо меньше диаметра проволоки ( 6 > 1 ) , Бэйт и др. [71]

получили следующее выражение для проводимости:

a (d) =	а0 — (e2/dn4h) J l2cos2 ■0- sintft/S,	(28)
где сто — объемная	проводимость, а / — объемная длина	свобод­

ного пробега электрона, изменяющаяся в общем случае вдоль

поверхности Ферми. В случае сферической поверхности	Ферми
и изотропной длины свободного пробега выражения (27)	и (28)

сводятся должным образом к формулам Дингла соответственно для тонких и толстых пленок [формулы (19) и (18)]. Бэйт и сотр. вычислили также сопротивление поликристалла кубиче­ ской симметрии при условии, что размеры кристаллитов велики по сравнению с длиной свободного пробега электрона. В пре­

дельном случае толстой	проволоки они получили из		форму­
лы (28)	(3 <0/4 (IY) Кl)!d),		(29)
Р/Ро= 1 +
где
<0 = J /dS/S,		(l2) = \ l 2 dS/S.

Из этого результата следует, что соотношение Нордгейма (23) может нарушаться даже в случае поликристаллической про­ волоки с кубической симметрией, если длина свободного про­ бега анизотропна.

6. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

а. Модель Фукса— Дингла. В разд. II. 2 и II. 3 были выведе­ ны формулы для проводимости тонких пленок и проволок, при­ чем основное внимание уделялось зависимости проволоки от толщины. Интересно рассмотреть также температурную зависи­ мость проводимости (или сопротивления). Рассмотрим снача­ ла зависимость температурного коэффициента сопротивления а = (1/р) (dp/dT) от параметра k = d/l, затем зависимость сопро­

тивления от температуры.

Зависимость температурного коэффициента сопротивления от k очень легко вычислить, если удельное сопротивление можно

представить в виде
P = PoW)>	(30)

где р0 — объемное удельное сопротивление, a f(k) — произволь­ ная функция k. Используя (2), легко показать, что dkjdT = kom

и, следовательно,

а/а0= 1 -f (rfln p/d \nk)— l — {d In aid In k),

(31)

где ао — объемный температурный коэффициент сопротивления. Из этого выражения можно найти а/ао для толстых и тонких

пленок и проволок. При р — 1 формула (31) сводится к равен­ ству а = OQ. При р < 1, используя (13) и (14), можно получить

предельные выражения для пленок:

а/а0 = о/а0 = 1 — [3 (1 — p)/8k],	k » 1,	(32)
а/а0 = [1п(1/6)Г‘,	k < \ .	(33)

Область применимости этих предельныхвыражений обсужда­ лась Кэмпбеллом [73].

Можно получить также соответствующие выражения для

проволок:
а/а0= сгДто = 1 — [3 (1 — p)/4k],	k »	1,	(34)
а/а0 = 36/8 In (1/6),	k <	1.	(35)

Интересно отметить, что в предельных случаях тонких пленок и проволок исчезает зависимость от параметра р. Для пленок

общее выражение для а/ссо было получено Саворнином [74] и Кэмпбеллом [73]; зависимость а/ао от 6 и р показана на фиг. 6.

На фиг. 7 изображена зависимость температурного коэффи­ циента сопротивления от размеров для пленок и проволок при р = 0. В предельном случае малых k размерный эффект в про­

волоках опять-таки выражен гораздо сильнее, чем в пленках. Чтобы воспользоваться формулами Фукса и Дингла для вы­ числения температурной зависимости сопротивления тонких пленок и проволок, нужно знать температурную зависимость длины свободного пробега I. Зная 1 = 1(Т), можно вычислить сг0 = а0(Т) и k = k(T), а затем, используя выражение (7) или

соответствующую формулу Дингла [50] для проволок, найти р или а. В общем случае, однако, определить функцию 1{Т) экспе­

риментально или теоретически оказывается нелегко1). Харак­ терный вид температурной зависимости сопротивления тонкой пленки показан на фиг. 8 (кривая 2).

б. Модели с рассеянием на малые углы. В модели Фукса рас­ сеяние электронов дефектами решетки и фононами предпола­ гается изотропным. Это допущение позволяет пользоваться ки­ нетическим уравнением Больцмана в приближении времени релаксации. Рассеяние на примесях действительно изотропно, но рассеяние электронов на фононах при низких температурах уже не является таковым. При низких температурах электроны)*

*) Для экспериментального определения I(Г) нужно измерить объемное сопротивление ро как функцию от температуры и р как функцию от толщины при данной температуре, используя образцы с одинаковым содержанием де­ фектов. Последнее измерение дает / при фиксированной температуре, н, сле­ довательно, мы можем определить ро/ при этой температуре. Делая довольно произвольное допущение, что ро/ не зависит от температуры, можно по резуль­ татам измерения ро(7) найти /(7).

Фиг. 6. Приведенный температурный коэффициент сопротивления а/с&о тон­ кой пленки в зависимости от приведенной толщины k = d/l при различных значениях параметра зеркальности р.

Ф иг. 7. Приведенные температурные коэффициенты сопротивления а/осо тонкой^ пленки и тонкой проволоки в зависимости от приведенной толщины

/ —тонкая пленка, р=0; 2 —тонкая проволока, р*^Q.